Chapitre V : La fonction exponentielle

Transcription

1 Chapitr V : La fonction ponntill Etrait du programm : I. Définition Lmm : f st un fonction défini t dérivabl sur tll qu f = f t f ( ) =. Alors pour tout rél, f ( ) f ( ) = t f n s annul pas sur. Démonstration : On introduit la fonction défini pour tout par : ( ) = f ( ) f ( ) Montrons qu la fonction st constant sur : f étant dérivabl sur, l st aussi : calculons sa dérivé : Pour tout rél : ( ) = f ( ) f ( ) f + ( ) ( ) f ( ) = f ( ) f ( ) f( ) f ( ) Or f = f donc f ( ) = f ( ) t f ( ) = f ( ) d où ( )= La dérivé étant null sur, la fonction st constant sur. Montrons qu ( ) = : On a () = f ( ) f ( ) =, t constant, donc pour tout rél, ( ) =, c st-à-dir pour tout rél, f ( ) f ( ) = L égalité f ( ) f ( ) = prmt d conclur qu : pour tout rél, f ( ) (si un produit st non nul, aucun d ss facturs n st nul). Théorèm- définition : Il ist un uniqu fonction f dérivabl sur tll qu : pour tout rél, f ( ) = f ( ) t f ( ) = Ctt fonction st applé fonction ponntill t st noté p

2 Démonstration : (BAC) L istnc d un tll fonction f st admis ici. Démontrons l unicité : Supposons qu il ist un autr fonction g dérivabl sur t tll qu g ( ) = g ( ) t g ( ) =. On a prouvé (lmm) qu, pour tout rél, f ( ) t f ( ) f ( ) =. D où f ( ) = f ( ) On put donc considérr la fonction h dérivabl sur t défini par : h ( ) = g ( ) f ( ) = g ( ) f ( ). Afin d prouvr qu f = g, on va prouvr qu h st constant sur. Pour tout rél, h ( ) = g ( ) f ( ) g( ) f ( ) Or f ( ) = f ( ) t g ( ) = g ( ) donc : h ( ) = g ( ) f ( ) g( ) f ( ) = La dérivé d h étant null sur, la fonction h st constant sur. Or h ( ) =g ( ) f ( ) = donc pour tout rél, h ( ) =. Il n résult qu f = g. On a donc bin montré qu la fonction ponntill st l uniqu donc fonction vérifiant f = f t f ( ) =. Conséquncs : La fonction ponntill st défini t dérivabl sur Ep()= t pour tout rél, on a p() t p( ) = Pour tout rél, p ()=p() p ( ) II. Propriétés algébriqus d la fonction ponntill Propriété: quls qu soint ls réls a t b : p (a + b)= p(a)p(b) On dit qu la fonction ponntill transform ls somms n produits. Démonstration : Soit y un rél fié. Considérons la fonction g défini pour tout rél par : g ( ) = p ( + y ) p ( ) Montrons qu g st constant t égal à p(y) sur. Ep étant dérivabl sur rep étant dérivabl sur, g l st aussi t : p g ( ) ( + y ) p ( ) p ( + y ) p( ) = = p ( ) donc g st constant sur. Or g()=p(y) donc g ( ) = p (y) t donc p( + y)=p()p(y)

3 Propriété : a) Qul qu soit l rél a, p( a ) > La fonction ponntill st donc strictmnt positif sur b) Quls qu soint ls réls a t b p( a b ) = p ( a ) p ( b ) c) Quls qu soint l rél a t l ntir rlatif n : p( na ) = (p ( a )) n Démonstration : a) Pour tout rél a, a = a 2 + a 2, donc p( a ) = p a 2 + a 2 = p a 2 p a 2 = (p a 2 )² > b) Pour tout réls a t b, p( a b ) = p(a)p(-b) Or p ( b ) p ( b ) = donc p ( b ) = p ( b ) Ainsi, p( a b ) = p(a) p ( b ) = p ( a ) p ( b ) c) Démontrons ctt propriété par récurrnc. Soit a, Pour n ntir naturl, soit (P n ) la propriété : p (na) = (p(a)) n Initialisation : p() = t (p(a)) = donc p(a ) = (p(a)) Hérédité : montrons qu pour tout ntir naturl k, on a (P k ) (P k+ ) Soit k un ntir naturl qulconqu t supposons qu (P k ) st vrai. On a alors p (ka) = (p(a)) k d où p((k +)a ) = p(ka +a ) = p(ka) p(a) = (p(a)) k p(a) = (p(a)) k+ donc (P k+ ) st vrai (Pn) st vrai donc (P ) st vrai Conclusion : (P ) st vrai t pour tout ntir naturl k, (P k ) (P k+ ) donc, pour tout n Pour n ntir strictmnt négatif, on pos n = m. D après c qui précèd, on put donc écrir : p (na) = p ( ma) = p ( ma ) = (p ( a )) m= (p n (a)) m = (p (a)) III. Un nouvll notation d la fonction ponntill Définition : L imag d par la fonction ponntill st noté, c st à dir on pos : p()= st un nombr irrationnl, comm l nombr, t on a : 2,78 Généralisation d la formul : - pour tout ntir rlatif n, p(n) = p ( n ) = (p()) n. d où, si on pos p () =, n, p(n) = n - Pour tout nombr rationnl r = p, avc p t q q (p q )q = p q q = p () = d où p q = q (racin q-ièm d )

