[ édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. b) Soit (u n ) n N une suite d éléments de [0 ; 1]. Montrer

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1 [ édité le 9 décembre 05 Enoncés Familles sommables Ensemble dénombrable a) Calculer n+ Exercice [ ] [Correction] Soit f : R R croissante. Montrer que l ensemble des points de discontinuité de f est au plus dénombrable. Exercice [ 0045 ] [Correction] Existe-t-il une fonction continue f de R dans R envoyant les rationnels dans les irrationnels et les irrationnels dans les rationnels? Exercice 3 [ ] [Correction] On souhaite établir que l ensemble N) des parties de N n est pas dénombrable. Pour cela on raisonne par l absurde et l on suppose qu il existe une bijection ϕ de N vers N). Établir une absurdité en introduisant l ensemble A {n N n / ϕn)} Exercice 4 [ ] [Correction] On appelle nombre algébrique, tout nombre complexe x solution d une équation de la forme a n x n + + a x + a 0 0 avec a 0, a,..., a n Z et a n 0 On appelle degré d un nombre algébrique x, le plus petit n N tel que x soit solution d une équation comme ci-dessus. a) Quels sont les nombres algébriques de degré? b) Montrer que l ensemble des nombres algébriques de degré au plus n est dénombrable. c) L ensemble de tous les nombres algébriques est-il dénombrable? Exercice 5 [ ] [Correction] b) Soit u n ) n N une suite d éléments de [0 ; ]. Montrer n N, [0 ; ] \ n 0 [u + ; u + + ] c) On peut alors construire une suite x n ) n N d éléments de [0 ; ] vérifiant n N, x n / n 0 [u + ; u + + ] Justifier qu on peut extraire la suite x n ) n N une suite convergeant vers un élément l de [0 ; ]. d) Exploiter les idées précédentes pour établir que [0 ; ] n est pas dénombrable. Exercice 6 [ 0440 ] [Correction] Montrer que l ensemble des parties finies de N est dénombrable. Etude de sommabilité Exercice 7 [ 063 ] [Correction] Déterminer selon α R la nature de la somme m,n m + n) α Exercice 8 [ ] [Correction] Pour quels α > 0, la famille suivante est-elle sommable? ) p + q ) α p,q) N

2 [ édité le 9 décembre 05 Enoncés Sommation par paquets Exercice 9 [ 047 ] [Correction] Établir que pour x ] ; [, x n x n n n dn)x n en notant dn) le nombre de diviseurs positifs de n. Exercice 0 [ 044 ] [Correction] Convergence et calcul, pour z complexe tel que z <, de z n z n+ Exercice [ 0636 ] [Correction] On note l Z) l ensemble des suites complexes u u n ) sommables. a) Soit u, v l Z). Montrer que pour tout n Z, la famille u v n ) Z est sommable. b) Pour u, v l Z), on pose u v) n Z u v n. Montrer que u v l Z) et que u n u v) n c) Montrer que la loi ainsi définie est commutative, associative et possède un neutre. d) La structure l Z), ) est-elle un groupe? v n Permutation des termes Exercice 4 [ 0030 ] [Correction] Soient n 0 u n une série absolument convergente et v n u σn) avec σ SN). Montrer que la série n 0 v n est absolument convergente de même somme de un. Exercice 5 [ 003 ] [Correction] Soit σ : N N une application bijective. a) Déterminer la nature de b) Même question pour n n σn) σn) Exercice 6 [ 0963 ] [Correction] Si σ est une bijection de N sur N, montrer la divergence de la série σn) Exercice 7 [ 045 ] [Correction] Soit σ une permutation de N. Étudier la nature des séries de termes généraux n Exercice [ ] [Correction] Soit q C avec q <. Montrer que la famille q n ) est sommable et calculer sa somme. Exercice 3 [ ] [Correction] Soit r [0 ; [ et θ R. Justifier l existence et calculer r n e inθ a) nσn) Exercice 8 [ ] [Correction] Soit σ une permutation de N. Quelle est la nature de b) σn) n c) σn) n ln n? σn) n ln n d) σn) n 3

