IV. THÉORÈME CHINOIS ET APPLICATIONS, MODULES SUR LES ANNEAUX PRINCIPAUX

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1 IV. THÉORÈME CHINOIS ET APPLICATIONS, MODULES SUR LES ANNEAUX PRINCIPAUX Séances des 30, 31 octobre et 6 novembre 12. Théorème chinois et applications Idéaux étrangers. Soient A un anneau commutatif et I 1,..., I m des idéaux de A, non nécessairement distincts. Commençons par rappeler les définitions suivantes, déjà vues dans le 3.3. Définition 12.1 (Sommes et produits d idéaux). 1) On note I I m l idéal formé des sommes x x m, où x j I j pour j = 1,..., m. 2) On note I 1 I m l idéal engendré par les produits x 1 x m, où x j I j pour j = 1,..., m. C est l ensemble des sommes finies de tels produits. 3) On observe que si chaque I j est principal, c.-à-d., I j = (a j ), alors I 1 I m est l idéal engendré par a 1 a m. 4) Si I 1,..., I m sont tous égaux à I, on obtient l idéal I m, formé des sommes finies arbitraires de produits de m éléments de I : { } I m = x1 x m x i I. Remarque ) On prendra garde que, en général, I m est strictement plus grand que l idéal engendré par les puissances m-ièmes d éléments de I. Par exemple, si A = R[X, Y] et si I est l idéal engendré par X et Y, alors I 2 est engendré par X 2, XY et Y 2, et XY n est pas un carré. 2) On a toujours I 1 I m I 1 I m, et l inclusion est en général stricte (prendre, par exemple, I j = (a), pour tout j). (0) Version du 2/11/06

2 104 THÉORÈME CHINOIS, MODULES SUR UN ANNEAU PRINCIPAL Définition 12.3 (Idéaux étrangers). Soient I 1,..., I n des idéaux de A. 1) On dit que I 1,..., I n sont étrangers (ou «premiers entre eux» ) si l on a I I n = A. 2) On dit que I 1,..., I n sont étrangers deux à deux si I r et I s sont étrangers, pour tout r s. Remarque On prendra garde à ne pas confondre ces deux notions. Si n 3, la deuxième condition est beaucoup plus forte que la première! Pour éviter les confusions, on dira parfois dans le premier cas que I 1,..., I n sont étrangers «dans leur ensemble». Lemme On suppose que I est étranger à J 1,..., J m (on ne suppose pas les J i nécessairement distincts). Alors I est étranger à J 1 J m. Démonstration. Par hypothèse, il existe, pour i = 1,..., m, des éléments x i I et y i J i tels que x i + y i = 1. Alors m 1 = (x i + y i ), i=1 et en développant ce produit on obtient le terme y 1 y m qui appartient à J 1 J m, et une somme de termes qui contiennent au moins un x i donc appartiennent à I. Ceci prouve le lemme. Corollaire Supposons I 1,..., I n étrangers deux à deux, et soient m 1,..., m n des entiers 1. 1) On a I 1 I n = I 1 I n. 2) I m 1 1,..., Im n n sont étrangers deux à deux. 3) Posons, pour k = 1,..., n, J k = j k I m j j ; alors J J n = A, c.-à-d., J 1,..., J n sont étrangers «dans leur ensemble». Démonstration. Dans 1), il suffit de montrer l inclusion, puisque l autre est évidente. On va prouver les assertions 1) et 2) par récurrence sur n. Supposons d abord n = 2. Par hypothèse, il existe x 1 I 1 et x 2 I 2 tels que x 1 + x 2 = 1. Alors, pour tout a I 1 I 2, l on a : a = a 1 = ax 1 + ax 2 I 1 I 2, d où I 1 I 2 = I 1 I 2. D autre part, d après le lemme précédent, I 1 est étranger à I m 2 2, puis Im 2 2 est étranger à I m 1 1, ce qui prouve 2) dans le cas n = 2.

3 12. THÉORÈME CHINOIS ET APPLICATIONS 105 Supposons n 3 et les deux assertions établies pour n 1. Par hypothèse de récurrence, I 2 I n = I 2 I n, et, d après le lemme, cet idéal est étranger à I 1. On a donc I 1 I n = I 1 (I 2 I n ) = I 1 I 2 I n, ce qui prouve 1). D autre part, par hypothèse de récurrence, I m 2 2,..., Imn n sont étrangers deux à deux. De plus, d après le cas n = 2, chaque I m k k est étranger avec I m 1 1. L assertion 2) est démontrée. Démontrons l assertion 3). D abord, I m 1 1,..., Imr r sont étrangers deux à deux, d après l assertion 2). Donc, sans perte de généralité, on peut se limiter au cas où m k = 1 pour tout k. Pour chaque k, I k et J k sont étrangers, d après le lemme 12.5, donc il existe x k I k et y k J k tels que 1 = x k + y k. On obtient donc n 1 = (x k + y k ). k=1 Développons le produit : les termes qui contiennent un y k appartiennent à J k et donc à J J r ; le seul autre terme est x 1 x r, qui appartient à J k pour tout k. Ceci montre que 1 J J r, ce qui termine la preuve du corollaire. Remarque a) On voit facilement que si un idéal premier P contient un produit d idéaux J 1 J r, alors il contient l un des J k. b) En utilisant a) et le corollaire 5.18 (existence d idéaux maximaux), on peut démontrer le point 2) du corollaire de façon plus conceptuelle. Supposons en effet qu il existe r s tels que I mr r et Is ms ne soient pas étrangers. Alors I m r r + I m s s est un idéal propre, donc est contenu dans un idéal maximal m. Comme m est premier et contient I m r r et I m s s, il contient I r et I s, ce qui contredit l hypothèse I r + I s = A Théorème chinois des restes. Définition 12.8 (Produits d anneaux). Soit (A i ) i I une famille d anneaux. Le groupe abélien i I A i est muni d une structure d anneau, où la multiplication est définie coordonnée par coordonnée : (a i ) i I (b i ) i I = (a i b i ) i I L élément neutre, noté 1, est la famille (a i ) i I telle que a i = 1 pour tout i I. Si I est fini, disons I = {1,..., n}, cet anneau se note A 1 A n ou A 1 A n.

4 106 THÉORÈME CHINOIS, MODULES SUR UN ANNEAU PRINCIPAL Théorème 12.9 (Théorème chinois des restes). On suppose I 1,..., I n étrangers deux à deux. Alors le morphisme naturel ψ : A A/I 1 A/I n induit un isomorphisme A/(I 1 I n ) n A/I r. Démonstration. Il est clair que Ker ψ = n r=1 I r. On va établir l isomorphisme annoncé par récurrence sur n. Commençons par remarquer que, pour démontrer la surjectivité de ψ, il suffit de trouver ε 1,, ε n A tels que ψ(ε r ) = (0,..., 0, 1, 0,..., 0) (où 1 est à la r-ième place), car alors un élément arbitraire (a 1,..., a n ) sera l image de a 1 ε a n ε n. Supposons n = 2. Par hypothèse, il existe x 1 I 1 et x 2 I 2 tels que x 1 + x 2 = 1. Alors 1 x 1 = x 2 appartient à 1 + I 1 et à I 2 et donc on peut prendre ε 1 = 1 x 1, et de même ε 2 = 1 x 2. Ceci prouve le théorème dans le cas n = 2. Supposons n 3 et le théorème établi pour n 1. D après le lemme 12.5 et le corollaire 12.6, I 2 I n égale I 2 I n et est étranger à I 1. Donc, d après le cas n = 2, la projection induit un isomorphisme (1) A/(I 1 I n ) r=1 A A/I 1 A/(I2 I n ) A/I 1 A/(I2 I n ). De plus, par hypothèse de récurrence, la projection A n r=2 A/I r induit un isomorphisme (2) A/(I 2 I n ) n A/I r. En composant les isomorphismes (1) et (2), on obtient l isomorphisme annoncé. Ceci prouve le théorème Annulateurs et modules de torsion. Soit M un A-module. r=2 Définition (Annulateurs). Soit m M. On pose : Ann(m) = {a A am = 0}, Ann(M) = {a A x M, ax = 0}. Ce sont des idéaux de A. De plus, si (x i ) i I est un système de générateurs de M (fini ou infini), on voit facilement que Ann(M) = Ann(x i ). x M Ann(x) = i I

