Choix binaires avec influences sociales : mode d emploi et conséquences économiques

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1 Choix binires vec influences sociles : mode d emploi et conséquences économiques Denis Phn * * CREM UMR CNRS 6, Université de Rennes /3/5 Résumé : Cette note propose une synthèse de quelques trvux conscrés à l étude de l introduction d influences sociles dns le modèle de décision individuelle le plus simple possible : le modèle de choix binire. Pour explorer cette question, une pproche computtionnelle (ACE : Agent bsed Computtionl Economics) vient compléter les résultts nlytiques. L note souligne de quelle mnière l connissnce de certines propriétés génériques de l mécnique sttistique et de l étude des systèmes complexes peut méliorer notre perception des mécnismes de choix dns de nombreuses situtions où les décisions individuelles sont interdépendntes. Plus spécifiquement, l note présente les propriétés génériques d un système composé d un ensemble d gents dont les choix sont influencés pr ceux de leurs «voisins» dns une structure résiliire. Elle propose ensuite une interpréttion de ces choix individuels en termes de «jeux de popultion» (Phn, Wldeck, 5). L crctéristion des équilibres du système et des dynmiques trnsitoires que l on peut y ssocier est éclirée pr l référence à des phénomènes clssiques de l physique des systèmes désordonnés tels que: trnsitions de phse, vlnches, hystérésis (Phn et l, 3, 4). On insister en prticulier sur l coexistence de deux équilibres stbles du système, lorsque les effets d influence socile sont prticulièrement forts et que les déterminnts indépendnts de l influence socile trduisent une fible ttrctivité pour l un des choix. Cette propriété, illustré dns le cs simple (mis dégénéré) d une distribution uniforme (Gordon et l, 5) crctérise ce type de système de mnière très générle pour de nombreuses distributions sttistiques monomodles (Ndl et l, 5). Les conséquences économiques des propriétés d un tel système sont illustrées dns le cs d chts répétés pr des gents ux préférences hétérogènes sur un mrché monopolistique. On montre en prticulier qu il existe deux régimes de profit optiml à long terme pour le vendeur reltivement à l intensité de l influence socile. Ces régimes sont séprés pr une «trnsition de phse». L un d eux est crctérisé pr des prix élevés et un petit nombre de clients et l utre pr des prix bs et un grnd nombre de clients. Mots clef : Agent-bsed Computtionl Economics, vlnches, choix discrets, hystérésis, influence socile, mrchés, réseux sociux, système complexe dpttifs, trnsitions de phse.

2 Choix binires vec influences sociles : mode d emploi et conséquences économiques Denis Phn * * CREM UMR CNRS 6, Université de Rennes Depuis le début des nnées qutre-vingt-dix, les modèles de choix individuels qui intègrent l effet des interdépendnces sociles selon une formlistion inspirée de l mécnique sttistique connissent un développnt croissnt. On peut trouver, prmi d utres, des revues de cette littérture dns deux chpitres de l ouvrge du Snt Fe Institute conscré à l économie considérée comme un système complexe évolutif (Arthur et l., 997). Ceux-ci sont rédigés respectivement pr Durluf (997) et Ionnides (997), pionniers en l mtière. Des éléments complémentires sont églement proposés dns le même ouvrge pr Kirmn (997). Phn, et l. (3) proposent églement une synthèse sur ces modèles d influence socile, complétée pr une discussion des risques et des opportunités liés à l trnsposition des modèles de l physique sttistique à l économie (sur cette dernière question, cf. églement Durluf, 999). Cet rticle présente certins effets de l introduction d externlitiés loclisées dns des structures d interction sur les propriétés locles ou globles du modèle de mrché le plus simple : le modèle de choix discret (Anderson et l., 99) vec produit homogène et vendeur unique (monopole de Cournot). En présence d influences sociles loclisées qui viennent ffecter les choix des gents, le mrché correspondnt peut être vu, suivnt Kirmn (997, 997b, 998, 3), comme un système complexe interctif reposnt sur un réseu de communiction. Les résultts présentés ici s ppuient principlement sur Phn, Pjot, Ndl (3b), mis les crctéristiques générles de ce modèle sont églement discutées dns Ndl et l. (3), Phn et l. (3) et Vnneminus et l. (3). Une pproche computtionnelle bsée sur les gents (ACE - cf. pr exemple Tesftsion, 997,, ) nous permet d explorer l trjectoire des équilibres de mrché à prix donnés et les dynmiques trnsitoires entre ces positions d équilibres (comme les vlnches). Le recours ux formlismes génériques de l dynmique des systèmes complexes dpttifs nous permettr de souligner l intérêt d une telle pproche pour l compréhension des mrchés. Plus précisément, nous développons certines nlogies entre les dynmiques de mrché insi simulées et les phénomènes clssiques étudiés pr l physique des systèmes désordonnés : trnsition de phse, rupture de symétrie et vlnches (Anderson, Stein, 983 ; Glm, 3).

