Baccalauréat S juin 2004

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1 Durée : 4 heures Baccalauréat S juin 004 Du papier milétré est mis à la disposition des candidats. L utilisation d une calculatrice est autorisée. Le candidat doit traiter tous les exercices. La qualité delarédaction, la clarté etlaprécision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. Exercice 1 4 points Commun à tous les candidats Le personnel d un très grand hôpital est reparti en trois catégories: les médecins, les soignants (non médecins) et le personnel AT(administratif ou technique). 1 % des personnels sont des médecins et 71 % sont des soignants. 67 % des médecins sont des hommes et 9 % des soignants sont des femmes. On donnera une valeur approchée de tous les résultats à10 4 près. 1. On interroge au hasard un membre du personnel de cet hôpital. a. Quelle est la probabilité d interroger une femme soignante? b. Quelle est la probabilité d interroger une femme médecin? c. On sait que 80 % du personnel est féminin. Calculer la probabilité d interroger une femme AT. En déduire la probabilité d interroger une femme sachant que la personne interrogée fait partie du personnel AT.. Tout le personnel de cet hôpital a un temps de trajet domicile-hôpital au plus égal à une heure et on suppose que la durée exacte du trajet est une variable aléatoire uniformément répartie sur [0 ; 1]. On interroge au hasard un membre du personnel de cet hôpital. Quelle est la probabilité pour que la personne interrogée ait une durée de trajet comprise entre 15 min et 0 min? 3. Une entreprise souhaite envoyer un courrier publicitaire à 40 personnes qui travaillent dans cet hôpital. Elle a la liste du personnel mais ne connaît pas la fonction de chacun. Elle choisit au hasard 40 noms de la liste (en raison de la taille de la population, on considère qu il s agit de 40 tirages successifs indépendants avec remise). Quelle est la probabilité que, sur les 40 courriers envoyés, 10 exactement soient reçus par des médecins? Exercice 5points Candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité Le plan complexe est rapportéaurepère (O, u, v ). On prendra pour unité graphique cm. 1. Résoudre dans C l équation (z i) ( z z + ) =0. Donner les solutions sous forme algébrique et sous forme exponentielle (justifier les réponses).. Soient A et B les points d affixes respectives A = 1 + i et z B =i. À tout complexe z différent de A on associe le complexe z = z i z 1 i. a. Soit (E) l ensemble des points M d affixe z tels que z soit imaginaire pur. Montrer que B (E). Déterminer et construire l ensemble (E). b. Soit (F ) l ensemble des points M d affixe z tels que z =1. Déterminer et construire (F ). Baccalauréat Liban 1

2 ( ) 3 3. Soit R la rotation de centre Ω ; 5 et d angle π. a. Calculer l affixe du ( point ) B, image de B par R et l affixe du point I, 1 image par R du point I ; 3. b. Quelles sont les images de (E) et(f )parr? Exercice 5points Candidats ayant suivi l enseignement de spécialité Le plan complexe est rapporté aurepère orthonormé direct (O, u, v ). On prendra 1 cm pour unité graphique. On considère les points A, B, C et D d affixes respectives z A =+i, z B =1+i, z C =6+3i, z D = 1+6i. 1. Représenter les points A, B, C et D.. Montrer qu il existe une similitude directe f telle que f(a) = B et f(c) = D. Montrer que cette similitude est une rotation, et préciserses élémentscaractéristiques. 3. Soit J le point d affixe 3 + 5i. Montrer que la rotation R de centre J et d angle π transforme A en D et C en B. 4. On appelle I le point d affixe 1 + i, M et N les milieux respectifs de segments [AC] et [BD]. Déterminer, en utilisant les résultats des questions précédentes, la nature du quadrilatère IMJN. 5. On considère les points P et Q tels que les quadrilatères IAP BetICQD sont des carrés directs. a. Calculer les affixes z P et z Q des points P et Q. b. Déterminer IP IQ ( IA, et IA IC ainsi qu une mesure des angles ) ( IC, ) IP et IQ. En déduire les éléments caractéristiques de la similitude directe g telle que g(a) = P et g(c)= Q. c. En déduire que J est l image de M par g. Que peut-on en déduire pour J? Exercice 3 4 points Commun à tous les candidats 1. Soit x un nombre réel positif ou nul et k un entier strictement supérieur à x. a. Montrer par récurrence sur n que, pour tout entier n supérieur ou égal à k, kk n!. b. En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à k, ( ) n x n x n! kk k. c. Montrer que x n n + n! =0.. a. Montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à, k n n n 1 n! 1. Baccalauréat Liban

