Un corrigé du concours Centrale-supélec Math-II C k n cos n k (θ)i k sin k (θ).

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1 Centrale-suélec 014 Un corrigé du concours Centrale-suélec Math-II- 014 Filière MP Proosé ar Mr : HAMANI Ahmed I- Définitions et roriétés usuelles I-A Polynômes de remière esèce I-A-1 Les olynômes T 0, T 1, T et T 3 - On a les relations θ R, T 0 cosθ 1, T 1 cosθ θ, T cosθ cos θ 1 et T 3 cosθ 4 cos 3 θ 3 cosθ Donc ar unicité, on obtient T 1 1, T X, T X 1 et T 3 4X 3 3X I-A- Eression de T n θ R, n N, e inθ θ + i sinθ n n C k n cos n k θi k sin k θ En rennant la artie réelle des deu membres, on obtient cosnθ n 1 k cos n k θsin k θ Et ar unicité on aura T n n 1 k X n k 1 X k n 1 k cos n k θ1 cos θ k n X n k X 1 k I-A-3 Une relation de récurence entre les T n n N, T n+ cosθ+t n cosθ n+θ+cosnθ cosn+1θcosθ cosθt n+1 cosθ Ce qui entraine ar unicité T n+ + T n XT n+1 Degré et coefficient dominant de T n On va montrer ar une récurrence forte sur n que domt n n 1 et degt n n - La roriété est vrai our n 0, 1, et 3 - Suosons que our un certain n, domt n n 1, domt n+1 n, et degt n n, degt n+1 n + 1, alors, degt n+ degxt n+1 T n degxt n n + 1 n + domt n+ domxt n+1 domt n+1 n n+1 Une méthode qui utilise l eression de T n On a n N, T n n X n k X 1 k On remarque que k [0, n/], n k + k n, de lus le coefficient de X n est n 1 n k C k n 1 n C k n + 1 n 1 k C k n n n n 1 En conclusion degt n n et domt n n 1 I-A-4 Les racines de T n n N k + 1π, T n cosθ 0 cosnθ 0 θ, k Z k + 1π On a donc k [[0, n 1]], T n cosθ k 0 où θ k, de lus k [[0, n 1]], θ k ]0, π[ et la fonction cosinus est bijective de ] 1, 1[ vers ]0, π[, donc T n admet n racines distinctes sur ] 1, 1[, à savoir les cosθ k où k [[0, n 1]] I-B Polynômes de deuième esèce I-B-1 Eression de U n cosθ - En dérivant l eression T n+1 cosθ n + 1θ ar raort à la variable θ, on obtient sinθt n+1cosθ n + 1sinn + 1θ, ce qui entraine que θ R πz, n N, T n+1cosθ n + 1 I-B- sinn + 1θ, c est à dire U ncosθ sinθ a Une relation de récurence entre les U n 1 - n N, U n+ cosθ + U ncosθ sinn + θ + sinnθ sinθ sinθ cosθsinn + 1θ cosθu n+1cosθ ce qui donne ar unicité des U n que U n+ + U n XU n+1 sinn + 1θ sinθ b Racines de U n - Les racines de U n sont celles de T n+1, or T n+1 admet n+1 racines distinctes sur ] 1, 1[, donc ar alication du théorème des accroissements finies entre deu zéros consécutifs de T n+1, on obtient un zéro de T n+1, ce qui rouve que U n admet n racines distinctes sur ] 1, 1[ 1/ 5

2 Centrale-suélec 014 n N, U n cosθ 0 sinn + 1θ 0 n + 1θ, k Z Donc k [[1, n]], U n cosφ k 0 où φ k n + 1, les cosφ k sont distincts deu à deu grâce à la bijectivité de cosinus de ] 1, 1[ vers ]0, π[ Donc les racines de U n sont les cosφ k où k [[1, n]] II- Arithmétique des olynômes de Tchebychev II-A Division euclidienne II-A-1 - m, n N tel que 0 m n, cosn + mθ + cosn mθ cosnθcosmθ, donc T n+mt n m T nt m n, m N tel que 0 m < n, sinn + m 1θ + sinn m 1θ cosmθsinn 1θ, donc U n+m 1 + U n m 1 U n 1 T m II-A- a - Si m < n < m, alors 0 < n m < m, donc d arès II A 1, T m T n m 1 T n+t m n, c est à dire T n T n mt m T m n T n mt m T n m avec 0 < m n < m m m degt m - Si m n < 3m, alors m n m < m, donc toujours d arès II A 1, T n m T m 1 T n + T n m, c est à dire T n T n m T m T n m T n m T m T n m avec 0 n m < 3m m m degt m On conclut que Q n,m T n m et R n,m T n