π 0 = réduction modulo t X s (k) = origine des arcs

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1 FONCTION ZÊTA ET FIBRE DE MILNOR MOTIVIQUES DU POINT DE VUE DE LA GÉOMÉTRIE RIGIDE Dans ce qui suit on fixera : 1. Cadre et Notations k = corps, car(k) = 0, k = k R := k[[t]], K = k((t)) K(d) := k(( d t)) R(d) = k[[ d t]] X=k-variété = k-schéma séparé réduit de type fini sur k X lisse, irréductible, dim X = m f : X A 1 = Spec k[t] un morphisme dominant et f lisse sur X \ f 1 (0). X s = f 1 (0) la fibre spéciale ˆX la complétion t-adique de f ˆX = lim ( X k[t] k[[t]] ) k[[t]] k[t]/t n+1, ˆX Spf R ˆX η = la fibre générique = variété rigide lisse de dimension m 1 ˆX s = la fibre spéciale, canoniquement isomorphe à f 1 (0) L(X) l espace des arcs tracés sur X X (d) = {ψ L(X) f(ψ) = t d } X (d, 1) = {ψ L d (X) f(ψ) = t d mod t d+1 } M Xs = K 0 (V ar Xs )[L 1 ] où L = [A 1 X s X s ] µ la mesure motivique Pour x un point fermé de X s on note i 1 C est le morphisme de restriction à {x}. x : M Xs M k A p : [p 1 (x)] X s 2.1. Rappels. 2. Introduction et résultats Rappelons que pour tout d 1, il existe une bijection points / arcs ˆX(R(d)) thm de Grothendieck ( X k[t] R ) (R(d)) sp ϕ d bijection bijection reparamétrage ˆX η (K(d)) X (d)(k) sp = réduction modulo d t π 0 = réduction modulo t X s (k) = origine des arcs La fibre de Milnor analytique de f en x notée F x est le tube ]x[ égal à sp 1 ({x}). Pour tout d, les K(d) points de F x, correspondent aux arcs tracés sur X, d origine x et dont l évaluation sur f vaut t d. 1

2 2 FONCTION ZÊTA ET FIBRE DE MILNOR MOTIVIQUES DU POINT DE VUE DE LA GÉOMÉTRIE RIGIDE 2.2. Série de Poincaré des volumes volume motivique (Nicaise-Sebag [4]). avec ω une forme volume sur X, F ( ˆX, ω/df, d) = ˆX(K(d)) ω/df (d) M Xs. Fait : Cette série est rationnelle. Conséquences : S( ˆX, ω/df, T ) := d 1 F ( ˆX, ω/df, d)t d M Xs [[T ]] S( ˆX, ˆK s ) := lim T S( ˆX, ω/df, T ) M Xs C est par définition le volume motivique de la fibre proche rigide ˆX η. S x ( ˆX, ˆK s ) := i 1 x S( ˆX, ˆK s ) M Xs C est par définition le volume motivique de la fibre de Milnor analytique F x. Attention : Ces quantités ne dépendent pas de ω Fonction zêta motivique Fibre de Milnor motivique (Denef-Loeser [1], [2]). Cette série formelle est rationnnelle. Z(T ) := d 1[X d,1 ]L md T d M Xs [[T ]] Définition : fibre de Milnor motivique de f ou cycles proches motiviques de f : S f := lim T Z(T ) M X s Définition : fibre de Milnor motivique de f en x En particulier S f,x = lim S f,x := i 1 x S f M k T d 1 µ(x (d) ϕ(0)=x )T d. S f,x est obtenu en ne considérant que les arcs d origine x Lien entre ces notions. Le point clé : S f est le volume motivique de ˆX η et S f,x est le volume motivique de F x. Pour tout d 1 : F ( ˆX, ω/df, d) = L (d+1)(m 1) [X d,1 ]. On en déduit les égalités suivantes sur les fonctions zêta et leur limite : S( ˆX, ω/df, T ) = L (m 1) Z(LT ), S( ˆX, ˆK s ) = L (m 1) S f M Xs,

