Les auteurs. Avant-propos. Remerciements. I Bases 1

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1 Les auteurs Avant-propos Remerciements v xiii xvi Quelques modes de raisonnement xvii I Exemples de propositions mathématiques xviii II L implication xxii III L équivalence xxiv IV Le raisonnement par récurrence xxv I Bases 1 1 Un peu de géométrie plane 5 I Prérequis de géométrie plane II Produit scalaire et déterminant III Les angles et leurs mesures Guide d analyse réelle 29 I Fonctions et graphes II Propriétés usuelles des fonctions III Branches infinies d un graphe IV Bijections V Continuité VI Tangente et dérivées VII Exercices Fonctions circulaires 51 I De la trigonométrie aux fonctions circulaires II Fonctions circulaires réciproques III Application à la superposition de sinusoïdes IV Exercices Logarithme, exponentielle, fonctions hyperboliques 69 I Fonctions logarithme et exponentielle II Fonctions hyperboliques III Exercices Le corps C des nombres complexes 87 I Définition des nombres complexes II La conjugaison et le module III L exponentielle complexe IV Nombrescomplexesettrigonométrie V Équations algébriques VI Exercices

2 viii 6 Symboles Σ et Π 115 I Calculer avec le symbole Σ II Séries arithmétiques et géométriques III La formule du binôme IV Sommes et produits trigonométriques V Les sommes doubles VI Les produits finis VII Exercices II Structures fondamentales Ensembles, applications et structures algébriques 139 I La notion d ensemble II Applications et fonctions III Lois de composition sur un ensemble IV Relationsbinairessurunensemble V Les ensembles N, Z et Q VI Exercices Complément 1 En traversant une rivière Dénombrement 179 I Ensembles de même cardinal II Ensembles finis III Opérationssurlescardinauxfinis IV Arrangements et combinaisons V Quelquesdénombrementsclassiques VI Ensembles infinis VII Exercices La structure de groupe 201 I Définition des groupes II Sous-groupes III Morphismes de groupes IV Ordre d un élément V Exercices Complément 1 Les groupes quotient Le groupe symétrique S 221 I Permutations d un ensemble à n éléments II Décompositionsd unepermutation III La signature d une permutation IV Exercices Complément 1 Groupes et symétrie Anneaux et corps 257 I La structure d anneau II Sous-ensembles remarquables d un anneau III Morphismes d anneaux IV Arithmétique dans un anneau intègre

3 ix V La structure de corps VI Exercices Complément 1 Un autre corps Arithmétique dans Z 279 I Divisibilité dans l anneau (Z, +, ) II La relation de congruence sur Z III Les notions de PGCD et de PPCM IV Nombres premiers V L équation diophantienne du premier degré VI Les anneaux (Z/nZ, +, ) VII Exercices Complément 1 Quelques jeux Polynômes à une indéterminée sur le corps K = R ou C 301 I L algèbre K[X] II Opérations usuelles sur les polynômes III Arithmétique dans K[X], actei IV Racines d un polynôme V Arithmétique dans K[X], acteii VI Exercices Complément 1 Des racines Fractions rationnelles 351 I Quand les polynômes deviennent inversibles II Décomposition en partie entière et partie polaire III Décomposition en éléments simples IV Exercices Complément 1 L idée de fraction III Algèbre linéaire Calcul vectoriel dans K n 383 I L espace vectoriel canonique K n II Familles libres, familles liées III Exemple : l espace des carrés magiques IV Exercices Calcul matriciel 403 I Matrices II Rang d une matrice III La méthode du pivot de Gauss IV Résolution des systèmes linéaires V Matrices particulières VI Exercices

4 x 17 Applications linéaires de K n dans K m 439 I Application linéaire définie par une matrice II Noyau, image et rang III Théorème du rang IV Exercices Espaces vectoriels et applications linéaires 453 I K-espaces vectoriels et K-algèbres II Applications linéaires III Bases. Dimension IV Exercices Représentation matricielle d une application linéaire 489 I Système de coordonnées associé à une base II Représentation d une application linéaire par une matrice III Somme directe de sous-espaces vectoriels IV Sommes directes et applications linéaires V Exercices Complément 1 Le lemme des noyaux Déterminants 529 I Volume orienté en dimension un, deux ou trois II Déterminant d une matrice III Calculs de déterminants et conséquences IV Exercices Complément1 Questionsd orientation IV Analyse La droite réelle 563 I La nécessité d enrichir le corps des rationnels II La droite réelle III Exercices Les suites réelles ou complexes 585 I Suites bornées, suites majorées, suites minorées II Suites convergentes III Opérations élémentaires sur les limites IV Ordre total et suites réelles convergentes V Critère de Cauchy VI Extension de la notion de limite VII Limite sup et limite inf VIII Les valeurs d adhérence d une suite IX Exercices Complément 1 Jeux et intérêts Complément 2 Les suites homographiques Complément 3 Construction de R

5 xi 23 Représentation et approximation des réels 627 I Développement d un réel dans une base donnée II Exercices Complément 1 Fractions continuées Complément 2 Les gammes La notion générale de fonction en analyse 659 I La notion moderne de fonction II Quelques propriétés des fonctions de R dans R Complément 1 Historique Complément 2 Des constructions Les fonctions continues 681 I Limite d une fonction en un point II Continuité d une fonction III Propriétés globales des fonctions continues IV Comparaison des fonctions V Exercices Les fonctions dérivables 721 I Définitions générales et premières propriétés II Lethéorèmedesaccroissementsfinis III Cas des fonctions à valeurs complexes IV Application : retour sur les suites u n+1 = f(u n ) V Exercices Les fonctions intégrables 757 I Intégrale d une fonction en escalier II Fonctions Riemann-intégrables III Primitives et intégrales IV Deux méthodes de transformation des intégrales V Sommes de Riemann et de Darboux VI Méthodes usuelles d intégration VII Lecalculdeslongueursdescourbesplanes VIII Exercices Retour sur les fonctions élémentaires 795 I Logarithmes et exponentielles II Fonctions hyperboliques et leurs inverses III Fonctionstrigonométriquesetinverses IV Les fonctions comme solutions d équations V Exercices Dérivées d ordre supérieur et applications 841 I Dérivées successives II Fonctions convexes et dérivation III Les formules de Taylor IV Les développements limités et leurs applications V Exercices Complément 1 Fonction étranges Complément 2 Convexité

6 xii V Calcul différentiel Initiation au calcul différentiel 889 I Arcsplansetcourbesplanes II Étude des courbes planes III Les courbes en coordonnées polaires IV Continuitédesfonctionsà2ou3variables V Calcul différentiel à 2 et 3 variables VI Exercices Équations différentielles ordinaires 943 I Équations linéaires du premier ordre II Équations linéaires d ordre deux III Exercices VI Solutions des tests 968 VII Solutions des exercices 998 Index 1069