ICNA - SESSION 2009 ÉPREUVE OPTIONNELLE DE PHYSIQUE CORRIGÉ

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1 ICNA - SESSION 9 ÉPREUVE OPTIONNEE DE PHYSIQUE CORRIGÉ Diffusion thermique dns un câble électrique.. puissnce volumique dissipée pr effet Joule dns le conducteur est donnée pr P. Je J J.E e γ I e vecteur densité de cournt étnt uniforme on Je ce qui nous conduit à : π R I P γπ J R. e flux thermique - homogène à une puissnce - sortnt à trvers l surfce ltérle du cylindre d'xe Oz, de huteur h et de ryon ρ< R, est : φ ρ,t J ρ,t e. ρdθ dze πρhj ρ,t ( ρ) ( ρ) u,o u,o S 3. En régime sttionnire l puissnce dissipée pr effet Joule dns le conducteur cylindrique précédent (ryon ρ, huteur h) est totlement évcuée, pr diffusion, à trvers s surfce ltérle, soit : hρ I πρhju,o ( ρ ) γπ R On en déduit l densité de cournt thermique : I ρ Ju,O ( ρ ) πγ R. loi de Fourier, dns le conducteur, se trduit pr : dt ( ρ) I ρ λ dρ πγr On en déduit, pr intégrtion, le profil de tempérture à l'intérieur du conducteur : I ρ T( ρ ) T πγλ R 5. e flux thermique est continu en ρ R. Pr illeurs, en régime sttionnire, l densité de cournt thermique dns l gine, dépourvue de terme de source, est à flux conservtif. Il en résulte que : hi φ( ρ ) φ ( R) φ ( R) Cte πγr 6. Avec l loi de Fourier on peut écrire : hi dt ( ρ) φ( ρ ) λ πhρ πγr dρ soit : I dρ dt( ρ ) π λγr ρ On en déduit, pr intégrtion, l tempérture à l surfce de l gine en fonction de l tempérture à l surfce du conducteur ohmique :

2 ICNA - SESSION 9 I R π λγ R T R T R ln R 7. Pr définition, l résistnce linéique du conducteur ohmique est résultts des questions et 6 il vient : ln ( R / R ) T T R + + r I πλ πλ r πγr. En utilisnt les Mouvement d'une brre dns un pln verticl. 8. vitesse du centre d'inertie de l brre dns le référentiel du lbortoire, supposé gliléen, est : doc θ V( C, T / R ) ( cosθex sinθe z) R 9. 'énergie cinétique de T dns R est, d'près le théorème de Koenig : K ( T / R) mv ( C, T / R) + I Cω ( T / R ) m θ 6 π Son énergie potentielle de pesnteur, vec origine dns le pln xoy θ, est : Ep mg.oc mgcosθ On en déduit l'énergie mécnique de l brre : Em m θ + mgcosθ 6. En l'bsence de frottements sur les prois, l'énergie mécnique se conserve u cours du temps, ce qui se trduit, compte tenu des conditions initiles, pr : m θ + mg cos θ mg cos θ 6 On en déduit l'éqution différentielle proposée dns l'énoncé si on pose : τ 3g. e théorème de l résultnte cinétique - encore ppelé théorème de l résultnte dynmique ou théorème du centre de msse - ppliqué à T dns R s'écrit, en supposnt le contct en A mintenu : dv( C, T / R ) m mg+ RA + RB R On en déduit en projection suivnt e x : m R A.e x ( θcosθ θ sinθ) 3g Or, θ d θ 3g ( cos θ cos θ) et θ sin θ. En définitive on obtient : dθ 3mg R sinθ( 3cosθ cosθ ) e A x. e théorème de l résultnte cinétique en projection suivnt e z nous donne :

