Distance entre deux points du plan Géométrie plane Exercices corrigés

Transcription

1 Distance entre deux points du plan Géométrie plane Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : lire les coordonnées d un point dans un repère du plan et placer des points dans un repère Exercice 2 : calculer la distance entre deux points dans un repère orthonormé Exercice 3 : montrer qu un triangle est équilatéral Exercice 4 : montrer qu un triangle est isocèle en un point Exercice 5 : montrer qu un triangle est rectangle en un point et calculer l aire d un triangle Exercice 6 : calculer le périmètre d un quadrilatère quelconque Exercice 7 : déterminer les coordonnées du milieu d un segment et calculer le rayon d un cercle Exercice 8 : montrer que trois points sont alignés Exercice 9 : démontrer le théorème établissant la distance entre deux points Exercice 10 : trouver la valeur d un paramètre pour obtenir une distance donnée Exercice 11 : écrire un algorithme permettant de calculer la distance entre deux points Exercice 12 : vérifier qu un point appartient à un cercle ou qu il se trouve à l intérieur ou à l extérieur Exercice 13 : préciser si un point appartient à la médiatrice d un segment Exercice 14 : étudier la distance d un point à une droite Exercice 15 : étudier un régionnement du plan Accès direct au site 1

2 Exercice 1 (6 questions) Niveau : facile On considère le repère ( ) du plan. Dans cet exercice, on laissera les traits de construction apparents. 1) Comment qualifie-t-on précisément le repère ( )? 2) Donner les coordonnées des points,,, et. 3) Placer dans le repère les points ( ) et ( ). 4) Donner les coordonnées des points et, symétriques respectifs des points et par rapport à l axe des abscisses. 5) Donner les coordonnées des points et, symétriques respectifs des points et par rapport à l axe des ordonnées. 6) Quelles sont les coordonnées des points et, symétriques respectifs de et par la symétrie de centre? Correction de l exercice 1 1) Montrons que le repère ( ) est un repère particulier du plan. Comme ( ) ( ), on en déduit tout d abord que ( ) est un repère orthogonal. De plus, les unités d axes sont égales ; en effet,. ( ) est donc également un repère normé. De ces deux affirmations il découle que le repère ( ) est un repère orthonormé. Rappel : Repère orthonormé du plan Un repère orthonormé (ou orthonormal) ( ) du plan est un repère orthogonal et normé, c est-àdire tel que : ( ) ( ) unité de longueur commune Remarque : Dans un repère orthonormé ( ), on appelle unité d aire (abrégée ) l unité de mesure des aires telle que. 2

3 2) Donnons les coordonnées des points,,, et. Rappel : Coordonnées d un point dans un repère quelconque Soit un repère quelconque ( ) (ou ( )) du plan). Alors tout point du plan est repéré par un unique couple de réels ( ). Ce couple ( ) est appelé coordonnées du point. Par ailleurs, désigne l abscisse du point et désigne l ordonnée du point. Remarque : On lit l abscisse sur l axe des abscisses (très souvent horizontal) et on lit l ordonnée sur l axe des ordonnées (très souvent vertical). Comme ( ) est le repère du plan, est en définitive l origine du repère ; par conséquent, a pour coordonnées ( ). D autre part, est l unité de l axe des abscisses ; par conséquent, a pour coordonnées ( ). Enfin, est l unité de l axe des ordonnées ; par conséquent, a pour coordonnées ( ). Le point a pour abscisse et pour ordonnée. Donc a pour coordonnées ( ). Le point a pour abscisse et pour ordonnée. Donc a pour coordonnées ( ). Astuce pour ne pas confondre abscisse et ordonnée : La queue du a (première lettre de «abscisse») se prolonge horizontalement vers le bas donc l «abscisse» désigne l axe horizontal d un repère. La boucle du o (première lettre de «ordonnée») se prolonge verticalement vers le haut donc l «ordonnée» désigne l axe vertical d un repère. 3

4 3) Plaçons dans le repère les points ( ) et ( ). 4) Donnons les coordonnées des points et, symétriques respectifs des points et par rapport à l axe des abscisses. Rappel : Coordonnées du symétrique d un point par rapport à l axe des abscisses (symétrie axiale) Soit un repère quelconque ( ) (ou ( )) du plan). Alors tout point ( ) symétrique du point ( ) par rapport à l axe des abscisses a la même abscisse que celle et a une ordonnée opposée à celle de. Autrement dit, et. 4