3 [ édité le 9 décembre 05 Enoncés 3 Exercice 9 [ 0346 ] [Correction] Soit u n ) une suite réelle telle qu il y ait convergence de la série u n Soit σ une bijection de N et v n ) la suite déterminée par n N, v n u σn) a) Montrer la convergence et calculer la somme de la série v n. b) Quelle est la nature de la série u n v n? c) Déterminer les bornes supérieure et inférieure de u n v n pour σ parcourant l ensemble des bijections de N. Exercice 0 [ 034 ] [Correction] Soit z n ) une suite de complexes non nuls telles que n m z n z m Montrer la convergence de la série de terme général /z 3 n. Sommes doubles Exercice [ 0093 ] [Correction] a) Soit α >. Déterminer un équivalent à R n n+ b) Pour quels α R, la somme n+ a-t-elle un sens? α c) Montrer qu alors n+ α α p p α Exercice [ 0095 ] [Correction] Soit a un complexe de module strictement inférieur à. En introduisant la famille des nombres u p,q a pq ) pour p, q ), établir l identité p a p a p a p a p p Exercice 3 [ 0096 ] [Correction] On pose a p,q p + p + q + p p + q + p + p + q + 3 Calculer Qu en déduire? q0 p0 Exercice 4 [ ] [Correction] Existence et valeur de Exercice 5 [ 0094 ] [Correction] Justifier En déduire Qu en déduire? a p,q et a p,q p0 q0 p + q )p + q + ) p,q) N N p n,n p n,n p n p 3 4p n p n p,p n n p

4 [ édité le 9 décembre 05 Enoncés 4 Produit de Cauchy Exercice 6 [ ] [Correction] Existence et calcul de n + )3 n Exercice 7 [ 0044 ] [Correction] Pour n, on pose u n v n )n n Exercice 30 [ 0435 ] [Correction] Soit u n ) n N une famille sommable. Pour tout n N, on pose v n n n u Montrer que la famille v n ) n N est sommable et exprimer sa somme en fonction de celle de la famille u n ) n N. 0 a) Montrer que les séries u n et v n convergent. b) Montrer la divergence de leur série produit de Cauchy. Exercice 8 [ ] [Correction] Soit u n ) une suite numérique. Pour tout n N, on pose v n n n u a) On suppose dans cette question la série u n absolument convergente. En observant un produit de Cauchy, montrer que la série v n converge et exprimer sa somme en fonction de celle de u n. b) On suppose dans cette question que la suite u n ) tend vers 0. Déterminer la limite de v n ) 0 c) On suppose dans cette dernière question la série u n convergente. Montrer la convergence de v n et déterminer sa somme en fonction de celle de u n. Exercice 9 [ ] [Correction] Établir avec e n ) n n.n! H n n n H n n!

5 [ édité le 9 décembre 05 Corrections 5 Corrections Exercice : [énoncé] Notons fx + ) lim fx + h) et h 0 fx ) lim fx h) + h 0 + Ces limites existent car la fonction f est monotone et l on a évidemment fx ) fx) fx + ) L ensemble des points de discontinuité de f se comprend alors comme l ensemble suivant E { x R fx ) < fx + ) } Pour chaque x appartenant à E, on peut déterminer un nombre rationnel r vérifiant r ]fx ) ; fx + )[ L application qui à x associe r définit une injection de E dans Q. L ensemble E est au plus dénombrable. Exercice : [énoncé] Une telle fonction ne prendre qu un nombre dénombrable de valeurs, or si celle-ci n est pas constante, elle prend toutes les valeurs d un intervalle non singulier ce qui constitue un nombre non dénombrable de valeurs. Une telle fonction ne peut exister. Exercice 3 : [énoncé] L ensemble A est par définition une partie de N. Puisque l application ϕ est bijective, il existe n N tel que A ϕn). Étudions alors l appartenance de n à la partie A. Si n A alors n / ϕn) mais A ϕn) : c est absurde. Si n / A alors n / ϕn) et n A : c est à nouveau absurde. b) Les nombres algébriques de degré au plus n sont les solutions des équations a n x n + + a x + a 0 0 avec a 0, a,..., a n Z et a n 0 Puisque Z Z n est un ensemble dénombrable, ces équations sont en nombre dénombrable. De plus, chacune possède au plus n solutions. On peut percevoir l ensemble des nombres algébriques comme une réunion dénombrable d ensembles tous finis, c est un ensemble dénombrable. c) L ensemble des nombres algébriques est la réunion dénombrable des ensembles précédents, c est un ensemble dénombrable. Exercice 5 : [énoncé] a) Par sommation géométrique n+ / b) La somme des longueurs des intervalles réunis vaut n 0 + < + 0 La réunion de ces intervalles ne peut recouvrir [0 ; ]. c) x n ) est une suite bornée. Par le théorème de Bolzano-Weierstrass, on peut en extraire une suite convergente et cette dernière a sa limite dans [0 ; ]. d) Par l absurde, supposons [0 ; ] dénombrable et considérons u n ) n N une énumération de ses éléments. On reprend la suite x n ) n N construite comme ci-dessus et la limite l introduite. Puisque celle-ci est élément de [0 ; ], il existe N N tel que u N l. Puisqu il existe une suite extraite de x n ) n N, convergeant vers l, il existe une infinité de termes de cette suite dans l intervalle [l / N+ ; l + / N+ ] [u N / N+ ; u N + / N+ ] Exercice 4 : [énoncé] a) Ce sont les nombres rationnels. Or, par construction, pour tout n N, l élément x n est extérieur à cet intervalle. C est absurde!