3 ÉPREUVE OPTIONNEE DE PHYSIQUE - CORRIGÉ 3 m R B.e z mg ( θsinθ+θ cosθ) En exprimnt θ et θ en fonction de θ on obtient : mg R ( + 9cos θ 6cosθ cosθ) e 3. e contct cesse en A pour θθ tel que R A ( θ ).ex, soit : B z θ rccos cos θ 5, 3. A cet instnt, l composnte horizontle de l vitesse de C dns R est : Vx ( θ ) V ( C, / ).e T R x g cos θ,5 m.s θ 3 Diffrction. Apodistion On observe, sur l'écrn plcé dns le pln focl imge de l lentille mince convergente, l figure de diffrction à l'infini de D centrée sur l'imge géométrique réelle de l'étoile E. 6. 'mplitude complexe des ondes lumineuses diffrctées dns l direction θ ( θ rd) et reçues en un point P de l'écrn est égle à l trnsformée de Fourier de l trnsmittnce du diphrgme binire : On X θ ce qui entrîne / θx ψ ( P) ψ exp iπ dx λ / πx ψ X ψ sinc λ. πx 7. 'éclirement sur l'écrn est lors X k * λf ' soit ux bscisses Xk kd vec : E X E sinc λ. Cet éclirement s'nnule pour λ d 6µ m 8. On dispose dns le pln du diphrgme une pupille de trnsmittnce T( x) πx cos. 'mplitude complexe des ondes lumineuses diffrctées dns l direction q ( θ rd) et reçues en un point P de l'écrn est lors : / / / πx ψ x x ψ '( P) ψ cos exp( i ux) dx exp i ( u) dx exp i ( u) dx π π + π + / / / On en déduit : ψ cos ψ 'P π u ( πu ) Si on rpproche ce résultt de l'expression proposée dns l'énoncé on : ψ k π

4 ICNA - SESSION 9 9. Et : k. 'éclirement sur l'écrn est lors ( X) qui l'nnule est donc : πx cos λ E' E'. plus petite vleur X > X λ 3λf ' X 9µ m > d Remrque. e mximum principl est plus lrge que celui produit pr une fente binire. Pr contre, les mxim secondires sont reltivement moins intenses que pour une fente binire X puisque pour u λ ils vrient en u lieu de. Ce phénomène porte le nom u u d'podistion - du grec podos qui signifie "sns pieds" - cr il minimise les mxim secondires ou "pieds" de l figure de diffrction.. 'ngle de diffrction correspondnt est : X 7 θ 7, 5. rd,5" Induction électromgnétique.. On est en présence d'un circuit de constitution vrible plongé dns un chmp mgnétique uniforme et constnt. force électromotrice induite dns le circuit pr ce chmp extérieur est égle à l circultion du chmp électromoteur de orentz le long du circuit. On se plce dns le référentiel ou les rils sont immobiles, donc : / e t v t B.d v t B.d B v t cosαdy soit : ( () ) () () () C M'M / e t B v t cosα 3. tige mobile, prcourue pr le cournt i(t), subit une force de plce dont l composnte dns le pln P' est : / F F.e ' e '. i t d B B i t cos αdy soit : ( () ) (),x' x x M'M / F,x' B i t cosα. Pour obtenir l'éqution mécnique du système on pplique le théorème de l résultnte cinétique - ou théorème de l résultnte dynmique ou encore théorème du centre de msse - à l tige T dns le référentiel lié ux rils et supposé gliléen. Il vient : dv( t) m mg+ R+ F Comme l tige glisse sur les rils sns frotter on obtient, en projetnt cette éqution selon e' x : dv( t) Bcos α gsinα i() t m Pr identifiction vec l'expression proposée dns l'énoncé on en déduit successivement :

