Matrices. 1 Matrices rectangulaires. 1.2 L espace vectoriel M n,p (R)

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1 Matrices Matrices rectangulaires Soient n, p deux nombres entiers non-nuls On appelle matrice à n lignes et p colonnes un tableau rectangulaire de nombres réels comportant n lignes et p colonnes } }{{} p colonnes n lignes 2 L ensemble des matrices à n lignes et p colonnes se note M n,p (R) Soit A M n,p (R) Le coefficient situé à l intersection de la ième ligne et jème colonne se note a i,j et on écrit alors a, a,2 a,j a,p a 2, a 2,2 a 2,j a 2,p A = a i, a i,2 a i,j a i,p ou encore A = (a i,j ) i n a n, a n,2 a n,j a n,p 4 Un élément de M,p (R) (resp M n, (R)) s appelle une matrice ligne ( ) (resp colonne : ) 5 La matrice nulle de M n,p (R), que l on note 0 n,p,(ou 0 quand il n y a pas d ambiguité) est la matrice où tous les coefficients sont nuls 2 L espace vectoriel M n,p (R) 2 Addition de matrices Soit A = (a i,j ) i n et B = (b i,j ) i n deux matrices de M n,p (R) On appelle somme de A et B la matrice de M n,p (R) notée A + B définie par A + B = (c i,j ) i n où c i,j = a i,j + b i,j pour tout i [, n] et j [, p] Exemple : = 6 On somme coefficient par coefficient! Multiplication par un réel Soit A = (a i,j ) i n une matrice de M n,p (R) et λ un nombre réel On appelle produit de A par λ la matrice de M n,p (R) notée λa définie par Exemple ( :) = 2 λa = (c i,j ) i n où c i,j = λa i,j pour tout i [, n] et j [, p] On multiplie chaque coefficient par le réel λ! 6 9

2 2 Propriétés immédiates Soit A, B, C trois éléments de M n,p (R) et λ, µ deux nombres réels A + B = B + A ; 0 + A = A = A + 0 ; A + ( A) = A A = 0 = ( A) + A 2 (λ + µ)a = λa + µa ; λ(a + B) = λa + λb ; λ(µa) = (λµ)a On en déduit au niveau du calcul que pour ces opérations tout se passe comme dans les réels : par exemple, l équation A + X = B d inconnue X a une unique solution X = B A On verra dans le prochain chapitre d algèbre, que les propriétés de l addition de matrices et celles de la multiplication par un nombre réel pourront se résumer par : L ensemble M n,p (R) muni de l addition et de la multiplication par un réel est un espace vectoriel Produit de matrices Soit A = (a i,j ) i n une matrice de M n,p (R) et B = (b i,j ) i p j m une matrice de M p,m (R) On appelle produit de A par B la matrice de M n,m (R) notée AB ou A B définie par AB = A B = (c i,j ) i n où c i,j = a i, b,j +a i,2 b 2,j ++a i,p b p,j = j m Schéma : a i, a i,2 a i,p b p,j p a i,k b k,j pour tout i [, n] et j [, p] k= b,j b 2,j = c i,j Remarque : L ordre d écriture du produit est important car en général AB BA : ( Par exemple, avec A = et B =, on a AB = 0 0 et BA = = 0 2 ) ( ) = ( 2 Remarque 2 : Attention, contrairement à ce qui se passe dans les réels, on peut avoir A 0, B 0 mais AB = 0 : Par exemple, avec A = et B =, AB = et BA = = A 0 Propriétés Soit A, B et C des matrices de tailles adéquates et λ R Alors ABC = A(BC) = (AB)C λab = (λa)b = A(λB) = λ(ab) (A + B)C = AC + BC et C(A + B) = CA + CB (distributivité) 4 Transposée de matrices Soit A = (a i,j ) i n une matrice de M n,p (R) On appelle transposée de A la matrice de M p,n (R) notée ) 2

