MATHÉMATIQUES II. 2 2 à coefficients réels dont l élément nul est noté 0, et S 2 formé des matrices symétriques.

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1 MATHÉMATIQUES II Dans tout le problème, M désigne le IR -espace vectoriel des matrices carrées à coefficients réels dont l élément nul est noté 0, et S le sous-espace vectoriel de M formé des matrices symétriques Si A et B sont deux éléments de M, le produit de A par B est noté AB, la matrice transposée de A est notée A D autre part, on note Ψ l application de IR 4 dans M qui à ( abcd,,, ) IR 4 fait correspondre la matrice ψ( abcd,,, ) = cd On rappelle aussi que Ψ est linéaire et bijective Partie I - Pour tout élément A de M, s écrivant A =, on définit la trace de A par : cd tr( A) = a+ d IA - Dans cette question, on définit une structure euclidienne sur M À toute matrice M de M, on associe sa trace tr( M) : on définit ainsi l application trace notée tr de M dans IR IA) Montrer que l application trace est linéaire de M dans IR Comparer pour ( AB, ) M M, les réels tr( AB) et tr( BA), puis tr( A) et tr( t A) IA) On pose ( A, B) M M, AB = tr( A t B) Montrer que l on définit ainsi un produit scalaire sur M Pour toute la suite du problème, on pose : E 0 =, E 00 =, E =, E = On note également I = E + E l élément unité de M Concours Centrale-Supélec 00 /6

2 IB - Montrer que la famille B 0 = ( E, E, E 3, E 4 ) M pour ce produit scalaire En déduire une base orthonormée de S est une base orthonormée de IC - Étude de la forme «déterminant» sur À toute matrice M de M, on associe son déterminant det( M) : on définit ainsi une application notée det de M dans IR IC) On pose M = 4 x i E i M i = Exprimer det( M) en fonction de ( x, x, x 3, x 4 ) IC) Montrer que det o Ψ est une forme quadratique sur IR 4, dont on précisera la matrice dans la base b = ( e, e, e 3, e 4 ), avec : e = ( 000,,, ), e = ( 000,,, ), e 3 = ( 00,,, ), e 4 = ( 0,,, 0) Partie II - On se propose dans cette partie de déterminer les applications q de M dans IR telles que q o Ψ soit une forme quadratique non nulle sur IR 4 et qui vérifient qmn ( ) = qm ( )q( N) () pour tout couple de matrices ( M, N) M M IIA - Donner un exemple d application q solution du problème exposé au début de la partie II Dans les questions suivantes de la partie II, q est une application de M dans IR telle que q o Ψ est une forme quadratique non nulle sur IR 4 et qui vérifie () IIB - Calculer q( 0), qi ( ) IIC - Montrer que si le rang de M est égal à, qm ( ) est non nul M Concours Centrale-Supélec 00 /6

3 IID - On suppose dans cette seule question que M M est une matrice de rang égal à Soit f l endomorphisme de IR dont la matrice dans la base canonique B = ( ε, ε ) de IR est égale à M IID) Montrer qu il existe B = ( uv, ) une base de IR telle que le noyau de f (noté ker f ) soit engendré par v (c est-à-dire ker f = Vect( v) ), puis qu il existe un vecteur w IR tel que B 3 = ( w, f( u) ) soit une base de IR En déduire que l on peut trouver deux matrices P et Q inversibles telles que PMQ 00 = 0 IID) En déduire que qm ( ) = 0 est une matrice inver- IIE - Expliquer pourquoi on peut ainsi conclure que sible si et seulement si qm ( ) 0 M IIF - Soit M une matrice fixée de M que l on supposera trigonalisable, dont les valeurs propres sont notées λ et λ (éventuellement confondues) On pose λ IR, f ( λ) = det( M λi), g( λ) = qm ( λi) On notera d autre part ϕ l application de M M dans IR définie par ϕ( M, N) = -- qm ( + N) qm ( N) 4 Par extension des notions vues en cours, si l application q est dite «forme quadratique» sur M alors ϕ est dite «forme polaire» associée à q IIF) Montrer que f est une fonction polynomiale dont on précisera le degré et les racines IIF) Exprimer g( λ) en fonction de qm ( ), ϕ( M, I) et λ Quelles sont les racines de l équation g( λ) = 0? En déduire que qm ( ) = det( M) IIG - Soit M = cd une matrice quelconque de M IIG) Donner un exemple de matrice M pour laquelle on ne peut pas appliquer la méthode de la question IIF IIG) Calculer qm ( ) en fonction de abcd,,, lorsque a 0 On pourra utiliser la méthode du pivot de Gauss et son interprétation en terme de produits matriciels pour trigonaliser M Concours Centrale-Supélec 00 3/6