3 FONCTION ZÊTA ET FIBRE DE MILNOR MOTIVIQUES DU POINT DE VUE DE LA GÉOMÉTRIE RIGIDE 3 Quelques remarques : S x ( ˆX, ˆK s ) = L (m 1) S f,x M {x}. m 1 est ici la dimension de la fibre générique. Le groupe de Galois G(K(d)/k) = µ d (k) agit sur la variété rigide ˆX η (K(d)) et sur l espace d arcs X (d) par λ.ϕ(t) = ϕ(λt). La bijection ϕ d est compatible avec ces actions. On a les égalités S( ˆX, ˆK s ) = L (m 1) S f Mˆµ X s, 2.5. Réalisation de Hodge. On a le morphisme de réalisation de Hodge C est un morphisme d anneaux. S x ( ˆX, ˆK s ) = L (m 1) S f,x Mˆµ {x}. χ H : Mˆµ { } K 0 (SH mon ) [X σ ] k ( 1)k [H k c (X, Q)] σ Théorème 2.1 (Denef-Loeser [1]). Dans l anneau K 0 (SH mon ) on a l égalité : où par définition χ H (S f,x ) = [SHM(F x )] [SHM(F x )] = k ( 1) k [H k c (F x, Q)] Tx où F x est la fibre de Milnor de f en x, T x la monodromie de f en x et pour tout k, H k c (F x, Q) est la structure de Hodge mixte limite de Steenbrink. Principe clé : Les deux théorèmes de rationnalités et les égalités F ( ˆX, ω/df, d) = L (d+1)(m 1) [X d,1 ], χ H (S f,x ) = [SHM(F x )] peuvent se prouver en exprimant F ( ˆX, ω/df, d), [X d,1 ] et [SHM(F x )] en termes d une log-résolution du couple (X, X s ). Pour une formule donnant [SHM(F x )] en termes d une log-résolution (semi-stable) voir [5], Cor Bon cadre Pour toute la suite soit (X, X s, h) une log-résolution du couple (X, X s ) : (1) X lisse (2) h propre (3) h : X \ X s X \ X s est un isomorphisme (4) X s = i I N ie i est un diviseur à croisements normaux. On notera div Jac h = i I (ν i 1)E i, le diviseur jacobien. Stratification naturelle de X s : X s = J I,J E 0 J avec E0 J = i J E i \ i / J E i Le revêtement E 0 J E J pour J I, J :

4 4 FONCTION ZÊTA ET FIBRE DE MILNOR MOTIVIQUES DU POINT DE VUE DE LA GÉOMÉTRIE RIGIDE C est un revêtement Galoisien non ramifié de groupe de Galois µ mj localement comme suit : avec m J = pgcd i J (N i ). On le construit il existe un ouvert de Zariski U de X tel que f h = uv m J où u est une fonction inversible et v : U A 1 (en coordoonnées locales, au voisinage de x EJ 0 on a f h = u i J xni i = u( i J xni/m J i ) m J ) On pose E J 0 p 1 (U) := {(z, y) A 1 EJ 0 U z m J = u 1 } µm J. L action est donnée par λ.(z, y) = (λz, y) et la flèche du revêtement est donnée par la deuxième projection. On peut recouvrir EJ 0 par de tels ouverts affines puis recoller le tour en un revêtement. Le point crucial à montrer : 4. Fonction zêta motivique Pour tout d 1, on a µ(z d,1 ) = [X d,1 ]L md = =J I avec Z d,1 = π 1 d (X d,1) = {ϕ L(X) f(ϕ(t)) = 1.t d +..}. (L 1) J 1 [ E J 0] i I kini=d k i 1 L k iν i. Par conséquent par sommation des séries géométriques, la fonction zêta sera rationnelle et l on a S f = ( 1) J (L 1) J 1 [ E J 0]. =J I Idée clée : h est propre donc h induit une bijection (critère de propreté) Pour un arc ϕ L(X), on notera ϕ son relevé. Fixons : h : L(X ) \ L(X s) L(X) \ L(X s ) On classe les arcs ϕ de X non tracés dans X s suivant l origine et la tangence à X s de l arc remontés ϕ : {! J I, ϕ(0) EJ, 0 ki 1, i J ord t E i ϕ = 0, i / J. (1) J I, J (2) U = ouvert affine de Zariski de X où f h = u i J x Ni i (3) (k i ) N J tel que i J k in i = d posons alors { U (ki) := ψ L(U) ψ(0) E0 J, ord te i ϕ = k i, i J (f h)(ψ) = 1.t d +... Remarquons que (1) U (ki) L(X s) = donc h : U (ki) h(u (ki)) est une bijection. (2) ord t Jac h est constant sur (U (ki)) i I et égal à L i J (νi 1)ki. Par la formule de changement de variables de Denef-Loeser on a µ X (h(u (ki))) = L k i(ν i 1) µ X (U (ki)). On montre alors (1) µ X (U (ki)) = (L 1) J 1 [ E 0 J U]Ldm i J kj. (2) µ X (Z d,1 ) est obtenue par additivité de µ X et d un recollement de X par de tels ouverts affines U. }.

