Algèbre linéaire avancée I Jeudi 8 Octobre 2015 Prof. A. Abdulle J =

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1 Algèbre linéaire avancée I Jeudi 8 Octobre 205 Prof. A. Abdulle EPFL Série 4 (Corrigé) Exercice Soit J M 2n 2n (R) la matrice définie par J 0 In, I n 0 où I n est la matrice identité de M n n (R) et 0 la matrice nulle de M n n (R). i) Est-ce que J est inversible? ii) Montrer que J JJ J Remarque : Les matrices M M 2n 2n (R) qui vérifient M JM J sont dites symplectiques. Elles apparaissent dans des systèmes dynamiques dits Hamiltoniens. iii) Soit S M 2n 2n (R) une matrice symétrique. Montrer que pour m pair J(J S) m est antisymétrique et pour m impair J(J S) m est symétrique. Remarque : Pour une matrice A M p p (K) on définit A m A } A {{ A}. m fois iv) Montrer que pour toute matrice A M p p (R) antisymétrique et y R p on a y Ay 0. v) Montrer que pour tout vecteur y R 2n et m impair on a y S(J S) m y 0. i) On cherche A, B, C, D M n n (R) telles que ( 0 In I n 0 ) A B In 0. C D 0 I n On obtient le système d équations C I n, D 0, A 0, B I n, ainsi On remarque que J J J. ii) Découle du fait que J J. J 0 In. I n 0 iii) On fait la démonstration par récurrence. On montre d abord que les propriétés sont vraies pour m 0 et m. m0 : On a J(J S) 0 J et J J donc J(J S) 0 est bien antisymétrique, m : On a J(J S) S et S S donc J(J S) est bien symétrique,

2 m+ : Supposons la propriété vraie pour m et montrons qu elle est vraie pour m +. Si m est impaire on a (J(J S) m ) J(J S) m donc (J(J S) m+ ) (J(J S) m (J S)) (J S) (J(J S) m ) () (J S) J(J S) m S J J(J S) m S JJ(J S) m SJ J(J S) m S(J S) m JJ S(J S) m J(J S) m+ Ainsi J(J S) m+ (où m+ est pair) est antisymétrique. La démonstration pour m paire est la même sauf que dans () il y a un moins qui apparait. iv) Soit y R p. Vu que y Ay est un scalaire il est symétrique, donc y Ay (y Ay) y A y y Ay. On à montré que y Ay y Ay pour tout y R p, ce qui est possible seulement si y Ay 0. v) On peut soit prouver que S(J S) m est antisymétrique et conclure avec la partie iv) ou faire explicitement les calculs. On va refaire les calculs et simultanément montrer que S(J S) m est antisymétrique. On va montrer que y S(J S) m y y S(J S) m y pour tout y, ce qui est possible seulement si y S(J S) m y 0. Vu que y S(J S) m y est un scalaire il est symétrique. Par la partie i) on a J (J ) J. Il s en suit y S(J S) m y (y S(J S) m y) y ( (J S) m) S y y ( (J S) ) m Sy y ( SJ ) m Sy y (SJ) m Sy y S(JS) m y y S( J S) m y ( ) m y S(J S) m y y S(J S) m y. Exercice 2 Montrer que (M n n (K), +, ), où K est un corps et +, sont l addition et la multiplication usuelles des matrices, est une anneau non commutatif. Le fait que (M n n (K), +) soit un groupe abélien à été montré dans le Lemme du chapitre I.2 du cours. L associativité de et la distributivité de par rapport à + sont données par le Lemme 5 et démontrées dans l exercice 7 de la série 2. Il reste à montrer qu il existe un élément neutre par rapport à la multiplication. Ceci est donné par I n, en fait pour A (a ij ) i,j n M n n (K) on a n n (AI n ) ij A ik (I n ) kj A ik δ kj A ij k k où δ ij est la fonction définie par si i j δ ij 0 sinon. 2

