Ch.G2 : Trigonométrie

Transcription

1 3 e - programme 01 mathématiques ch.g cahier élève Page 1 sur 15 1 CSUS, SUS ET TGETE D'U GLE GU Ch.G : Trigonométrie 1.1 Définitions ex. 1 à 3 DÉFTS 1 Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l'hypoténuse ; Exemple 1 : le sinus d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur de l'hypoténuse ; la tangente d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur du côté adjacent à cet angle. Le triangle CR est rectangle en R. Écris les formules donnant le cosinus et le sinus de l'angle CR, puis la formule donnant la tangente de l'angle CR. Solution : Le triangle CR est rectangle en R donc : côté opposé à CR sin CR = hypoténuse sin CR = RC C. côté adjacent à CR cos CR = hypoténuse cos CR = R C côté opposé à RC tan CR = côté adjacent à RC tan CR = R RC. Remarques : Le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont toujours compris entre 0 et 1. La tangente d'un angle aigu est un nombre strictement positif. Exercice du cours n 1 page 08 ET est un triangle rectangle en E. Écris les rapports de longueurs donnant cos TE, sin TE et tan TE. cos TE = sin TE = tan TE = ET TE TE E = E T = ET T TE TE = ET E Exercice du cours n page 08 E est un triangle rectangle en. Pour chacun des rapports suivants, précise s'il s'agit du cosinus, du sinus ou de la tangente d'un des angles aigus du triangle E : E ; E ; E et. Tu préciseras lequel. E E E E = E = cos E E = E = sin E

2 E = 3 e - programme 01 mathématiques ch.g cahier élève Page sur 15 E = tan E E E E = E = cos E E E = E = sin E E = E = tan E E Exercice du cours n 3 page 08 Sur la figure ci-contre, est le pied de la hauteur issue de dans le triangle C rectangle en. a) Écris de deux façons différentes les rapports de longueurs donnant cos C, sin C et tan C. b) Recommence avec l'angle C. C C cos C = sin C = tan C = C C = C C = C C C = C C cos C = sin C = tan C = C C = C C = C C C = C cos C = sin C = tan C = C C = = C C = C cos C = C = C

3 ,5 cm sin C = 3 e - programme 01 mathématiques ch.g cahier élève Page 3 sur 15 C = C C tan C = C C = C Exercice n 1 page 09 Soit C un triangle rectangle en. a) Quelle est son hypoténuse? b) Quel est le côté opposé à l'angle C? c) Quel est le côté adjacent à l'angle C? C d) Quel est le côté opposé à l'angle C? e) Quel est le côté adjacent à l'angle C? [C] [] [C] [C] [] Exercice n page 09 Le bon triangle n se place dans le triangle L rectangle en. a) Quelle est son hypoténuse? b) Quel est le côté opposé à l'angle L? c) Quel est le côté opposé à l'angle L? n se place dans le triangle rectangle en. d) Quelle est son hypoténuse? e) Quel est le côté opposé à l'angle? [L] [] [L] [] [] Exercice n 3 page 09 À toi de jouer! a) Construis un triangle rectangle en tel que =,5 cm et =,5 cm. b) Repasse en rouge l'hypoténuse, en vert le côté opposé à l'angle et en bleu le côté adjacent à l'angle. L,5 cm Exercice n page 09 Écritures EFG est un triangle rectangle en E. Écris les relations donnant le sinus, le cosinus et la tangente de l'angle EGF dans le triangle EFG. E F G sin EGF = EF FG EG cos EGF = FG EF tan EGF = EG Exercice n 5 page 09 est un triangle rectangle en. Écris les relations donnant le sinus, le cosinus et la tangente de l'angle dans ce triangle. sin = cos = tan =

4 ,1 cm 3 e - programme 01 mathématiques ch.g cahier élève Page sur 15 Exercice n 6 page 09 Dans quel(s) triangle(s) peut-on écrire que sin =? ustifie ta réponse. a) b) c) d) cm 5 cm 3 cm [] e) f) = 5 = 5 + = + 3 = + 9 = 5 [] [] Exercice n 7 page 09 ndique dans chaque cas si on peut calculer, à l'aide des données, le sinus, le cosinus ou la tangente de l'angle marqué. a) b) c) E d) 8 cm 9 cm F, cm,8 cm C,7 cm cm G 3 cm tan C =,1,8 C sin = 8 9 sin EFG =,7, EFG C E tan = 3 Exercice n 8 page 09 Quels rapports? est un triangle rectangle en. Que calcules-tu lorsque tu écris : a)? b)? l peut y avoir plusieurs réponses possibles. Précise l'angle pour chaque réponse donnée. c)? d)?