3 3. Les choix individuels dns leur contexte socil... Du côté des gents : hétérogénéité idiosyncrsique et interctive. Dns notre modèle, on considère une popultion de N gents (un ensemble d gent I N ). Chque gent i I N fit fce de mnière répétée à un choix binire tel que : cheter (ω i = ) ou ne ps cheter (ω i = ) une unité d un bien donné, prticiper ou ps à une ctivité collective, et plus générlement choisir entre les deux brnches d une lterntive. Pour rester générl, nous considèrerons que les gents «doptent» l strtégie S (ω i = ) ou ne l doptent ps (ω i =, strtégie S ), indépendmment de l significtion possible de ces strtégies. Les gents sont supposés mximiser une fonction de surplus Vi( ωi P, ω i) qusi-linéire, conditionnellement à des vribles exogènes ou nticipées. Ce surplus comprend une composnte «privée» : (H i P) et et une composnte «socile» : S( ωi, ω i). (.) Wi( ωi P, ω i) mx { ωi.vi( ωi P, ω i) } Vi( ωi P, ω i) = ( Hi P) + S( ωi, ω i) ω i {,} L composnte privée comprend l ensemble des déterminnts de l décision qui ne dépendent ps directement des choix d utres gents. P représente une vrible exogène commune à tous les gents que l on interpréter comme le coût ssocié à l strtégie S (ω i = ). Pr souci de clrté de l exposition, nous décomposerons H i en une composnte H, commune à tous les gents et en une composnte idiosyncrsique θ i qui représente l diversité des goûts entre les gents. L vrible létoire θ dont l composnte idiosyncrsique θ i est le tirge qui crctérise l gent i ser supposée distribuée de mnière indépendnte entre les gents suivnt l même loi de probbilité de moyenne nulle, vec une densité f (θ), vec une fonction de réprtition F (θ). (.) Hi = H +θi vec : lim θ i = lim Hi = H N N N N N L composnte socile (ou interctive) résulte de l prise en compte pr chque gent des choix nticipés (ou observés) d un certin nombre d utres gents définis comme le «voisinge» de l gent i : soit ϑi I N l ensemble des voisins de l gent i. Dns l mesure où les voisins de i ont eux même des voisins, les reltions qui lient un gent vec ses voisins peuvent être vues comme des éléments constitutifs d un «réseu socil». On désigne pr ω i ( ω,.. ω k,.. ω ϑ ), vec : k ϑ i i le vecteur des choix (nticipés) dns le voisinge de l gent i. On supposer dns ce qui suit que l effet cumulé des choix nticipés dns le voisinge ( ω i ) est dditif et que l effet mrginl de chque choix est non négtif. Si l on désigne pr le coefficient j ik l effet mrginl sur l disposition à dopter de l influence socile de l gent k sur l gent i, on : j ik >, k ϑ i. Durluf (997) souligne que l on se trouve dns une sitution de complementrité strtegique u sens de Bulow, Genkoplos, Klemperer, 985 (cf. églement Cooper, John, 988). Formellement, si les vribles de choix étient

4 4 continues et que l fonction S( ωi, ω i) étit C, on devrit lors voir : (.3) S( ωi, ω i) = jik > ωi ω k L spécifiction l plus simple de l effet d influence socile est lors : (.4) S( ω, ω ) =ω j ω i _i i ik k k ϑi Où, ω k représente le choix nticipé de l gent k. Dns le cs le plus simple des nticiptions «myopes» le choix nticipé correspond u choix observé dns l dernière période et l on : ω k() t =ωk( t ). D utres spécifictions pourrient conduire u même effet mrginl. Pr exemple, le modèle (négtif et qudrtique) de «conformité» de Bernheim (994) vérifie l condition (.3) et conduit donc à des choix équivlents (Durluf 997, Phn et l., 3). En effet, si l on opère le s =. ω, on : s i = + qund : ω i = et : s i = qund : ω i =, on : chngement de vrible : ( ) i i j S(s,s ) s s j s s j i _i = i k ik i k ik k = ϑi k ϑi k ϑi (.5) ik ( ) Les composntes «privées» et «sociles» trduisent respectivement une hétérogénéité idiosyncrsique, due à l diversité des H i (θ i ) et une hétérogénéité interctive (ou socile), due u choix de l gent reltivement ux choix nticipés (ou observés) dns son voisinge dns le réseu socil. L dépendnce entre ces deux formes d hétérogénéité prend lors l forme d un «chmp létoire». Lorsque les vleurs des θ i sont distribuées initilement u hsrd, mis ne chngent ps durnt l période considérée, ce chmp létoire correspond à un désordre «gelé» dns le lngge des physiciens. Lorsque l on introduit dns l fonction de surplus des gents un terme stochstique supplémentire qui vrie durnt l période considérée, le désordre est qulifié de «recuit» pr les physiciens. Ce terme stochstique, introduit initilement pr Blume (993) pour cette clsse de modèle peut être interprété comme une «min tremblnte» ou comme une modlité prticulière d pprentissge (Bron et l., 4). De nombreux modèles présentés pr exemple pr Durluf (997) ou Ionnides (997) reposent sur cette dimension stochstique qui ser introduite en section 4. Dns ce cs (vec quelques hypothèses complémentires, comme l symétrie des effets), lorsque le voisinge reste locl, on se trouve en présence d un chmp létoire mrkovien (Kindermn, Snell, 98) cr on peut monter que : P( ωi ωk, k i, k I N) = P( ωi ωk, k i, k ϑ i). Dns le cdre plus restreint des choix discrets sns externlités, Anderson et l., (99) discutent de ces deux ctégories de modèles. Ils relient le cs du désordre gelé à l pproche de Mc Fdden (974), où les préférences des gents sont fixées, mis non observbles, seule leur loi étnt connue (sitution de «risque» du point de vue de l théorie de l décision). Le cs désordre recuit est