5 est le symétrique du point par rapport à l axe des abscisses donc et. Finalement, a pour coordonnées ( ). est le symétrique du point par rapport à l axe des abscisses donc et. Finalement, a pour coordonnées ( ). 5) Donnons les coordonnées des points et, symétriques respectifs des points et par rapport à l axe des ordonnées. Rappel : Coordonnées du symétrique d un point par rapport à l axe des ordonnées (symétrie axiale) Soit un repère quelconque ( ) (ou ( )) du plan). Alors tout point ( ) symétrique du point ( ) par rapport à l axe des ordonnées a une abscisse opposée à celle et a la même ordonnée que celle de. Autrement dit, et. est le symétrique du point par rapport à l axe des ordonnées donc et. Finalement, a pour coordonnées ( ). est le symétrique du point par rapport à l axe des ordonnées donc et. Finalement, a pour coordonnées ( ). 6) Déterminons les coordonnées des points et, symétriques respectifs de et par la symétrie de centre. Rappel : Coordonnées du symétrique d un point par rapport à l origine du repère (symétrie centrale) Soit un repère quelconque ( ) (ou ( )) du plan). Alors tout point ( ) symétrique du point ( ) par rapport à l origine du repère a une abscisse opposée à celle et a une ordonnée opposée à celle de. Autrement dit, et. 5

6 est le symétrique du point par rapport à l origine du repère donc et. Finalement, a pour coordonnées ( ). est le symétrique du point par la symétrie de centre donc et. Finalement, a pour coordonnées ( ). 6

7 Exercice 2 (3 questions) Niveau : facile Le plan est rapporté à un repère orthonormé ( ). On donne les points ( ), ( ) et ( ). 1) Calculer. 2) Calculer la distance entre les points et. 3) Quelle est la mesure du segment [ ]? Correction de l exercice 2 Rappel : Distance entre deux points du plan dans un repère orthonormé Soit un repère orthonormé du plan et soient ( ) et ( ) deux points du plan. Alors la distance entre les points et, notée ou, est ( ) ( ) ( ) ( ). Remarque importante : Cette égalité n est valable que dans un repère orthonormé ; elle ne l est plus dans un repère quelconque du plan. Soient les points ( ), ( ) et ( ) dans un repère orthonormé ( ) du plan. 1) Calculons. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Remarque : Sauf indication contraire, toujours privilégier une valeur exacte (ici ) à une valeur approchée (ici ). Dès lors qu on donne une valeur approchée, en préciser l approximation (ici à près par défaut). 2) Calculons la distance entre les points et. Rappel : Identités remarquables ( ) ( ) ( )( ) 7

8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3) Calculons la mesure du segment [ ], c est-à-dire calculons. Utilisons pour ce faire une méthode quelque peu différente. En effet, calculons dans un premier temps puis déduisons-en. ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) Comme, il vient que ( ) 8

9 Exercice 3 (1 question) Niveau : facile Le plan est rapporté à un repère orthonormé ( ). On donne les points ( ), ( ) et ( ). Démontrer que le triangle est équilatéral. Correction de l exercice 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ainsi, donc le triangle est équilatéral. 9

10 Exercice 4 (1 question) Niveau : facile Dans le plan rapporté au repère orthonormé ( ), on considère les points ( ) et ( ). Montrer que le triangle est isocèle. Correction de l exercice 4 D après la figure, le triangle semble isocèle en. Montrons-le par le calcul. ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Comme, on en déduit que le triangle est isocèle en. Vérifions désormais que le triangle n est pas équilatéral. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Or, donc le triangle équilatéral mais bien isocèle en. n est pas 10

11 Exercice 5 (3 questions) Niveau : moyen On rapporte le plan à un repère orthonormé ( ), dans lequel on place les points ( ), ( ) et ( ). 1) Construire le triangle. 2) Montrer que ce triangle est rectangle. 3) En déduire son aire. Correction de l exercice 5 1) Construisons le triangle. 2) Montrons que le triangle est rectangle. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) Or, est rectangle en. donc, d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle 11

