1 Exercices fondamentaux

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1 Université de Nantes Licence Math L3 Département de Mathématiques Année Topologie et calculs différentiel Liste n 3 1 Exercices fondamentaux Applications Linéaires Exercice 1. Calculer la norme de l application linéaire u : R 2 R définie par (x,y) R 2, u(x,y) = x y lorsque R et R 2 sont munis de la norme euclidienne. Exercice 2. Soit X l espace des fonctions continues sur [a, b] à valeurs réelles muni de la norme de la convergence uniforme, ϕ X et u End(X) défini par : f X, u(f) = ϕ.f. Montrer que u est continu et déterminer sa norme. Exercice 3. Pour tout k N, soit A k et A des matrices réelles n p. Prouver l équivalence entre 1. (A k ) converge vers A dans L(R p, R n ) où on identifie ici matrice et application linéaire 2. les coefficients de A k convergent vers ceux de A Exercice 4. Soit f L(E,F) où E et F sont deux espaces vectoriels normés sur K = R ou C. 1. Montrer que : f continue Kerf fermé. 2. Si F = K, montrer que : Kerf fermé f continue. (ind : on raisonne par l absurde en supposant f non continue et on cv montre qu il existe une suite (x n ) de Kerf tq x n a avec f(a) = 1). 3. On considère maintenant E = R[X] muni de la norme P := sup a k k si P = k=n k=0 a kx k. Vérifier que les applications suivantes sont linéaires et étudier leur continuité : (a) ϕ : E E tq ϕ(p) = P le polynôme dérivé ; (b) ψ : E E tq ψ(p) = (X + 1)P ; (c) ξ : E R tq ξ(p) = P(0). Déteminer Kerϕ et déduire un contre exemple à la réciproque de 1). 1

2 4. Montrer que si pour toute suite (x n ) de E convergeant vers 0 E, la suite (f(x n )) est bornée dans F, alors f est continue. Exercice 5. Soient (X,N) et (Y,M) deux espaces vectoriels normés et f : X Y une application linéaire continue. Montrer que si p=0 u p est une série convergente de (X,N), alors la série p=0 f(u p) est convergente dans (Y,M) et a pour somme : f( p=0 u p). Espaces Complets Exercice 6. Pour la topologie induite, déterminer parmi les parties de R suivantes celles qui sont complètes : Z, Q,[0,1],[2,3[,],π],]π,+ [. Exercice 7. Vérifier que d(x,y) = 1/x 1/y définit une distance sur X =]0,+ [ et que la topologie ainsi définie est la topologie induite sur X par (R,. ). Montrer que (]0,1],d) est une partie complète mais que (]0,1], ) n est pas complet. En déduire que la complétude n est pas une notion topologique. Exercice 8. Soit X =]0, + [ muni de la distance d(x, y) = ln x ln y. 1. Montrer que (X,d) est un espace métrique complet. 2. Soit f : X X une fonction de classe C 1 telle que : x X,x f (x) kf(x),avec k [0,1] Montrer que f admet un unique point fixe dans X. Exercice 9. Soient E et F deux espaces vectoriels normés. 1. Montrer que si E est de dimension finie, alors f L(E,F), f est une application continue. 2. Soit p L(E) continue telle que p 2 = p. Montrer que le noyau et l image de p sont des sous-espaces fermés de E et que, s ils sont complets pour la topologie induite, alors E est complet. Exercice 10. On note E = C([0,1], R) et f E, f 1 = Montrer que, muni de cette norme, E n est pas complet. 1 0 f(t) dt. 2