5 rttché ux expériences psychologiques de Thurstone (97). Les deux rpprochements justifient pour ces uteurs l usge d une loi logistique, comme on le verr plus loin. On consulter Durluf, 999 et Ndl et l. (3) pour une interpréttion en termes de physique sttistique de ces hypothèses et l nlyse des conséquences économiques. Dns ce qui suit, on suppose que les interctions locles sont symétriques, homogènes et positives sur un réseu régulier, donc : ϑ i = ϑ et j ik = j ϑ >, tout k ϑ i et pur tout pour tout i Ω N, (tous les prmètres d influence socile). Si l on prend un voisin k quelconque (k ϑ), dns un voisinge donné de tille N ϑ, son influence (socile) sur l gent i ser : j si le voisin dopté (ω k = ). Cette influence ser nulle s il n ps dopté (ω k = ). L influence socile totle dépend insi de l proportion η ϑ d dopteurs nticipée (ou observés) dns le voisinge : (.6) η ϑ ω k Nϑ ηϑ ωk Nϑ k ϑ k ϑ 5.. L interpréttion des choix individuels du point de vue d un jeu de popultion. Comme le surplus de chque gent dépend des décisions des utres gents (ou des nticiptions qu il peut en fire), on peut dire que chque gent se trouve en sitution d interction non coopértive vec les utres gents de son voisinge. Il est intéressnt de ce point de vue, de réinterpréter le modèle en termes de jeux de popultion (Blume, 997). Comme le rppelle opportunément Blume, à l suite de Weibull (995), l notion de «strtégie mixte» reçu de l prt de Nsh deux interpréttions possible, dont une «popultionniste» dite «mss-ction», qui ne nécessite juste les gents jouent leur meilleure réponse fce u «membre moyen» d une popultion de référence : It is unnecessry to ssume tht the prticipnts hve full knowledge of the totl structure of the gme, or the bility nd inclintion to go through ny complex resoninh process. But the prticipnts re supposed to ccumulte empiricl informtion on the reltive dvntge of the vrious pure strtegies t their disposl (Nsh, 95, p.- cité pr Weibull, 995 et Blume, 997). Les gents ont ici deux strtégies pures à leur disposition notées respectivement S (ω i = ) et S (ω i = ). Sous ces hypothèses, le choix optiml (conditionnellement à ses nticiptions) d un gent correspond à s meilleure réponse fce à un gent fictif qui jouerit une strtégie mixte η ϑ qui résume les nticiptions de choix dns le voisinge. Lorsque l gent joue itértivement le même jeu vec tous ses voisins cette règle de décision permet de mximiser son surplus moyen, conditionnellement à l proportion d dopteurs nticipée (ou observée) dns son voisinge. On remrquer que si l gent jouit itértivement ce jeu vec un de ses voisins tiré u hsrd, cette règle de décision lui permettrit de mximiser son espérnce de surplus.

6 (.7) ( ω η ) ( ω ω ϑ i ) ϑ = { ω ( + η ϑ) } ω i {,} ω*p, ( η ) rgmx{ ωi( hi p+ j. η ϑ ϑ) } wi i p, Wi i P, N mx i hi p j. ω i {,} 6 Où : hi H i /N ϑ, et p P/Nϑ. On peut donc écrire sous forme normle l mtrice des gins d un gent lors d une des confronttions biltérles de ce jeu de popultion (Figure ) Figure : mtrice des gins de l gent i lors d une confronttion vec un gent k de son voisinge S (k): ω k = S (k) : ω k = S (i) : ω i = S (i) : ω i = hi p hi p+ j Joueur i en ligne / Joueur k en colonne Si h i > p l strtégie S (ω i = ) est strictement dominnte, l gent considéré dopter toujours quelque soit le comportement de ses voisins. Si h i < p j (et donc : h i < p), l strtégie S est strictement dominée et donc l gent considéré n dopter jmis quelque soit le comportement de ses voisins. Pour : p> hi > p j, l gent se trouver en sitution de recherche de coordintion, cr s meilleure réponse dépend des choix de son voisinge. Conformément à Monderer, Shpley, (996) on peut présenter le jeu de coordintion issu de l figure, sous l forme d un jeu «potentiel», qui conserve l structure de meilleure réponse. Pour : p> hi > p j, l figure permet de présenter le jeu comme un problème de «pure coordintion» (où les gins digonux correspondnt à l non coordintion sur l même strtégie sont nuls). Figure : mtrice du jeu potentiel qund : p> h > p j S (k): ω k = S (k) : ω k = i S (i): ω i = p h i S (i) : ω i = hi p+ j Joueur i en ligne / Joueur k en colonne Dns le cdre des jeux stochstique, il été montré que le seul étt stochstiquement stble u sens de Foster et Young () dns ce jeu de coordintion étit celui qui mximisit ce jeu de potentiel (Cf. pr exemple : Blume 997, Young 998, Bron et l., 4 et section 4). En restnt pour l instnt dns un cdre déterministe, on peut s inspirer du critère de «risque dominnce» proposé pr