5 FONCTION ZÊTA ET FIBRE DE MILNOR MOTIVIQUES DU POINT DE VUE DE LA GÉOMÉTRIE RIGIDE 5 Preuve de (1) : On complète les J fonctions x i en une application étale U Am C. Par le lemme de Hensel ceci induit un isomorphisme L(U) U A m C L d (A m C ) ϕ (ϕ(0), (x i (ϕ(t))) i J, (y i (ϕ(t))) i / J ) On obtient alors un isomorphisme { π d (U (ki)) U EJ 0 (zi t ki t d ) i J ( t d ) i / J }. Ainsi π d (U (ki)) est un fibré affine de fibre A nd i J ki et de base W J := {(z i, y) C J (E 0 J U) i I z Ni i u = 1} notons qu avec ces notations i I zni i u est le coefficient angulaire de f(ϕ(t)). En particulier on a [π d (U (ki))] = [W J ]L md i J ki. Considérons un automorphisme de (C ) J de la forme (z i ) i J ( j J z ai,j j ) i J = (z j) j J, où a i,j est une base de Z J et a 1 = (N i /m J ). On obtient un isomorphisme W J C ( J 1) ( E 0 J U) car Soit : i J z Ni i u = 1 z m J.u = Série de Poincaré des volumes et fibre de Minor analytique. X un schéma formel stft sur R générériquement lisse (X η est lisse sur K) ω une forme volume sur X η. On définit ω comme suit : X Si X est lisse sur R voir la construction dans l exposé de Johannes, (Loeser-Sebag [3]). Si X est non lisse sur R alors il faut prendre une lissification de Néron g : X X telle que : (1) g est un morphisme de schémas formels stft, (2) X est lisse sur R, (3) g η : X η X η est une immersion ouverte, (4) g η induit une bijection X η (K) X η (K). Définition : X ω = g η! h X η ω MX0 = L dim Xη U π 0(X s )[U]L ord U h η ω. Attention : Par une formule de changement de variables ceci ne dépend pas du choix de la lissification.

6 6 FONCTION ZÊTA ET FIBRE DE MILNOR MOTIVIQUES DU POINT DE VUE DE LA GÉOMÉTRIE RIGIDE Lemme 5.1. Si alors (1) X et X sont deux schémas formels génériquement lisses stft de dimension m (2) g : X X est un morphisme (3) g : X η X η est un isomorphisme (4) ω une m-forme sur X η ω = X Cela suit de la formule de changement de variables. Dans notre situation (1) ˆX(K(d)) et ˆX (K(d)) vérifient les conditions X (2) h induit un morphisme ĥ : ˆX (K(d)) ˆX(K(d)) tel que ĥ : ˆX η (K(d)) ˆX η (K(d)) est isomorphisme. Par conséquent : g ω Pour tout d 1, F ( ˆX, ω/df, d) = F ( ˆX, ω, d) avec ω = h ω/df. Le théorème suivant est le lien entre la fibre de Milnor motivique et la fibre Milnor analytique : Théorème 5.2. F ( ˆX, ω/df, d) = F ( ˆX, ω, d) = L (m 1) =J I Ceci fournit la rationnalité de S( ˆX, ω/df, T ), la formule S( ˆX, ˆK s ) = L (m 1) et le lien avec S f. Démonstration. (L 1) J 1 [Ẽ0 J] =J I k i 1,i J i J k i N i =d ( 1) J (L 1) J 1 [ E 0 J ] L i J ki(ni νi) =: ( ) Définition 5.3. Un entier d 1 n est pas X s -linéaire si et seulement si J I, J > 1 et EJ 0, d ne sécrit jamais d = j J α jn j. Supposons d non X s -linéaire : (1) Nicaise et Sebag constuisent (voir plus loin) une lissification de Néron i : U ˆX (K(d)) tel que l ensemble des composantes soit décrit par et pour tout i avec N i d, π 0 (U s ) = (U i ) i,ni d bijection {Ẽ0 i i I, N i d}, Ẽ 0 i U i (isomorphisme de variétés). (2) Notons qu un calcul en coordonnées locales fournit : ord Ui i ω = d N i ord Ei ω = d N i (N i ν i ) Par conséquent, l ordre de i ω est constant sur chaque composante connexe de U.