6 [ édité le 9 décembre 05 Corrections 6 Exercice 6 : [énoncé] Notons E l ensemble des parties finies de N et E n l ensemble des parties finies de 0 ; n. Puisque toute partie finie de N est nécessairement majorée, on peut affirmer l égalité E n N E n Les ensembles E n étant finis et la réunion dénombrable, on peut affirmer que E est dénombrable en tant qu ensemble infini réunion dénombrable de parties au plus dénombrables. On peut aussi propose un dénombrement expliciter. Si l on note i,..., i les éléments d une partie A finie de N, on peut lui associer l entier na) i + + i. L existence et l unicité de la décomposition d un entier en somme de puissances de assurant la bijectivité de cette association. La sommabilité de la famille étudiée équivaut à celle de p + q) α ) En regroupant par paquets selon p,q) N I n { p, q) N p + q n } celle-ci équivaut à la sommabilité de ) n qui est vraie si, et seulement si, α >. n α n Exercice 7 : [énoncé] Il s agit d une somme de termes positifs. Regroupons les termes par paquets selon la valeur de m + n et Or Exercice 8 : [énoncé] On a l encadrement m,n m,n m + n) α m,n p m+np m + n) α p p α p p p α m + n) α p p α < α > m + n) α p + q) p + q p + q) Exercice 9 : [énoncé] Pour x ] ; [, on peut écrire Par suite x x x l l x x x l l Pour chaque, la série l x l converge et la série l x l x x converge aussi. La famille x l ),l N est sommable. Réorganisons la somme selon les valeurs du produit l avec x x x l n ln n dn)x n d n Card {, l) N l n} d n apparaît alors comme étant le nombre de diviseurs positifs de n, i.e. dn).

7 [ édité le 9 décembre 05 Corrections 7 Exercice 0 : [énoncé] Puisque z <, on peut écrire par sommation géométrique et z n+ z n+ 0 z n z n z n+ z n+ 0 z n +) 0 Tout entier naturel non nul p s écrit de façon unique sous la forme p n + ) avec n, N On peut affirmer que N est la réunion des ensembles deux à deux disjoints suivants A n { n + ) N} Puisque la famille z p ) p N est sommable, on peut sommer par paquets et écrire Finalement p Exercice : [énoncé] z p m A n z m z n +) 0 z n z p z z n+ z p a) Puisque v l Z), v n n 0 et v n) est bornée par un certain M. On a u v n M u la famille u v n ) Z est sommable. b) Pour chaque Z, la famille u v n ) est sommable avec u v n u v n u v n et la famille u v n ) est aussi sommable,, par sommation Z par paquets, la famille u v n ) n,) Z est sommable. Par sommation par paquets u v n u v n < n,) Z Z Puisque u v n u v n Z Z on a obtient u v l Z). De plus, par sommation par paquets u v n u v n u v n n,) Z Z Z ce qui donne c) On a et u v) n Z u v) w) n u u v) n +ln +l+mn v n Z u v l v u) n u l Z v l u v l w m u v w)) n Pour ε définie par ε n δ n,0, u ε u ε est élément neutre. d) Considérons u définie par u n δ 0,n δ,n. Si u est inversible et v son inverse, la relation u v ε donne v n v n ε n δ 0,n. Par suite pour tout n N, v n v 0 et puisque v n 0, pour tout n n N, v n 0. De même pour tout n < 0, v n 0 Mais alors, pour n 0, v n v n δ 0,n donne 0. L élément u n est pas inversible et l Z), ) n est pas un groupe. Exercice : [énoncé] Étudions la sommabilité de q n ). On peut décomposer Z N {0} Z La sous-famille q n ) est sommable car la série géométrique q n n N converge. De même, la sous-famille q n ) est sommable.