7 Hrsnyi, Selten 988, pour des jeux conventionnels, fin d évluer les propriétés respectives de deux équilibres de Nsh de ce jeu de coordintion. Ainsi, l coordintion sur l strtégie de non doption (ω i = ) est dite individuellement «risque dominnte» chez les gents pour lesquels il est plus coûteux (risqué) de dévier uniltérlement de cette strtégie, c'est-à-dire ceux tels que : (.8) ( ) ( ) p hi > j p j > hi Pour un tux d doption nticipé (ou observé) η ( η ) dns son voisinge, un gent qui pplique l ϑ ϑ règle de décision de «meilleure réponse» dopter si l espérnce de gin de S fce à ce tux d doption est supérieure à celle de S (.9) π( S, η ) >π( S, η ) ( h p+ f ). η > ( p h ). ( η ) Et donc, conformément à (.7) si : En résumé, on donc 4 types d gents : ϑ ϑ i ϑ i ϑ (.) h i + j. η ϑ > p Ceux vec : h i > p dopteront toujours, quelque soit le tux d doption dns le voisinge. En effet, S est une strtégie strictement dominnte pour tout η ϑ [,]. S est donc l meilleure réponse contre toute combinison convexe de S et S I (pour tous les tux d doption dns le voisinge : η ϑ < ). Ceux vec : p hi ( p j ) dominnte, dopterons pour tout η ϑ > ( p hi ) j> Ceux vec : ( p j ) hi ( p j) dominée n dopterons que si : η ϑ ( p hi ) j Ceux vec : hi ( p j) voisinge. En effet, S est une strtégie strictement dominée pour tout η [,] > pour qui l strtégie Preto dominnte est ussi risque > pour qui l strtégie Preto dominnte est risque n dopteront jmis, quelque soit le tux d doption dns le ϑ. S est donc l meilleure réponse contre toute combinison convexe de S et S I (pour tous les tux d doption dns le voisinge : η < ). ϑ En résumé, l pproche pr les jeux de popultions nous permet de présenter le seuil individuel d doption d un gent comme le résultt de s règle de décision de meilleure réponse conditionnellement à un tux nticipé (ou observé) d doption dns son voisinge. Pour une vleur de p donnée, on peut rnger les gents dns trois ctégories, en fonction de leur disposition idiosyncrsique à dopter (IWA pour Idiosyncrtic Willingness to Adopt en nglis). Ceux qui dopterons indépendmment du choix des utres (h i > p), ceux qui n dopterons jmis : hi p j et ceux dont le seuil d doption dépend du tux d doption nticipé (ou observé) dns leur voisinge. 7

8 Cette dernière sous popultion peut encore être séprée en deux sous ensemble utour d un seuil critique égl à l moitié de l intensité de l influence socile mrginle (j/). Ce seuil est indépendnt de l distribution des IWA Les gents tels que hi p> j/ pourront dopter vec des tux η ϑ d doption nticipé (ou observé) dns leur voisinge inférieurs à 5% lors que ceux pour lesquels : j/ hi p > j n dopterons que si ce tux est supérieur à 5%. On peut présenter cette prtition d une utre mnière églement utile en disnt qu il existe pour chque gent une vleur seuil pni = hi + j/ telle que si p est inférieur à ce seuil l gent dopter même si le tux d doption nticipé est inférieur à 5%. En sommnt cette vleur sur tous les gents, on obtient un seuil moyen : pn = h+ j/. Pour p < p n, il y ur donc un biis en fveur de l doption..3. Effet direct et indirect d une vrition exogène de p : premier perçu des phénomènes d vlnche Si l on se plce d un point de vue dynmique, il est ussi intéressnt de distinguer les effets «directs» et «indirects» d une vrition de l vrible exogène p en t (pr exemple : p(t) < p(t )). Pr effet direct, on qulifier les chngements induits directement pr le chngement de p, indépendmment de tout chngement dns le voisinge. Un effet indirect, qulifier un chngement induit, près une vrition de p, dns les choix du voisinge. Pour illustrer simplement cette distinction, considérons le cs simple des nticiptions myopes : η ϑ( t + ) =ηϑ( t). Les gents qui sont concernés pr un effet direct sont ceux qui urient eu un surplus potentiel moyen v i négtif si les prix n vient ps chngé ( p( t) = p( t ) v i( t) = hi p( t ) + j. ηϑ( t ) ) et qui ont un surplus moyen positif en t du fit de l bisse de p, indépendmment de l effet de cette bisse sur l doption dns le voisinge p( t) < p( t ) v ( t) = h p( t) + j. η ( t ) > i On qulifier pr opposition «d indirects» (ou induits) les choix qui uront été motivés pr l prise en compte des choix dns le voisinge, choix eux-mêmes ttribubles directement ou indirectement u chngement de p. Dns ce cs, on : v() i t = hi p() t + j. η ϑ( t ) <, mis l vrition de l effet d influence socile due ux réctions en chîne vont conduire en t+d le surplus à devenir positif à l suite d une ugmenttion du tux d doption dns son voisinge : η ϑ( t + d) >ηϑ( t ), v i( t+ d) >. Conformément à l terminologie utilisée pr les physiciens et reprise pr quelques économistes, nous désignerons pr «vlnche» l dynmique trnsitoire qui résulte de ces réctions en chîne entre deux équilibres (Bk, 996 ; Steyer, 99X).. De l individuel u collectif : un première pproche de l dynmique globle ssociée à l règle de meilleure réponse dns le cs du désordre «gelé». Qund les choix individuels dépendent de l influence socile, deux type de dynmiques peuvent crctériser les phénomènes d vlnche, selon que les effets d influences sont loclisés ou non dns un réseu. i ϑ 8

