Mesure de la distance Terre - Lune

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1 Mesure de la distance Terre - Lune Niveau Dès la seconde Objectif Mesurer en utilisant trois méthodes distinctes la distance séparant la Terre de la Lune. Une méthode utilisera les éclipses de Lune, une autre utilisera la triangulation (ou parallaxe), la dernière méthode utilisera l écho laser. Compétences Utiliser les puissances de 10 dans l évaluation des ordres de grandeur, dans les calculs, et dans l expression des données et des résultats. Repérer un angle. Mesurer une petite et une grande distance : - Mettre en œuvre une technique de mesure utilisée en Travaux Pratiques. - Garder le nombre de chiffres significatifs en adéquation avec la précision de la mesure. - Exprimer le résultat avec une unité adaptée. Connaître la valeur de la vitesse de la lumière dans le vide et savoir qu il s agit d une vitesse limite. Pré requis Connaître le mouvement de la Lune autour de la Terre, et de la Terre autour du Soleil. Savoir qu il existe des éclipses de lune. Connaître la relation entre la vitesse, la distance et le temps. Connaître les bases de la trigonométrie au collège. Durée Activité 1 : 15 minutes Activité : 15 minutes Activité 3 : 10 minutes Déroulement L objectif est de montrer aux élèves l évolution des techniques de mesure de grandes distances au cours de l Histoire, à travers trois méthodes. La première méthode, datant de l antiquité grecque, a permis à Hipparque de déterminer la distance Terre-Lune à partir de l observation des éclipses de Lune. La deuxième méthode, datant du XVIII ème siècle, a été proposée par deux scientifiques français Lalande et La Caille. Elle utilise la méthode de triangulation (ou parallaxe) pour calculer la distance Terre Lune. Enfin la dernière méthode, très récente, utilise la technique de l écho laser.

2 1) La méthode des éclipses Aristarque de Samos ( av J.C.) fut un des premiers à essayer de déterminer la distance entre la Terre et la Lune, en utilisant l observation des éclipses de Lune. Pour faire ses calculs, il a eu besoin de connaître le rayon de la Terre, rayon qu Erathostène calcula en 36 av J.C.. Nous allons ici nous intéresser plutôt à la méthode proposée par Hipparque en 167 av J.C., qui est un peu plus précise. Voici les hypothèses formulées par Hipparque pour calculer la distance Terre Lune : - La Terre est ronde. - La durée d une éclipse de Lune est de,5 h maximum. - La durée de la lunaison est de 9,5 jours (période synodique). - Le diamètre apparent du soleil est de 0,50 soit 30 minutes d arc. - La parallaxe de la Terre depuis le Soleil est négligeable (γ 90 ) a) Calculer l angle β sachant qu il s agit de l angle formé par la position entrante et la position sortante de la Lune dans le cône d ombre de la Terre. Dans l Antiquité grecque la seule mesure que pouvaient faire les savants suffisamment précise était celle du temps. En mesurant la durée moyenne des éclipses de Lune sur plusieurs années, et connaissant la durée de la Lunaison ils ont ainsi déterminé un angle (l angle β).

3 L idée était d utiliser la mesure du rayon de la Terre faite par Erathostène quelques années plus tôt pour déterminer la distance Terre Lune en utilisant la trigonométrie de Pythagore et Thalès. Pour calculer cet angle il suffit d appliquer la proportionnalité. En faisant l approximation que la trajectoire de la Lune est un cercle de centre C (le centre de la Terre) on pose comme angle de rotation 360 pour la lunaison, il ne reste plus qu à calculer l angle correspondant à la durée d une éclipse. β = = La durée de l éclipse nous est donnée avec deux chiffres significatifs, nous donnerons donc le résultat final avec la même précision. b) En déduire l angle δ. La parallaxe de la Terre depuis le Soleil est très petite (environ 8 secondes d arc), il était donc légitime de la négliger. ( 1 = 3600 secondes d arc) Ensuite il suffit et il faut utiliser la propriété des angles : α β γ δ = 180 β On en déduit δ = 180 ( α + γ + ) = 180 (0, ) = 89 c) A partir des relations trigonométriques dans le triangle CLT, rectangle en T, en déduire la distance Terre Lune en fonction du rayon de la Terre R T. Nous devons utiliser la propriété du triangle rectangle pour calculer la longueur de l hypoténuse du triangle CLT. Nous venons de calculer l angle δ, connaissant le rayon de la Terre il suffit et il faut utiliser la relation du cosinus de l angle δ :

4 d) Sachant qu Erathostène a estimé le rayon de la Terre à 6500 km, donner l estimation d Hipparque de la distance Terre Lune. L application numérique va donner : dtl = 6500 = km cos 89 Il sera intéressant de comparer les valeurs obtenues pour chacune des trois méthodes et éventuellement de discuter pour savoir quelles sont les sources d incertitudes dans chacune des méthodes. Pour la méthode des éclipses, la première «erreur» vient du fait que les Grecs ont utilisé la période synodique de la Lune (c est à dire 9,5 jours) alors qu il aurait fallu utiliser la période sidérale (à savoir 7 jours et 8 heures) qui correspond effectivement à la durée d une révolution lunaire autour de la Terre. Une deuxième approximation a été faite, celle que la trajectoire de la Lune est un cercle, ce qui n est pas tout à fait exact. La dernière approximation, celle de la parallaxe terrestre (8 secondes d arc), conduit à une erreur de 0.00 ce qui est négligeable par rapport aux incertitudes précédentes. ) La méthode de parallaxe d TL= R cos T δ Lalande et La Caille ont proposé en 1751 une méthode de triangulation pour calculer la distance Terre Lune. Cette méthode appelée aussi méthode de la parallaxe consiste à mesurer l angle sous lequel on voit la Lune par rapport au zénith à deux positions éloignées sur la Terre. Lalande se trouvait à Berlin (Allemagne) alors que La Caille se trouvait au Cap de Bonne Espérance (Afrique du Sud). Au point B, c est à dire à Berlin, Lalande mesure un angle z 1 entre le zénith et la Lune. Au point C, c est à dire au Cap de Bonne Espérance, La Caille mesure un angle z entre le zénith et la Lune. λ 1 et λ sont les latitudes respectives de Berlin et du Cap de Bonne Espérance.