5 ÉPREUVE OPTIONNEE DE PHYSIQUE - CORRIGÉ 5 Bcosα h mg tn α h gsin α, h, m h B 5. Pour obtenir l'éqution électrique du système on utilise l loi des milles qui nous donne : di( t) e() t + Ri() t B v() t cosα En dérivnt cette éqution pr rpport u temps et compte tenu de l'éqution mécnique, il vient : dit () R dit () ( Bcos α) Bg + + i() t sinαcosα m Pr identifiction vec l'éqution proposée dns l'énoncé, on obtient : Bcos α ω m 6. Puis : i mg tnα B 7. On suppose que R et ce qui réduit l'éqution électrique à : Avec les condition initiles i et dit + ω i() t ω i di( t), elle s'intègre en : ( ω ) i t i cos t di t On en déduit, vec B v() t cosα, l vitesse de l tige : di( t) ω i v() t sin ω t vsin ωt Bcos α Bcos α En explicitnt ω et i il vient : g m tnα v B 8. On suppose mintennt que et R. 'éqution électrique se réduit lors à : () ( Bcosα) ( Bcosα) Bg i() t cos sin i di t + α α mr R mr Elle s'intègre, vec les mêmes conditions initiles que précédemment, en : t i() t i exp τ si on pose : mr τ Bcosα entille mince convergente et doublet. 9. lentille mince convergente donne, d'un objet réel, une imge réelle si p OA ], ] qui conduit à p' O E [ f ', [ +. A prtir de l reltion de conjugison de Descrtes, schnt que D AE, on obtient l'éqution du seconde degré en p : p + Dp + Df '

6 6 ICNA - SESSION 9 Cette éqution dmet des solutions réelles négtives si Remrque. Voir l méthode de Bessel. D f ' D D f ' ce qui implique : OE OE OE 3. On, pr définition du grndissement trnsversl, Gt. On en OA OE + EA OE D déduit : OE D 3 3. On : A A' E A'. formule de conjugison de Descrtes ppliquée à l lentille nous conduit à :.O A' OA' OE O A' Comme pr illeurs : OE OO + OE OO + D, on en déduit : 3 3.OA' D + OO 8cm OA' 3. formule de conjugison de Descrtes ppliquée à l lentille nous conduit à : OE.OA D 8cm OA OE Tout ryon issu du foyer objet F du doublet émerge de prllèlement à l'xe optique. F dmet donc le foyer objet F de l lentille comme conjugué imge à trvers. Avec l formule de conjugison des Descrtes il vient : ( ).OF OO OF 5,cm OF + OO 3. Tout ryon incident prllèle à l'xe optique émerge du doublet en pssnt pr F'. e foyer imge F' du doublet est donc le conjugué imge du foyer imge F' de l lentille à trvers. En utilisnt de nouveu l formule de conjugison de Descrtes il vient : Il en résulte que : ( ).OF' OO OF' + O F' + OO ( ) OO OF' OO + OF' OO + cm + OO Remrque. On peut ussi déterminer F' F' en utilisnt l formule de conjugison de Newton puis en déduire OF'. Filtre du premier ordre générlisé. 35. On est en présence d'un diviseur de tension constitué de deux dipôles d'dmittnces : S fonction de trnsfert est donc : Y + jc ω, Y + jc ω R R

7 ÉPREUVE OPTIONNEE DE PHYSIQUE - CORRIGÉ 7 u R + jc R ω H( jω ) u R R s Y e + ( C+ C) RR + + jω Y R+ R Pr identifiction vec l fonction de trnsfert proposée dns l'énoncé on obtient : 3 ω. rd.s RC 36. Pr illeurs : ω R+ R C C R R ( + ) 37. e gin ser indépendnt de l fréquence du signl d'entrée si ω ω ce qui impose : R C C 5nF R 38. Dns ce cs, le gin en décibel vut : R G ( db) log H log 3,5dB R+ R 39. orsque ωω, l fonction de trnsfert s'écrit : + j + j H( jω ) H H ω R C + C' + j + j ω C R + R 'rgument ϕϕs ϕ e de l fonction de trnsfert représente l'vnce de phse de l sortie pr rpport à l'entrée. On veut que : π R( C+ C' ) π ϕ rctn C( R R) + ce qui nécessite : R C' C ,8 nf R. Avec les résultts précédents l fonction de trnsfert, pour ω ω, s'écrit : + j H( jω ) 3 + j 3 On en déduit le gin en décibel : G '( db) log 6,53dB 3 -:-:-:-:-