5 @options; repereortho(9,7,5,1,1){ 0, moyen, noir, num1,i}; = point( -5.03, -1 ) { grisfonce }; = point( 3.97, -1 ) { grisfonce }; C = point(, 7 ) { grisfonce }; s = segment(, ); sc = segment( C, ); sc = segment(, C ); p_disc = milieu(, C ) { i }; t_disc = texte( p_disc,"#c=#") { noir, (0.,0), dec }; p_dis = milieu(, ) { i }; t_dis = texte( p_dis,"#=#") { noir, (0,0.15), dec }; 3 e - programme 01 mathématiques ch.g cahier élève Page 5 sur 15 [] cos sin tan tan cos sin Exercice n page 13 Sans calculatrice Pour chaque question, justifie la construction. a) Construis un angle tel que tan = 8 9. C 8 C tan = C = b) Construis un angle tel que sin = 0,6. C 5 3 C sin = C C = 3 5 = 0,6 1. Calculer des longueurs ex. à 8 Exemple : Calculer une longueur n considère un triangle LE rectangle en E tel que L = 5, cm et EL = 6. a) Calcule la longueur du côté [E] arrondie au millimètre. 5, cm 6 L b) Puis, calcule la longueur du côté [EL] arrondie au millimètre. E Solution : a) Dans le triangle LE rectangle en E, [L] est l'hypoténuse ; [E] est le côté opposé à l'angle EL. côté opposé à EL sin EL = hypoténuse sin EL = E L n cite les données de l'énoncé qui permettent de choisir la relation trigonométrique à utiliser. n doit utiliser le sinus de l'angle EL. n écrit le sinus de l'angle connu. (La longueur cherchée doit apparaître dans le rapport.)

6 3 e - programme 01 mathématiques ch.g cahier élève Page 6 sur 15 E = L sin EL n applique la règle des produits en croix. E = 5, sin 6 n saisit 5, 6 à la calculatrice. E,8 cm. E est inférieure à L. Le résultat est cohérent. b) Pour calculer la longueur du segment [EL], on peut utiliser deux méthodes différentes. Première méthode : n utilise le théorème de Pythagore dans le triangle LE rectangle en E. L = E + EL EL 5,,8 6,1 5,,8 + EL EL 6,1 donc EL,5 cm. Deuxième méthode : n utilise une deuxième relation trigonométrique. Dans le triangle LE rectangle en E, n cite les données de l'énoncé qui permettent de [L] est l'hypoténuse ; choisir la relation trigonométrique à utiliser. [EL] est le côté adjacent à l'angle EL. n doit utiliser le cosinus de EL. côté adjacent à EL cos EL = hypoténuse cos EL = EL L EL = L cos EL n écrit le cosinus de l'angle connu. (La longueur cherchée doit apparaître dans le rapport.) n applique la règle des produits en croix. EL = 5, cos 6 n saisit 5, 6 à la calculatrice. EL,5 cm. EL est inférieure à L. Le résultat est cohérent. Exercice du cours n page 08 Le triangle V est rectangle en ; V = m et l'angle V mesure 1. Calcule la longueur arrondie au centimètre. [V] [] tan V = tan V = V = tan 1 18,8 m V V V V = tan V V V Exercice du cours n 5 page 08 V Le triangle UE est rectangle en U ; E = 10 cm et EU = 19. Donne la valeur arrondie au millimètre de la longueur du côté [UE]. [E] [UE] sin EU = EU = E sin EU UE EU EU = EU E U EU