9 9 Dns le cs de l influence «globle», les gents prennent en compte uniquement le choix moyen, comme dns les modèles «synergétiques» inspirés de Weidlich et Hg (98) utilisés en économie en prticulier pr Topol (99) et Orlén (99, 998) (cf. églement Aoki 996 et Orlén,, pour une présenttion synthétique). Cette sitution conduit à des résultts équivlents à l pproximtion de «chmps moyen» utilisé pr les physiciens (Weisbusch, 989). Remrquons que pour des popultions suffismment grndes, dns l spécifiction (), ces interctions globles sont équivlentes u cs de l connectivité complète du réseu (N ϑ = N-). En effet, vec notre hypothèse d homogénéité : j ik = j ϑ, chque individu tend à être influencé vec l même intensité pr le choix moyen des utres. Dns ce cs, l effet de l influence socile s exerce «comme si» le voisinge de chque gent étit composé de tous les utres gents. En conséquence, les dynmiques qui pprissent u niveu des comportements grégés, prmi lesquelles les vlnches, sont indépendntes de l topologie du réseu socil. Dns le cs des influences loclisées dns le réseu socil, les interdépendnces conduisent à des vlnches loclisées dns le réseu en fonction de s structure. On peut voir insi pprître des clusters et des «zones gelées»... Seuil individuels d doption et dynmique collective : le modèle d émeute de Grnovetter (998) On peut rpprocher cette clsse de spécifictions des modèles à seuil (individuels et collectifs) utilisés dns les sciences sociles (Grnovetter, 978 ; Schelling, 978, 978b). Dns derniers, les choix individuels dépendent en effet explicitement de l proportion ou du nombre de personnes qui ont fit un choix similire dns l environnement de l individu. Dns tous ces cs, le choix d un seul gent peut conduire à trvers une réction en chîne à des chngements significtifs dns l ensemble de l popultion. Dns ce qui suit, nous considèrerons que les IWA sont fixés. Dns son rticle de 978 (références à l trduction frnçise ), Grnovetter se donne pour objectif de monter que les comportements collectifs peuvent être expliqués u moyen «d un modèle décrivnt comment les préférences individuelles intergissent» (p.6). Il cherche en prticulier à monter comment «l vrition des normes et des préférences à l intérieur du groupe en interction est le déterminnt principl des situtions finles observées» (id.). Il prend comme exemple l dhésion d individus à une émeute, ce qui lui permet de fire un prllèle vec les nlyses proposées pr Berck (974) sur ce sujet à l ide de l théorie des jeux. Il est intéressnt de noter que Grnovetter trouvit cette pproche «très intéressnte». Il note même que l théorie des jeux permet d nlyser «les ctions de multiples individus sous l forme d un jeu à deux joueurs où un individu «joue» contre les utres pris collectivement» (p. 36). Cependnt, il pensit ussi que l théorie de jeux ne pouvit ps être en mesure de formliser son problème, dns l mesure où il croyit que celle-ci se restreignit à des «préférences identiques» et à des décisions simultnées (ibid.). Le point de vue des «jeux de popultions» précisément été introduit dns les nnées qutre-vingt dix pour triter de problèmes dynmiques de sélection d équilibre, dns des situtions ou les hypothèses

