Exo7. Dérivées partielles et directionnelles. Enoncés : Stephan de Bièvre Corrections : Johannes Huebschmann

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1 Enoncés : Stephan de Bièvre Corrections : Johannes Huebschmann Eo7 Dérivées partielles et directionnelles Eercice 1 Déterminer, pour chacune des fonctions suivantes, le domaine de définition D f. Pour chacune des fonctions, calculer ensuite les dérivées partielles en chaque point du domaine de définition lorsqu elles eistent : 1. f (,) = ep(),. f (,) = ln( + + ), 3. f (,) = sin + cos, 4. f (,,z) = z. [006] Eercice Soit f la fonction sur R définie par f (,) = cos + ep. 1. Calculer ses dérivées partielles.. Soit v = (cosθ,sinθ), θ [0,π[. Calculer D v f (0,0). Pour quelle(s) valeurs de θ cette dérivée directionnelle de f est-elle maimale/minimale? Que cela signifie-t-il? [0063] Eercice 3 Soit f : R R dérivable. Calculer les dérivées partielles de : g(,) = f ( + ), h(,) = f ( + ), k(,) = f () [001801] Eercice 4 Soit f : R R, définie par f (,) = si > f (,) = si < f (,) = 0 si =. Étudier la continuité de f, l eistence des dérivées partielles et leur continuité. [001803] Eercice 5 Soit la fonction f : R R définie par f (,) = + si (,) (0,0), f (0,0) = 0 Étudier la continuité de f. Montrer que f est de classe C 1. [001800] Retrouver cette fiche et d autres eercices de maths sur eo7.emath.fr 1

2 Indication pour l eercice 1 Pour calculer les dérivées partielles par rapport à une variable, interpéter les autres variables comme paramètres et utiliser les règles de calcul de la dérivée ordinaires. Indication pour l eercice Interpréter la dérivée directionnelle à l aide de l intersection du graphe de la fonction avec un plan convenable. Indication pour l eercice 3 Pour calculer les dérivées partielles par rapport à une variable, interpréter les autres variables comme paramètres et utiliser les règles de calcul de la dérivée ordinaires. Indication pour l eercice 4 Distinguer tout de suite la partie triviale et la partie non triviale de l eercice. Indication pour l eercice 5 Il est évident que, en tout point (,) distinct de l origine, la fonction f est continue et que les dérivées partielles eistent et sont continues. Il suffit de montrer que f est continue en (0,0) et que les dérivées partielles eistent et sont continues.

3 Correction de l eercice 1 1. D f = R. = ep() + ep() = 3 ep(). D f = {(,); > 0 ou 0} R. 3. D f = R. 4. D f = {(,,z);z 0} R = + + = 1 + = = = sincos = sincos = z = z z = z Correction de l eercice 1. = cos + ep, = sin + ep. (0,0) + sinθ (0,0) = cosθ + sinθ. Cette dérivée directionnelle de f est mai-, c.a.d. quand θ = π 4, et minimale quand sinθ = cosθ =, c.a.d.. D v f (0,0) = cosθ male quand sinθ = cosθ = quand θ = 5 4 π. Signification géométrique : Le plan engendré par le vecteur (cosθ,sinθ,0) et l ae des z rencontre le graphe z = f (,) en une courbe. Cette courbe est de pente maimale en valeur absolue pour cosθ = sinθ = et cosθ = sinθ = (même plan). Les deu signes s epliquent par les deu orientations possibles de cette courbe (sens du paramétrage). Correction de l eercice 3 3

4 g (,) = f ( + ) g (,) = f ( + ) h (,) = f ( + ) h (,) = f ( + ) k (,) = f () k (,) = f () Correction de l eercice 4 Il est évident que, en tout point tel que < ou >, la fonction est continue et les dérivées partielles eistent. Soit 0. Alors f n est ni continue en (,) ni en (, ). Car Par contre, f est continue en (0,0). Car puisque lim (u,v) (,) u > v lim (u,u) (,) f (u,u) = 0, lim (u,v) (, ) u > v lim (u, u) (, ) f (u,u) = 0. f (u,v) = lim u u = 0, f (u,v) = lim u u = 0, lim (u,v) (0,0) f (u,v) = 0 f (u,v) = u si u > v, f (u,v) = v si u < v, f (u,v) = 0 si u = v, et puisque alors lim u 0 u = 0 et lim v 0 v = 0. Soit (,) un point où =. Il reste à étudier les dérivées partielles en un tel point (,). Soit 0. Alors la fonction h de la variable t définie par { +t, +t > h(t) = f ( +t,) =, +t < n est pas dérivable en t = 0 donc la dérivée partielle (,) n eiste pas. De même, la fonction k de la variable t définie par {, > +t, k(t) = f (, +t) = +t, < +t, n est pas dérivable en t = 0 donc la dérivée partielle (,) n eiste pas. Enfin soit = 0. Alors la fonction h de la variable t définie par h(t) = f (t,0) = t est dérivable en t = 0 donc la dérivée partielle (0,0) eiste. De même, la fonction k de la variable t définie par k(t) = f (0,t) = t 4

5 est dérivable en t = 0 donc la dérivée partielle (0,0) eiste. Correction de l eercice 5 Puisque + reste borné, d où f est continue en (0,0). De même, d où les dérivées partielles l origine, Puisque il s ensuit que lim (,) (0,0) f (,) = lim (,) (0,0) f (,) lim (,) (0,0) f (,) lim (,) (0,0) (0,0) et = f (,) = f (,) + = lim (,) (0,0) = 0 = lim (,) (0,0) + = lim (,) (0,0) = 0 = lim (,) (0,0) + = lim (,) (0,0) = 0 (0,0) eistent, et + + = f (,) + + = f (,) (0,0) = 0 et (0,0) = 0. En plus, en dehors de ( + ) ( + ). 3 lim (,) (0,0) ( + ) = 0, lim 3 (,) (0,0) ( + ) = 0, lim (u,v) (0,0) (u,v) = 0, lim (u,v) (0,0) (u,v) = 0, d où les dérivées partielles et sont continues en (0,0). 5