12 Rappel : Réciproque du théorème de Pythagore Dans un triangle, si le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle. Autrement dit, si l égalité suivante est respectée : ( ) ( ) ( ) Alors, d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle. Exemple : 1 er autre côté plus grand côté 2 e autre côté Si, alors d après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle est rectangle en et [ ] désigne l hypoténuse du triangle. 3) Calculons l aire du triangle. Comme le triangle est rectangle en, il vient que : Or, d après la question précédente, d une part, donc et, d autre part,, donc. Par conséquent, il vient que : 12

13 Exercice 6 (1 question) Niveau : facile Dans le plan rapporté au repère orthonormé ( ), on place les points ( ), ( ), ( ) et ( ). Donner la valeur exacte du périmètre du quadrilatère. Correction de l exercice 6 Calculons le périmètre du quadrilatère. Alors. Calculons donc la longueur de chaque côté du quadrilatère. ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) Par conséquent, on obtient que : 13

14 Exercice 7 (2 questions) Niveau : facile On considère le repère orthonormé ( ) du plan. ( ) et ( ) sont deux points du plan. 1) Déterminer les coordonnées du point, milieu de [ ]. 2) En déduire la mesure du rayon du cercle de centre et passant par le point. Correction de l exercice 7 1) Déterminons les coordonnées du point, milieu de [ ]. Rappel : Coordonnées du milieu d un segment dans un repère orthonormé du plan Soit un repère orthonormé du plan et soient ( ) et ( ) deux points du plan. Alors les coordonnées du milieu du segment [ ] sont ( ). Or, a pour coordonnées ( ) avec et. ( ) Le point a donc pour cordonnées ( ). 2) Calculons la mesure du rayon du cercle de centre et passant par le point. Autrement dit, calculons la distance. ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) Remarque : Il aurait été plus judicieux d utiliser ici une autre méthode ne faisant pas intervenir les coordonnées du point car la moindre erreur à la question précédente aurait également induit une erreur à cette question. Utilisons cette autre méthode. D après l énoncé, le point est le milieu de [ ]. Ainsi, le cercle de centre et passant par le point est aussi le cercle de diamètre [ ]. Calculons. 14

15 ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) Or, le rayon d un cercle est égal à la moitié du diamètre de ce cercle donc le rayon recherché est égal à. Suite de la remarque : Néanmoins, la formulation de la deuxième question invitait fortement à employer la première méthode. 15

16 Exercice 8 (3 questions) Niveau : moyen On considère les points ( ), ( ) et ( ), placés dans un repère orthonormé ( ) du plan. 1) Placer les points, et. Quelle conjecture peut-on émettre? 2) Calculer les distances, et. 3) En déduire l alignement des points, et. Correction de l exercice 8 1) Plaçons les points, et dans un repère orthonormé ( ) du plan. On peut conjecturer que les points, et sont alignés dans cet ordre. 2) Calculons les distances, et. ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) 16

17 ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) 3) Montrons que les points, et sont alignés. On vient de montrer que, et. Or,, c est-à-dire. Par conséquent, les points, et sont alignés dans cet ordre, ce que l on peut aussi noter [ ]. Remarque : La conjecture émise à la première question est donc vérifiée. 17

18 Exercice 9 (1 question) Niveau : difficile Soit ( ) un repère orthonormé du plan et soient ( ) et ( ) deux points distincts du plan. Montrer que la distance entre les points et, notée, est égale à ( ) ( ). Correction de l exercice 9 Représentons un repère orthonormé ( ) du plan et plaçons-y deux points quelconques et distincts, de coordonnées respectives ( ) et ( ). Notons alors le projeté orthogonal de sur l axe ( ) et le projeté orthogonal de sur l axe ( ). Notons par ailleurs le projeté orthogonal de sur l axe ( ) et le projeté orthogonal de sur l axe ( ). Appelons enfin le point d intersection des droites ( ) et ( ). Comme le repère ( ) est orthonormé, le triangle est rectangle en. Par conséquent, d après le théorème de Pythagore, il résulte que. Or, d une part, et, d autre part,. Ainsi, ( ) et ( ). Finalement, comme, il vient que ( ) ( ). Chacun des termes de cette somme étant positif, il découle finalement que ( ) ( ). Remarque : Trois autres cas de figure sont à envisager, mais qui conduisent à un raisonnement similaire et à un résultat identique. Les cas à considérer sont précisément lorsque : 1) et (cas étudié ci-dessus) 2) et 3) et 4) et 18