10 hbituelles de l théorie des jeux conduisient à des situtions prdoxles (dilemme du prisonnier, équilibres multiples dns les jeux de coordintion ) là où l observtion et/ou l expérimenttion (pproche «comportementliste» des jeux Cmerer, 3) montrient que l coordintion se rélisit bien dns l prtique (cf. églement Schelling, 96 vec s notion de «sillnce»). Dns l pproche des «jeux de popultion», l hypothèse de «connissnce commune» est inutile à l sélection d un équilibre. En prticulier, le joueur juste besoin d voir de l informtion sur les strtégies jouées pr les utres joueurs. Pour revenir u modèle de Grnovetter, les gents doivent choisir entre prticiper à une émeute et ne ps y prticiper. Il suppose «que les coûts et les bénéfices ssociés, pour chque cteur, à l un de ces deux comportements dépend en prtie du nombre d individus ynt déjà effectué l un ou l utre choix. Plus spécifiquement, il suppose surtout que «le coût de s prticiption diminue lorsque l tille de l émeute ugmente» (p. 7). Il définit lors le seuil de prticiption comme «l proportion d individus du groupe qui doivent voir fit ce choix pour qu il le fsse à son tour» (p.8. On remrquer que le modèle de Grnovetter concerne un voisinge «globl» et une grnde popultion. Le tux de prticiption à l émeute est définit pr : η N N où N est le nombre de prticipnts (d dopteurs) dns l popultion. Pour N suffismment grnd, on : ( ) ( ) η N N.). Le modèle de Grnovetter est églement dynmique, mis les gents n ont ps d nticiptions et observent seulement les émeutiers. Ceci correspond à des nticiptions myopes dns notre formultion, c'est-à-dire : η () t =η( t ). On peut finlement définir l strtégie de meilleure réponse de notre jeu de popultion qui correspond u modèle de Grnovetter : { i i } (.) ω * rgmx π( ω( t) η ( t ) ) ω i, Conformément à (.), un gent choisir de prticiper en t si le «bénéfice» h i ttendu est supérieur u coût de l prticiption, supposé diminuer vec le nombre de prticipnt observé en t : (.) h > ( p j. η ( t ) ) i On note que les «gitteurs» qui prticiperont quoi qu il rrive (même si η () = ) sont ceux qui ont un h i > p. de même un gent qui urit un hi ( p j) ne prticiperit jmis à une émeute. L formule (.) peut lors se réécrire de mnière à fire pprître le seuil de prticiption de l gent i : (.3) η ( t ) >ηi ( p h ) j i Pour une vleur donnée de l prticiption en t, on peut lors définir un gent «mrginl» h m (t) u surplus nul en t et donc indifférent entre prticiper l émeute ou ne ps y prticiper.

11 ( ) p hm ( t) (.4) ηm() =η j t ( t ) En t, tous les individus qui ont un seuil de prticiption supérieur à η m (t) seront émeutiers. Ce sont ussi ceux qui ont un h i compris entre l borne supérieure de l distribution h + et l IWA mrginl h m (t). Il est commode pour ce qui suit d utiliser l vrible létoires normlisé pr l tille du voisinge (ici de l popultion) z θ /N. On désigner donc pr z i θ i /N= hi h l composnte idiosyncrsique de l IWA issue d un tirge indépendnte entre les gents et identiquement distribué suivnt une loi de probbilité de moyenne nulle, de densité f (z), et de fonction de réprtition F (z). Conformément à l éqution (.) nous vons églement : (.5) hi = h+ zi vec: lim zi = lim hi = h N N N N N L nullité du surplus de l gent gent «mrginl» h m (t) nous permet de récrire l reltion (.4) inspirée de Grnovetter comme : (.6) ( ) z m η(t ) = p h j. η(t ) Pour une vleur observée de η (t-), les gents qui prticiperont à l émeute seront ceux qui ont un z i supérieur à : z ( (t ) ) m η. Le tux d émeutier en t ser donc défini pr l reltion récurrente : (.7) ( ) ( ( )) η () t = P ω i = η(t ) = P zi > z m η(t ) η () t = df(z) z ( η (t )) L dynmique correspondnte peut être fcilement présentée vec une distribution uniforme de z mis reste vlble pour de nombreuses clsses de distributions monomodles. Prenons donc une loi uniforme symétrique centrée sur zéro (Gordon et l., 5) telle que : m (.8) f (z) = si: z et zéro sinon On obtient une reltion de récurrence vec contrintes ux limites : (.9) h p j. η ( t ) () t () t t η = + + η.. L proportion initile d émeutiers vec l hypothèse d nticiptions myopes est donnée pr l probbilité d voir des gents tels que : z i > p h, ce qui correspond ux gents qui doptent toujours, cr : h i > p.

12 h p (.) η () = inf sup, +,. η =. Inversement, si h p, η =, pour des nticiptions myopes. Dns ce cs, seul un utre schém d nticiption plus «optimiste» pourrit permettre à l émeute de démrrer sns On noter que si : h p>, tout le monde dopte en t = : ( ) l proportion initile d dopteurs ser nulle ( ) «gitteurs». Il est cependnt intéressnt d un point de vue heuristique d étudier l stbilité du processus (.9) vec des initilistions «d hoc» quelconque dns ce dernier cs (Figure 3-b). Ces conditions prticulières ux bornes sont dues ux prticulrités de l distribution uniforme. On peut considérer que c est le prix à pyer pour obtenir des résultts nlytiques très simples qui permettent de comprendre l essentiel plus rpidement. Mis il s git d un cs dégénéré, comme on le verr plus loin. Observons mintennt l dynmique séquentielle qui résulte de l reltion de récurrence (.9). Figure 3 : dynmique séquentielle vec une distribution uniforme des IWA η(t+) η(t+) / / / η(t) / η(t) 3- : stbilité de l doption prtielle < η e < vec des dopteurs initiux (gitteurs) : > h p> 3-b : instbilité du point fixe et coexistence deux solutions stbles η e =, η e = vec : h p <, et : j >.. Configurtion des régimes d équilibre dns le l influence globle Les points fixes du processus (.9) sont donnés pr : + h p η e = inf { sup, η*,} η * = j (.) { } On peut représenter l ensemble des régimes correspondnts à différentes configurtion des points fixes