7 EU = 10 sin 19 EU 3,3 cm 3 e - programme 01 mathématiques ch.g cahier élève Page 7 sur 15 Exercice du cours n 6 page 08 Le triangle VLR est rectangle en V ; LR = 8,7 cm et VRL = 7. Donne la valeur arrondie au millimètre de la longueur du côté [VR]. [LR] [VR] cos VRL = cos VRL = RV RL RV = RL cos VRL RV = 8,7 cos 7 RV,7 cm VLR VRL V VRL VRL Exercice n 9 page 10 À l'aide de la calculatrice, donne la valeur arrondie au centième de : a) sin 75 b) cos 6 c) tan 83 d) sin 18 0,97 0,90 8,1 0,31 Exercice n 10 page 10 Donne la valeur arrondie au degré de x. a) sin x = 0, b) tan x = 5 c) cos x = 0,75 d) tan x = 7 e) cos x = 3 f) sin x = 9 10 x 1 x 89 x 1 x 7 x 8 x 6 Exercice n 11 page 10 Recopie et complète le tableau suivant avec des arrondis au dixième ,3 89 1,1 esure de l'angle Sinus 0,5 0,33 0,0 0,6 0,5 0,33 1,0 0,0 Exercice n 1 page 10 Calcule x dans chacun des cas suivants. x a) 5,5 = 0,6 b) 13 x = 0,5 c) 0,8 = 36 x x = 0,6 5,5 x = 3,3 x = 13 0,5 x = 5 Exercice n 13 page 10 Calcul de la longueur d'un côté x = 36 0,8 x = 5 a) Exprime le cosinus de l'angle L en fonction des longueurs des côtés du triangle. b) Quelle longueur peux-tu calculer à l'aide de ce cosinus? Calcule l'arrondi au dixième de cette longueur. c) Exprime le sinus de l'angle L en fonction des longueurs des côtés du triangle. d) Quelle longueur peux-tu calculer à l'aide de ce sinus? Calcule l'arrondi au dixième de cette longueur. cos L = L L L 63 6 cm

8 5 cm L = L cos L L = 6 cos 63 sin L = L 3 e - programme 01 mathématiques ch.g cahier élève Page 8 sur 15 L L,7 cm = L sin L = 6 sin 63 5,3 cm Exercice n 1 page 10 Que faut-il choisir? a) Quelle relation trigonométrique dois-tu utiliser pour calculer? b) Calcule l'arrondi au dixième de cette longueur. 3 cm tan = = tan = 3 5, cm tan 9 Exercice n 15 page 10 À toi de construire a) Construis un triangle rectangle en tel que = 5 cm et = 0. b) Calcule la longueur arrondie au mm. 9 0 tan = tan 0 = 5 Exercice n 17 page 10 = 5 tan 0, cm Construis un triangle TY rectangle en tel que T =,5 cm et YT = 73. Calcule la valeur arrondie au dixième de l'hypoténuse de = point( 1, 7.9 ) { grisfonce }; Y = point( 1, ); sy = segment( Y, ); T = point( 5.5, 7.9 ); st = segment(, T ); syt = segment( Y, T ); Y,5 cm 73 T

9 @options; repereortho(313,63,30,1,1){ 0, moyen, noir, L = point( -7.3, -1.3 ) { noir }; S = point( -7.8,.9 ) { noir, (- 0.7,-0.67) }; ssl = segment( S, L ) { noir }; cediasl = cercledia( S, L ) { noir, i }; = pointsur( cediasl, 1.13 ) { noir, (-0.53,0.03) }; ss = segment( S, ) { noir }; sl = segment(, L ) { noir }; anglesl = angle( S,, L ) { noir }; anglesl = angle( S, L, ) { noir, i }; anglesl = angle(, S, L ) { noir }; 3 e - programme 01 mathématiques ch.g cahier élève Page 9 sur 15 cos TY = T TY T TY = cos TY =,5 15, cm cos 73 Exercice n 18 page 10 À toi de choisir! Dans chaque cas, calcule la valeur arrondie au dixième de la longueur S. a) L b) 56 S c) L 83 5 cm 5,5 cm 7 cm 7 S cos SL = S SL tan SL = SL S sin SL = SL S cos 7 = S 5,5 tan 56 = 7 S sin 83 = 5 S Exercice n 19 page 10 vec deux triangles Calcule la longueur arrondie au millimètre. L S = 5,5 cos 7,9 cm 7 S =,7 cm tan 56 5 S = 5,0 cm sin 83 S P P sin P = P,6 P = 6,3 sin 7 P cos P = P,6 = cos 3 sin 7 5,8 cm Exercice n 1 page 11 Triangle rectangle? a) Démontre que le triangle UV est rectangle. b) Calcule les longueurs U et UV arrondies au dixième. P 7 3,6 cm cos VU = V UV tan UV = V U Exercice n page 11 cos 3 =,3 UV tan 58 =,3 U U 58,3 cm UV = 180 ( ) = 90 UV,3 UV =,7 cm cos 3,3 U = 1, cm tan 58 Construis un triangle C tel que =,5 cm, C = 7 et C = 63. a) Ce triangle est-il rectangle? Pourquoi? b) Calcule les longueurs C et C arrondies au dixième. V