5 12. THÉORÈME CHINOIS ET APPLICATIONS 107 Définition M est un A-module de torsion si Ann(m) (0), pour tout m M. Lemme Supposons A intègre et soit M un A-module de torsion et de type fini. Alors Ann(M) (0). Démonstration. Soit x 1,..., x n un système fini de générateurs de M. Comme M est de torsion, I k := Ann(x k ) est non nul, pour tout k. Alors Ann(M) = I 1 I n est non nul, car il contient I 1 I n, qui est (0) puisque A est intègre. Exercice Le Z-module quotient Q/Z est de torsion mais pas de type fini, et l on a Ann(Q/Z) = 0. Définition Soit M un A-module. On note M tors = {m M Ann(m) (0)} l ensemble des éléments de torsion de M. On dit que M est sans torsion si M tors = (0). Définition et proposition (Sous-module de torsion). Si A est intègre, alors : 1) M tors est un sous-module de M, appelé le sous-module de torsion. 2) Le module quotient M/M tors est sans torsion. Démonstration. Soient m, m M tors et b A\{0}. Par hypothèse, il existe a, a A\{0} tels que am = 0 = a m. Comme A est intègre, aa 0 et ba 0 et donc les égalités 0 = (aa )(m m ) et (ba)m = 0 montrent que m m et bm appartiennent à M tors. Ceci prouve 1). Prouvons 2). Soient m M et b A \ {0} tels que bπ(m) = 0, où π désigne la projection M M/M tors. Alors bm M tors, donc il existe a A \ {0} tel que abm = 0. Comme ab 0 (puisque A est intègre), ceci implique m M tors, d où π(m) = 0. La proposition est démontrée Modules se décomposant en composantes primaires. Soit I = (I λ ) λ Λ une famille d idéaux de A, deux à deux étrangers. Soit M un A-module. Définition Pour tout λ Λ, on pose M λ := {m M n 1 tel que I n λ m = 0}; c est un sous-module de M, qu on appelle composante λ-primaire de M. Lemme La somme des sous-modules M λ, pour λ Λ, est une somme directe.

6 108 THÉORÈME CHINOIS, MODULES SUR UN ANNEAU PRINCIPAL Démonstration. Soient λ 1,..., λ r Λ, deux à deux distincts. Supposons qu on ait une égalité x 1 = x x r, où x k M λk pour tout k. Alors, il existe des entiers n 1,..., n r 1 tels que I n k λ k x k = 0, pour k = 1,..., r. Alors x 1 = x x r est annulé par I n 1 λ 1 et par I n 2 λ 2 I nr λ r. Or, ces deux idéaux sont étrangers, d après le corollaire Ceci entraîne m 1 = 0, et le lemme en découle. Pour un A-module arbitraire, il peut fort bien arriver que M λ = (0) pour tout λ Λ. C est le cas, par exemple, si A est intègre et M sans torsion! Définition On dira que M est un A-module de I -torsion si tout m M est annulé par un produit fini ( ) I n 1 λ 1 I n r λ r. Théorème (Décomposition des modules de I -torsion) Soit I = (I λ ) λ Λ une famille d idéaux de A, deux à deux étrangers, et soit M un A-module de I -torsion. Alors : 1) M = λ Λ M λ. 2) Si de plus M est de type fini, la somme ci-dessus est une somme finie, c.-à-d., il existe λ 1,..., λ r Λ tels que r M = M λi, i=1 et M λ = (0) si λ {λ 1,..., λ r }. De plus, chaque M λi est de type fini et est annulé par une certaine puissance I n i λ i de I λi. Démonstration. 1) On a déjà vu que la somme est directe. Montrons qu elle vaut M. Soit m M. Il est annulé par un certain produit fini ( ). Pour k = 1,..., r, posons J k = I n j λ j. j k D après le corollaire 12.6, J 1,..., J r sont étrangers, donc on peut écrire 1 = y y r, où y k J k. Chaque y k m est annulé par I n k k, donc appartient à M λ k. De plus, on a m = 1 m = y 1 m + + y r m. Ceci prouve la première assertion.

7 12. THÉORÈME CHINOIS ET APPLICATIONS 109 Supposons de plus que M soit engendré par un nombre fini d éléments x 1,..., x n. Chaque x i a des composantes x i,λ non nulles seulement pour λ dans un ensemble fini d indices Λ i. Alors Λ 1 Λ n est un ensemble fini {λ 1,..., λ r }, et l on a r M = M λi. i=1 En comparant avec 1), on obtient M λ = (0) si λ n est pas l un des λ i. Enfin, chaque M λi, étant un quotient de M, est de type fini et est donc annulé par une certaine puissance I n i λ i de I λi. Le théorème est démontré. Exemples ) Dans le paragraphe suivant on déduira du théorème précédent un théorème de structure pour les modules de torsion sur un anneau principal. 2) Voici un autre exemple important. Soit k un corps et soit A une k- algèbre de dimension finie. Alors, on peut montrer que A n a qu un nombre fini d idéaux premiers, tous maximaux : m 1,..., m r et qu il existe des entiers m i 1 tels que (0) = m m 1 1 m mr r = m m 1 1 m mr r. Donc, A est un A-module de I -torsion, où I = {m m 1 1,..., mm r r }. Il résulte donc du théorème précédent que A = r A i, où A i = {a A a m m i i = 0}. i=1 D autre part, on peut aussi montrer (cf. Problème 2) que chaque A i est isomorphe au localisé A mi et l on obtient un isomorphisme d anneaux A = A m1 A mr. (Une k-algèbre de dimension finie est le produit de ses localisés en ses idéaux maximaux.) Décomposition primaire des modules de torsion sur un anneau principal. Soit A un anneau principal. Définition (Idéaux maximaux de A). Notons P l ensemble des idéaux (p), où p est irréductible ; ce sont les idéaux maximaux de A (Th ). En particulier, les éléments de P sont deux à deux étrangers. Remarque P est en bijection avec l ensemble des classes d équivalence d éléments irréductibles de A, pour la relation p p si p et p sont associés.