3 Donc AI n A et de la même manière on obtient I n A A. Pour finir, on a vu dans la série 2 qu en général pour deux matrices A, B M n n (K) on a AB BA, donc l anneau n est pas commutatif. a b Exercice 3 Montrer que M 2 {A M 2 2 (R); A, a, b R}, muni de l addition b a et de la multiplication usuelle des matrices, est un corps. On fera la démonstration par étapes : i) On vérifie que les opérations + et sont internes, i.e. pour deux éléments A, B M 2 on a A + B M 2 et A B M 2, ii) On montre que (M 2, +) est un groupe abélien (commutatif), iii) On montre que (M 2, +, ) est un anneau commutatif, iv) On montre que (M 2, +, ) est un corps. i) On montre d abord que M 2 est stable par rapport à la somme ( et la) multiplication, ( i.e. ) a b c d pour A, B M 2 on a A + B M 2 et AB M 2. Soit A et B, b a d c on a a + c b + d A + B M b d a + c 2, ac bd ad + bc AB M ad bc ac bd 2. ii) On a vu dans l exercice précédent que M 2 2 (R) est un anneau, il s ensuit que dans M 2 la somme est associative et commutative, (puisque c est le cas dans M 2 2 (R)). De plus 0 M 2 et pour tout A M 2 on a A M 2. On a donc montré que (M 2, +) est un groupe abélien (commutatif). iii) Comme pour l addition, les propriétés de distributivité et associativité de la multiplication découlent de M 2 2 (R). De plus I 2 M 2 donc (M 2, +, ) est un anneau. Et vu que AB BA pour tout A, B M 2 alors l anneau est commutatif. iv) Pour montrer qu il est un corps il nous reste à montrer que tout élément non nul de M 2 possède une inverse qui appartient aussi à M 2. Prenons A non nulle, donc a ou b est différent de 0. On cherche e, f tels que a b e f b a f e 0 0 On obtient l unique solution e a/(a 2 + b 2 ) et f b/(a 2 + b 2 ), ainsi A a 2 + b 2 a b M b a 2. x y Exercice 4 On définit l application f : C M 2 définie par f(x + iy). y x i) Montrer que f est un isomorphisme de groupe entre (C, +) et (M 2, +). 3

4 ii) Montrer que f((x +iy )(x 2 +iy 2 )) f(x +iy )f(x 2 +iy 2 ) où (x +iy )(x 2 +iy 2 ) est la multiplication de nombres complexes. Est-ce que f est un isomorphisme d anneaux? iii) Déduire de l exercice 3 et de ii) que (C \ {0}, ) est un groupe. iv) Pour un z C comment peut-on représenter z dans M 2? i) Soient z, z 2 C où z i x i + iy i pour i, 2. Il faut montrer que f(z + z 2 ) f(z ) + f(z 2 ) et que f est bijective. x + x f((x + iy ) + (x 2 + iy 2 )) f(x + x 2 + i(y + y 2 )) 2 y + y 2 y y 2 x + x 2 x y x2 y + 2 f(x y x y 2 x + iy ) + f(x 2 + iy 2 ) 2 a b Pour la bijectivité. Soit A M b a 2, on a f(a+ib) A, donc f est surjective. Pour z, z 2 C si f(z ) f(z 2 ) alors Re(z ) Re(z 2 ) et Im (z ) Im (z 2 ), donc z z 2 et f est injective. ii) On commence par montrer f(z z 2 ) f(z )f(z 2 ), f((x + iy )(x 2 + iy 2 )) f(x x 2 y y 2 + i(x y 2 + x 2 y )) x x 2 y y 2 x y 2 + x 2 y x y 2 x 2 y x x 2 y y 2 x y x2 y 2 y x y 2 x 2 f(x + iy )f(x 2 + iy 2 ). Par definition f(z) M 2 et l on sait que la multiplications des matrices est associative, i.e. A(BC) (AB)C, pour toutes matrices A, B, et C M 2. Ainsi pour z, z 2, et z 3 C, on a f(z (z 2 z 3 )) f(z )f(z 2 z 3 ) f(z )f(z 2 )f(z 3 ) f(z z 2 )f(z 3 ) f((z z 2 )z 3 ). Comme f est bijective est associative dans C. On montre la distributivité en utilisant (i) et (ii) f(z (z 2 + z 3 )) f(z )f(z 2 + z 3 ) f(z )(f(z 2 ) + f(z 3 )) f(z )f(z 2 ) + f(z )f(z 3 ) f(z z 2 ) + f(z z 3 ) f(z z 2 + z z 3 ). Avec l élément neutre + i0, on a que (C, + cdot) est un anneau. Pour que f soit un isomorphisme d anneaux il nous reste à montrer f( + i0) I 2. Or f( + i0) I 2 par définition. Donc f est un isomorphisme d anneaux. 4

