Triangle rectangle et cercle Cours 4 ème

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1 Triangle rectangle et cercle Cours 4 ème I Cercle circonscrit et médiane du triangle rectangle 1 - Cercle circonscrit au triangle rectangle Propriété 1: Si un triangle est rectangle alors son cercle circonscrit a pour diamètre l'hypoténuse de ce triangle. Si ABC rectangle en A alors [BC] est un diamètre de (C ). Démonstration: On considère le triangle ABC rectangle en A. Le point I est le milieu du segment [BC]. La point A' est le symétrique du point A par rapport à I. Hypothèse: I milieu de [BC] et A' symétrique de A par rapport à I d'où I milieu de [AA']. Propriété: Si les diagonales d'un quadrilatère ont même milieu alors c'est un parallélogramme. Conclusion: ABA'C est un parallélogramme. Hypothèse: ABA'C est un parallélogramme et BAC 90. Propriété: Si un parallélogramme a un angle droit alors c'est un rectangle. Conclusion: ABA'C est un rectangle. Hypothèse: ABA'C est un rectangle. Propriété: Si un quadrilatère est un rectangle alors ses diagonales ont la même longueur. Conclusion: AA' = BC, or AI = IA' et BI = IC donc AI = BI = CI = 1 2 BC donc [BC] est un diamètre du cercle circonscrit au triangle ABC.

2 Application: Démontrer que des points appartiennent à un cercle donné. Exemple:On considère un triangle IJK rectangle en K et un triangle IJL rectangle en L. Démontrer que I, J, K et L appartiennent au même cercle. Hypothèse: Le triangle IJK est rectangle en K. Le triangle IJL est rectangle en L. Propriété: Si un triangle est rectangle alors son cercle circonscrit a pour diamètre l'hypoténuse de ce triangle. Conclusion: Les triangles IJK et IJL ont le même cercle circonscrit de diamètre [IJ]. 2 - Médiane du triangle rectangle Propriété 2: Si un triangle est rectangle alors la "médiane" issue du sommet de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse. Si ABC rectangle en A alors AO = BC 2 Remarque: Cette propriété se déduit immédiatement de la propriété 1. Application: Calcul d'une longueur. Exemple:ABC est un triangle rectangle en B tel que AC = 8. O est le milieu de [AC]. Calculer la longueur OB. Hypothèse: Le triangle ABC est rectangle en B et O est le milieu de [AC]. Propriété: Si un triangle est rectangle alors la médiane issue du sommet de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse. Conclusion: OA = OB = OC = AC 2 d'où OB = 4.

3 3 - Diamètre du cercle circonscrit Propriété 3: Si un des côtés d'un triangle est un diamètre de son cercle circonscrit alors ce triangle est rectangle et a pour hypoténuse ce côté. (C ) cercle circonscrit de ABC. Si [BC] est un diamètre de (C ) alors ABC est rectangle en A. Démonstration: On considère le triangle ABC. Le point I est le milieu du segment [BC]. (C) est le cercle de centre I, circonscrit au triangle ABC. Le point A' est le symétrique du point A par rapport au point I. Hypothèse: I milieu de [BC] et A' symétrique de A par rapport à I d'où I milieu de [AA']. Propriété: Si les diagonales d'un quadrilatère ont le même milieu alors c'est un parallélogramme. Conclusion: ABA'C est un parallélogramme. Hypothèse: ABA'C est un parallélogramme et AI = BI = CI = 1 2 BC = 1 2 AA' d'où AA' = BC. Propriété: Si les diagonales d'un parallélogramme ont la même longueur alors c'est un rectangle. Conclusion: ABA'C est un rectangle donc ABC est rectangle en A. Application: Démontrer qu'un triangle est rectangle. Exemple:On considère un cercle de rayon 3 cm. E, F et G sont des points distincts de ce cercle tels que EG = 6 cm. Démontrer que le triangle EFG est rectangle. Hypothèse: [EG] est un diamètre du cercle. F est un point du cercle. Propriété: Si l'un des côtés d'un triangle est un diamètre de son cercle circonscrit alors ce triangle est rectangle. Conclusion: Le triangle EFG est rectangle en F.

4 4 - Médiane remarquable Propriété 4: Si dans un triangle, la médiane issue d'un sommet mesure la moitié du côté opposé à ce sommet alors ce triangle est rectangle en ce sommet. Si AO = BC 2 alors ABC rectangle en A. Remarque: Cette propriété se déduit immédiatement de la propriété 3. Application: Démontrer qu'un triangle est rectangle. Exemple:Soit RST un triangle tel que RT = 8. On appelle I le milieu du segment [RT]. Sachant que IS = 4, démontrer que le triangle RST est rectangle. Hypothèse: (SI) est une médiane de triangle RST et SI = RT 2. Propriété: Si dans un triangle, la médiane issue d'un sommet mesure la moitié du côté opposé à ce sommet alors ce triangle est rectangle en ce sommet. Conclusion: Le triangle RST est rectangle en S. II Tangente et bissectrice 1 - Tangente à un cercle en un point Définition 1: On appelle tangente à un cercle en un point la droite perpendiculaire au rayon du cercle issu de ce point. Si (d) tangente à (C ) en M alors (OM) (d)

5 2 - Distance d'un point à une droite Définition 2: Soit (d) une droite et A un point n'appartenant pas à (d). La perpendiculaire à (d) passant par A coupe (d) en H. La distance AH est appelée distance du point A à la droite (d). Si M appartient à (d) et M H alors AM > AH Remarque: Le triangle AMH est rectangle en H donc AM > AH AM AH HM ce qui est cohérent avec l'inégalité 3 - Points d une bissectrice Propriété 5: Si un point appartient à la bissectrice d un angle alors il est équidistant des côtés de cet angle. Si (AM) est la bissectrice de BAC alors MH MK

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