Corrigé du baccalauréat S Centres étrangers 12 juin 2014

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1 Durée : 4 heures Corrigé du baccalauréat S Centres étrangers juin 4 A. P. M. E. P. Exercice 4 points Commun à tous les candidats Question Dans un hypermarché, 75 % des clients sont des femmes. Une femme sur cinq achète un article au rayon bricolage, alors que sept hommes sur dix le font. Une personne, choisie au hasard, a fait un achat au rayon bricolage. La probabilité que cette personne soit une femme a pour valeur arrondie au millième : a.,75 b.,5 c.,46 d.,7 Avec des notations évidentes : p B F )= pb F ). pb) Or pb)= pb F )+ pb H)=,75 5 +,5 7 =,5+,75=,35. D où p B F )==,5,35 = 5 35 = 6 3,46. Question Dans cet hypermarché, un modèle d ordinateur est en promotion. Une étude statistique a permis d établir que, chaque fois qu un client s intéresse à ce modèle, la probabilité qu il l achète est égale à, 3. On considère un échantillon aléatoire de dix clients qui se sont intéressés à ce modèle. La probabilité qu exactement trois d entre eux aient acheté un ordinateur de ce modèle a pour valeur arrondie au millième : a.,9 b.,9 c., d.,67 On a une loi binomiale de paramètres n= et p=,3. On a donc px = 3) = ) 3,3 3,3) 3 =,7,83543,668, 67. Question 3 Cet hypermarché vend des téléviseurs dont la durée de vie, exprimée en année, peut être modélisée par une variable aléatoire réelle qui suit une loi exponentielle de paramètre λ. La durée de vie moyenne d un téléviseur est de huit ans, ce qui se traduit par : λ= 8. La probabilité qu un téléviseur pris au hasard fonctionne encore au bout de six ans a pour valeur arrondie au millième : a.,75 b.,5 c.,47 d.,58 6 On a px 6)= 8 e 8 t dt = [ e t] 6 8 = e 8 6,473,47. Question 4 Cet hypermarché vend des baguettes de pain dont la masse, exprimée en gramme, est une variable aléatoire réelle qui suit une loi normale de moyenne g. La probabilité que la masse d une baguette soit comprise entre 84 g et 6 g est égale à, 954. La probabilité qu une baguette prise au hasard ait une masse inférieure à 9 g a pour valeur arrondie au centième : a.,6 b.,3 c.,84 d.,48 On sait que si X suit la loi normale N ; σ ), alors

2 p σx +σ)=,954. On en déduit que σ=6 σ=8. On a donc px 9)=,5 p9 X ),6. Exercice 4 points Commun à tous les candidats On définit, pour tout entier naturel n, les nombres complexes z n par : z = 6 z n+ = +i z n, pour tout entier naturel n. On note r n le module du nombre complexe z n : r n = z n. Dans le plan muni d un repère orthonormé direct d origine O, on considère les points A n d affixes z n.. a) z = +i z = +i 6=8+8i. ) +i z = +i z = z 3 = +i z = 8i 8+8i)=4+4i+ 4i 4=8i. ) +i = 4i 4= 4+4i. b) Voir l annexe. c) Si z = +i alors z = = 4, donc z = ) Donc z = + i = cos π 4 + i sin π 4). Un argument de +i est donc π 4. d) OA = z =r = 6 ; OA = z =r = = 64 =8 ;. A A = z z = 8+8i 6 = 8+8i =8. On a donc OA = A A : le triangle est isocèle en A ; D autre part 8 ) ) + 8 = 6 A A + OA = OA signifie réciproque du théorème de Pythagore) que le triangle OA A est rectangle en A.. r n+ = z n+ = +i z n = +i z n le module du produit est égal au produit des modules) = r n. r n+ = r n montre que la suite r n ) est géométrique, de raison. ) n ) n On sait que r n r = 6. ) n Comme < <, on sait que lim =, donc lim n + r n =. n + La suite converge vers. Comme r n = z n = OA n, ceci signifie géométriquement que la limite des points A n est le point O. 3. a) Quel que soit le naturel n : ) ) A n A n+ = z n+ z n = +i z n z n +i = z n = +i z n = +i z n = r n = r n+.