10 = point( -3.1, 0.5 ); = point( 1., 0.5 ); s = segment(, ); C = point( 0.7,.33 ) { (0.3,- 0.53) }; sc = segment(, C ); sc = segment( C, ); 3 e - programme 01 mathématiques ch.g cahier élève Page 10 sur 15 C C C 180 C = 180 ( ) = 90 cos C = C C = cos C 7,5 cm 63 C =,5 cm cos 7,0 cm C =,5 cm cos 63,0 cm Exercice n 35 page 1 Piste noire Un skieur descend une piste ayant une pente de 5. Des fanions sont plantés aux positions S et P de la piste. Calcule la distance entre les deux fanions S et P arrondie au dixième de mètre. 00 m S R 5 P SRP P sin SPR = RS SP 00 SP = sin5 73, m sin 5 = 00 SP Exemple 3 : Calculer un angle Soit FU un triangle rectangle en U tel que : U = 8, cm et UF = 5,5 cm. Calcule la mesure de l'angle UF arrondie au degré. Solution : Dans le triangle FU rectangle en U, [FU] est le côté opposé à l'angle UF ; [U] est le côté adjacent à l'angle UF. côté opposé à UF tan UF = côté adjacent à UF tan UF = UF U 5,5 cm F U 8, cm n cite les données de l'énoncé qui permettent de choisir la relation trigonométrique à utiliser. n doit utiliser la tangente de UF. n écrit la tangente de l'angle recherché. tan UF = 5,5 8, et UF 3. n saisit ou puis (5,5 8,) à la calculatrice. Exercice du cours n 7 page 08 Le triangle EX est rectangle en X tel que EX = 3 cm et E = 7 cm. Calcule les valeurs arrondies au degré de la mesure des angles EX et XE. [E] [EX] sin EX = sin EX = EX E = 3 7 EX 5 EX EX EX X EX XE = 90 EX

11 3 e - programme 01 mathématiques ch.g cahier élève Page 11 sur 15 Exercice du cours n 8 page 08 Le triangle US est rectangle en U. Calcule la valeur arrondie au degré de la mesure de l'angle US sachant que U = 6, cm et US =,8 cm. US U [US] [U] tan US = tan US = US U =,8 6, US 37 US US US Exercice n page 11 Soit RDS un triangle rectangle en S. US US a) Exprime le sinus de l'angle DRS en fonction des longueurs des côtés du triangle. b) Déduis-en la mesure arrondie au degré de l'angle DRS. R 6,5 cm,5 cm D S sin DRS = DS DR sin DRS =,5 6,5 Exercice n 6 page 11 DRS 3 Dans chaque cas, calcule la mesure de l'angle ; donne la valeur arrondie au degré. a) b) c) 5 cm cm sin = 5 = 0, cm 1,6 cm 1, cm 5 cm 7 cm d) P 8,5 cm 55 cm sin = 1, = 0,6 37 tan = P cos P = P = 8,5 cos 55 sin = sin = 8,5 cos 55

12 @options; repereortho(310,70,30,1,1){ 0, moyen, noir, C = point( 1, 1 ) { grisfonce }; = point( -6, 1 ); cedia = cercledia(, C ); sc = segment(, C ); = pointsur( cedia, ); s = segment(, ); sc = segment(, C ); p_dis = milieu(, ) { i }; sc1 = segment(, C ); p_dis1 = milieu(, ) { i }; = point( -5, 0.97 ); s1 = segment(, repereortho(313,63,30,1,1){ 0, moyen, noir, E = point( -5.33,. ) { noir, (- 0.57,-0.6) }; = point( 1.7,. ) { noir }; se = segment( E, ) { noir }; perpse = perpendiculaire(, se ) { i }; = pointsur( perpse,.13 ) { noir, (-0.1,-0.77) }; G = pointsur( se, 0.38 ) { noir, (-0.13,0.1) }; dg = droite( G, ) { i }; perpese = perpendiculaire( E, se ) { i }; F = intersection( perpese, dg ) { noir }; sfe = segment( F, E ) { noir }; sf = segment( F, ) { noir }; s = segment(, ) { noir }; anglefeg = angle( F, E, G ) { noir, i }; angleg = angle(,, G ) { noir }; 3 e - programme 01 mathématiques ch.g cahier élève Page 1 sur 15 Exercice n 7 page 11 Triangles croisés a) Calcule la mesure de l'angle G. b) Déduis-en la mesure de l'angle EGF. c) Calcule les longueurs EF et FG arrondies au dixième. E 3 cm G 6 cm 3 cm G sin G = G = 3 = 0,5 G = 30 6 EGF = G = 30 EGF G EFG tan EGF = EF EG cos EGF = EG FG E EF = 3 tan 30 1,7 cm FG = 3 3,5 cm cos 30 Exercice n 31 page 1 Trace un cercle ( ) de diamètre [C] tel que C = 7 cm. Place un point sur le cercle ( ) tel que =,5 cm. a) Soit le pied de la hauteur issue de dans le triangle C. Place le point. b) Quelle est la nature du triangle C? ustifie ta réponse. c) Calcule la valeur de l'angle C arrondie au degré. d) Calcule la longueur arrondie au millimètre. F,5 cm 7 cm C C [C] sin C = C =,5 7 C 1 C 180 C sin = sin 69,5 =,5 sin 69,3 cm Exercice n 3 page 1 Dans un trapèze rectangle À l'aide des informations de la figure, calcule la mesure arrondie au degré de l'angle. 3 cm,5 cm 6 cm

