Exercices sur les équations différentielles :

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1 Université de Rennes Licence de mathématiques L2-ED Exercices sur les équations différentielles : Une mise en jambes Exercice. Parmi les espaces suivants, lesquels sont des espaces vectoriels sur R : F(I, R) : ensemble des fonctions de I dans R, {f(x)f 2 + g(x)(x + ), f, g F(I, R)}, F(I, R + ), C k (I, R), {e x + a sin x, a R}. Exercice 2. Les applications suivantes sont-elles linéaires? D : C C 0 : f f f, Pour g F, soit M g : F F, f gf, P : F F F : (f, g) fg. Exercice 3. Calculer les primitives suivantes : (x )(x 2) dx, 2 + cos(x) dx, 2 + cosh(x) dx, x 2 + 9dx, x 2 sin(x)dx, x x + x dx. Exercice 4. Montrer que, pour tout x > : ln(x) x. Exercice 5. Montrer que, pour tous x, y R : sin(x) sin(y) x y. Exercice 6. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer une équation pour la tangente et la position du graphe par rapport à cette tangente : sin 2 x x2 en x = 0, +x 2 sin x + arcsin(x) + 2 en x = 0, 3x 2 + x en x =. Exercice 7. On rappelle qu une fonction f : R R est convexe si et seulement si : f(tx + ( t)y) tf(x) + ( t)f(y), x, y R, t [0, ]. Montrer que si f est dérivable et que f est croissante, alors f est convexe.

2 2 Équations différentielles linéaires Exercice 8. Résoudre : x 2 y y = 3 + x. Exercice 9. Soit α Z et : (E α ) : x(x )y ((2 + α)x 2)y = x 4 ((2 α)x 2). Résoudre (E α ). Quelles sont les solutions définies sur ], ]? Pour quelles valeurs de α y a-t-il des solutions sur R? Étudier le problème de Cauchy en x = 0 et x =. Exercice 0. Résoudre : y y = xe x { + cos(2x) + (x ) sin x + ln x. x = tx + ( t Exercice. Résoudre le système : 2 )y + ( t 2 ) 2 y = x ty + t( + t 2 ) Exercice 2. Résoudre (x + )y y xy = e x. On cherchera une solution de (H) sous la forme e αx. Exercice 3. Soit (E) : t 2 x 4tx + 6x = t 4 e t. Montrer que (H) admet des solutions sous la forme t n et résoudre (E). Exercice 4. Résoudre : y + 2y + y = 0. Exercice 5. Résoudre : y + 3y 4y = 0. Exercice 6. Résoudre : y 4y + 5y = 0. Exercice 7. Résoudre : y + y = sin 3 x. Exercice 8. Résoudre : y 3y + = (2x )e x. Exercice 9. Résoudre : y 2y + y = x cosh(x) + x sin(2x). Exercice 20. Soit (E) : x 2 y + xy 4y = 5x 3 ln(x) + 6x 3. Résoudre (E) sachant que (H) possède une solution de la forme x α. Existe-t-il des solutions définies sur R? Exercice 2. Résoudre : (x + )y y xy = (x + ) 2. On pourra remarquer que y (x) = e x et y 2 (x) = (2x + 3)e x sont solutions de l équation homogène. Exercice 22. Résoudre : x 2 y + 4xy + 2y = 0. Exercice 23. Résoudre : ( x 2 )y xy + y = 0. On posera x = cos t avec t ]0, π[. Exercice 24. Résoudre : x 2 ( x)y x( + x)y + y = 0. On pourra chercher une solution sous forme d une série formelle + n=0 a nx n+λ. Que dire des solutions définies sur R? Exercice 25. Étudier les solutions de ψ + x 2 ψ = ψ. Montrer que l ensemble des solutions de carré intégrable est de dimension et en donner une base. Exercice 26. Trouver une solution particulière de : x + ω 2 0x = cos(ωt). Résoudre ensuite cette équation. Que se passe-t-il quand ω = ω 0? Exercice 27. Résoudre : 2