8 110 THÉORÈME CHINOIS, MODULES SUR UN ANNEAU PRINCIPAL Lemme Tout idéal propre I (0) s écrit de façon unique comme un produit p 1 p n d éléments de P. Démonstration. Soit a un générateur de I et a = p 1 p n sa décomposition en facteurs irréductibles. Posant p i = (p i ), on obtient p 1 p n = (p 1 ) (p n ) = (a). Ceci prouve l existence. D autre part, supposons ( ) (a) = q 1 q s, avec q i P. Alors q i = (q i ), avec q i irréductible, et ( ) entraîne : a = u q 1 q s, avec u inversible. L unicité de la décomposition en facteurs irréductibles entraîne que s = n et que, quitte à renuméroter, q i et p i sont associés, c.-à-d., (q i ) = (p i ), pour i = 1,..., n. Ceci prouve l unicité. Définition (Composantes primaires). 1) Soient M un A-module et p A un élément irréductible. On pose M(p) := {m M n 1 tel que p n m = 0}. C est un sous-module de M tors, appelé la composante p-primaire. 2) On dit que M est p-primaire s il est égal à M(p). 3) Soit p = (p). On désignera aussi M(p) par M(p) et l on dira que c est la composante p-primaire de M. Lemme Soit M un A-module p-primaire. 1) Pour tout x M \ {0}, on a Ann(x) = (p n ), pour un certain n 1. 2) Si M est de type fini, alors Ann(M) = (p n ), pour un certain n 1. Démonstration. Posons Ann(x) = (a) ; c est un idéal propre, puisque x 0. D autre part, par hypothèse, il existe t 1 tel que p t x = 0. Donc p t (a) et donc a divise p t. Comme p est irréductible, on obtient que a est associé à un certain p n, avec 1 n t. Ceci prouve la première assertion. Supposons de plus que M soit engendré par des éléments x 1,..., x r. Posons Ann(x i ) = (p n i ), pour tout i. Alors r Ann(M) = Ann(x i ) = (p n ), i=1 où n = max(n 1,..., n r ). Ceci prouve le lemme. Lemme Soit M un A-module. La somme des sous-modules M p, pour p P, est une somme directe.

9 12. THÉORÈME CHINOIS ET APPLICATIONS 111 Démonstration. C est une conséquence du lemme Répétons la démonstration, pour la commodité du lecteur. Soient p 1,..., p r P, deux à deux distincts. Supposons qu on ait une égalité x 1 = x x r, où x k M pk pour tout k. Il existe des entiers n 1,..., n r 1 tels que p n k k x k = 0, pour k = 1,..., r. Alors x 1 = x x r est annulé par p n 1 1 et par p n 2 2 pn r r. Or, ces deux idéaux sont étrangers, d après le corollaire Ceci entraîne x 1 = 0, et le lemme en découle. Théorème (Décomposition primaire des modules de torsion sur un anneau principal) Soient A un anneau principal et M un A-module de torsion. Alors 1) M = p P M(p). 2) Supposons de plus M de type fini et soit Ann(M) = p n 1 1 pnr r la décomposition de son annulateur en produits d idéaux maximaux. Alors, r M = M(p i ), i=1 et l on a Ann M(p i ) = p n i i, pour i = 1,..., r. Démonstration. Ceci découle du théorème 12.19, combiné avec le lemme Pour la commodité du lecteur, répétons la démonstration, sans faire référence au théorème ) On a déjà vu que la somme des M(p) est directe. Montrons qu elle vaut M. Soit m M, non nul. Comme M est de torsion, Ann(m) est non nul donc, d après le lemme 12.23, on a p n 1 1 pn r r où p 1,..., p r P sont deux à deux distincts. Pour k = 1,..., r, posons J k = j k p n j j. D après le corollaire 12.6, les idéaux J 1,..., J r sont étrangers dans leur ensemble, donc on peut écrire 1 = y y r, avec y k J k. Chaque y k m est annulé par p n k k, donc appartient à M(p k). De plus, on a m = 1 m = y 1 m + + y r m.

10 112 THÉORÈME CHINOIS, MODULES SUR UN ANNEAU PRINCIPAL Ceci prouve 1). 2) Supposons de plus que M soit engendré par un nombre fini d éléments x 1,..., x n. Chaque x i a des composantes x i,p non nulles seulement pour p dans un sous-ensemble fini P i de P. La réunion de ces sous-ensembles est un sous-ensemble fini {p 1,..., p r } de P, et l on a r M = M(p i ). i=1 De plus, chaque M(p i ), étant un quotient de M, est de type fini, donc Ann M(p i ) = p n i i, pour un certain n i 1, d après le lemme Par conséquent, Ann(M) = r i=1 pn i i, et comme les p i sont deux à deux étrangers, on obtient Ann(M) = p n 1 1 pn r r. Ceci achève la preuve du point 2). Le théorème est démontré. Corollaire (Décomposition des fractions sur un anneau principal ou euclidien) Soient A un anneau principal et K son corps des fractions. 1) Le A-module K/A est de torsion et sa décomposition primaire est la suivante : K/A = A[ 1 p ]/A, (p) P où A[ 1 p ] = { a p n n 1, a A} = n 0 1 p n A. 2) Si A est euclidien, relativement à ρ : A \ {0} N, alors tout x A[ 1 p ] s écrit comme une somme finie r a i ( ) x = a + p i, où a, a i A et ρ(a i ) < ρ(p) si a i 0. De plus, cette écriture est unique si ρ vérifie la condition ci-dessous : ( ) ρ(a b) max{ρ(a), ρ(b)} ρ(ab), a, b A \ {0}. (Si a = b, on convient que ρ(0) = ). Démonstration. D abord, K/A = (p) P(K/A)(p), d après le théorème précédent. Notons π la projection K K/A. Pour tout t K, on a L assertion 1) en découle. i=1 π(t) (K/A)(p) n 1 tel que p n t = a A.

11 12. THÉORÈME CHINOIS ET APPLICATIONS 113 2) On convient que ρ(0) =. Montrons par récurrence sur n que tout x 1 p n A s écrit x = n 1 i=0 a i p n i + a n, où a 0,..., a n A et ρ(a i ) < ρ(p) pour i = 0,..., n 1. C est clair si n = 0. Supposons n 1 et le résultat établi pour n 1. Soit x = a/p n, où a A. Comme (A, ρ) est euclidien, il existe a, a 0 A tels que a = pa + a 0 et ρ(a 0 ) < ρ(p). Alors, d une part, (1) a p n = a 0 p n + a p n 1. D autre part, par hypothèse de récurrence, il existe a 1,..., a n A vérifiant ρ(a i ) < ρ(p) et (2) a n 1 p n 1 = a i p n i + a n. i=1 En combinant (1) et (2), on obtient le résultat au cran n. Ceci prouve l existence. Supposons maintenant que ρ vérifie la condition ( ). Pour montrer l unicité annoncée, il suffit de montrer que si l on a une égalité (3) a 0 + a 1 p + + a n p n = b 0 + b 1 p + + b n p n, avec a 0, b 0,..., a n, b n A et ρ(p) > ρ(a i ), ρ(b i ) pour i = 0,..., n 1, alors a i = b i pour tout i. Procédons par récurrence sur n. C est clair si n = 0. Supposons n 1 et l assertion établie pour n 1. Il résulte de (3) que a 0 b 0 = pα, avec α A. Si on avait α 0, on aurait ρ(p) ρ(pα) = ρ(a 0 b 0 ) max{ρ(a 0 ), ρ(b 0 )} < ρ(p), une contradiction. Donc a 0 = b 0, et (3) entraîne a a n p n 1 = b b n p n 1. Par hypothèse de récurrence, on conclut que b i = a i pour tout i. Le corollaire est démontré. Remarque L hypothèse ( ) sur ρ entraîne l unicité du quotient et du reste dans la division euclidienne, cf. la démonstration ci-dessus. Corollaire (Décomposition des fractions rationnelles en éléments simples) Soient k un corps et k(x) le corps des fractions rationnelles sur k. Notons P l ensemble des polynômes irréductibles unitaires de k[x].