8 [ édité le 9 décembre 05 Corrections 8 Par sommation par paquets q n ) est sommable. De plus Exercice 5 : [énoncé] q n n N q n + + Exercice 3 : [énoncé] r n e Étudions la sommabilité de inθ ) On peut décomposer q n + q n + q q r n ). Z N {0} Z La sous-famille r n ) est sommable car la série géométrique r n converge. n N De même, la sous-famille r n ) est sommable. Par sommation par paquets r n ) est sommable. La somme étudiée existe et en sommant par paquets r n e inθ r n e inθ ++ r n e inθ + r eiθ r e iθ + r e iθ r e iθ r On r cos θ + r a n N Exercice 4 : [énoncé] On a n v n 0 u n < n n 0 v n est absolument convergente. Pour n N, posons pn) max { σ ) 0 n } Pour tout ε > 0, il existe N N tel que n N+ u n ε. Pour tout M pn) : M N v n u n u n ε Par suite M v n v n n N+ u n ε u n a) La série n converge absolument la famille n est sommable. Il )n en est de même de la famille permutée et la série n σn) converge. b) C est analogue, mais cette fois la famille ) série à termes positifs n Exercice 6 : [énoncé] Posons S n S n σn) diverge. S n n n+ n σn) )n n σ) σ) 4n n n est pas sommable et la n n+ σ) Or les entiers σn + ),..., σn) sont, à l ordre près, au moins égaux à,..., n et S n S n n 4n n + 8n 8 On en déduit que S n ) diverge. Exercice 7 : [énoncé] a) Étude de nσn). Notons que par permutation des termes d une série absolument convergente, la série σn) converge. Puisque 0 nσn) n + ) σn) on peut affirmer, par comparaison de séries à termes positifs, que la série étudiée converge.

9 [ édité le 9 décembre 05 Corrections 9 b) Étude de σn) n. Posons u n n u n u n σ). On observe n n+ σ) 4n d où l on conclut que la série diverge. c) Étude de σn) n ln n. Pour n assez grand, n n ln n et la série étudiée diverge. σn) n 3. σn) n n n+ σ) 4n σn) n ln n n n + 8n 8 d) Étude de n N Pour σ : n n, la série est convergente. Pour σ : p p et p + le p + -ième entier qui n est pas un carré, la série contient les termes /8p avec p N et est divergente. Exercice 8 : [énoncé] Posons On a S n S n+ S n n+) ln n+ n n+ n + σ) ln σ) n+) ln n+ car les entiers σ) de la première somme sont aux moins égaux aux entiers de la seconde. On en déduit et n n + ) S n+ S n n+3 n + ) ln 8 ln n Puisque la série /n diverge, il en de même de la série télescopique S n+ S n et la suite S n) tend vers. On en déduit la divergence de la série étudiée. n Exercice 9 : [énoncé] a) La permutation des termes d une série à termes positifs ne change ni sa nature, ni sa somme. On peut affirmer b) En vertu de la majoration v n ab u n a + b ) on a u n v n u n + vn) Par comparaison de série à termes positifs, on peut affirmer la convergence de la série u n v n... c) et u n v n u n + v n u n De plus, cette inégalité est une égalité quand σ Id N { } sup u n v n /σ bijection de N On a évidemment u n v n 0 Pour montrer que la borne inférieure cherchée est 0, montrons que l on peut rendre la somme précédente aussi petite que l on veut. Soit ε > 0. Par convergence de la série u n, il existe N N tel que nn u n ε De plus la suite u n ) tend vers 0, elle est bornée par un certain M > 0 et il existe un rang N > N tel que n N, u n ε MN + ) u n