5 iii) Vu que M 2 est un corps alors (M 2 \{0}, ) est un groupe. Vu que (C, +, ) est un anneau alors (C\{0}, ) est un semi-groupe. Il reste à montrer que chaque a C\{0} admet un élément inverse b C\{0} avec ab ba + 0i. Soit a C\{0}. Comme f est surjective il existe b C\{0} tel que f(b) f(a). Donc, f(a)f(b) f(b)f(a) I 2. Comme f préserve la multiplication et f( + 0i) I 2 on a f(ab) f(ba) f( + 0i). Comme f est injective on a ab ba + 0i. Ainsi (C \ {0}, ) est un groupe. iv) Dans M 2 le conjugué est représenté par la transposé : x y f(z ) f(x iy ) x y f(x y x y x + iy ) f(z ) Exercice 5 Démontrer le lemme suivant du cours : Soit (A, +, ) un anneau et U A. Alors les assertions suivantes sont équivalentes : i) (U, +, ) est un sous anneau de (A, +, ). ii) A U et pour tout a, b U on a a b U et a b U. i) ii) : Découle de la définition de sous-anneau. ii) i) :Comme A U on a U non vide et comme A A 0 on a 0 U. Si b U on a : b 0 b U. Si a, b U alors a + b a ( b) U. Donc (U, +) est un sous-groupe de (A, +). Si a, b U alors a b U d après l hypothèse et donc (U, +, ) est un sous anneau de (A, +, ). Exercice 6 i) Pour chacun des nombres complexes suivants, déterminer la partie réelle, la partie imaginaire, le module et l argument : 5 + 2i, ( 2i) 9, ii) Résoudre dans C les équations suivantes : 5 i i, i z 3i 2z i 2 i, z2 5 2i, z 2 ( + 3i)z 2 + 2i 0. iii) Déterminer la partie réelle et imaginaire des expressions suivantes : (a) /( + 2i), (b) (5 + 3i)/( i). iv) Montrer que z + z 2 z + z 2 pour tous z, z 2 C, avec égalité si et seulement si z 2 αz avec α R +. 5

6 i) Pour le premier nombre 5 + 2i, on a : Re( 5 + 2i) 5, Im ( 5 + 2i) 2, 5 + 2i , arg( 5 + 2i) Arctg( ) (car Re( 5 + 2i) > 0). Pour le deuxième nombre ( 2i) 9, on calcule : ( 2i) 2 3 4i, ( 2i) 4 ( 3 4i) i ( 2i) 8 ( i) i, ( 2i) 9 ( 2i) 8 ( 2i) ( i)( 2i) i. Donc Re(( 2i) 9 ) 99 et Im(( 2i) 9 ) 78. De plus, 2i 5, donc ( 2i) 9 2i , et arg( 2i) Arctg( 2) ϑ, donc arg(( 2i) 9 ) 9 ϑ (vu que l argument d un produit est la somme des arguments). Pour le troisième nombre, on rend le dénominateur réel et on obtient : 5 i 3 + 2i (5 i)(3 2i) (3 + 2i)(3 2i) 3 3i 3 i. On a i 2, Re( i), Im ( i), arg( i) π 4. Enfin, 57 i et i 4, donc i 57 i 4 4+ (i 4 ) 4 i i i. On i i obtient Re(i) 0, Im (i), i, arg(i) π 2. ii) On calcule z 3i 2z i 2 i (z 3i)(2 i) (2z + )(4 + 3i) z(2 i) 6i 3 z(8 + 6i) i z( 6 7i) 7 + 9i z 7 + 9i + 9i)(6 7i) + 5i ( i (6 + 7i)(6 7i) i 7. Les solutions de z 2 5 2i s obtiennent en écrivant z x + yi et donc (x 2 y 2 ) + (2xy)i 5 2i. Cela donne le système x 2 y 2 5, 2xy 2. En substituant y 6 dans la ère équation, on obtient x x4 + 5x , donc x 2 4 (la solution x 2 9 est impossible). On trouve finalement x ±2 et y ±( 3), donc z ±(2 3i). Les solutions de z 2 ( + 3i)z 2 + 2i 0 se calculent en trouvant les racines carrées du discriminant ( + 3i) 2 4( 2 + 2i) 2i, ce qui donne ±( i). ( + 3i) ± ( i) On trouve ensuite z, ce qui donne les deux valeurs z + i et 2 z 2i. 6

