Baccalauréat S (obligatoire) Antilles-Guyane septembre 2010

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1 Baccalauréat S obligatoir) Antills-Guyan sptmbr 00 EXERCICE Commun à tous ls candidats 7 points PARIE A - Rstitution organisé ds connaissancs Soit > 0. Considérons la fonction [ p) ] =. En dérivant cs du fonctions, n utilisant n prmir la formul d dérivation d un fonction composé : ln ) p )=, soit puisqu p = p ln ) p)=, ou ncor ln ) = ln )=, car 0. PARIE B - Étud d fonction I - Étud d un fonction auiliair. g somm d fonctions dérivabls sur ]0 ; + [ st dérivabl t sur ct intrvall g )=+ 0 =. Comm > 0 l sign d la dérivé st donc clui du trinôm = + ) ) ou ncor d clui d puisqu +>>0. C trinôm s annul donc n =. ] [ Sur 0 ;, g )<0 : la fonction st décroissant ; ] [ Sur ; +, g )>0 : la fonction st croissant. ) ) ). On a g = + ln = + ln +ln = 3 + ln >0, car somm d du trms positifs. L minimum d g étant supériur à zéro, on a donc g ) > 0, sur ]0 ; + [. II - Étud d la fonction f t tracé d sa courb rprésntativ C. On sait qu lim =, donc lim 0, >0 f )=. 0, >0. On sait qu lim = 0 t comm lim =+, on a + lim f )= Soit la fonction d défini sur ]0 ; + [ par d)= f ) =. On a vu qu lim = 0 c qui montr qu lim d) = 0, c st-à-dir qu la + + droit D st asymptot à la courb C au voisinag d plus l infini. [ ] 3. On a = =, donc f )=+ = On a donc f )= g ) : d après la qustion précédnt ls du trms d c quotint sont supériurs à zéro, donc l quotint l st aussi : la fonction f st croissant sur ]0 ; + [.

2 5. La droit D a pour cofficint dirctur. Il faut donc chrchr l absciss A tll qu f A )=. Donc on chrch f )=+ = = 0 = =. Or f )=+ ln = +. Finalmnt : A ; + ) 6. Voir plus bas. III - Calcul d un air. Intégration par partis : u )= v)= On pos : u)= v )= outs cs fonctions sont dérivabls donc continus sur [ ; ], donc I = d = [))] d I I = ln) ln)) = I = d=.. La fonction f st croissant sur ]0 ; + [ t f ) =, donc sur l intrvall [ ; ], f ) >0. L air d la surfac délimité par ls droits d équation =, =, l a ds abscisss t la courb C st donc égal n unités d air à l intégral f ) d. [ ] Or f ) d= d+ d = + I = + = u.a.). L unité d air étant égal à 3 3=9 cm, l air d la surfac st donc égal à 9 33,5 cm, c qu l on vérifi approimativmnt sur la figur. Antills-Guyan sptmbr 00

3 3 A C 3 EXERCICE Commun à tous ls candidats 4 points. VRAIE. Si A st l point d affi t B clui d affi i, z = z i AM = BM M st équidistant d A t d B, donc M appartint à la médiatric d [AB] : ctt médiatric a bin pour équation y =.. VRAIE. b a ) b a c a = 3 arg = arg 3) soit c a montr qu ls points A, B t C sont alignés. 3. VRAIE. M ; y ; z) B, ) u BM = α u α R) = α+ y = α+3 z = 3α+4 Or n posant α=t, on a donc : AC, AB )=π. Ctt drnièr égalité y 3 z 4 = α = α = 3α Antills-Guyan 3 sptmbr 00

4 M ; y ; z) B, ) u = t + y = t )+3 z = 3t )+4 = t+ y = t+ z = 3t+ 4. FAUSSE. L affirmation signifi qu la distanc du cntr A d la sphèr au plan P st égal à 0. Or : da, P )= = 0. 3 EXERCICE 3 Candidats n ayant pas suivi l nsignmnt d spécialité 5 points. D après la définition u = u 4 u 0 = + 4 = 3 4. Si la suit était géométriqu, d après ls du prmirs trms la raison srait égal à ; or u ) = u. Si la suit était arithmétiqu, d après ls du prmirs trms la raison srait égal à )= 3 ) 3 ; or u + = 4 = u. Conclusion : la suit u n ) n st ni arithmétiqu ni géométriqu.. a. v 0 = u u 0 = )=. b. On a pour tout naturl n, v n+ = u n+ u n+ = u n+ 4 u n u n+ = u n+ 4 u n = u n+ ) u n = v n. c. v n+ = v n signifi qu la suit v n ) st un suit géométriqu d prmir trm t d raison. ) n d. On a donc qul qu soit n N, v n = = n. 3. a. w 0 = u 0 = v 0 =. b. On a w n+ = u v n + n+ = u n = + u n. v n+ v v n n c. On a par définition u n v n = w n, donc l égalité ci-dssus s écrit : w n+ = + w n. d. L égalité précédnt montr qu la suit w n ) st un suit arithmétiqu d prmir trm t d raison. On a donc w n = w 0 + n = +n. 4. On a trouvé qu w n = n = u n = u n = n u v n. n n Donc u n = n n, car n 0 qul qu soit n N. 5. Démonstration par récurrnc : Initialisation : S 0 = u 0 = t = 3 au rang 0. Hérédité : supposons qu il ist un naturl k tl qu : = 3=. La formul st vrai Antills-Guyan 4 sptmbr 00

5 k=n S n = u i = u 0 + u + +u k = k+ 3 i=0 k. Donc S k+ = S k +u k+ = k+ 3 k+ ) 4k 6+k+ k + k+ = + k+ = + k 5 k+ = k+ 5 k+ )+3 = k+ k+. La formul st vrai au rang k+. On a donc démontré par récurrnc qu pour tout n d N : S n = n+ 3 n. EXERCICE 4 Commun à tous ls candidats 4 points. 0,0 0,99 M M 0,85 0,5 0,05 0,95. a. On suit la prmièr branch : la probabilité st égal à pm) p M )=0,0 0,85= 0,0085. b. La probabilité qu il soit non portur d la maladi t qu son tst soit positif troisièm branch) st égal à 0,99 0,05= ) 0,0495. On a donc p)= pm) p M )+ p M p M )=0,0085+0,0495= 0,058. pm ) 3. Il faut calculr p M)= = 0,0085 p) 0,058 0, a. On a ici un épruv d Brnoulli d paramètrs n= 5 t p= 0,0085. La probabilité qu k animau soint malads st égal à : ) 5 0,0085 k 0,0085) 5 k. k On obtint l tablau d la loi d probabilité d X suivant : X= i p X= i ) 0,74 7 0,8 4 0,08 0,00 7 0, b. L évènmnt contrair st : tous ls animau ont un tst négatif qui d après l tablau précédnt a un probabilité d nviron 0,74 7. La probabilité pour qu au moins un ds cinq animau ait un tst positif st donc : 0,747=0,583. Coût Probabilité 0, , ,00 5 a. On a d après ls donnés du tablau : E= 0 0, , ,005=5,80+,50= 7,30. Cci rprésnt l coût moyn par animal b. Pour 00 bêts, l coût sra n moynn d : 00 7,30= 460. Antills-Guyan 5 sptmbr 00