10 [ édité le 9 décembre 05 Corrections 0 Considérons alors la bijection σ de N déterminée par N + n si n {0..., N} σn) n N si n {N,..., N + N} n sinon Pour cette permutation u n v n N u n N ε +N MN + ) + ε MN + ) u n N + ε 3ε nn On peut affirmer { } inf u n v n /σ bijection de N 0 Exercice 0 : [énoncé] Pour N N posons A N {n N, z n N}. Pour n, m A N distincts, les disques ouverts de centres z n et z m et de rayon / sont disjoints. La réunion de ces disques pour n parcourant A N, est incluse dans le disque de centre 0 et de rayon N + /. Par considération d aire, on obtient et Card A N π ) π N + ) Card A N N + ) Quitte à permuter les termes de la suite, supposons la suite z n ) croissante ceci est possible, car il n y a qu un nombre fini de termes de la suite de module inférieur à une constante donnée). En vertu de l étude qui précède > N et on en déduit zn+) + ) z p 3 O p 3/ La série permutée de terme général /z 3 n est absolument convergente et la série initiale l est aussi. Exercice : [énoncé] a) Puisque x x α est décroissante : n+ dx x α n+ n+ α α α dx n x α n α b) Par suite n+ a un sens si, et seulement si, α >. α c) Posons u,n si > n et u α,n 0 sinon. Pour tout n, 0 u,n converge et n 0 peut appliquer la formule de Fubini et affirmer 0 u,n avec convergence des séries sous-jacentes. Or u,n n+ u,n 0 α α α Exercice : [énoncé] La série p u p,q est absolument convergente et p u p,q a q a q a q a q De plus la série de terme général la règle de d Alembert. La famille u p,q ) p,q est sommable et on a q p u p,q 0 u,n converge on α est absolument convergente en vertu de u p,q p q

11 [ édité le 9 décembre 05 Corrections ce qui fournit la relation q a q a q a p a p p Par télescopage : np+ n p + p + + ) p Exercice 3 : [énoncé] D une part p0 a p,q 0 q0 p0 a p,q 0. q0 a p,q. D autre par q0 a p,q p+ p+ p0 La formule de Fubini ne s applique pas, la famille a p,q ) p,q) N sommable. Exercice 4 : [énoncé] Notons que les termes sommés sont positifs. Pour chaque q N, la série p 0 p+q )p+q +) p. Par télescopage p0 p+q )p+q +) converge car n est pas p + q )p + q + ) ) p + q p + q + q La série q p0 p+q )p+q +) q q converge aussi, on peut affirmer que la famille p + q )p + q + ) ) est sommable et sa somme vaut p0 p + q )p + q + ) p,q) N N q p0 p,q) N N Exercice 5 : [énoncé] La série converge compte tenu des critères usuels. n p p n p ) n + p p + q )p + q + ) q π 6 q De plus puis Cependant p n n p p p p ) p n,n p n p p p + ) 3 p 4p p n,n p n p,p n p n,n p n p n p n n p p 3 4p > 0 3 4n n p,p n p 3 4p n p On en déduit que la familles des /n p ) avec p, n) N, p n n est pas sommable. Exercice 6 : [énoncé] Par produit de Cauchy de série convergeant absolument n ) n + )3 n 3 3 n 3 n Exercice 7 : [énoncé] 0 a) par application du critère de Leibniz... m0 ) 3 m 9 4

12 [ édité le 9 décembre 05 Corrections b) On a or n w n n u v n ) n n n n n n n et par suite w n 0 et w n diverge grossièrement. Exercice 8 : [énoncé] n c) En permutant les sommes N v n N n 0 En évaluant la somme géométrique u N n N u 0 n n N N N v n u N + ) N u u N 0 0 et compte tenu du résultat de la question précédente N v n 0 On en déduit à nouveau que la série v n converge et u 0 a) On a v n n 0 u n v n u n La série v n est la série produit de Cauchy de u n et n. Puisqu elles sont toutes deux absolument convergentes, la série v n est absolument convergente, convergente et ) v n u n b) Soit ε > 0. Il existe N N tel que On a alors v n puis pour n assez grand ) n n N, u n ε N 0 u n + ε v n 3ε n N u n n Cte n + ε On peut affirmer que la suite v n ) converge vers 0. Exercice 9 : [énoncé] Par produit de Cauchy de séries convergeant absolument Or e n ) n n.n! n ) n n! n.n! n n ) n )!.! n! Il reste à montrer par récurrence sur n que ce qui se fait par n+ n ) ) n + n ) n ) n+ ) n ) n )!.! ) n ) n ) n n+ + ) ) n

13 [ édité le 9 décembre 05 Corrections 3 Or n+ ) ) n+ n ) n + ) n + )n+ n + n + n + n+ ) ) n + n+ Exercice 30 : [énoncé] On peut écrire v n n 0 u ) n La série v n est la série produit de Cauchy de u n et. Puisqu elles n sont toutes deux absolument convergentes, la série v n est absolument convergente et ) ) v n u n n u n