EXERCICEE - "LONGUEURS" DES HAUTEURS, MEDIANES, BISSECTRICES ET MEDIATRICES DANS UN TRIANGLE RECTANGLE. BC = 10 ( cm )

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1 THEMEE : Correction EXERCICEE - "LONGUEURS" DES HAUTEURS, MEDIANES, BISSECTRICES ET MEDIATRICES DANS UN TRIANGLE RECTANGLE La construction est laissée au soin du lecteur!!!! b) Calcul de BC : Dans le triangle ABC rectangle en A BC² AB² + AC² BC² 8² + 6² BC BC 10 ( cm ) Hauteurs du triangle ABC : a) Construction des hauteurs de ce triangle ABC : Dans un triangle, une hauteur est une droite issue d un sommet et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet. Vous pourrez vous référer, pour la construction des hauteurs, au thème : RAPPEL DROITES REMARQUABLES DANS UN TRIANGLE Dans un triangle, l'orthocentre est le point de rencontre des trois hauteurs ( les hauteurs sont concourantes ). La hauteur issue de B ( droite passant par le sommet B et perpendiculaire au côté opposé, soit [AC] ) est la droite (AB) La hauteur issue de C ( droite passant par le sommet C et perpendiculaire au côté opposé, soit [AB] ) est la droite (AC) Ces deux droites sont sécantes en A, donc A est l'orthocentre du triangle ABC. L'orthocentre du triangle ABC est le point A

2 Remarque : Dans un triangle recta b) Mesures des hauteurs issues de B et C : Une hauteur est une droite. Si maintenant nous lui associons une longueur, la hauteur doit être considérée ( une droite n'a pas de longueur ) comme le segment d'extrémités le sommet et le pied de la hauteur ( intersection de la hauteur et du côté opposé au sommet considéré ) angle, l'orthocentre est ( toujours ) le sommet de l'angle droit. La hauteur issue de B est la droite (AB) ou ici, le segment [AB]. La hauteur issue de B mesure 8 cm. La hauteur issue de C est la droite (AC) ou ici, le segment [AB]. La hauteur issue de B mesure 6 cm. c) Aire du triangle ABC : L'aire du triangle ( rectangle ) ABC est égale à 8 6 soit 24 cm² 2 Calcul de la mesure de la hauteur [AH ] issue de A : Nous venons d'utiliser, pour calculer l'aire du triangle ABC une formule propre aux triangles rectangles. L'aire du triangle ABC est également égale à : BC AH 10 AH 5 2 AH 5 AH 2 Mais cette aire est cependant égale à 24 cm² ( question précédente ) donc 5 AH soit AH 4,8 ( cm ) AH 4,8 ( cm ) 5 les hauteurs issues de A, B et C mesurent respectivement 4,8 cm, 8 cm et 6 cm Médianes du triangle ABC : a) Mesure de la médiane [AI] issue de A : Propriété de la médiane dans un triangle rectangle : Dans un triangle rectangle, la médiane relative à l'hypoténuse a pour longueur la moitié de la longueur de l'hypoténuse. BC 10 Donc AI 5 ( cm ) AI 5 (cm )

3 b) Mesure de la médiane issue de B : K est le milieu de [AC], donc AC 6 AK 3( cm ) Dans le triangle ABK rectangle en A Nous avons, d'après le théorème de BK² AB² + AK² BK² 8² + 3² BK 3 8,5 ( cm ) Pythagore : BK 8,5 ( cm ) Mesure de la médiane issue de C : J est le milieu de [AB], donc AB 8 AJ 4 ( cm ) Dans le triangle ACJ rectangle en A Nous avons, d'après le théorème de CJ² AC² + AJ² CJ² 6² + 4² Pythagore : CJ ,2 ( cm ) CJ,2 ( cm ) Bissectrices du triangle ABC : Par longueur d'une bissectrice, nous entendons la longueur de la partie de la bissectrice située à l'intérieur du triangle. a) Calcul de la "longueur" de la bissectrice issue de A : Positions relatives des droites (A'J') et (AC) : (AC) (AB) ( ABC est rectangle en A ) (A'J') (AB) ( hypothèse ) Donc (AC) et (A'J') sont parallèles. Calcul, en fonction de x, de la longueur A'K' : Par définition, la bissectrice d'un angle est l'ensemble des points équidistants des deux côtés de l'angle. (A'J') et (AB) sont perpendiculaires donc A'J' représente la distance du point A à la droite (AB). (A'K') et (AC) sont perpendiculaires donc A'K' représente la distance du point A à la droite (AC). A' est un point de la bissectrice issue de l'angle BA ˆ C, donc A'K' A'J' x A'K' x Calcul de AJ' : Le quadrilatère AJ'A'K' a trois angles droits. Donc AJ'A'K' est un rectangle