7 où FONCTION ZÊTA ET FIBRE DE MILNOR MOTIVIQUES DU POINT DE VUE DE LA GÉOMÉTRIE RIGIDE 7 (3) Ainsi, en appliquant le lemme 5.1 et la relation de Chasles on a F ( ˆX, ω/df, d) = F ( ˆX, ω, d) = L (m 1) [Ẽ0 i ]L ord U i i ω. (4) Conclusion : comme d n est pas X s -linéaire on a F ( ˆX, ω/df, d) = F ( ˆX, ω, d) = L (m 1) i,n i d [Ẽ0 i ]L d(νi Ni)/Ni = ( ). Supposons que d est X s -linéaire : On se ramène au cas non linéaire via une suite finie d éclatements formels (1) ˆX (0) = ˆX (2) ˆX (j) s = k j i=1 N (j) i i,n i d π (j) : ˆX (j+1) ˆX (j), avec j {0,.., r 1} E (j) i, diviseur à croisements normaux (3) π j est un éclatement de centre E (j) J (avec J (j) {1,.., k j }, J ) (4) d n est pas X s (r) -linéaire Pour tout j {0,.., r 1}, π (j) : ˆX (j+1) η avec ω j+1 = π ω j donc ˆX (j) η est un isomorphisme donc par le lemme 5.1 F ( ˆX (j+1), ω j+1, d) = F ( ˆX (j), ω j, d) F ( ˆX, ω/df, d) = F ( ˆX, ω, d) = L (m 1) i,n i d [Ẽ0 i ]Ld/Niord E i r ωi (d non X s linéaire) = ( ) r (d non X s linéaire) = ( ). car (*) est stable sous éclatement formels des strates E J Construction de la lissification de Néron dans le cas d non X s -linéaire Notons ˆX (d) = ˆX R R(d). Notons ˆX (d) ˆX (d) la normalisation de ˆX(d), ceci existe pour les schémas formels. On a le carré cartésien : Ẽ(d) 0 i := ˆX (d) Xs E 0 i X(d) s E 0 i X s Théorème 5.4. Notons S m ( ˆX (d)) la partie lisse du morphisme ˆX(d) Spf(R). En ce cas S m ( ˆX (d)) ˆX (d) est une lissification de Néron pour d non X s linéaire. De plus et S m ( ˆX(d)s ) = Ni dẽ(d)0 i

8 8 FONCTION ZÊTA ET FIBRE DE MILNOR MOTIVIQUES DU POINT DE VUE DE LA GÉOMÉTRIE RIGIDE (1) par le morphisme ˆX(d) ˆX (N i ) on a l isomorphisme Ẽ(d)0 i E(N i ) 0 i. (2) E(Ni ) 0 i est canoniquement isomorphe à E 0 i. Références [1] Jan Denef and François Loeser. Motivic Igusa zeta functions. J. Algebraic Geom., 7(3) : , [2] Jan Denef and François Loeser. Geometry on arc spaces of algebraic varieties. In European Congress of Mathematics, Vol. I (Barcelona, 2000), volume 201 of Progr. Math., pages Birkhäuser, Basel, [3] François Loeser and Julien Sebag. Motivic integration on smooth rigid varieties and invariants of degenerations. Duke Math. J., 119(2) : , [4] Johannes. Nicaise and Julien Sebag. Motivic Serre invariants, ramification, and the analytic Milnor fiber. Invent. Math., 168(1) : , [5] Chris A. M. Peters and Joseph H. M. Steenbrink. Mixed Hodge structures, volume 52 of Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics]. Springer-Verlag, Berlin, 2008.