19 Exercice 10 (2 questions) Niveau : difficile Dans un repère orthonormé ( ) du plan, on donne les points ( ) et ( ). 1) Montrer que, pour tout réel, ( ). 2) Préciser la(les) valeur(s) du réel pour que la distance entre les points et soit égale à 4. Correction de l exercice 10 1) Montrons que, pour tout réel, ( ). Pour tout réel, ( ) 2) On sait que ( ) ( ) et que, par conséquent, ( ) ( ). Or, d après l énoncé, on souhaite que. Ainsi, en remplaçant d une part par 4 et d autre part les coordonnées des points par leurs valeurs respectives dans la dernière expression ci-dessus, il vient l égalité ( ) ( ). Résolvons cette équation d inconnue. Pour tout réel, ( ) ( ) ( ) ( ) Or, d après la première question, pour tout réel, ( ). Ainsi, pour tout réel, ( ). Finalement, pour tout réel, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ). (* En effet, un produit de facteurs est nul si et seulement si l un des facteurs au moins est nul.) On vient de montrer que. En conclusion, pour que la distance entre les points et soit égale à 4, doit prendre la valeur ou la valeur. En d autres termes, il existe deux points et d abscisse 5 tels que la distance qui les sépare du point soit égale à 4. Ces points ont pour coordonnées respectives ( ) et ( ). 19

20 20

21 Exercice 11 (1 question) Niveau : moyen Ecrire un algorithme permettant de calculer la distance entre deux points dans un repère orthonormé du plan. Correction de l exercice 11 Ecrivons un algorithme permettant de calculer la distance entre deux points dans un repère orthonormé du plan, avec le logiciel AlgoBox. 1 VARIABLES 2 xa EST_DU_TYPE NOMBRE 3 ya EST_DU_TYPE NOMBRE 4 xb EST_DU_TYPE NOMBRE 5 yb EST_DU_TYPE NOMBRE 6 distance EST_DU_TYPE NOMBRE 7 DEBUT_ALGORITHME 8 AFFICHER "Saisir l'abscisse du point A : " 9 LIRE xa 10 AFFICHER xa 11 AFFICHER "Saisir l'ordonnée du point A : " 12 LIRE ya 13 AFFICHER ya 14 AFFICHER "Saisir l'abscisse du point B : " 15 LIRE xb 16 AFFICHER xb 17 AFFICHER "Saisir l'ordonnée du point B : " 18 LIRE yb 19 AFFICHER yb Algorithme écrit avec le logiciel AlgoBox Quelques explications : 20 distance PREND_LA_VALEUR sqrt(pow(xb-xa,2)+pow(yb-ya,2)) 21 AFFICHER "La distance AB est : " 22 AFFICHER distance 23 FIN_ALGORITHME Dans la mesure où il est nécessaire de connaitre les coordonnées de deux points pour calculer la distance entre ces points, il faut 4 variables ; il s agit des variables xa, ya, xb et yb. Bien qu elle ne soit pas indispensable, la variable appelée distance est également introduite pour une meilleure compréhension de l algorithme. sqrt(x) permet de calculer la racine carrée de x pow(x,n) permet de calculer x n le résultat retourné en sortie par l algorithme est un arrondi. Affichages obtenus après lancement du logiciel AlgoBox Premier exemple ***Algorithme lancé*** Saisir l'abscisse du point A : 0 Saisir l'ordonnée du point A : -2 Saisir l'abscisse du point B : -3 Saisir l'ordonnée du point B : 0 La distance AB est : ***Algorithme terminé*** Deuxième exemple ***Algorithme lancé*** Saisir l'abscisse du point A : -1 Saisir l'ordonnée du point A : 2 Saisir l'abscisse du point B : 3 Saisir l'ordonnée du point B : -4 La distance AB est : ***Algorithme terminé*** 21

22 Exercice 12 (3 questions) Niveau : moyen Soit ( ) un repère orthonormal du plan et soit le cercle de centre ( ) et passant par ( ). 1) Montrer que le point appartient au cercle. 2) Montrer que le point ( ) se trouve à l intérieur du cercle. 3) Montrer que le point ( ) se trouve à l extérieur du cercle. On complètera la figure au fur et à mesure de l exercice. Correction de l exercice 12 Tout d abord, commençons par analyser l énoncé. Le cercle a pour centre le point ( ) et passe par le point ( ). Par conséquent, [ ] est un rayon du cercle. 1) Montrons que le point ( ) appartient au cercle. Pour ce faire, montrons que [ ] est aussi un rayon du cercle, c est-à-dire que. Or ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Et ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Finalement, donc le point appartient au cercle. 2) Montrons que le point ( ) se trouve à l intérieur du cercle, c est-à-dire montrons que. D une part, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). D autre part, d après la question précédente, ( ). 22