4 Donc AJ' A'K' x ( côtés opposés du rectangle ) AJ' x Calcul de BJ' : J' est un point de [AB], donc BJ' AB AJ' 8 - x BJ' 8 x Calcul de x : Dans les triangles BA'J' et BAC, J' [AB] K' [AC] (A'J') ( AC ) ( question précédente ) donc, d'après le théorème de Thalès, nous avons : BJ' BA' A'J' BA BC AC 8 - x BA' x soit 8 BC 6 Calcul de x : 8 - x x Nous avons : 8 6 soit ( "produit en croix" ) 6 ( 8 x ) 8 x 48 6x 8x 48 8x + 6x 48 14x x 14 2 "Longueur AA' "de la bissectrice : Dans le triangle AJ'A' rectangle en A AA'² AJ'² + J'A'² AA'² ( )² + ( )² AA' ² AA' ( 56 24² voir ci-dessus ) soit b) Calcul de la "longueur" de la bissectrice issue de B : On pose B'A x. Calcul, en fonction de x, de la longueur B'I' : La bissectrice d'un angle étant l'ensemble des points équidistants des deux côtés de l'angle, nous avons comme précédemment : B'I' B'A x Egalité BI' AB : Dans le triangle ABB' rectangle en A BB' ² AB² + AB'² Donc BB'² - AB' ² AB² Soit AB² BB'² - x² ( égalité 1 ) AA' 4,8(cm)

5 Dans le triangle I'BB' rectangle en I' BB' ² BI' ² + B'I' ² Donc BB'² - B'I' ² BI' ² Soit BI' ² BB'² - x² ( égalité 2 ) Les deux égalités 1 et 2 permettentt d'écrire : AB² BI'² et comme AB et BI' sont des nombres positifs, nous avons BI' AB 8 Calcul de I'C : I' est un point du segment [BC], donc I'C BC BI' Calcul de la valeur ( exacte ) de x : Dans le triangle I'CB' rectangle en I' B'C ² CI' ² + B'I' ² ( 6 x )² 2² + x² soit x + x² 4 + x² 36 4 x² + 12 x x² x 32 x Et par suite x I'C 2 ( cm ) 8 x 3 Calcul de la "longueur" [BB'] de la bissectrice issue de B : Dans le triangle ABB' ( ou BB'I' ) rectangle en A, BB'² AB'²+ AB² BB'² ( 3 8 )²+ 8² BB'² Donc BB' BB' 8,4 ( cm ) La "longueur" de la bissectrice de l'angle AB ˆ C est environ 8,4 cm c) Calcul de la "longueur" de la bissectrice issue de C : Une démonstration analogue à celle présentée ci-dessus permettrait de déterminer la "longueur" de la bissectrice issue de C. Médiatrices du triangle ABC : Par longueur d'une médiatrice, nous entendons la longueur de la partie de la médiatrice située à l'intérieur du triangle. a) Médiatrice du segment [AB] :

6 J milieu de [AB] ( hypothèse ) donc, d'après le théorème des milieux, les droites (IJ) et (AC) sont parallèles. (IJ) (AC ) ( voir ci-dessus ) (AB) (AC ) ( ABC est un triangle rectangle en A ) donc (IJ) (AB) La droite (IJ) passe par le milieu J du segment [AB] et est perpendiculaire à la droite (AB), donc (IJ) est la médiatrice du segment [AB] Calcul de la "longueur" IJ de la médiatrice de [AB] : J milieu de [AB] ( hypothèse ) AC 6 donc, IJ 3 La "longueur" IJ de la médiatrice de [AB] est 3 cm b) Médiatrice du segment [AC] : K milieu de [AC] ( hypothèse ) donc, d'après le théorème des milieux, les droites (IK) et (AB) sont parallèles. (IK) (AB ) ( voir ci-dessus ) (AC) (AB ) ( ABC est un triangle rectangle en A ) donc (IK) (AC) La droite (IK) passe par le milieu K du segment [AC] et est perpendiculaire à la droite (AC), donc (IK) est la médiatrice du segment [AC] Calcul de la "longueur" IK de la médiatrice de [AC] : K milieu de [AC] ( hypothèse ) donc, AB 8 IK 4 La "longueur" IK de la médiatrice de [AC] est 4 cm c) Médiatrice du segment [BC] : Dans le triangle ABC rectangle en A, nous avons : AC tan (Bˆ ) AB 6 3 soit tan (Bˆ ) ( égalité 1 ) 8 4 Dans le triangle BMI rectangle en I, nous avons : MI tan (Bˆ ) IB MI BC 10 soit tan (Bˆ ) ( IB 5 ) ( égalité 2 ) 5 Calcul de la "longueur" IM de la médiatrice de [BC] : Les deux égalités permettent d'écrire : MI soit MI 3,5 ( cm ) La "longueur" IM de la médiatrice de [BC] est 3,5 cm