Antilles Guyane Enseignement spécifique

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1 Antilles Guyane. Enseignement spécifique EXERCICE ( points) (commun à tous les candidats) Dans tout ce qui suit, m désigne un nombre réel quelconque. Partie A Soit f la fonction définie et dérivable sur l ensemble des nombres réels R telle que : ) Calculer la limite de f en + et. f(x) =(x + )e x. ) On note f la fonction dérivée de la fonction f sur R. Démontrer que pour tout réel x, f (x) =(x + )e x. ) Dresser le tableau de variation de f sur R. Partie B On définie la fonction g m sur R par : g m (x) =x + me x, ( et on note C m la courbe de la fonction g m dans un repère O, i, ) j du plan. ) a) Démontrer que g m (x) = si et seulement si f(x) =m. b) Déduire de la partie A, sansjustification,lenombredepointsd intersectiondelacourbec m avec l axe des abscisses en fonction du réel m. ) On a représenté en annexe les courbes C, C e et C e (obtenues en prenant respectivement pour m les valeurs, e et e). Identifier chacune de ces courbes sur la figure de l annexe en justifiant. ) Étudier la position de la courbe C m par rapport à la droite D d équation y = x + suivant les valeurs du réel m. ) a) On appelle D la partie du plan comprise entre les courbes C e, C e,l axe(oy) et la droite d équation x =. Hachurer D sur l annexe. b) Dans cette question, a désigne un réel positif, D a la partie du plan comprise entre C e, C e,l axe(oy) et la droite a d équation x = a. OndésigneparA (a) l aire de cette partie du plan, exprimée en unités d aire. Démontrer que pour tout réel a positif : A (a) =e e a. En déduire la limite de A (a) quand a tend vers +. http :// c Jean-Louis Rouget,. Tous droits réservés.

2 ANNEXE Exercice Arendreaveclacopie Courbe Courbe Courbe http :// c Jean-Louis Rouget,. Tous droits réservés.

3 EXERCICE : corrigé Partie A Antilles Guyane. Enseignement spécifique ) Limite de f en +. lim (x + ) =+ et lim x + x + ex =+. Enmultipliant,onobtient lim f(x) =+. x + Limite de f en. Pour tout réel x, f(x) =xe x + e x. Or lim x ex = et d autre part, d après un théorème de croissances comparées, lim x xex =. Enadditionnant,on obtient lim f(x) =. x ) Pour tout réel x, f (x) =(x + ) e x +(x + )(e x ) = e x +(x + ) e x =(x + )e x. ) Pour tout réel x, e x >.Donc,pourtoutréelx, f (x) est du signe de x +. Parsuite,lafonctionf est strictement négative sur ], [, strictementpositivesur], + [ et s annule en. On en déduit le tableau de variation de la fonction f x + f (x) + f + e Partie B ) a) Soit m un réel. Pour tout réel x, g m (x) = x + me x = x + = me x (x + )e x = me x e x (car e x ) f(x) =m. b) Les abscisses des points d intersection de la courbe C m avec l axe des abscisses sont les solutions de l équation g m (x) = ou encore les solutions de l équation f(x) =m d après la question ) de la partie B. Al aidedutableaudevariationsdelafonctionf déterminé à la question ) de la partie A, on peut affirmer que si m<e, C m n a aucun point commun avec l axe (Ox). si m = e, C m aexactementunpointcommunavecl axe(ox). si e <m<, C m aexactementdeuxpointscommunavecl axe(ox). si m, C m aexactementunpointcommunavecl axe(ox). ) C est le graphe d une fonction affine et donc C est une droite. Il s agit de la courbe. e =, 7... et e =,... Donc e <e.d aprèslaquestionprécédente,lacourbec e n a pas de point commun avec l axe (Ox). LacourbeC e est donc nécessairement la courbe. La courbe est par suite la courbe C e. http :// c Jean-Louis Rouget,. Tous droits réservés.

4 C e C C e ) Soit m un réel. La position relative de la courbe C m par rapport à la droite D d équation y = x + est obtenue grâce au signe de l expression g m (x) (x + ) suivant les valeurs de x. Pour tout réel x, g m (x) (x + ) =x + me x x = me x. Pour tout réel x, e x >et donc pour tout réel x, g m (x) (x + ) est du signe de m. Onendéduitque ) a) si m<,alorspourtoutréelx, g m (x) (x + ) >et dans ce cas, C m est strictement au-dessus de D sur R, si m>,alorspourtoutréelx, g m (x) (x + ) <et dans ce cas, C m est strictement au-dessous de D sur R, si m =, C m est la droite D. http :// c Jean-Louis Rouget,. Tous droits réservés.

5 b) Soit a un réel positif. D après la question ), pour tout réel x de [, a], g e (x) x + g e (x) et en particulier, pour tout réel x de [, a], g e (x) g e (x). Onendéduitque A (a) = (g e (x) g e (x)) dx. Pour tout réel x de [, a], g e (x) g e (x) =(x + + e e x ) (x + e e x )=e e x + e e x = e e x. Donc, A (a) = = e e e x dx e x dx (par linéarité de l intégrale) = e [ e x] a = e (( e a) ( e )) = e ( e a) = e e a. Pour tout réel positif a, A (a) =e e a. lim a + e a = lim X ex =. Parsuite, lim A (a) =e = e. a + lim A (a) =e. a + http :// c Jean-Louis Rouget,. Tous droits réservés.