4 Et, pour p : p (r) = p p q = (p Et pour p <, p(r) = p ( r ) = = r. r Ainsi, r, p(r)= r q )p q = ( ) p = p q = r - Pour tout nombr rél, on a généralis la formul t on a donc :, p()= Avc ctt notation, ls propriétés algébriqus vus précédmmnt s écrivnt n utilisant ls règls d calculs sur ls posants : Règls d calcul : Pour tous nombrs a t b t pour tout ntir rlatif n : = = a + b = a b a b = a b n = ( ) n Point-méthod 24 : Utilisr ls propriétés d la fonction ponntill. Eprimr chacun d cs du réls n fonction du nombr : A = p p ( 3,7 ) B= 2 p(,7 ) 2. Démontrr chacun d cs du égalités : = 4 ( + ) ² ( ) ² = Solution :. On réécrit ls nombrs avc la notation, t on utilis ls règls d calculs. A = p 2 = 2 = B= p ( 3,7 ) p(,7 ) = 3,7,7 = 3,7,7 = 2 2. On st souvnt amné à transformr l un ds mmbrs d l égalité n utilisant : a a = Ici, on vut introduir 2 au dénominatur, donc on multipli tout par 2 : = ( ) = Ls idntités rmarquabls rstnt à utilisr dans c gnr d calcul : ( + ) ² ( ) ² = ( ) ² ( ) ² ( ) ² + 2 ( ) ² = 4 IV. Etud d la fonction ponntill. Dérivé, sign t sns d variation Dérivé : On a vu qu la fonction ponntill p() st dérivabl sur t qu sa dérivé st ll-mêm. Donc : ( ) = pour tout Sign : La fonction ponntill st strictmnt positiv sur Démonstration :, = pas = = ( ) ² >, la fonction ponntill n s annulant

5 Variations : La fonction ponntill st strictmnt croissant sur Démonstration : : ( ) = > donc strictmnt croissant sur. Conséquncs : Pour tous réls a t b : a < b a < b t a = b a = b En particulir : étant un rél : = l = = < < l < < < > l > Point-méthod 25 : Résoudr ds équations t ds inéquations avc la fonction ponntill. Résoudr = + sur 2. Résoudr : 2 + < ² Résoudr ( ) ² ² Solution :. On utilis l fait qu : a = b a = b = + = + ² + = ² + = (sur ) D où s= ; 2. On utilis l fait qu : a < b a < b 2 + < ² < ² + 4 ² < d où s= ]-3 ;[ 3. Il faut d abord modifir l inéquation afin d avoir tout sur l mêm nivau : ( ) ² ² d où s= ] ; ] 2. Limits n l infini Propriété : + = + = Démonstration : (BAC) Limit n + : Pour détrminr la it n +, on va comparr t, c qui rvint à étudir l sign d. On considèr la fonction f défini sur par : f ( ) =. f st dérivabl sur t f ( ) = Or f ( ) > > > > Ainsi, la fonction f st croissant sur ] ;+[. Or f ( ) = = > donc f ( ) > pour tout d ] ;+[. > Or = + donc d après l théorèm d comparaison ds its : + = + +