m b - Soit n +1m où N, on alique l égalité de II A 1 au coule n, m km, m où k [[1, ]], on obtient T km T m T k+1m + T k 1m, ce qui entraine que 1 k T km T m 1 k T k+1m 1 k+1 T k 1m, ce qui donne en sommant de k 1 à k, on obtient ar téléscoie T n 1 T m T +1m 1 T m 1 k T k+1m 1 k+1 T k 1m Tm 1 k T km Donc T n T m 1 T m + Q n,m 1 T m + 1 k T km, donc 1 k T km et R n,m 0 c - On considère l ensemble A n,m {k N / k 1m < n} Par hyothèse n 0 + 1m, n/m + 1 donc 1 A n,m de lus A n,m est majoré ar 1 + E, donc admet un maimum A n,m et + 1 / A n,m donc 1m < n + 1m, or n n est as roduit de m ar un entier imair, donc 1m < n < + 1m, c est à dire n m < m - k [[0, ]], n k + 1m n 3m m > m, donc k [[0, ]], T m T n k+1m T n km + T n k+m, donc 1 k T m T n k+1m 1 k T n km 1 k+1 T n k+m, ce qui donne ar téléscoie en sommant de k 0 à k T n T m 1 k T n k+1m T n m Or m < n m < 3m, donc d arès la question a, T n m T mt n 1m T n m et ar suite 1 T n T m 1 k T n k+1m + 1 T n m, ce qui donne le résultats uisque n m < m degt m II-B Plus grand commun diviseur II-B-1 Pgcd de U n et U m - Posons n + 1 hn 1 et m + 1 hm 1 - Soit r une racine de U h 1, alors k [[0, h]] tel que r h kn1 π n + 1 km1 π, m + 1 donc r est une racine commune de U n et de U m - Réciroquement si r est une racine commune de U n et de U m, alors k, k [[1, n]] [[1, m]] tel k π que r, donc n + 1 m + 1 n + 1 k π m + 1 et ar suite km 1 k n 1, or n 1 et m 1 sont remiers entre eu, donc ar le théorème de Gauss, n 1 divise k, ce qui entraine en osant k k n 1 k π que r c est à dire que r est une racine de U h 1 h - En conclut que U h 1 est le gcd de U n et U m / 5

3 Centrale-suélec 014 II-B- Pgcd de T n et T m a - Soit r une racine de T g, alors k [[0, g 1]] tel que k + 1π k + 1m1 π k + 1n1 π r, or k+1m 1 et k+1n 1 g m sont imairs, donc r est une racine commune de T n et T m - Réciroquement si r est une racine commune de T n et T m, alors k, k [[0, n 1]] [[0, m 1]] k + 1π k + 1π k + 1π tel que r, donc k + 1π, c est à dire m m k + 1n 1 k + 1m 1, or n 1 et m 1 sont remiers entre eu, donc n 1 divise k + 1 et ar suite si on ose k + 1 n π n qui est imair, on aura r et l imarité de n entraine que r n 1 g est une racine de T g - On conclut que T g est le gcd de T n et T m b - Soit r une racine commune de T n et T m, alors le raisonnement récédent aboutit à l eistence de k, k tel que k + 1n 1 k + 1m 1, donc n 1 et m 1 sont de même arité, ce qui eige ar hyothèse que n 1 et m 1 sont airs, ce qui contredit qu ils sont remiers entre eu - On conclut que T n et T m sont remiers entre eu c - Cas n, m imairs - Cette condition eige que n 1 et m 1 sont imairs, donc d arès a, le gcd de T n et T m est T g où g est le gcd de m et n - Cas n, m des uissances de - Dans ce cas l un des n 1 et m 1 est air et l autre vaut 1, donc d arès b T n et T m sont remiers entre eu III- Un théorème III-A Préliminaires III-A-1 T n n est suite commutante - degt n n - θ R, n, m N, T n ot m cosθ T n cosmθ nmθ T nm cosθ, donc ar unicité T n ot m T nm T mn T m ot n III-A- G est un groue - P, Q G, degpoq degpdegq 1, donc la loi o est une loi de comosition interne qui est associative - P G, PoX XoP P, donc X est l élément neutre de G - L inverse de P ax + b est P 1 b G a - On conclut que G est un groue III-B Commutant de X et T III-B-1 Q est unitaire Soit Q de degré n 1 et de coefficient dominant q 0, tel que P α