12 114 THÉORÈME CHINOIS, MODULES SUR UN ANNEAU PRINCIPAL 1) Tout élément F k(x) s écrit de façon unique comme une somme finie F = E + a P,j P j, P P j 1 avec E et les a P,j dans k[x], nuls sauf pour un nombre fini d indices, et deg(a P,j ) < deg P pour tout P et j. 2) En particulier, si k est algébriquement clos, disons si k = C, alors F = E + a λ,j (X λ) j, λ C j 1 où E C[X] et a λ,j C. 3) Si k = R, tout F R(X) se décompose en : F = E + a λ,j (X λ) j + α (b,c), j X + β (b,c), j (X 2 bx + c) j λ R j 1 j 1 où E R[X] et a λ,j, α (b,c), j, β (b,c), j R. b,c R b 2 <4c Démonstration. Le point 1) résulte du corollaire précédent, puisque l application deg : k[x] \ {0} N vérifie l hypothèse ( ). Alors, les points 2) et 3) découlent de la description des polynômes irréductibles unitaires sur C, resp. sur R. Remarque Dans Q, et a fortiori dans Q/Z, on a l égalité = Ceci s explique par le fait que dans Z[ 1 2 ]/Z et Z[ 1 3 ]/Z on a les égalités et La valeur absolue Z N ne vérifie pas la condition ( ) car, par exemple 1 1 = 2 > max{ 1, 1 }. De même, dans la division euclidienne par un entier n > 0, la condition r < n ne suffit pas à déterminer uniquement le reste ; on a unicité seulement si l on impose à r de vérifier 0 r < n. 13. Modules de type fini sur un anneau principal Rang d un module libre de type fini. Dans ce paragraphe, A est un anneau commutatif (0) arbitraire. Soit M un A-module de type fini. Commençons par l observation suivante. Lemme Si M est un A-module libre, alors toute base de M est formée d un nombre fini d éléments.

13 13. MODULES DE TYPE FINI SUR UN ANNEAU PRINCIPAL 115 Démonstration. Soient x 1,..., x r des générateurs, et supposons que (b i ) i I soit une base de M. Chaque x s s écrit comme une combinaison linéaire finie des b i, et donc il existe un sous-ensemble fini J de I tel que x 1,..., x r soient combinaisons linéaires des b j, pour j J. Ceci entraîne que I = J est fini. En effet, s il existait i I \ J, alors b i serait combinaison linéaire des x s et donc des b j, pour j J, contredisant l indépendance linéaire de {b i } {b j j J}. Ceci prouve le lemme. Donc, tout A-module libre de type fini est de la forme A n, pour un certain n 1. L entier n est entièrement déterminé, d après la proposition suivante. Proposition Soit A un anneau commutatif 0. Si l on a un isomorphisme de A-modules A m A n, alors m = n. Démonstration. Supposons qu il existe des isomorphismes réciproques : A m φ A n ψ A m. Soient (e 1,..., e m ) et (f 1,..., f n ) les bases standard de A m et A n. Alors φ et ψ sont représentés par des matrices et l on a P M n,m (A), Q M m,n (A) ( ) QP = I m et PQ = I n. Comme A est un anneau commutatif 0, il possède un idéal maximal m et le quotient A/m est un corps k. Soit π la projection A k. Pour toute matrice C M r,s (A), notons π(c) la matrice dont les coefficients sont les π(c i,j ) ; on dit que π(c) est obtenue (à partir de C) par réduction modulo m. On voit facilement que la réduction commute au produit des matrices, c.-à-d., pour tout C M s,t (A) on a l égalité suivante dans M s,t (k) : π(cc ) = π(c)π(c ). Par conséquent, ( ) entraîne π(p)π(q) = I n et π(q)π(p) = I m ; donc π(p) induit un isomorphisme k m k n, donc ces deux k-espaces vectoriels ont même dimension, d où m = n. Définition Soit M (0) un A-module libre de type fini. L unique entier n tel que M = A n s appelle le rang de M et se note rang M. Alors, toute base de M est formée de n éléments. On a, de plus, la caractérisation suivante du rang.

14 116 THÉORÈME CHINOIS, MODULES SUR UN ANNEAU PRINCIPAL Théorème 13.4 (Rang d un module libre de type fini). Soit M (0) un A- module libre de type fini. 1) Soient m un idéal maximal de A et k = A/m. Alors, rg M = dim k M A k = dim k M/mM. 2) Si A est intègre, soit K son corps des fractions. Alors rg M = dim K M A K. Démonstration. Posons n = rg M. Alors, M = A n. Soit B une A-algèbre arbitraire. Comme le produit tensoriel commute aux sommes directes (7.36), et comme A A B = B (8.6), on obtient que M A B = B n et ceci est un isomorphisme de B-modules. Appliquant ceci lorsque B est un corps A/m, ou le corps des fractions de A si A est intègre, on obtient le théorème. Remarque On peut aussi démontrer le théorème précédent en utilisant l algèbre extérieure A (M). En effet, d après la proposition 9.13, si n = rang M l on a : n A (M) = A et i A (M) = 0 si i > n. Ceci montre que n est uniquement déterminé par M. Pour plus de détails sur l algèbre extérieure, le lecteur pourra consulter aussi [BM, IV.2]. Remarque Le théorème n est pas vrai pour les anneaux non commutatifs. En effet, soient k un corps, V un k-espace vectoriel de dimension dénombrable (par exemple V = k[x]) et soit R l anneau des endomorphismes de V. On voit facilement que V = V V, et l on peut en déduire que R = R 2 comme R-module à gauche. Pour un anneau non-commutatif, il existe aussi des idéaux bilatères maximaux, mais l anneau quotient n est pas un corps en général ; c est ici qu intervient la différence avec le cas commutatif Modules d homomorphismes et module dual. Définition ) Soient M, N deux A-modules, φ, φ Hom A (M, N) et a A. On note φ + φ, resp. aφ, l application M N qui à tout m M associe φ(m) + φ (m), resp. aφ(m). Alors φ + φ et aφ sont des A-morphismes ; on obtient ainsi une structure de A-module sur Hom A (M, N). 2) Dans le cas particulier où N = A, on pose M = Hom A (M, A) ; on l appelle le module dual de M.

15 13. MODULES DE TYPE FINI SUR UN ANNEAU PRINCIPAL 117 Proposition Soient M, M, N des A-modules. On a un isomorphisme de A-modules : Hom A (M M, N) Hom A (M, N) Hom A (M, N), φ (φ M, φ M ), où φ M et φ M désignent les restrictions de φ à M et M. En particulier, pour N = A, on obtient (M M ) = M M. Démonstration. On voit facilement que φ (φ M, φ M ) est un morphisme de A-modules ; il en est de même de l application qui à un couple de morphismes ψ : M N et ψ : M N associe le morphisme ψ + ψ : M M N défini par (ψ + ψ )(m + m ) = ψ(m) + ψ(m ). Il est clair que ces deux applications sont des bijections réciproques. Ceci prouve la proposition. Remarque Supposons A intègre. Si M est un A-module de torsion, alors M = (0). En effet, soit φ M. Pour tout m M, φ(m) A est un élément de torsion, donc nul puisque A est supposé intègre. Donc φ = 0, ce qui montre que M = (0). Par exemple, pour tout n > 1, le dual du Z-module Z/nZ est nul. Ceci montre qu en général on perd de l information en passant de M à M. Toutefois, pour les modules libres on a le résultat suivant. Proposition (Dual d un module libre de rang fini). Soit M un A-module libre de rang n, et soit (e 1,..., e n ) une base de M. Pour tout i, notons e i l élément de M défini par e i (a 1e a n e n ) = a i. Alors (e 1,..., e n) est une base de M, appelée la base duale. De plus, le morphisme canonique M M est un isomorphisme. Démonstration. D une part, e 1,..., e n sont linéairement indépendants, car si f = a 1 e a ne n = 0, alors 0 = f(e i ) = a i pour tout i. De même, e 1,..., e n engendrent M car f = f(e 1 )e f(e n)e n, pour tout f M. Il en résulte que (e 1,..., e n) est une base de M. Notons (e 1,..., e n ) sa base duale dans M. Alors le morphisme naturel M M envoie chaque e i sur e i, donc est un isomorphisme Structure des modules de type fini sur un anneau principal. Désormais, on suppose A principal. On a le théorème fondamental suivant, dont la démonstration occupera le reste de la section 13. Théorème (Structure des modules de type fini sur un anneau principal) Soit A un anneau principal.