3 t A et définie par : t A = (c i,j ) i p où c i,j = a j,i pour tout i [, n] et j [, p] j n En d autres termes, t A est la matrice obtenue à partir de A par symétrie, en échangeant les lignes et les colonnes 4 2 Exemple : Soit A = Alors t A = Propriétés Soit A, B deux matrices de M n,p (R) et λ un nombre réel Alors : t (A + B) = t A + t B t (λa) = λ t A t ( t A) = A t (AB) = t B t A 2 Matrices carrées 2 Matrices carrées particulières Une matrice carrée d ordre n est une matrice à n lignes et n colonnes : l ensemble de ces matrices est noté M n (R) La matrice nulle de M n (R) peut se noter 0 n 2 On appelle diagonale d une matrice carré A = (a i,,j ) i n les coefficients (a i,i ) i n j n Une matrice diagonale d ordre n est une matrice de la forme a, a n,n remarque : les coefficients a i,i peuvent être nuls Une matrice diagonale est donc une matrice avec des 0 partout sauf éventuellement sur la diagonale 4 La matrice identité de M n (R), notée I n est la matrice 0 I n = Elle vérifie : A M n (R), I n A = A I n = A Exemple 2 Avec I = 0 et A = 4 vérifier que AI = A = I A 0 5 Une matrice triangulaire supérieure (a i,j ) (resp inférieure) est une matrice telle que i > j a i,j = 0 (resp i < j a i,j = 0) Elle est donc de la forme a, a,2 a,n a,n a, 0 0 a 2,2 a 2, a 2,2 0 0 (resp a,2 ) an,n a n,n an,n 0 a n,n a n,n a n,n a n,n a n,n 6 Une matrice A est symétrique si (i, j) [, n], a i,j = a j,i Autrement dit si t A = A

4 22 Propriétés du produit de matrices carrées Toutes les propriétés vues dans la section précédente restent évidemment vraies : mais maintenant, si A et B sont dans M n (R), on peut faire le produit AB et le produit BA, et ces deux matrices produit sont encore dans M n (R), donc on peut encore faire d autres produits etc Ainsi, une puissance de matrice a un sens : Soit A M n (R) et k un entier On pose A 0 = I n et si k, A k = A A A }{{} k fois Proposition Soit A M n (R) et q, m deux entiers positifs Alors on a A q A m = A q+m Remarque Par contre, en général (AB) k A k B k En effet, (AB) k = ABABABAB alors que A k B k = AAABBB, et en général dans M n (R), AB BA Soit A et B M n (R) On dit que A et B commutent si AB = BA Exemple : pour toute matrice A M n (R), A commute avec I n Formule du binôme de Newton Soient A et B deux matrices qui commutent Alors pour tout entier n, on a (A + B) n = n ) A k B n k 2 Matrices inversibles k=0 ( n k Soit A M n (R) A est inversible s il existe une matrice B M n (R) telle que AB = I n et BA = I n La matrice B, unique, { est alors appelée inverse de A et est notée A : AA elle vérifie le système = I n A A = I n L ensemble des matrices inversibles de M n (R) est noté GL n (R) Proposition Soient A, B deux éléments de M n (R) I n est inversible et In = I n car I n I n = I n Si A GL n (R) alors A GL n (R) et (A ) = A Si A et B GL n (R) alors AB GL n (R) et (AB) = B A car ABB A = A(BB )A = AI n A = AA = I n et de même B A AB = I n Si A 0 n, B 0 n et AB = 0 n alors A et B ne sont pas inversibles Règles de Calcul Soit A, B deux matrices de M n (R) et soit C GL n (R) donc C est inversible AC = B A = BC et CA = B A = C B AC = BC A = B et CA = CB A = B Preuve : AC = B ACC = BC (mult à droite par C inversible) AI n = BC A = BC ACC = A d où A = BC De même pour le deuxième (on multipliera à gauche par C ) Attention : si C n est ( plus) inversible ( tout ) peut arriver (! ) Par exemple, si A =, B = et C = alors AC = = BC pourtant A B!