13 stbles (des équilibres) dns un digrmme de phses de l espce (h p, j). L figure 4 fit insi pprître 4 régimes différents. L éqution (.) fit pprître une vleur critique J B =, qui correspond pour les physiciens à une «trnsition de phse» entre régime d doption (Gordon et l., 5). Figure 4 : digrmme de phse des régimes d équilibre dns le cs d une distribution uniforme sur [-,] h-p 3 > η e > η e = - η e = j B = η e = η e = j Source : d près Gordon et l, 5 Pour j < j B, (prtie ouest de l Figure 6) le signe de n* dépend uniquement du numérteur. Pour : h p<, on n* < et donc η e = (région sud-ouest vec les lignes verticles). Pour : > h p>, l doption n est ps complète s il existe des individus réfrctires, vec des h+ j p< z i, ce qui est le cs lorsque h p < j. Le chngement de régime suit donc l droite d éqution : h p = j. Au dessus de cette droite, n* > et donc : η e =. En dessous, pour : j> h p>, on un équilibre polymorphique du jeu de popultion, vec des dopteurs en proportion : >η e > et de mnière complémentire un pourcentge > η e > de non dopteurs. Pour j > j B, (prtie est de l Figure 4), le dénominteur est négtif, et n* est de signe inverse à celui du celui du numérteur. Pour h p < j le numérteur est positif, on donc : n* < et η e = (tringle vec les lignes verticles qui prolonge le régime de l zone sud ouest). Dns le cs contrire, n* > et donc η e = (zone grisée u nord-est, dns le prolongement du même régime). Dns l zone trpézoïdle à l fois grisée et hchurée pr des lignes horizontles, on vérifie simultnément les conditions : h p j, (qui entrîne η e = ) et h p. Dns ce dernier cs, on sit que l proportion initile d dopteurs est nulle η ( ) = vec des nticiptions myopes, et que le point fixe de l éqution (.) est instble. Deux équilibres stbles ux bornes coexistent lors + ( η e =, et : η e = ). Nous vons vu que dns ce cs, l sélection de l équilibre dépendit des conditions initiles et du schém d nticiption (Figure 3-b). Les résultts que l on obtient vec ce modèle sont en fit beucoup plus générux que ceux que l on

14 vient de voir dns le cs d une distribution uniforme. Ndl et l. (5) ont démontré que l existence de cette zone vec coexistence de deux équilibres étit une propriété générle du modèle pour une très lrge clsse de distributions monomodles continues pr morceux. De plus, dns le cs générl, les équilibres stbles ne correspondent ps ux cs dégénéré de l distribution uniforme, + mis les deux équilibres sont strictement positifs : >η e > />η e > ). L figure 7 ci-dessous présente les cs d une distribution logistique (résultts obtenus pr clculs numériques) et d une distribution tringulire (résultts nlytiques). Figure 5 : digrmmes de phse des régimes d équilibre dns le cs d une pdf logistique et tringulire h-p b -b/ -b - -4 <η< η= η= h- p under blue=low h,bove red=high h single solution two stble solutions H > Jη-C H < Jη-C b j B b 3b coexistence of solutions j 4 j 6 8 βg B 5- distribution tringulire 5-b distribution logistique Source : Ndl et l, 3 (pour l logistique), Gordon et l. 4 (pour l tringulire) et Ndl et l, 5, Dns le cs d une distribution logistique des IWA (Ndl et l. 3, 4, Phn et l. 3, 4), comme il n y ps de contrintes u bornes, l reltion d équilibre (8) devient : (.) π e df(x) F(z m) vec: + exp( β.z z m) 3. β m η = = = σ = Pour une vleur donnée de p, l éqution (9) nous permet de d identifier le (ou les) point(s) cndidt(s) pour être un équilibre du tux de pénétrtion η e comme un (des) point(s) fixe(s) de l éqution (). η e = η e = + exp β.(p h j. η e) (-3) F( p h j. ) ( ) On peut insi donner une forme nlytique à l demnde et clculer numériquement l (ou les)

