Mathématiques I Section Architecture, EPFL

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1 Examen, semestre d hiver Mathématiques I Section Architecture, EPFL Chargé de cours: Gavin Seal Instructions: Mettez votre nom et votre numéro Sciper sur chaque page de l examen. Faites de même avec les feuilles de brouillon supplémentaires, que vous glisserez à la fin de l épreuve entre les pages de ce cahier. Pour chaque question, expliquez clairement votre démarche et mettez le résultat final en évidence. Le raisonnement et les détails de calculs sont au moins aussi important que la solution dans l attribution des points. Simplifiez vos réponses et donnez des valeurs exactes (à l aide de fractions, de racines, et de constantes mathématiques). Les réponses illisibles ne seront pas comptabilisées. Si votre réponse ne tient pas dans l espace attribué à la suite de chaque Problème, indiquez clairement où se situe la suite (sur quelle feuille de brouillon, ou au dos de quelle page). Matériel autorisé: Tables Crm (édition G d encre) et dictionnaire de langues (version imprimée), sans autres annotations qu un surlignage éventuel. Pas d autres documents, pas de machine à calculer. Pr. 1. Pr. 2. Pr. 3. Pr. 4. Pr. 5. Pr. 6. Total 1 le 27 janvier 2014

2 Problème 1. Démontrer par récurrence que pour tout entier n 1, on a l égalité e 2 (e 2 ) 3 (e 3 ) 4... (e n ) n+1 = 3 e n (n+1) (n+2). 2 le 27 janvier 2014

3 Problème 2. On considère la face rectangulaire, de longueur u = 4 [dm] et de largeur v = 2 [dm], d un panneau préfabriqué. Trouver les longueurs a et b des côtés d une ouverture rectangulaire d aire la moitié de l aire du rectangle d origine, de telle sorte que le cadre soit de largeur constante. v b u a 3 le 27 janvier 2014

4 Problème 3. (a) Donner la valeur y dans y = arcsin( 3 2 ). (b) Donner la mesure en radians de l angle α = 84. (c) Calculer sin( 13π 12 ) avec la formule du demi-angle. (d) Calculer sin( 13π 12 ) avec la formule de la somme (ou la différence) des angles. 4 le 27 janvier 2014

5 Problème 4. Calculer les dérivées des fonctions suivantes: (a) a(x) = 1 x 2 ; (b) b(x) = ln(x ln(x)); (c) c(x) = cos(arctan(x)). (d) d(x) = x 3x. 5 le 27 janvier 2014

6 Problème 5. Un particulier fait construire une villa avec des terrasses ayant sur plan la forme d une portion de disque de rayon r[m] et d angle α[rad]: r α (a) Donner l aire d une telle surface, ainsi que son périmètre. (b) Une de ces terrasses aura une aire de 50[m 2 ]; déterminer le rayon et l angle qui donneront un périmètre minimal à la terrasse. (Indication: commencer par exprimer α en fonction de r.) (c) Donner un argument mathématique justifiant que les dimensions données en (b) donnent bien des dimensions minimales à la terrasse (et non, par exemple, maximales). 6 le 27 janvier 2014

7 Problème 6. Soit f(x) = x 3 3x (a) Calculer 0 f(x) dx. (b) Donner les coordonnées des maxima et minima locaux de f(x) (indiquer clairement lesquels sont des maxima locaux et lesquels sont des minima locaux). (c) La courbe y = f(x) intersecte la droite y = 2 en trois points A = (a 1, a 2 ), B = (b 1, b 2 ), et C = (c 1, c 2 ) (avec a 1 b 1 c 1 ); calculer les coordonnées de ces points. (d) Calculer l aire comprise entre les deux courbes y = f(x) et y = 2 pour x allant de b 1 à c 1. 7 le 27 janvier 2014

8 8 le 27 janvier 2014

9 9 le 27 janvier 2014

10 10 le 27 janvier 2014

11 Formulaire Le polynôme d interpolation passant par les points (0, y 0 ), (1, y 1 ), (2, y 2 ),..., (n, y n ) est p(x) = y 0 + x 1 y 0 + Les formules de demi-angle sont: x(x 1) 2 y x(x 1)... (x n + 1) n y n sin( x 2 ) = ± 1 cos(x) 2, cos( x 2 ) = ± 1+cos(x) 2. Les formules de transformation de produit de fonctions trigonométriques en somme sont: sin(x) cos(y) = 1 2 (sin(x y) + sin(x + y)), sin(x) sin(y) = 1 2 (cos(x y) cos(x + y)), cos(x) cos(y) = 1 2 (cos(x y) + cos(x + y)). Les formules de transformation de somme de fonctions trigonométriques en produit sont: sin(u) + sin(v) = 2 sin( u+v u v 2 ) cos( cos(u) + cos(v) = 2 cos( u+v u v 2 ) cos( cos(u) cos(v) = 2 sin( u+v 2 Les dérivées des fonctions trigonométriques inverses sont: arcsin (x) = 1 1 x 2, arccos (x) = La série de Taylor en x 0 d une fonction f est: 2 ) 2 ) ) sin( u v 2 ). 1 1 x 2, arctan (x) = x 2 f(x) = f(x 0 ) + (x x 0) 1! f (x 0 ) + (x x 0) 2 2! f (x 0 ) + (x x 0) 3 3! f (x 0 ) le 27 janvier 2014