3 (on pourra écrire nn 1 comme un produit de n 1 facteurs supérieurs ou égaux n! à1). b. En déduire que n n n + n! =+. Exercice 4 Commun à tous les candidats Soit f la fonction définie sur R par 7 points f(x) =x +ln4+ e x +1, et (C) sareprésentation graphique dans un repère du plan. 1. Déterminer la ite de f en +, et sa ite en.. Calculer, pour tout réel x, f(x)+f( x). Que peut-on en déduire pour le point A(0 ; 1 + ln 4)? 3. Étudier le sens de variations de la fonction f et dresser son tableau de variations. 4. a. Justifier que, pour tout réel m, l équation f(x) =m admet une solution unique dans R. b. Déterminer un encadrement d amplitude 10 1 de la solution a de l équation f(x) =3. Justifier la réponse. c. Pour quelle valeur de m le nombre a est-il la solution de l équation f(x) =m? 5.a.Montrer que pour tout réel x, f(x) =x ++ln4 ex e x +1. b. Montrer que la droite ( ) d équation y = x + ln 4 et la droite ( ) d équation y = x ++ln4sontdesasymptotesdelacourbe(c). Étudier la position de la courbe (C) par rapport à son asymptote ( ). 6. On considère un réel positif α. α Que représente l intégrale: I(α) = [f(x) x ln 4] dx? ( 0 ) e α b. Montrer que I(α) =ln e α. (On pourra utiliser le résultat de la +1 question 5.a.). c. Calculer α pour que I(α) = 1, puis donner une valeur approchée de α à 10 1 près. Baccalauréat Liban 3

4 Baccalauréat S: Liban 004 Correction Exercice 1: Commun à tous les candidats 1. On note M, S, AT et F les événements respectifs: M : Choisir un médecin S: Choisir un soignant AT : Choisir un AT F : Choisir une femme D après l énoncé, on a donc : P (M) = 0, 1, P (S) = 0, 71, P (AT ) = 1 P (M) P (S) = 0, 17, P M (F ) = 1 P M (F ) = 1 0, 67 = 0, 33 P S (F ) = 0, 9 (a) P (F S) = P S (F ) P (S) = 0, 71 0, 9 = 0, 653 (b) P (F M) = P M (F ) P (M) = 0, 33 0, 1 = 0, 0396 (c) M, S et AT forment une partition sur l ensemble du personnel de l hôpital, donc, d après la Loi des Probabilités Totales: P (F ) = P (F M) + P (F S) + P (F AT ). On sait que P (F ) = 0, 8 d où P (F AT ) = 0, 8 0, , 653 = 0, 107 D où P AT (F ) = P (F AT P (AT ). Probabilité = 5 60 = 0, 0833 = 0, 107 0, 17 = 0, Soit X la variable aléatoire égale au nombre de courriers reçus par des médecins. On précise dans le texte que les choix des 40 personnes sont indépendants, et avec remise. Donc, X suit la loi Binomiale de paramètres n = 40, p = 0, 1. D où, P (X = k) = C k 40 (0, 1) k (0, 88) 40 k En particulier, P (X = 10) = C (1, 1) 10 (0, 88) 30 = 0,

5 Baccalauréat S: Liban 004 Correction Exercice : Candidats n ayant pas suivi la spécialité 1. (z i)(z z + ) = 0 si et seulement si z = i ou z z + = 0 z z + = 0 si et seulement si z = 1 + i ou z = 1 i. D où les solutions de l équations:. z = z i z 1 i z 1 = i z = 1 + i z 3 = 1 i z 1 = e i π z = e i π 4 z 3 = e i π 4 (a) B a pour affixe i, donc l affixe de l image B de B est 0, donc B (E) z est imaginaire pur si et seulement si Arg(z ) = π à π près ou z = 0. Pour M B et M A, on a : Arg(z ) = ( AM; BM) Donc, Arg(z ) = π à π près si et seulement si AMB rectangle en M D où, (E) est le cercle de diamètre [AB], sans le point A. Le centre de ce cercle est le point I d affixe Z I = 1 + i 3. Son rayon est R = (b) z = 1 si et seulement si z i = z 1 i et z 1 + i On adonc z = 1 si et seulement si AM = BM et M A. (F ) est donc la médiatrice du segment [AB] 3. R = rotation de centre Ω( 3 ; 5 ) et d angle π. (a) La forme complexe des R est : D où l affixe de R(B) est + i. 5 L affixe de R(I) est : + i3 z = (z 3 i5 ) i i5 (b) L image de (E) est le cercle de centre I et de rayon sans le point R(A) qui a pour affixe 3 + i. L image de (F ) est la droite passant par R(I) et parallèle à (AB).

6 Baccalauréat S: Liban 004 Correction Exercice 3: Commun à tous les candidats 1. x 0, k IN avec k > x. (a) P n est la propriété kn n! kk P k est vraie! k n Hypothèse de Récurrence P n : n! kk k n+1 n k > 0 et (n + 1)! = kn n! k (n + 1) kn car k < (n + 1) n! k n+1 D où, d après l hypothèse de récurrence : (n + 1)! kk D où la conclusion par récurrence. (b) kn n! kk et x 0, donc x n kn n! xn kk ) n k k Ce qui donne bien xn n! ( x n (c) k est fixé et k > x 0. Donc x k < 1 donc n + x k n = 0. D où, d après l inégalité précédente (Théorème des gendarmes...),. (a) nn 1 n n n n = n! n (n 1) (n ) = n n n n 1 n n n n Or, n, donc pour tout m {; 3; ; n}, m 1. Donc n n n n 1 n n n 1 D où la concluion. (b) On en déduit alors que pour tout n, nn n! n n n D où n + n! = + x n n + n! = 0 3