4 IIG3) On suppose a = 0 et c 0 Calculer le produit M et en déduire q( M) 0 IIG4) En déduire une formule de qm ( ) en fonction de abcd,,, valable pour toute matrice M Partie III - Étude d une surface de IR 3 Dans ce qui suit, S est rapporté au repère orthonormé direct R = ( 0, E, E, E 3 ) les matrices E, E, E 3 ayant été définies à la partie I Les matrices sont donc ici considérées comme des point de l espace affine euclidien S Pour tout réel k, on note l ensemble des matrices M = xe + ye + ze 3 de S dont le déterminant est égal à k = { M S det( M) = k} IIIA - Montrer que dans R est une quadrique et préciser son équation cartésienne IIIB - Dans cette question, k = 0 IIIB) Montrer que par tout point M de Γ 0, M 0, passe une droite M contenue dans Γ 0 IIIB) Soit M 0 ( x 0, y 0 z 0 ) Γ 0, M 0 0 Déterminer l équation cartésienne du plan tangent à Γ 0 en M 0, et vérifier qu il contient M0 IIIC - Dans cette question k = IIIC) Déterminer et tracer la projection orthogonale de Γ sur le plan xoy IIIC) Déterminer et tracer la projection orthogonale de Γ sur le plan xoz IIIC3) Montrer que Γ contient au moins deux droites strictement parallèles (on pourra exploiter IIIC) IIID - Équation réduite de IIID) Déterminer une équation réduite de sous la forme α X + βy + γ Z = k, α > 0 dans un repère orthonormé R ( 0, U, V, E 3 ) On précisera U et V à l aide de E, E et on notera X, Y, Z Les coordonnées de M dans ce nouveau repère IIID) Reconnaître la surface selon les valeurs de k Concours Centrale-Supélec 00 4/6

5 Partie IV - On s intéresse dans cette partie aux applications Φ de M dans M qui vérifient le groupe des propriétés suivantes, appelé P : Φ est linéaire et bijective P ( M, M ) M M, Φ( MM ) = Φ( M)Φ( M ) M M, Φ( t M) = t Φ( M) IVA - Dans cette question, on s intéresse au cas général, et Φ est une application vérifiant la propriété P IVA) Montrer que : a) Φ( I) = I ; b) Φ( S ) = S ; c) Φ( E 4 ) = ± E 4 IVA) Montrer que pour toute matrice M M, Φ( M) est inversible si et seulement si M est inversible En déduire ΦΓ ( 0 ) IVB - Dans cette question, on étudie un exemple d application Φ Soit A une matrice de S (c est-à-dire telle que A = A) s écrivant : A = bc On définit l application Φ A de M dans M par : Φ A ( M) = AMA IVB) Montrer que Φ A vérifie la propriété P si et seulement si A = I On suppose dans les questions IVB à IVB5 que Φ A vérifie la propriété P et que A est distinct de I et de I IVB) Montrer que A est une matrice orthogonale symétrique et en déduire qu il est possible d exprimer les valeurs de abc,, en fonction d un seul paramètre θ [ 0π, [ En déduire Φ A ( E 4 ) IVB3) Montrer que A décrit un cercle de S dont on précisera le plan à l aide de deux vecteurs directeurs, ainsi que le centre et le rayon IVB4) Soit M M Calculer la norme euclidienne de Φ A ( M) en fonction de la norme de M (norme associée au produit scalaire défini à la partie I) En déduire que Φ A est une symétrie orthogonale IVB5) Étude de la restriction de Φ A à S (que l on notera encore Φ A ) a) Montrer que Φ A est la réflexion par rapport à un plan que l on précisera en fonction de I et de A Concours Centrale-Supélec 00 5/6

6 b) Déterminer la matrice de la restriction de Φ A à S dans la base orthonormée ( U, V, E 3 ) de S, avec U = ( E + E ) et V = ( E E ) IVC - On revient à nouveau au cas général étudié au IVA L application Φ vérifie donc la propriété P IVC) Montrer que l application M a det( Φ( M) ) de M dans IR, est une «forme quadratique» non nulle sur M c est-à-dire que det oφoψ est une forme quadratique non nulle sur IR 4 IVC) En déduire que M M, det( Φ( M) ) = det( M), puis que l application Φ laisse globalement invariantes toutes les surfaces pour k IR IVC3) En écrivant la matrice la plus générale de Φ dans la base orthonormée B = ( U, V, E 3, E 4 ) où U et V ont été définis à la question IVB5b), on remarquera que Φ( U) = U, Φ( S ) = S, Φ( E 4 ) = εe 4 avec ε = ±, et en écrivant que pour tout M de M, det( Φ( M) ) = det( M), démontrer qu il existe ( εε, ) {, } et θ [ 0π, [ tels que la matrice de Φ dans B soit de la forme : cosθ ε sinθ 0 0 sin θ ε cosθ ε IVC4) On suppose ε = On considère l application Φ A avec θ A -- θ = cos V + sin -- E3 a) Montrer que l application Φ o Φ A vérifie la propriété P et déterminer sa matrice dans B b) Quelle est la matrice dans B de l application qui à M associe t M? En déduire la valeur de ε et montrer que Φ = Φ A IVC5) On suppose ε = et on considère toujours la matrice θ A -- θ = cos V + sin -- E3 En considérant l application Φo Φ A, montrer qu il existe une matrice B, que l on déterminera, telle que Φ = Φ B o Φ A FIN Concours Centrale-Supélec 00 6/6