3 b) L n est donc la somme des n sauf r ) premiers termes de la suite géométrique r n ). Donc L n = 8 ) n ) n c) On sait que lim =, donc lim n + L n = 8 n + 6 = 6 + ) ) = = 6 = 6 = ) Exercice 3 7 points Commun à tous les candidats Les parties A et B sont indépendantes. On considère la fonction f définie sur l intervalle [ ; ] par : a) f )= : évident ; f )=4 6+3= ; f x)=4x 3 6x + 3x. f fonction polynôme est dérivable sur [ ; ] donc continue sur cet intervalle ; f x)=x x+ 3=3 4x 4x+ ) = 3x ) sur R donc sur [ ; ] et f est croissante sur cet intervalle. f est donc bien une fonction de retouche. b) Il semble que la courbe coupe la droite d équation y = x pour x = et x =,5. On peut vérifier que f,5)=,5. On a donc f x) x x,5 o u x =. Ce résultat signifie que f éclaircit les nuances codées par un nombre supérieur à,5 et inversement pour celles codées par un réel entre exclu) et,5.. a) f est une fonction dérivable car composée de fonctions dérivables, donc g l est aussi et : g x)= f x) = e e e )x = = e ) e )x. +e )x +e )x +e )x b) Comme e >, le dénominateur est positif comme somme de termes positifs ; le signe de g x) est donc celui de son numérateur ; or e e )x e e )x e e x On a e e,48. On a donc avec e e = a, g x) x a et de même g x) x a. La fonction g est donc croissante sur [ ; a], puis décroissante sur [a ; ]. g a donc un maximum g a),. c) D après la question précédente sur l intervalle [ ; a] la fonction g est continue et croissante de g )= à g a),. Comme,5 [ ; a], il existe une valeur unique α de [ ; a] telle que f α)=,5. 3

4 On démontre de même avec g décroissante) que sur [a ; ] il existe un réel unique β tel que g β)=,5. On admettra que :,8<α<,9 et que :,85<β<,86. Partie B. Cet algorithme calcule le nombre de nuances par palier de, pour lesquelles la modification est perceptible visuellement.. On applique l algorithme à la fonction g = f x. Il calcule toutes valeurs telles que g x),5. Ce sont d après la question précédente toutes les nuances comprises entre,9 et,85 : l algorithme doit donc retourner : c = = 77. Partie C Dans cette partie, on s intéresse à des fonctions de retouche f dont l effet est d éclaircir l image dans sa globalité, c est-a-dire telles que, pour, tout réel x de l intervalle [ ; ], f x) x. On décide de mesurer l éclaircissement global de l image en calculant l aire A f de la portion de plan comprise entre l axe des abscisses, la courbe représentative de la fonction f, et les droites d équations respectives x = et x =. Entre deux fonctions, celle qui aura pour effet d éclaircir le plus l image sera celle correspondant,5 C f à la plus petite aire. On désire compa- rer l effet des deux fonctions suivantes, dont on,5, admet qu elles sont des fonctions de retouche : f 3 x)= xe x ) f 4 x)=4x 5+ 6 x+ 4.. a) f 3 produit de fonctions positives sur [ ; ] est positive sur cet intervalle. On a donc : A f3 = xe x ) dx= [e x ) ] e ). b) On a f 4 ) = 5+5 = et comme il est admis qu elle est une fonction de retouche elle est croissante sur [ ; ], donc positive sur cet intervalle. On a donc : A f4 = 4x 5+ 6 ) dx= [ x 5x+ 6lnx+ 4) ] x ln 5 6ln 4= 3+6ln On a A f3 = e ),36 et A f4 = 3+6ln 5 4,389. C est la fonction f 3 qui éclaircit le plus l image. Exercice 4 5 points Candidats n ayant pas choisi l enseignement de spécialité Dans l espace muni d un repère orthonormé, on considère les points : A ; ; 7), B ; ; ), C3 ; ; 3), D3 ; 6 ; ) et E4 ; 8 ; 4).. On a AB, AC 5 4 Ces vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les points A, B et C ne sont pas alignés. 4