16 118 THÉORÈME CHINOIS, MODULES SUR UN ANNEAU PRINCIPAL 1) Soient n 1 et N un sous-module non nul du A-module libre A n. Alors, N est libre de rang r n et il existe : une base (e 1,..., e n ) de A n ; a 1,..., a r A \ {0} vérifiant a i a i+1 pour i = 1,..., r 1; tels que (a 1 e 1,..., a r e r ) soit une base de N, et les idéaux (a r ) (a 1 ) sont uniquement déterminés par N. 1 ) De plus, le sous-module de A n engendré par e 1,..., e r ne dépend que de N, et égale N = {x A n a A \ {0} tel que ax N}. 2) Soit M un A-module de type fini. Il existe r, s 0 et des éléments non nuls a 1,..., a r de A vérifiant a i a i+1 pour i = 1,..., r 1, tels que (1) (2) (3) M tors = A/(a 1 ) A/(a 2 ) A/(a r ); Ann(M tors ) = (a r ); M = A s M tors, et A s = M/Mtors. En particulier : M est libre M est sans torsion. De plus, les idéaux (a r ) (a 1 ) sont uniquement déterminés. On les appelle les idéaux (ou facteurs) invariants de M. 3) Pour M un A-module de torsion de type fini, la décomposition (1) cidessus se raffine comme suit. Soit Ann(M) = (p 1 ) m1 (p n ) mn la décomposition de Ann(M) en produits d idéaux maximaux. Alors, on a la décomposition primaire n (4) M = M(p i ). et, d après le point 2), chaque M(p i ) se décompose en un somme directe (5) M(p i ) = i=1 t i s=1 A/(p i ) ns(p i), où la suite 1 n 1 (p i ) n ti (p i ) est uniquement déterminée. En particulier, n ti (p i ) = m i et Ann M(p i ) = (p m i i ). Définition (Base adaptée). On dira que la base de M donnée dans le point 1) est adaptée au sous-module N. Le point 1) du théorème précédent est équivalent au théorème suivant.

17 13. MODULES DE TYPE FINI SUR UN ANNEAU PRINCIPAL 119 Théorème (Réduction des matrices sur un anneau principal) Soit A un anneau principal et soit F M n,m (A) non nulle. Alors, il existe r 1, des matrices inversibles P GL n (A), Q GL m (A), et des éléments a 1,..., a r de A, vérifiant a i a i+1 pour i < r, tels que a PFQ = 0 a r De plus, r et les idéaux (a 1 ),..., (a r ) sont entièrement déterminés par F. Démonstration de l équivalence. La matrice F définit un morphisme de A- modules φ : A m A n, et multiplier F à gauche (resp. à droite) par une matrice inversible équivaut à faire un changement de base dans le module d arrivée A n (resp. le module de départ A m ). Donc, le théorème de réduction signifie qu il existe des bases B = (e 1,... e m ) de A m et C = (f 1,..., f n ) de A n telles que la matrice de F dans ces bases soit de la forme indiquée. Supposons maintenant que N soit un sous-module de A n. Comme A est principal, donc noethérien, N est engendré par un nombre fini d éléments x 1,..., x m et est donc l image d un morphisme de A-modules φ : A m A n. Alors, le théorème de réduction entraîne qu il existe une base (f 1,..., f n ) de A n et des éléments a 1,..., a r de A, vérifiant a i a i+1 pour i < r, tels que N = Im(φ) soit engendré par les éléments a 1 f 1,..., a r f r. Or, ces éléments sont linéairement indépendants sur A, puisque les f i le sont et que A est intègre. Donc ces éléments forment une base de N. De plus, si (f 1,..., f n) est une base de A n et si a 1,..., a s sont des éléments de A tels que a i a i+1 pour i < s, et que (a 1 f 1,..., a sf s) soit une base de N = Im(φ), alors l unicité énoncée dans le théorème de réduction entraîne que s = r et (a i ) = (a i) pour i = 1,..., r. Ceci montre que le théorème de réduction entraîne le point 1) du théorème de structure Réciproquement, supposons ce point vérifié et soit φ : A m A n un morphisme de A-modules. Alors, il existe une base C = (f 1,..., f n ) de A n et des éléments a 1,..., a r de A, vérifiant a i a i+1 pour i < r, tels que (a 1 f 1,..., a r f r )

18 120 THÉORÈME CHINOIS, MODULES SUR UN ANNEAU PRINCIPAL soit une base de N = Im(φ). Pour i = 1,..., r soit e i un élément de A m tel que φ(e i ) = a i f i. Alors, on obtient que A m = Ae Ae r + Ker φ, et comme les f i sont linéairements indépendants et que A est intègre, on obtient que la somme ci-dessus est directe : A m = Ae 1 Ae r Ker φ. Enfin, d après l hypothèse 1), à nouveau, Ker φ est un A-module libre, donc (e 1,..., e r ) se complète en une base B = (e 1,..., e n ) de A n, où (e r+1,..., e n ) est une base de Ker φ. Alors, la matrice de φ dans les bases B et C est de la forme voulue. De plus, les idéaux (a i ) sont uniquement déterminés par N = Im(φ), donc par φ. Ceci prouve que le point 1) du théorème de structure entraîne le théorème de réduction Pour démontrer les deux théorèmes précédents, il y a donc deux approches. On peut démontrer d abord le théorème de réduction 13.13, d où le point 1) du théorème de structure On montre ensuite les points 1 ) 3). Ou bien, on peut démontrer d abord le théorème de structure 13.11, en trois étapes. Dans cette approche, on montre d abord l existence dans les points 1), 2) et 3). On établit ensuite l unicité des n s (p i ) dans le point 3) et des idéaux (a i ) dans le point 2), puis l on en déduit l unicité des (a i ) dans le point 1). Avant de passer aux démonstrations, traitons un exemple (qui montre qu il est bon de combiner les deux approches, c.-à-d., d utiliser à la fois les opérations matricielles et la notion de base adaptée) Un exemple. Considérons la matrice suivante, à coefficients dans Z F = Elle définit un morphisme de Z-modules Z 4 Z 3. On va la réduire à sa forme diagonale, en commençant par les opérations suivantes, sur les lignes ou les colonnes L 1 L 1 L ,

19 13. MODULES DE TYPE FINI SUR UN ANNEAU PRINCIPAL 121 puis C 3 C 3 + 2C 2 et C 4 C 4 C 1 + 4C 2 donnent Alors, C 1 C 1 + 3C 4 et C 2 C 2 + 2C 4 donnent Comme = 1, on va multiplier à droite par la matrice de Bézout : , et comme on obtient la matrice = 4 7 ( ) = , a Il n est pas nécessaire de calculer a, car en remplaçant L 3 par L 3 + al 2 on se ramène à a = 0. Remplaçons, de plus, C 1 par C C 2. Comme alors, posant on obtient la matrice = 45 ( ) = , m = , n = , m 90 0 n Donc Im(F) contient me 3 et ne 3, et comme PGCD(m, n) = 7 alors Im(F) contient 7e 3. Enfin, comme 90 1 mod. 7, on obtient que Im(F) est engendré par e 1 e 3, e 2, 7e 3.