23 Finalement,, c est-à-dire (toute distance étant un nombre positif). Le point se trouve bien à l intérieur du cercle. 3) Montrons enfin que le point ( ) se trouve à l extérieur du cercle, c est-à-dire montrons que nous avons l inégalité stricte. D une part, ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ). D autre part, nous avons montré que. Ainsi, et en particulier. Le point se trouve bien à l extérieur du cercle. Remarque : On pouvait calculer autrement. En effet, comme les points et ont la même abscisse, à savoir, la distance est égale à (puisque ), c est-à-dire à. 23

24 Exercice 13 (1 question) Niveau : facile Soit ( ) un repère orthonormal du plan. On considère les points, et de coordonnées respectives ( ), ( ) et ( ). Le point appartient-il à la médiatrice du segment [ ]? Correction de l exercice 13 Rappel : Médiatrice d un segment (définition et propriété) La médiatrice d un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu. Tout point se trouvant sur la médiatrice d un segment est équidistant des extrémités de ce segment, et réciproquement. Le point appartient à la médiatrice du segment [ ] si et seulement si. Comparons ces deux distances. ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) donc le point n appartient pas à la médiatrice du segment [ ]. Remarque : Il était possible de proposer une écriture simplifiée de, à savoir, mais la comparaison des deux distances aurait été moins immédiate puisqu il aurait fallu comparer 5 et. 24

25 Exercice 14 (4 questions) Niveau : moyen Le plan est rapporté à un repère orthonormé ( ). On appelle ( ) la droite d équation. On donne ( ) un point quelconque du plan n appartenant pas à ( ) et ( ) un point de ( ). La distance du point à la droite ( ) est alors la distance minimale. 1) Exprimer en fonction de. 2) Vérifier que, pour tout réel, ( ). 3) En déduire les coordonnées du point pour lesquelles est minimale. 4) Conclure quant à la distance du point à la droite ( ). Correction de l exercice 14 1) Exprimons en fonction de. ( ) donc les coordonnées du point vérifient l équation de la droite ( ). Ainsi, a pour coordonnées ( ). Il vient alors que : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2) Vérifions que, pour tout réel, ( ). Pour tout réel, ( ). 3) Déterminons les coordonnées du point pour lesquelles la distance est minimale. D après la première question, ( ). De plus, d après la deuxième question, ( ). Ainsi, [( ) ]. Or, est minimale si et seulement si ( ), c est-à-dire si et seulement si. De plus, comme a pour coordonnées ( ), en remplaçant par 1, on trouve que a finalement pour coordonnées ( ). Distance du point à la droite ( ) 25

26 4) Calculons enfin la distance du point à la droite ( ). Cette distance est la distance. D après la question précédente, [( ) ] d où, en remplaçant par 1, [( ) ], c est-à-dire. En définitive,. La distance du point à la droite ( ) est égale à. 26

27 Exercice 15 (1 question) Niveau : moyen On place dans le plan rapporté à un repère orthonormé ( ) le point ( ). Représenter graphiquement l ensemble des points ( ) du plan tels que : leur abscisse soit positive leur ordonnée soit négative Correction de l exercice 15 Les points ( ) du plan tels que leur abscisse soit positive sont les points situés sur l axe des ordonnées et à droite de l axe des ordonnées. Ils sont représentés ci-contre en vert. Les points ( ) du plan tels que leur ordonnée soit négative sont les points situés sur l axe des abscisses et en-dessous de l axe des ordonnées. Ils sont représentés ci-contre en rouge. 27

28 Les points ( ) du plan tels que sont les points situés sur le cercle de centre et de rayon et à l intérieur de ce cercle. Ils sont représentés ci-contre en bleu. Remarque : On peut également dire que les points ( ) du plan tels que sont les points du disque de centre et de rayon. Par conséquent, l ensemble des points ( ) recherchés est l intersection de ces 3 ensembles vert, rouge et bleu. Il s agit du domaine noirci ci-contre. Ensemble des points ( ) recherchés. 28