13 3 e - programme 01 mathématiques ch.g cahier élève Page 13 sur 15 [] 3 cm =,5 cm = 3 cm 6 cm,5 cm = = 6 cm 3 cm = 3 cm tan = tan = =,5 3 = 1,5 56 Exercice n 33 page 1 P est un rectangle de longueur = 18 cm et de largeur P = 7,5 cm. a) Calcule la mesure de l'angle arrondie au degré. b) Calcule la longueur de la diagonale de ce rectangle arrondie au millimètre. c) Soit le pied de la hauteur issue de dans le triangle. Calcule la longueur arrondie au millimètre. tan = = 7, = + = ,5 = 380,5 = 380,5 = 19,5 cm sin = 18 sin 3 6,9cm 7,5 cm P sin cm RELTS TRGÉTRQUES ex. 9 PRPRÉTÉS Pour tout angle aigu, (cos ) + (sin ) = 1 et tan = sin cos. Remarque : La première formule peut aussi s'écrire cos + sin = 1. Exemple : a) Calcule la valeur exacte de sin sachant que est un angle aigu tel que cos = 0,8. b) Puis calcule la valeur exacte de tan. Solution : a) cos + sin = 1, donc sin = 1 cos = 1 0,8 = 1 0,6 = 0,36. Le sinus d'un angle aigu est un nombre positif, donc sin = 0,36 = 0,6. b) tan = sin cos = 0,6 0,8 = 0,75. Exercice du cours n 9 page 08 Calcule la valeur exacte de cos et tan sachant que est un angle aigu tel que sin = 5 13.

14 3 e - programme 01 mathématiques ch.g cahier élève Page 1 sur 15 cos + sin = 1 cos = 1 sin = = cos = = 1 9 tan = sin cos = = = 5 1 cos = Exercice n 59 page Possible ou impossible? 1 9 = 1 13 Existe-t-il un angle aigu tel que : a) cos = 3 et sin = 7 5? b) cos = 5 et sin = 5? 0 < 3 < 1 0 < 7 < 1 cos + sin = = + 7 = = = 1 0 < 5 5 < 1 0 < 5 < 1 cos + sin = 5 5 cos = = ( ) sin = 5 = 5 5 cos = 5 sin = 5 5 Exercice n 60 page vec une formule trigonométrique = = 5 1 Calcule la valeur exacte de sin et de tan sachant que est un angle aigu tel que cos = cos + sin = sin = 1 ( ) 3 + sin = sin = 1 sin = 1 9 = = tan = sin cos = sin sin = = = 7 = 7 = = 7 9 = 7 3 Exercice n 61 page vec une formule trigonométrique (bis) Calcule la valeur exacte de cos C et de tan C sachant que C est un angle aigu tel que sin C = cos C + sin C = 1 cos C = 1 sin C 6.

15 cos C = 1 3 e - programme 01 mathématiques ch.g cahier élève Page 15 sur 15 6 cos C = 1 ( 6 ) cos C = cos C = cos C = cos C = cos C = cos C = 6 + cos C = 6 + = 6 + cos C = cos C = 1 8 cos C = 1 8 cos C = 1 cos C = 1 ( ) cos C = cos C = ( ) cos C = + cos C = + cos C = + = + = + tan C = tan C = tan C = tan C = sin C cos C tan C = ( 6 ) ( 6 ) ( 6 + ) ( 6 ) tan C = ( 6) 6 + ( ) ( 6) ( ) tan C = tan C = 8 3 tan C = 1 3 tan C = 3 tan C = tan C = tan C = ( + ) +