20 122 THÉORÈME CHINOIS, MODULES SUR UN ANNEAU PRINCIPAL Bien sûr, (e 1 e 3, e 2, e 3 ) est une base de Z 3, et il en résulte que la matrice de départ est équivalente à la matrice Réduction des matrices. On va démontrer d abord le théorème de réduction. Définition Pour tout s 1, on note GL s (A) le groupe des matrices P M s (A) qui sont inversibles, c.-à-d., telles qu il existe Q M s (A) vérifiant PQ = I s = QP. Dans ce cas, dét(p) dét(q) = 1, donc dét(p) est un élément inversible de A. Réciproquement, cette condition est suffisante, car si à est la matrice des cofacteurs de A, c.-à-d., la matrice dont le coefficient d indice (i, j) est le déterminant de la matrice carrée de taille s 1 obtenue en barrant la i-ème ligne et la j-ème colonne, alors on sait que t ÃA = dét(a)i s = A t Ã. Définition (Matrices équivalentes). Soient m, n 1. On dit que deux matrices F, F M n,m (A) sont équivalentes s il existe P GL n (A) et Q GL m (A) telles que F = PFQ. Remarque Soit u le morphisme de A-modules A m A n défini par F. Comme multiplier F à droite (resp. à gauche) par une matrice inversible Q GL m (A) (resp. P GL n (A)) revient à effectuer un changement de base dans A m (resp. A n ), on voit que F est équivalente à F si et seulement si il existe des bases B de A m et C de A n telles que F soit la matrice de u dans ces bases. Définition (Idéaux de Fitting). Soit F M n,m (A). 1) Pour tout i min(m, n), on note J i (F) l idéal de A engendré par les mineurs i i de F. On convient que J 0 (F) = A. 2) Le rang de F est le plus grand entier r 0 tel que J r (F) 0, c.-à-d., le plus grand entier r tel qu il existe un mineur r r de F qui soit nul. Les idéaux J i (F) ne dépendent que de la classe d équivalence de F, d après la proposition suivante. Proposition ) Soient F M n,m (A), P M n (A) et Q M m (A). Pour tout i, on a J i (PF) J i (F) et J i (FQ) J i (F). 2) Si F et F sont équivalentes, on a J i (F) = J i (F ) pour tout i.

21 13. MODULES DE TYPE FINI SUR UN ANNEAU PRINCIPAL 123 Démonstration. 1) Toute ligne de PF est combinaison linéaire de lignes de F. D après les propriétés de multilinéarité des déterminants, on en déduit que tout i-mineur de PF est combinaison linéaire de i-mineurs de F. Ceci montre que J i (PF) J i (F). On obtient de même que J i (FQ) J i (F). 2) Supposons F = PFQ, avec P et Q inversibles. Alors, on a aussi F = P 1 F Q 1. D après le point 1), on obtient les inclusions J i (F ) J i (F) J i (F ), d où J i (F) = J i (F ) pour tout i. La proposition est démontrée. On peut maintenant énoncer le théorème de réduction sous la forme plus précise ci-dessous. Théorème (Réduction des matrices sur un anneau principal) Soit A un anneau principal et soit F M n,m (A) non nulle. Il existe a 1,..., a r A, avec r 1, vérifiant a i a i+1 pour i < r, et P GL n (A), Q GL m (A) tels que a PFQ = 0 a r De plus, les idéaux (a 1 ),..., (a r ) sont entièrement déterminés par les égalités : { (a 1 a i ), pour i = 1,..., r; J i (F) = 0, pour i > r. Ils ne dépendent que de la classe d équivalence de F, et r est le rang de F. Démonstration. On va montrer qu on peut construire de telles matrices P et Q comme produits de matrices très simples, de l un des trois types décrits ci-dessous. En fait, on ne s intéresse pas aux matrices P et Q elles-mêmes, et dans la pratique on ne multiplie pas des matrices (peu commode si m, n 3) ; on se contente de faire des opérations simples sur les matrices qui sont des opérations permises, c.-à-d., qui correspondent à multiplier par une matrice inversible. Ces opérations permises simples sont de l un des trois types suivants. I) Permutations de lignes ou de colonnes. On peut, bien sûr, permuter les lignes (ou bien les colonnes) de la matrice F.

22 124 THÉORÈME CHINOIS, MODULES SUR UN ANNEAU PRINCIPAL Soit S n le groupe des permutations de {1,..., n} et soit σ S n. Effectuer sur les lignes de F la permutation σ équivaut à multiplier F à gauche par la matrice de permutation M(σ) GL n (A) définie par : (1) M(σ)(f j ) = f σ(j), où (f 1,..., f n ) est la base canonique de A n. En d autres termes, M(σ) est la matrice dont tous les coefficients a ij sont nuls sauf les coefficients a σ(j),j qui valent 1. En utilisant (1), on voit que M(σ) est inversible, d inverse M(σ 1 ). De même, on voit que multiplier F à droite par une matrice de permutation M (τ) (où τ S m ), revient à effectuer sur les colonnes la permutation τ 1, c.-à-d., mettre la colonne τ(j) à la place j. II) Les transvections T ij (α) et T kl (β). Sont également permises les opérations suivantes : ajouter à une ligne (ou une colonne) un multiple d une autre ligne (ou colonne). En effet, ajouter α fois la ligne j à la ligne i j revient à multiplier F à gauche par la matrice T i,j (α) = I n + αe i,j, qui est clairement inversible, d inverse T i,j ( α). (On rappelle que I n désigne la matrice identité et que E i,j est la matrice élémentaire dont le seul coefficient non nul est celui d indice (i, j), qui vaut 1.) De même, ajouter β fois la colonne k à la colonne l revient à multiplier F à droite par la matrice inversible T kl (β) = I m + βe kl. III) Les matrices de Bézout B i (a, b) et B j (a, b). Soient a, b A \ {0} et soit d un pgcd de a et b. D après le théorème de Bézout, il existe x, y A tels que ax + by = d. On note B 2 (a, b) la matrice suivante de GL n (A) : x y B 2 (a, b) = 0 b/d a/d. 0 I n 2 (Elle est inversible, car son déterminant est (ax + by)/d = 1.) Alors, la matrice B 2 (a, b)f ne diffère de F que sur les deux 1ères lignes. En effet, notant f i,j (resp. f i,j ) les coefficients de F (resp. B 2(a, b)f), on a pour tout j : f 1,j = xf 1,j + yf 2,j ; f 2,j = ( bf 1,j + af 2,j )/d; f i,j = f i,j si i {1, 2}. Par conséquent, si a (resp. b) est le coefficient f 11 (resp. f 21 ) de la 1ère colonne de F, alors la 1ère colonne de B 2 (a, b)f est identique à celle de F, sauf qu on