3 Exercice 28. Résoudre : Exercice 29. Résoudre : Exercice 30. Résoudre : Exercice 3. Résoudre : Exercice 32. Résoudre : On calculera e xa. Exercice 33. Résoudre : = y + 4y 2 y 2 = 2y + 3y 2 = y + 4y 2 + cos x y 2 = 2y + 3y 2 + x y = y 2 + y 3 y 2 = y + y 3 y 3 = y + y 2 y = y 2 + y 3 + e t y 2 = y + y 3 + t y 3 = y + y 2 x = 8x + 2y + 0z y = 9x 22y 22z z = 9x + 8y + 7z = y + z + z = y + 3z x x = 4x + y + z y = x y 2z z = 2x + y z On remarquera que la matrice associée A n a qu une seule valeur propre. Expliquer pourquoi (A + λid) 3 = 0. Exercice 34. Résoudre : y (3) + 2y (2) y 2y = 0. 3 Équations différentielles non linéaires Exercice 35. On considère l équation : x (t) = sin x(t), x(0) = a, x (0) = 0. Montrer que les solutions maximales sont définies sur R et qu elles vérifient : x (t) 2 = 2(cos x(t) cos a), t. En déduire que : x(t) a. Soit le problème linéarisé : y (t) = y(t), y(0) = a, y (0) = 0. 3

4 On pose Z = (x y, x y ). Montrer que Z vérifie une équation du type : Z = AZ + B(t). En déduire que : x(t) y(t) a3 6 Exercice 36. Résoudre l équation de Bernoulli : t. x 2 y + y + y 2 = 0, x > 0, en cherchant la solution maximale satisfaisant : y(x 0 ) = y 0 avec x 0 > 0 et y 0 0. Exercice 37. Résoudre l équation de Bernoulli : x + tx = t 3 x 3. Exercice 38. Résoudre l équation de Ricatti : y + y + y 2 + = 0. On cherchera une solution particulière constante. Que dire des solutions maximales? Exercice 39. Résoudre les équations à variables séparées suivantes : x = tx, x = ax + b, x = +x2, +t 2 x α + t 2 x = 0, x = kx α. Exercice 40. Résoudre les équations "homogènes" suivantes : x = + x t + ( ) x 2, t (x + t)x + (x t) = 0, tx x = x 2 + t 2. Exercice 4. En utilisant un changement de variable, résoudre : ( + t 2 )x = 2t( + x 2 ) arctan(x). Exercice 42. On considère x = sin(x). Quelles sont les solutions constantes? Sans résoudre explicitement, étudier la monotonie des solutions. Résoudre cette équation comme équation à variables séparées. Exercice 43. On considère x = x 2 t. Si u(t) est une solution avec u(t 0 ) = x 0 avec t 0 > 5 4 et x 0 < t 0, montrer que : lim t + u(t) + t = 0. Exercice 44. Déterminer les solutions de x = x 2 et x = t 2. Exercice 45. Soit u une solution de x = x 2 + t 2 avec u(0) = 0. Montrer qu il existe c > 0 tel que u est bien définie sur [0, c) et que : lim u(t) = +. t c 4

5 4 Aspects numériques Exercice 46. Montrer que si g(t) = at 2 + bt + c, alors, pour t < t 2 : t2 g(t)dt = (t 2 t )( t 6 g(t ) g(t + t 2 2 ) + 6 g(t 2)). Exercice 47. On considère la solution de x = x avec x(0) =. Faisons comme si nous ignorions la vraie solution et utilisons la méthode d Euler sur [0, ]. On prend une subdivision régulière en n : t k = k n, pour k = 0 n. Calculer x, x 2, Donner une formule pour x n. Exercice 48. Soit f suffisamment régulière sur [α, β]. On cherche à estimer β α f(x)dx par les méthodes du point milieu, des trapèzes et de Simpson. Montrer que les restes pour ces méthodes sont respectivement de l ordre de h 2, h 2 et h 4. Exercice 49. On considère l équation (E) : y = f(t, y), y(t 0 ) = y 0, avec f : I U R suffisamment régulière. Montrer que, pour tout r 0 > 0, il existe T > 0 tel que y(t) B f (y 0, r 0 ) pour tout t [t 0 T, t 0 + T ]. Montrer que la solution approchée donnée par la méthode d Euler vérifie la même propriété. Exercice 50. On considère l équation (E) : y = f(t, y), y(t 0 ) = y 0 avec f : [t 0, t 0 + T ] U R suffisamment régulière. On réalise une subdivision t 0 < t < < t N = t 0 + T. On pose h n = t n+ t n pour 0 n N et h max = max(h n ). On rappelle que la méthode d Euler consiste en l algorithme suivant : y n+ = y n + h n f(t n, y n ). Soit z la solution exacte de (E). On note e n = z(t n+ ) (z(t n ) + h n f(t n, z(t n )). Montrer que e n est d ordre h 2 n. 5