5 a) Exprimer α, la parallaxe lunaire, en fonction de z 1, z, λ 1 et λ. Pour cela il suffit et il faut utiliser la propriété des angles d un quadrilatère, à savoir la somme des angles d un quadrilatère est égale à 360. Nous nous plaçons dans le quadrilatère CBLE (C est le centre de la Terre, B est la ville de Berlin, L est le centre de la Lune et E le Cap de Bonne-Espérance). On en déduit : α + λ1 + λ+ 180 z z= 360 D où α + λ1 + λ z1 z= 0 α= z + z 1 λ1 λ b) Applications numériques : - λ 1 = 5,5 - λ = 34,36 - z 1 = 53,5 - z = 34,66

6 Pour l application numérique nous avons quatre chiffres significatifs pour les valeurs des angles, par conséquent l angle α devra être donné avec la même précision : α = 53,5 + 34,66 5,5 34,36 = 1, 300 c) En faisant l approximation suivante sin z 1+ sinz dtl = (où d TL est la distance T α R Terre Lune et R T est le rayon terrestre) calculer la valeur de la distance Terre - Lune. Données : R T = 6378 km Pour retrouver l approximation donnée dans l énoncée il faut faire supposer qu α est angle petit et que, par conséquent, le sinus de cet angle peut être assimilé à la valeur de l angle lui-même (exprimée en radians) : sin α α Ensuite en utilisant les relations des sinus on en déduit la relation donnée dans l énoncée. L application numérique donne : d = sin z1+ sinz α TL RT dtl sin53,5 + sin34,66 = 6378= km Cette méthode comme la précédente présente un inconvénient, en effet, elles utilisent le rayon de la Terre pour calculer la distance Terre Lune. Etant donné que la Terre n est pas une sphère parfaite, la mesure de la distance Terre Lune dépendra de la précision de la mesure du rayon de la Terre. Le dernière méthode permet de s affranchir de cette incertitude puisque l on va utiliser la lumière pour mesurer cette distance. 3) La méthode de l écho laser En 1969, lors de la mission Apollo 11, plusieurs réflecteurs ont été déposés à la surface de la Lune, à des positions bien précises. Le but de ces réflecteurs étaient de pouvoir renvoyer un faisceau laser provenant de la Terre, afin de déterminer la distance Terre Lune. Le principe est simple, un laser très puissant envoie son signal en direction de la Lune, en pointant précisément un des réflecteurs, le signal est réfléchi et revient peu de temps après au même endroit sur Terre. On mesure

7 ensuite le temps que le signal a mis pour faire l aller-retour Terre Lune, et on en déduit la distance. C est la technique de l écho laser. a) Connaissant le temps τ mis par la lumière pour faire l aller-retour, exprimer la distance Terre Lune en fonction de ce temps. Le laser a été inventé en 1960, et les miroirs ont été posés sur la Lune à la fin des années 60, et début des années 70 (missions Apollo), par conséquent cette mesure de la distance Terre est très récente, comparativement aux deux autres. Le principe est simple, un laser très puissant est envoyé depuis un observatoire sur Terre en direction de la Lune, vers un des réflecteurs posés à la surface. Le faisceau est réfléchi puis revient sur Terre dans le Télescope qui récupère le signal. Une horloge atomique très précise mesure le temps entre le déclenchement de l impulsion laser et la réception dans le collecteur de lumière. On obtient ainsi le temps mis par la lumière pour faire l aller retour entre la Terre et la Lune. =c τ dtl Où c est la célérité de la lumière dans le vide et t le temps mis par la lumière pour faire l aller retour.

8 Il ne faut pas oublier que cette idée d aller retour de la lumière avait été proposée par Galilée, pour la première fois. Celui-ci avait proposé un protocole pour mesurer la vitesse de la lumière. Deux observateurs se trouvaient sur deux collines distantes de plusieurs kilomètres. Chaque observateur possédait une lampe et une clepsydre. Le premier observateur éteignait sa lampe et déclenchait la clepsydre au même moment, le second observateur éteignait sa lampe au moment où il n apercevait plus la lampe du premier observateur qui a son tour déclenchait sa clepsydre lorsqu il voyait la lampe du second observateur éteinte. Le problème était que la distante entre les deux observateurs était beaucoup trop petite pour qu elle soit mesurable avec les instruments de l époque. b) Application numérique : τ =.536 s c = km.s -1 Si nous faisons l application numérique, nous devons avoir quatre chiffres significatifs pour le résultat final, car la précision sur le temps est la moins bonne : dtl,536 = 9975 = 3, km