23 13. MODULES DE TYPE FINI SUR UN ANNEAU PRINCIPAL 125 a remplacé a par d = pgcd(a, b) et b par 0. Ceci explique l introduction de la matrice B 2 (a, b). De façon analogue, pour tout i 2, on note B i (a, b) la matrice (b kj ) telle que b 11 = x, b 1i = y, b i1 = b d, b ii = a d, b kk = 1 pour k 1, i, et b kj = 0 dans les autres cas. C.-à-d., B i (a, b) est de la forme : x 0 i 2 y 0 n i 0 i 2 I i 2 0 i 2 0 b a d 0 i 2 d 0 n i, 0 n i 0 0 n i I n i où les 0 s désignent des lignes ou colonnes de zéros (et les 0 sans indices désignent des matrices rectangulaires formées de zéros). C est une matrice inversible, puisque son déterminant est (ax + by)/d = 1. De plus, elle vérifie la propriété suivante : Si a (resp. b) est le coefficient f 11 (resp. f i1 ) de la 1ère colonne de F, alors la 1ère colonne de B i (a, b)f est identique à celle de F, sauf qu on a remplacé a par d = pgcd(a, b) et b par 0. De même, pour j {2,..., m}, on définit B j (a, b) GL m(a) par b 11 = x, b j1 = y, b 1j = b d, b jj = a d, b kk = 1 pour k 1, j, et b kj = 0 dans les autres cas. Comme précédemment, B j (a, b) est de déterminant 1, et vérifie la propriété suivante : Si a (resp. b) est le coefficient f 11 (resp. f 1j ) de la 1ère ligne de F, alors la 1ère ligne de FB j (a, b) est identique à celle de F, sauf qu on a remplacé a par d = pgcd(a, b) et b par 0. Remarque Les matrices T 1i (α) et T 1l (β) sont des cas particuliers, plus simples, de matrices de Bézout. Toutefois, il est commode de les considérer séparément. Maintenant, on va montrer qu on peut effectuer des «opérations élémentaires permises» de l un des trois types précédents, afin d arriver de proche en proche à une matrice D de la forme voulue. Il faut encore introduire une notion de «longueur» de la matrice F : un entier 0 qui va décroître strictement au cours de la procédure, ce qui assurera que l algorithme se termine en un nombre fini d étapes et permet bien d atteindre une matrice diagonale de la forme voulue.

24 126 THÉORÈME CHINOIS, MODULES SUR UN ANNEAU PRINCIPAL Définition Soit a A \ {0}. On définit sa longueur l(a) comme le nombre d éléments irréductibles apparaissant dans sa décomposition en facteurs irréductibles. Ceci est bien défini, puisque A est principal donc factoriel. En particulier, l(a) = 0 a est inversible ; et si p est irréductible, l(p s ) = s pour tout s 1. Algorithme de réduction. Soit F = (f ij ) M n,m (A), non nulle. Soit f ij un coefficient non nul de longueur minimale. Quitte à permuter des lignes et des colonnes, on peut supposer (i, j) = (1, 1). On effectue alors l algorithme suivant. Étape 1) On va remplacer F, en plusieurs sous-étapes, par une matrice équivalente F 1 de la forme F 1 = ( ) d1 0 0 B avec d 1 A \ {0} et B M n 1,m 1 (A). Ceci se fait comme suit. i) Annulation des coefficients f 1j, pour j 2. Si f 11 divise tous les f 1j, pour j 2, on remplace chaque colonne C j, pour j 2, par la colonne C j f 1j /f 11 C 1. Sinon, s il existe k 2 tel que f 11 ne divise pas f 1k, on multiplie F à droite par la matrice de Bézout B 1k (f 11, f 1k ). On annule ainsi le coefficient (1, k), tandis que f 11 est remplacé par d = pgcd(f 11, f 1k ), qui est de longueur < l(f 11 ). S il existe k k tel que d ne divise pas f 1k, on répète le processus. On arrive ainsi, en au plus m 1 opérations, à une matrice équivalente F = FQ, dont la 1ère ligne est (f 11, 0,..., 0), avec f 11 = f 11 si l on n a pas effectué d opérations de Bézout, et l(f 11 ) < l(f 11) sinon. ii) Annulation des coefficients f i1, pour i 2. Si f 11 divise tous les f i1, pour i 2, on remplace chaque ligne L i, pour i 2, par la ligne L i f i1 /f 11 L 1. Ce faisant, on ne modifie pas la 1ère ligne de F, et l on obtient donc une matrice F 1 comme voulue, c.-à-d., on peut passer à l étape 2). Sinon, s il existe i 2 tel que f 11 ne divise pas f i1 alors, en multipliant F à gauche par une suite de matrices de Bézout, on obtient une matrice équivalente F = PF = PFQ, dont la 1ère colonne est nulle, sauf le 1er coefficient f 11, qui vérifie l(f 11 ) < l(f 11 ). En faisant cela, on peut obtenir, à nouveau, des termes non nuls sur la 1ère ligne de F. Mais ce n est pas gênant, car l(f 11 ) < l(f 11) et on répète alors la sous-étape i). Comme la longueur du coefficient d indice (1, 1) décroît

25 13. MODULES DE TYPE FINI SUR UN ANNEAU PRINCIPAL 127 strictement à chaque opération de Bézout, on obtient, après un nombre fini de sous-étapes i) et ii), une matrice équivalente F 1 de la forme voulue : d c 22 c 2m F 1 = c n2 c nm Étape 2) Si d 1 divise tous les c ij, on va à l étape 3). Sinon, si d 1 ne divise pas un certain c ij, on forme la matrice équivalente d 1 c i2 c im 0 c 22 c 2m (I n + E 1i )F 1 =......, 0 c n2 c nm à laquelle on applique l étape 1). On obtient ainsi une matrice équivalente d F 0 c 22 1 = c 2m......, 0 c n2 c nm où l(d 1 ) < l(d 1). Si d 1 ne divise pas tous les coefficients, on recommence le processus. On obtient ainsi, après un nombre fini ( l(d 1 )) d aller-retour entre les étapes 1) et 2), une matrice équivalente F 2 de la forme ( ) a1 0 F 2 =, 0 B où a 1 divise chaque coefficient de B M n 1,m 1 (A). On observe alors que a 1 est un générateur de l idéal J 1 (F 2 ), qui égale J 1 (F) d après la proposition On passe alors à l étape 3) Étape 3) Par hypothèse de récurrence (ou d après l algorithme appliqué à B), il existe P, Q inversibles telles que a PBQ = 0 a r 0, où a i a i+1 pour i = 2,..., r 1. D une part, a 2 est un générateur de J 1 (PBQ) = J 1 (B), lequel est contenu dans J 1 (F 2 ) = (a 1 ). Par conséquent,

26 128 THÉORÈME CHINOIS, MODULES SUR UN ANNEAU PRINCIPAL a 1 divise a 2. D autre part, F 2, et donc F, est semblable à la matrice a F 3 = 0 a r Ceci achève la démonstration de l existence dans le théorème De plus, d après la proposition 13.18, on a : s min(m, n), J s (F) = J s (F 3 ). Or les idéaux J s (F 3 ) se calculent facilement : F 3 est de rang r, et pour s r les seuls mineurs s s non nuls sont les produits a i1 a is, avec i 1 < < i s. Comme a i a i+1, pour i < r, chacun de ces produits est multiple de a 1 a s. Ceci prouve que J s (F) = (a 1 a s ), s = 1,..., r. Enfin, comme A est intègre, on voit que (a i ) = {x A xj i 1 (F) J i (F)}. Ceci montre que les idéaux (a i ) sont déterminés par les J s (F), et donc ne dépendent que de la classe d équivalence de F. Ceci termine la démonstration du théorème On obtient donc le point 1) du théorème de structure 13.11, d après l équivalence établie après le théorème Montrons le point 1 ). Notons M 1 (resp. M 2 ) le sous-module de M engendré par e 1,..., e r (resp., par e r+1,..., e n ). On a introduit dans le point 1 ) le sous-module N = {x A n a A \ {0} tel que ax N}. D une part, comme a i e i N pour i = 1,..., r, on a M 1 N. D autre part, comme M = M 1 M 2, alors M/M 1 est isomorphe à M 2 et donc libre. Ceci entraîne l inclusion N M 1. En effet, soit x N. Il existe a A \ {0} tel que ax N M 1, donc l image de x dans M/M 1 est un élement de torsion. Comme ce module est libre, donc sans torsion, ceci entraîne x M 1. Ceci prouve l égalité M 1 = N, et 1 ) est démontré.