6 Limit n - : On va d abord étudir = = + t X X = + donc par composition, on a : + = + Et donc = + par conséqunt, = 3. Tablau d variation t rprésntation graphiqu Notons c la courb rprésntativ d la fonction ponntill dans l plan muni d un rpèr orthonormal - + f () = + f() = Rmarqus : - La tangnt au point A( ;) a pour cofficint dirctur. - La tangnt au point B( ; ) pass par l point O - Comm =, l a ds abscisss st asymptot horizontal à c n Approimation affin d h pour h proch d La fonction ponntill st dérivabl n t (p) () = = t l équation d la tangnt au point d absciss st : y = +. Donc h h h = h h h = Il ist donc pour tout h, un fonction tll qu : h = + ( h ) avc h h ( h ) = Alors on a : h = + h + h ( h ) ainsi, h + h pour h proch d. On dit qu la fonction + st la millur approimation affin d la fonction ponntill au voisinag d. Propriété : + Démonstration : + 5. Croissancs comparés d t = + t = On a vu qu, pour tout rél, >. On put donc écrir aussi : /2 > 2 y A C f B

7 Pour rél strictmnt positif, on a /2 > > d où, n élvant au carré ( la fct carré st croissant 2 sur ) : > Or d où > ( > ) = + d où, un ds théorèms d comparaison prmt d conclur. + = + Qul qu soit l rél ; n posant X = ou d manièr équivalnt = X on a alors = X -X = X X = X X ; X X X d où X X d après l théorèm ds its composés X = Rmarqu : On rtindra qu à l infini, l ponntill l mport sur (t mêm sur tout puissanc d ). Pour ds grands valurs d, la fonction ponntill croit baucoup plus vit qu n import qull fonction puissanc d, c qui justifi l prssion du langag courant «croissanc ponntill» pour un croissanc rapid. Point-méthod 26 : Calculr ds its avc la fonction ponntill Calculr ls its suivants : a) b) + ( 2 + ) Solution : Pour calculr u ( ), on pos X = u ( ), on calcul u ( ) = l puis par composition, on déduit X X = l u ( ) a) On pos X = ( ) = + X X = + donc = + b) Pour lvr ds indétrminations, on put factorisr par + = = = Or + + = + donc donc + ( 2 + ) st un form indétrminé + = Et + = + donc + + = + Ainsi, + + = t = par produit ds its : + ( 2 + )= +

8 V. Etud d la fonction p ( u ( ) ). Dérivé L théorèm d dérivation d un fonction composé prmt d énoncr l théorèm suivant : Théorèm : Soit u un fonction dérivabl sur un intrvall I. Alors la fonction p( u ( ) ) = u ( ), st dérivabl sur I, t on a : ( u ) = u u Point-Méthod 27 : Etudir t rprésntr un fonction d la form u Soit f la fonction défini sur par : f ( ) = ² Fair l étud complèt d ctt fonction. Solution : Pour étudir d façon complèt un fonction, on doit calculr ls its, la dérivé, l sns d variation, t évntullmnt n tracr un allur. Limits : ² = ² = + X X = donc f ( ) = f ( ) = l a ds abscisss st donc + asymptot horizontal n + t - Dérivé : f ( ) = ² = u ( ) où u ( ) = ² t u ( ) = 2 Donc f ( ) = 2 ² Tablau d variation : On sait qu pour tout d, ² > donc f st du sign d 2 On a donc : f ' f ( ) + + Courb : On put tracr l allur d la courb : Ctt courb, applé «courb n cloch» ou «courb d Gauss» st utilisé dans l chapitr ds probabilités pour construir la «loi normal» qui modélis d nombru phénomèns qu on rncontr dans la natur. Ctt loi a été dévloppé par Carl Fridrich Gauss (XIXèm siècl)

9 2. Primitiv Théorèm : Soit u un fonction dérivabl sur un intrvall I. Alors la fonction u st un primitiv sur I d la fonction u ( ) u ( ) Point-méthod 28 : détrminr un primitiv avc un ponntill a) Détrminr un primitiv sur d la fonction f défini par : f ( ) = ( + ) 3 b) Détrminr un primitiv sur ] ;+[ d la fonction g défini par : g ( ) = Solution : a) On ssay d fair apparaitr u u Ici u ( ) = ² + 2 donc u ( ) = 2 + 2, on put donc écrir f ( ) = ² + 2 ( 2 + ) 2 Donc F ( ) = 2 ² + 2 st un primitiv d f sur b) On doit écrir g comm l produit d 2 fonctions, t rtrouvr u u 3 g ( ) = ² = 3 ² Ici u ( ) = 3 t u ( ) = 3 ² Donc g ( ) = 3 3 ² 3 t ainsi, G() = 3 3 st un primitiv d g sur ] ;+[ ² ² + 2