5 . a) u ; b ; c) un vecteur normal au plan ABC) s il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan, par exemple AB et AC. u AB = b 5c = ; et u AC = b 4c =. Il faut donc résoudre le système : b 5c = b 5c = 3+3c = b 4c = 4+b+ 8c = c = ; en remplaçant dans la deuxième équation on a b = 4c = 4=. b) On sait que si u ; ; ) est un vecteur normal au plan ABC), une équation de ce plan est : Mx ; y ; z) ABC) x y+ z+ d =. Or A ; ; 7) ABC) 4+7+d = d = 4. Donc Mx ; y ; z) ABC) x y+ z 4=. c) D3 ; 6 ; ) ABC) = = : cette égalité est fausse : le point D n appartient pas au plan ABC). 3. a) Cette droite a pour vecteur directeur w ; 4 ; ) et le le vecteur u ; ; ) lui est normal au plan ABC). Or w = u : le vecteur w colinéaire au vecteur u est lui aussi normal au plan ABC). b) Le point commun, s il existe, a ses coordonnées qui vérifient les équations de la droite et l équation du plan, soit : x = t+ 3 y = 4t+ 5 z = t x y+ z 4 = t + 3 4t + 5)+t 4= t+ 3+8t +t 4= t = t =. En remplaçant dans les équations de la droite, on obtient : x = +3=5, y = 4+5=, z = =. H5 ; ; ). 4. On a DE ; ; 5). DE = AB ; donc la droite DE) est parallèle à la droite AB) donc la droite DE) est parallèle au plan ABC), et on a vu que D n appartientpas au plan ABC), donc la droite DE) est strictement parallèle au plan ABC). Exercice 4 Candidats ayant choisi l enseignement de spécialité 5 points Partie A : préliminaires. a) n N modulo N n ) N ) modulo N Or N ) = N N + et N modulo N et N modulo N, donc N ) modulo N et finalement car n 4 = n n 3, n n 3 modulo N. b) On a 5 = 5=6, donc 5 modulo 6. La question précédente montre que modulo 6. Donc k = 5 3 = 5. ) 4 6. a) 6A = et A = 8 unité). ) 9 6, donc 6A A = 8 7 ) 5 = 5I I matrice 5 5

6 b) On a 6A A = A6I A)=5I ou encore A 6I A)=I : cette égalité 5 montre que la matrice A est inversible et que son inverse est A = 5 6I A)= 6 5 I 5 A. c) A = 6 5 I 5 A 5A = 6I A= Conclusion B = 5A. d) En partant de l égalité précédente : ) = B. 3 4 B = 5A B A= 5A A B A= 5I B AX = 5I X BY = 5X. Partie B : procédure de codage Coder le mot «ET», en utilisant la procédure de codage décrite ci-dessous. ) 4 «ET» est codé par la matrice X =. 9 ) ) 35 9 Puis Y = AX =, puis R = et d après le tableau «ET» est codé «JY». 5 4 Partie C : procédure de décodage Lors du codage, la matrice X a été transformée en la matrice Y = Y = AX. y y ) telle que :. On a Y = AX A Y = X 5A Y = 5X = BY soit Y = AX 5x = y y 5x = 3y + 4y. La question. b. de la partie A a montré que 5 modulo 6. Donc en reprenant le système de la question précédente et en multipliant par, on obtient : 5x = y y ) 5x = ) 5x = 4y y 3y + 4y 5x = 63y + 84y x 6y + 5y modulo 6 x 5y + 6y modulo 6 ) 6 3. «QP» est associé à la matrice. 5 En utilisant le résultat précédent : x 6y + 5y modulo 6 x 5y + 6y modulo 6 x modulo 6 x 4+9 modulo 6 x 33 modulo 6 x 33 modulo 6 Le mot décodé est donc «TS». x = 9 x = 8 6

7 Annexe à rendre avec la copie Annexe relative à l exercice 8 A A 6 A A 4 A 5 A A Annexe relative à l exercice 3 Courbe représentative de la fonction f,,5,5, 7