oq QoP α, alors en égalisant les coefficients dominants de ces deu membres, on obtient q q, donc q 1 III-B- Commutant de X - Soit Q 1 et Q deu olynômes de degré n 1 commutant avec P α, alors d arès la question récédente, ils sont unitaires, donc si in ose R Q 1 Q, on aura degr < n - RoP α Q 1 op α Q op α P α oq 1 P α oq Q 1 Q Q 1 Q Q 1 + Q RQ 1 + Q, ce qui donne ar assage au degrés que degr degrop α degrq 1 + Q degr + n, donc degr n, ce qui est contradictoire avec degr < n - n N, X n commute avec X et c est l unique olynôme de degré n - Si P λ est un olynôme constant qui commute avec X, alors λ X op PoX λ, donc λ {0, 1} - En conclut que CX {0} {X n / n N} III-B-3 Eistence de U et α - Soit P ax + bx + c et U γx + β avec a 0 et γ 0 - UoP P α ou γax + bx + c + β γx + β + α, ce qui aboutit à un système qui admet une unique solution à savoir U ax + b et Pα 4ac + b X b Le cas P T X 1, donne U X et P α X III-B-4 Commutant de T - Soit Q de degré n 1 La question récédente entraine que UoT ou 1 P, donc Q CT QoT T oq UoQoU 1 op P ouoqou 1 UoQoU 1 CP 3/ 5

4 Centrale-suélec 014 III-C - D arès la question II B, P admet au lus un commutant de degré n 1, or n 1, T n commute avec T, donc UoT nou 1 commute avec P ar unicité c est le seul de degré n 1, donc Q T n - De lus si P λ commute avec T, alors λ λ 1, ce qui eige que λ { 1, 1} - En conclusion CT { 1 } {T n / n N} III-C-1 Les α réondant à la question - Soit Q un olynôme de degré 3 qui commute avec P α, alors Q est unitaire de la forme Q X 3 + ax + bx + c - L égalité QoP α P α oq se traduit ar X +α 3 +ax +α +bx +α+c X 3 +ax +bx+c +α, le remier membre est un olynôme air, donc les coefficients de X 5, X 3, X sont nuls dans le deuième membre, ceci eige que a c 0 3α b - L égalité devient X + α 3 + bx + α X 3 + bx + α, ce qui eige le système 3α + b b α 3 + bα α la solution du système est α {0, } et b 3 α, ce qui donne Q X3 si α 0 et Q X 3 3X si α - Réciroquement on vérifie que X 3 X commute avec P et X 3 commute avec P 0 avec III-C- Théorème de Block et Thielmann - Soit F n n une suite vérifiant III 1 et soit n 1, alors F n commute avec F, or d arès III B 3, α C et U G tel que F U 1 op α ou, or F 3 commute avec F U 1 op α ou, donc UoF 3 ou 1 commute avec P α qui est de degré 3, ce qui entraine d arès la question récédente que α {0, 1} - Si α 0, on aura F U 1 op 0 ou U 1 ox ou, et ar suite F n commute avec U 1 ox ou, c est à dire UoF nou 1 commute avec X, or CX {0} {X n / n N}, donc UoF nou 1 X n c est à dire F n U 1 ox n ou - Si α, on aura F U 1 op ou, donc F n commute avec U 1 op ou, et ar suite UoF n ou 1 commute avec P, or d arès la question III B 3, P VoT ov 1 avec V X G, ce qui entraine que V 1 ouof nou 1 ov commute avec T, or CT { 1 } {Tn WoF n ow 1 T n d où F n W 1 ot n ow avec W V 1 ou / n N}, donc IV-Puissances dans GL Z IV-A Condition nécessaire et suffisante d inversibilité - Soit M GL Z, alors MM 1 I, donc detmdetm 1 1, or detm Z et detm 1 Z, donc detm ±1 a c d c - Soit M M b d Z tel que detm ±1, alors M 1 si detm 1 et b a d c M 1 b a IV-B Relations entre les olynômes de Dickson et Tchebychev - Soit, a C C, alors en osant G n 1 a D na, a et H n n 1 a E na, a, on aura - G 0 1, G 1 1 a a et G 1 n+ a D n+a, a n+ 1 a ad n+1a, a a D n+ n a, a a D n+1a, a 1 n+1 a D na, a n G n+1 G n - La suite G n n vérifie la relation I-1, donc ar unicité n N, G n T n, ce