7 iii) (a) (b) + 2i 2i ( + 2i)( 2i) i 5 + 3i i 4 + i iv) Soient z x + iy et z 2 x 2 + iy 2 z + z 2 2 (z + z 2 )(z + z 2 ) (z + z 2 )(z + z 2 ) z 2 + z z z 2 + z z 2 z 2 + z z z 2 + z z 2 z 2 + z Re(z z 2 ) () z 2 + z z z 2 ( z + z 2 ) 2 où () découle de Re(z z 2 ) (2) Re(z z 2 ) 2 + Im (z z 2 ) 2 z z 2 z z 2 z z 2. En enlevant les carrés on obtient l inégalité requise. Supposons que () soit égalité, alors Re(z z 2 ) z z 2. Ceci est vrai si et seulement si Im (z z 2 ) 0 (sinon l inégalité (2) est stricte) et si Re(z z 2 ) 0 (car z z 2 0). Il faut donc z z 2 Re(z z 2 ) β R +. Si z 2 0 on a bien z 2 αz avec α 0. z Si z 2 0 alors z z 2 z 2 βz 2, i.e. z 2 2 z 2 αz. Supposons z 2 αz avec α R +, alors z β 2, on a donc trouvé α z 2 2 β tel que z +z 2 z +αz (+α)z (+α) z z +α z (3) z + αz z + z 2 Remarquer que si α < 0 l égalité (3) est un <. { } a b Exercice 7 On considère le sous-ensemble H ; a, b C de M b a 2 2 (C). i) Montrer que (H, +, ) est un sous-anneau de (M 2 2 (C), +, ), où + et sont l addition et multiplication usuelles des matrices. ii) Montrer que tous les éléments de H \ {0} sont inversible par la multiplication. Est-ce que (H, +, ) est un corps? Indication : Pour l inverse d un élément non nul de H on a une formule similaire (mais pas identique) que pour l inverse d une matrice réelle 2 2 inversible. NB : L ensemble H muni des opérations + et s appelle l ensemble des quaternions. a b c d i) Soient A, B H. On voit facilement que A + B H aussi. b a d c L associativité de la somme découle de M 2 2 (C). L élément neutre 0 pour l addition appartient à H et pour tout A H on a A H. Donc (H, +) est un sous groupe de (M 2 2 (C), +, ). On montre que H est stable pour la multiplication : a b c d ac bd ad + bc ac bd ad + bc AB H. b a d c bc ad bd + ac (ad + bc) ac bd Et pour finir l élément neutre pour la multiplication I 2 appartient à H aussi. Donc (H, +, ) est un sous anneau de (M 2 2 (C), +, ). 7

8 ii) Soit A H \ {0}, donc a 0 ou b 0. Supposons a 0. On cherche B telle que AB I 2. ac bd ad + bc 0 AB bc ad bd + ac 0 La première ligne donne le système d équations ac bd et ad + bc 0. Ce qui donne c ( + bd)/a et ad + b( + bd)/a 0, en développant on obtient d b/( a 2 + b 2 ) et c a/( a 2 + b 2 ). Si a 0 et b 0 on trouve les mêmes solutions pour c, d. Ainsi A possède l inverse A a 2 + b 2 a b H. b a On a que (H, +, ) est un anneau dont tout élément non nul possède une inverse multiplicative dans H. L anneau n est pas commutatif (ceci se voit par un calcul direct), ainsi (H, +, ) n est pas un corps. Remarque : si on multiplie ac bd par a et ad + bc 0 par b on peut trouver c et d sans effectuer divisions par a ni b, il n est donc pas necessaire que a 0 ou b 0 mais il suffit que a 2 + b 2 0. Informations générales, séries et corrigés: cf. 8