3 Exercice 11. Montrer que toute suite de Cauchy dans un espace métrique (E,d) est bornée mais que la réciproque est fausse. Donner des exemples simples d espaces métriques non complets. Exercice 12. Soit (X,d) un espace métrique complet. On note f p les itérées de f définies par f 0 = Id et f p+1 = f f p (= f p f). 1. Soit A p l ensemble des points fixes de f p. Montrer que A p est stable par f. 2. Montrer que si l une des f p est contractante, alors f possède un unique point fixe et que toute suite de points de X définie par récurrence par x 0 X et x n+1 = f(x n ) converge vers ce point fixe. Exercice 13. Montrer que C([a,b], R) muni de la norme sup est un espace complet mais que pour la même norme, C 1 ([a,b], R) ne l est pas. Qu en est-il de C 1 ([a,b], R) muni de f = f + f? Exercice 14. Soient (E,d) et (F,δ) deux espaces métriques et f : E F une application continue telle que : (x,y) E 2,d(x,y) δ(f(x),f(y)). 1. Montrer que f est un homéomorphisme de E sur f(e) où f(e) est munie de la topologie induite. 2. On suppose maintenant que f est surjective. Montrer que (E, d) complet implique (F,δ) complet. 2 Exercices complémentaires et d entrainement Exercice 15. Soient E, F et G trois espaces vectoriels normés. On note L c (E,F) (resp. L c (F,G), L c (E,G)) l ensemble des applications linéaires continues de E dans F (resp. de F dans G et de E dans G) et. désignera indifféremment la norme de E, F, G, L c (E,F), L c (F,G) ou L c (E,G). 1. Montrer que u L c (E,F), v L c (F,G), on a : v u v u. 2. Montrer que si F est complet alors L c (E,F) est un espace de Banach. 3. On suppose que F = E et on note L c (E,F) par L c (E). Montrer que si u L c (E) vérifie u < 1 alors I u est inversible. On note U(E) l ensemble des automorphismes continus de E. 3

4 { Φ : U(E) U(E) 4. Montrer que U(E) est un ouvert puis que l application u u 1 est continue. Exercice 16. (Complété d un espace métrique, méthode de Cantor) Soit (E,d) un espace métrique. On note Y l ensemble des suites de Cauchy d éléments de E et on pose (u,v) Y 2, d (u,v) = lim d(u n,v n ) où u = n (u n ) n N et v = (v n ) n N. 1. Montrer que d : Y 2 R + est une application bien définie. 2. Soit R la relation définie sur Y par : u v d (u,v) = 0, (u,v) Y 2. (a) Montrer que R est une relation d équivalence sur Y. (b) Montrer que d induit une distance d sur le quotient Ẽ = Y/R. 3. Soit j : E Ẽ l application qui a x E associe la classe de la suite constante de valeur égale à x. Montrer que j est une injection isométrique (i.e. (x,y) E 2, d(j(x),j(y)) = d(x,y)). 4. Montrer que j(e) est dense dans Ẽ. 5. Montrer que (Ẽ, d) est un espace métrique complet. 6. Appliquer cette méthode à Q et montrer que l on obtient R. Exercice 17. Soit (E, d) un espace métrique. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes : 1. (i) (E,d) est un espace métrique complet. 2. (ii) Pour toute suite (X n ) n N décroissante pour l inclusion de fermés non vides de E telle que la suite (δ(x n )) n N converge vers 0, l intersection n NX n est un point, où δ(x n ) désigne le diamètre de X n. Exercice 18. Soit (E,d) un espace métrique complet et (A n ) n N une suite décroissante pour l inclusion d ouverts denses. Montrer que A = n NA n est une partie dense de E. Exercice 19. On considère l espace R n muni des différentes normes : x p = ( i=n 1/p i=0 i) xp pour p N et x = Max ( x i ). On rappelle que la norme 1 i n. 2 est la norme associée au produit scalaire euclidien défini par x,y R n,< x,y >= i=n i=0 x iy i et si A = (a ij ) M n (R) est une matrice carrée réelle, alors i désigne le numéro de ligne et j celui de la colonne. Pour A = (a ij ) M n (R), on pose N 1 (A) := Max i=n j=1..n i=1 a ij et N (A) := Max j=n i=1..n j=1 a ij. 4

5 1. Soit A M n (R). Montrer que l application f : x Ax est une application linéaire continue et que sa norme vaut N 1 (A) ou N (A) suivant que R n est muni de la norme. 1 ou.. 2. En notant t A la matrice transposée de A, montrer que les valeurs propres de la matrice t AA sont toutes réelles positives et que cette matrice est diagonalisable dans une base orthonormée euclidienne. On notera N 2 (A) la racine carrée de la plus grande valeur propre de t AA. 3. Montrer que l application linéaire continue f de la question 1) a pour norme N 2 (A) lorsque R n est muni de la norme euclidienne. 2. Exercice 20. Soit H l espace vectoriel des suite réelles de carré sommable, c est-à-dire : (x n ) n 0 H si, et seulement si + n=0 x 2 n < Montrer que l application : < x,y >= un produit scalaire sur H. + n=0 x n y n, (x,y) H 2, définie 2. Montrer que muni de ce produit scalaire, H est un espace de Hilbert. 3. Soit Q = {x = (x n ) H/ n N, x n 1/n}. Montrer que Q est complet. 5