ci entraine que, a C C, D n a, a a n T n les fonctions sont olynômiales des deu variables, a, donc l égalité est vraie sur C - De même on vérifie H 0 1, H 1 et H n+ H n+1 H n, donc ar unicité n N, H n U n et our les mêmes raisons l égalité est vraie sur C - On va montrer ar récurrence l égalité D n + a, a n + an n - L égalité est vrai our n 0 et n 1 - Suosons que our un certain n N, l égalité est satisfaite our n et n + 1, alors D n+ + a, a + a D n+1 + a, a ad n + a, a + a n+1 + an+1 a n + an n+ + an+, ce qui établie la récurrence n+1 n n+ - De même on montre ar récurrence l égalité a E n + a, a n+1 an+1 n+1 4/ 5

5 Centrale-suélec 014 IV-C - L égalité est vraie our n 0 et n 1 - Suosons que our un certain n, l égalité est vraie à l ordre n et n + 1, alors a E n+ + a, a + a a E n+1 + a, a a a E n + a, a + a n+ an+ a n+1 an+1 n+3 an+3, ce qui établie la récurrence n+1 n+1 n+3 IV-C-1 On montrer cette égalité ar récurrence sur n - Pour n, c est le théorème de Gayley-Hamilton O χ B B B TrBB + detbi, donc B σb νi E 1 σ, νb νe 0 σ, νi - Suosons que our un certain n, l égalité est vérifiée, alors B n+1 E n 1 σ, νb νe n σ, νb σe n 1 σ, ν νe n σ, ν B νe n 1 σ, νi E nσ, νb νe n 1 σ, νi, ce qui établie la récurrence - Soit λ, µ C les valeurs rores de B, alors λµ detb ν et λ + µ λ + ν TrB σ, λ donc en rofitant de la relation IV 1, on obtient TrB n λ n + µ n λ n + νn λ n Dn λ + ν λ, ν D nσ, ν IV-C- A étant une uissance n ième dans GL Z, alors B GL Z tel que A B n, on note comme dans IV C 1 σ TrB et ν detb, alors d arès l égalité récédente, A B n E n 1 σ, νb νe n σ, νi, ce qui donne ar comaraison des coefficients et en notant B b i,j 1 i,j a d b 1,1 b, E n 1 σ, ν, c b,1 E n 1 σ, ν et b b 1, E n 1 σ, ν - σ et ν sont dans Z, on va montrer ar récurrence sur n N que E n σ, ν Z - E 0 σ, ν 1 Z et E 1 σ, ν σ Z - Suosons que our un certain n N, E n σ, ν Z et E n+1 σ, ν Z, alors E n+ σ, ν σe n+1 σ, ν νe n σ, ν Z, ce qui établie la récurrence - Les égalités récédentes assure la roosition i - L égalité A B n entraine que τ TrA TrB n D nσ, ν d arès la question récédente, et τ deta detb n detb n ν n, ce qui établie ii IV-C-3 a Soit α, ν α les racines du olynôme X σx+ν, alors d arès la condition ii et l égalité IV 1, τ D nσ, ν D nα + ν α, ν αn + νn α, donc grâce à cette égalité et à δ n νn de la condition ii, τ 4δ α n + νn 4ν n α n νn, ce qui donne d arès l égalité IV 1, α n α n τ 4δ α α ν E n 1σ, ν, or α ν α + ν 4ν σ α α 4ν, donc τ 4δ σ 4ν ru st 1 σ a d bc 4 1 σ a + b 4ad bc 4 1 σ τ 4δ 1 σ σ 4ν ν 4 4 C est clair que la condition i entraine que s Z et t Z, donc ru ν + st Z, de lus σ a d σ + a d a d 4ru est air, donc l un dse entiers σ ou σ + a d est air, ce qui entraine que u Z ou r Z, mais uisque u + r σ Z, il suffit que l une des deu soit dans Z our que l autre soit aussi dans Z, donc u Z et r Z - detb ν ±1, donc d arès IV A B GL Z b - L égalité B n E n 1 σ, νb νe n σ, νi entraine que B n B νe n σ, νi b où on a osé r νe c y n σ, ν et y u νe n σ, ν - Reste à montrer que, y a, d - L égalité τ D nσ, ν TrB n, entraine que a + b + y et des égalités r 1 σ + a d, u 1 σ a d on tire r u a d, donc y a d { + y a + d - On a donc y a d, donc a et d y, ce qui entraine que Bn A IV-C-4 - On choisit σ et ν our que E σ, ν σ ν divise 5 et 10 et σ et ν 1 conviennent 1 - On obtient r 1, s, t 1 et u 1, donc B, on vérifie bien que B 3 A 1 1 5/ 5