27 13. MODULES DE TYPE FINI SUR UN ANNEAU PRINCIPAL Décomposition en somme de modules monogènes. On va maintenant démontrer l existence des décompositions annoncées dans les points 2) et 3) du théorème de structure Commençons par le lemme ci-dessous. Lemme Soient B un anneau et M 1,..., M n des B-modules. Pour i = 1,..., n, soit N i un sous-module de M i et soit π i : M i M i /N i. Alors, le noyau du morphisme n M i n (M i /N i ), (x 1,..., x n ) (π 1 (x 1 ),..., π n (x n )) i=1 i=1 est le sous-module n N i. Par conséquent, on a un isomorphisme : i=1 ( n M i )/( n N i ) = (M 1 /N 1 ) (M n /N n ). i=1 i=1 Démonstration. La première assertion est claire, et la seconde en découle, d après le théorème Revenons au théorème et montrons le point 2). Soit M un A-module de type fini. Soit {x 1,..., x n } un système de générateurs de M et soit φ : A n M le morphisme de A-modules envoyant tout (b 1,..., b n ) sur b 1 x 1 + +b n x n. Alors, φ induit un isomorphisme A n / Ker φ M. D après le point 1) du théorème, il existe une base (e 1,..., e n ) de A n, un entier r n, et des éléments non nuls a 1,..., a r de A, vérifiant a i a i+1 pour i = 1,..., r 1, tels que (a 1 e 1, a 2 e 2,..., a r e r ) soit une base de Ker φ. Alors, d après le lemme précédent, l on a ( ) M = A n / ker φ = A/(a 1 ) A/(a r ) A s, où s = n r. Identifions M au terme de droite via ces isomorphismes, et notons alors M le sous-module A/(a 1 ) A/(a r ). Il est clair que M M tors. De plus, comme M/M = A s est sans torsion, on en déduit que M = M tors (car sinon tout m M tors tel que m M serait un élément de torsion non nul dans M/M ). Enfin, il est clair d après ( ) que Ann(M) = (a r ). Ceci prouve le point 2), à l exception de l unicité des idéaux (a 1 ) (a r ).

28 130 THÉORÈME CHINOIS, MODULES SUR UN ANNEAU PRINCIPAL Remarque ) On a choisi un système de générateurs x 1,..., x n de M, donnant lieu au morphisme surjectif φ : A n M. Ce choix étant fait, il est clair que (a 1 ),..., (a r ) sont les idéaux invariants du sous-module Ker(φ) A n. On peut en fait montrer que ces idéaux ne dépendent que de M, et pas des générateurs choisis. Plus précisément, on peut montrer que les idéaux (a 1 a i ), pour i = 1,..., r, sont les idéaux de Fitting (distincts de A) de M ; voir [BM, Ch. 5, 1 3]. Comme A est intègre, ceci permet de retrouver les idéaux (a i ), comme à la fin de la démonstration du théorème ) L unicité des idéaux (a i ) peut aussi se déduire du résultat suivant. Soient A un anneau commutatif et M un A-module. On suppose M isomorphe à une somme directe de modules monogènes : A/I 1 A/I r où I 1 I r A. Attention, ici on suppose la suite (I k ) k=1,...,r croissante! (Donc, dans la situation du théorème 13.11, on aurait (a k ) = I r+1 k pour k = 1,..., r.) Alors on peut montrer que les I k sont uniquement déterminés par le module M : plus précisément, I k est l annulateur du module k (M), voir [BAlg], Chap.VII, 4, Proposition 2. 3) On choisit ici l approche plus élémentaire suivante : on va montrer l existence et l unicité de la décomposition dans le point 3), puis en déduire l unicité des (a i ) dans le point 2). Point 3). Supposons de plus M = M tors et soit (a) = (p 1 ) m1 (p n ) mn son annulateur. D après le théorème 12.27, on a M = n M(p i ), i=1 et chaque M(p i ) est un A-module de type fini, vérifiant Ann M(p i ) = (p m i i ). Fixons un indice i. Comme M(p i ) est de type fini et de torsion, on peut, d après le point 2), le décomposer en somme directe M(p i ) = t i s=1 A/(a s ), avec a s a s+1 pour s < t i. Or, d après le lemme 12.25, l annulateur de tout élément non nul de M(p i ) est une puissance de (p i ). Par conséquent, il existe une suite n 1 (p i ) n ti (p i ),

29 13. MODULES DE TYPE FINI SUR UN ANNEAU PRINCIPAL 131 telle que M(p i ) = t i s=1 A/(p i ) ns(p i). De plus, on a n ti (p i ) = m i, car sinon l annulateur de M(p i ) serait contenu dans (p i ) m i 1. Ceci prouve l existence dans le point 3). Pour démontrer l unicité des facteurs invariants, commençons par le lemme suivant. Lemme Soient A un anneau intègre et p A \ {0}. Pour tout i 0, l application A Ap i /Ap i+1, a ap i + Ap i+1 induit un isomorphisme A/(p) = (p i )/(p i+1 ) de A/(p)-modules. Démonstration. Soient i 0 et φ le morphisme de A-modules A (p i )/(p i+1 ) défini par φ(a) = ap i + Ap i+1, a A. Il est clairement surjectif. De plus, comme A est intègre, p i+1 divise ap i ssi p divise a. Par conséquent, Ker φ = (p) et φ induit un isomorphisme de A- modules A/(p) = (p i )/(p i+1 ). C est aussi un isomorphisme de A/(p)-modules, d après le corollaire Théorème (Unicité des facteurs invariants). Soit A un anneau principal et soit M un A-module de torsion de type fini. Soient a 1,..., a r des éléments non nuls et non inversibles de A vérifiant a i a i+1 pour tout i, et tels que M r = A/(a i ). i=1 Les idéaux (a 1 ),..., (a r ) sont déterminés de façon unique par M ; on les appelle les idéaux (ou facteurs) invariants de M. Démonstration. La démonstration se fait en deux étapes. Démontrons d abord le théorème dans le cas p-primaire, c.-à-d., dans le cas où M = M(p). Dans ce cas, il existe des entiers n 1 n r tels que a i = p n i pour tout i. Il faut montrer que les n i sont déterminés par le module M. Pour commencer, observons que n r = k, où (p k ) est l annulateur de M. De plus, p k 1 annule tous les termes A/(p n i ) pour lesquels n i < k. D autre part, K = A/(p) est un corps, puisque (p) est un idéal maximal. Donc, d après le lemme précédent, on obtient que p k 1 M = p k 1 A/p k A, i n i =k