5 Systèmes linéaires et Matrices Ecriture matricielle d un système linéaire x +y z +t = Soit (S) le système x +z t = 2x +2y +z +2t = 0 x Et posons les matrices A =, X = y z et B = t Un calcul matriciel simple montre que le système (S) est vérifié ssi AX = B Donc la détermination des solutions (x, y, z, t) du système (S) équivaut à la détermination de la matrice colonne X La matrice A est appelée matrice associée au système (S) Soit A M n (R) et soit B M n (R) une matrice quelconque fixée La matrice A est inversible ssi le système associé (S) : AX = B est un système de Cramer Et dans ce cas, l unique solution du système AX = B est X = A B Corollaire Une matrice triangulaire (ou diagonale) est inversible ssi tous les termes de sa diagonale sont non-nuls En effet, dans le cas d une matrice triangulaire (ce qui correspond à un système triangulaire), les coefficients diagonaux sont les pivots : et un système est de Cramer ssi tous ses pivots sont non nuls! Remarque : Un système est de Cramer ssi son système homogène associé l est Donc si veut montrer l inversibilité ou la non-inversibilité d une matrice SANS obtenir l éventuelle matrice inverse, il suffit de montrer que le système AX = 0 est de Cramer (C est-à-dire, prendre B = 0) 2 0 Exemples : Montrer que la matrice B = 2 n est pas inversible Montrer que la matrice A = 9 4 est inversible, et calculer son inverse 5 2 Opérations élémentaires sur les matrices Comme cela a été fait pour les systèmes linéaires, on peut définir des opérations élémentaires sur une matrice A M n,p (R) : permuter deux lignes de A ; 2 multiplier une ligne de A par un coefficient non nul ; remplacer une ligne de A par sa somme avec un multiple d une autre ligne La méthode de Gauss vue pour les systèmes linéaires donne : On peut trouver un nombre fini d opérations élémentaires qui transforme A en une matrice B triangulaire (supérieure ou inférieure) Alors B GL n (R) ssi A GL n (R) 5

6 Application au calcul de l inverse : méthode Supposons que A GL n (R) Alors on peut trouver un nombre fini d opérations élémentaires qui transforme A en I n En appliquant ces mêmes transformations élémentaires dans le même ordre à la matrice I n, la matrice obtenue est A Exemples : 2 0 Montrer que la matrice B = 2 n est pas inversible : B = 2 0 0L 2 L 2 2L 0 0 L L + L On est parvenu à une matrice triangulaire (attention ce n est plus B! c est une matrice équivalente) avec des éléments nuls sur la diagonale donc non-inversible Par suite B n est pas inversible Montrer que A = 9 4 est inversible et déterminer son inverse 5 Plusieurs présentations sont possibles : soit faire deux colonnes (l une pour A l autre pour I) soit tout présenter sur une seule matrice coupée en deux : la partie de gauche concerne A et celle de droite concerne I Deuxième présentation (la plus condensée) : L 2 L 2 L L L 2L L 2 L L L + 6L L 2 L 2 + L L L L 2 L L L + 5L 2 L L 2L 2 L L L 2 L Donc A = 5 et pour s assurer que l on n a pas fait d erreurs, on calcule A A 2 afin de vérifier que A A = I De plus, vu le produit matriciel, si il y a une erreur au niveau de la i e ligne de I, c est qu il y a une erreur sur la i e ligne de A On peut ainsi plus facilement trouver ses erreurs : il suffit de vérifier les étapes qui concernent cette ligne i! Première présentation (en colonne) : 2 7 A = 9 4 I = L L 2 7 poursuivre ainsi

7 Point méthode : montrer qu une matrice A M n (R) est inversible et déterminer A méthode : utiliser la définition de l inversibilité Autrement dit, trouver explicitement une matrice B telle que AB = BA = I n Cette méthode n est utile et utilisée que si l on a une relation entre A 2, A et I, ou A, A 2, A et I etc (voir les exercices qui s y rapportent, recto de la feuille d exercices) 2 méthode 2 : introduire une matrice d inconnues X, ainsi qu une matrice paramètre B quelconque, et résoudre le système (S) associé à AX = B d inconnue X L unique solution étant X = A B, on obtient A méthode : Partir de A et de I simultanément, et faire des opérations élémentaires sur les deux matrices jusqu à aboutir à I à gauche (pour A) Ce qu on lit à droite (pour I) est alors A Point méthode : montrer qu une matrice est ou n est pas inversible (sans se préoccuper le cas échéant d un calcul d inverse) méthode 2bis : introduire une matrice d inconnues X, et regarder si le système AX = 0 est ou n est pas de Cramer (il suffit donc de triangulariser le système, pour étudier les pivots : inutile de le résoudre) 2 méthode bis : Partir uniquement de A, et faire des opérations élémentaires jusqu à la rendre triangulaire Conclure en fonction des coefficients diagonaux trouvés (tous non nuls, ou non) 7