15 5 solution(s) stble de (.3) dns le cs de l externlité globle pour p donné. Grphiquement, pour des vleurs données de j et de h p. Des équilibres multiples peuvent pprître pour de fortes vleurs de β (fible vrince des préférences idiosyncrsiques), Figure 6 : points fixes du tux de pénétrtion (équilibres à p donné) 6- éqution (9) pour β = 6-b éqution (9) pour β = 6 Source : Phn, Gordon, Ndl, (4) Sur l figure 6-, pour β =, on peut observer une zone à deux équilibres stbles (et un point fixe instble pour η e = /), qui se trouve comprise pproximtivement entre les courbes du hut et du bs (correspondnt à p =,5 et p =,35), de prt et d utre de l courbe du milieu, qui correspond l vleur de p sns biis (p n = h+j/ =.5). Pour des vleurs de p supérieures à,35 ou inférieures à,5, il y un seul point fixe (une seule trjectoire de l courbe de demnde). Sur l figure 6-b, pour β = 6, il y un seul équilibre, quelles que soient les vleurs de p. L existence de deux équilibres stbles résulte d bord d une dulité des déterminnts de l meilleure réponse des gents. En l bsence d effet externe, les gents choisissent leur strtégie u regrd des vleurs «non sociles», h i p ce que les physiciens ppellent le «chmp externe». Nous vons vu que pour les gents pour qui : h i > p, dopter étit une strtégie dominnte quelque soit le niveu d doption dns leur voisinge. De même les gents tels que : hi p> j/ dopterons vec des tux d doption dns leur voisinge toujours inférieur à 5%, et d utnt plus fible que j est fort et h i peu inférieur à p. Tout cel conduit à un équilibre positif d doption inférieur dns les cs ou seuls les gents vec un IWA suffismment élevé u regrd de p et de j. Au contrire, pour les gents qui ont un fible IWA, en prticulier ceux qui n doptent que si : ηϑ (t) ( p h i ) j c est l effet socil qui est déterminnt, ce que les physiciens ppellent le «chmp locl», c'est-à-dire les vribles qui ne sont ps indépendntes des choix des utres gents dns le voisinge. Avnt d étudier le rpport entre cette multiplicité de points fixes et l non linérité des fonctions cumultive de distribution des IWA, Il convient d isoler l dulité des cuses, indépendmment de l distribution des IWA... Trnsition de phse et l hystérésis Alors que l trdition économique (en prticulier mcroéconomique) désigne pr «hystérésis», un phénomène qui résulte de l rémnence d une vrible dns un modèle dynmique, les physiciens

16 6 désigne pr hystérésis une sitution où deux équilibres sont possibles pour une même vleur du chmp externe (les vribles indépendntes des choix du voisinge). Cette différence sémntique déjà fit l objet d une discussion systémtique en économie (Amble, Henry, Lordon et Topol, 99, 99, 994). Nous retiendrons ici l cception des physiciens. Dns notre modèle, le chmp externe moyen (normlisé pr l tille du voisinge) est égl à : h i p. Comme nous vons supposés que les IWA (h i ) étient «gelés» une fois donnés, l vrition du chmp externe ne peut résulter que d une vrition de p. Dns ce qui suit pour se fixer les idées sur un sujet plus économique, nous ppellerons cette vrible p le «prix». On lisse insi le modèle d émeute de Grnovetter pour interpréter dorénvnt le modèle () comme modèle de mrché, ou les gents doivent choisir d cheter ou de ne ps cheter un certin bien. Mis le même modèle reste bien entendu toujours pplicble à de nombreux choix sociux hors mrché, comme l montré l exemple du modèle d émeute. Prtons d une sitution initile où ucun gent n dopté le produit (ω i = pour tout i). Si le chmp externe est uniforme, (h i p = h p, pour tout i), le choix de chque gent dépend uniquement du signe de ce chmps externe. Dns ce cs, nous pouvons voir un exemple de ce que les physiciens ppellent une «trnsition de premier ordre». Celle-ci survient ici lorsque toute l popultion dopte simultnément le produit, qund p devient plus petit que h. Notons p h = h ce seuil d doption. Il est importnt de remrquer que le phénomène inverse ne se produit ps u même seuil. En effet, qund tous les gents ont précédemment dopté, l fonction de surplus dépend mintennt à l fois du chmp externe h p et du chmp locl, (l influence socile) ici égl à j, puisque tous les gents sont devenu des consommteurs de ce bien. Le seuil de sortie du mrché ser donc mintennt : p j = h p + j. Si les prix ugmentent u-delà de p j, tous les gents quitteront le mrché. Dns ce cs extrême, on observe donc un intervlle de prix [p h,p j ] dns lequel l demnde globle reste constnte et ne vrie ps vec les prix. L lrgeur de cet intervlle dépend uniquement du prmètre d influence socile j (Figure 7). Figure 7 : seuils critiques dns l reltion entre l doption et le prix, vec des gents identiques. η P = H Pn = H + J/ P = H + J Source Phn, Pjot, Ndl (3) En présence d hétérogénéité des préférences (dispersion des h i ), l demnde vrier de mnière moins brupte, mis une boucle d hystéresis peut pprître. L courbe de demnde peut lors prendre deux trjectoires différentes selon que les prix ugmentent ou bissent, comme nous llons

17 7 le voir. Lorsque les prix chngent, le nombre de clients évolue pr blocs, lesquels peuvent s enchîner en formnt des vlnches de toutes tilles. Si l dispersion des préférences est suffismment forte (l vrince σ des h i est lrge comprée à l complémentrité strtégique provennt de l dépendnce socile, J), il y ur seulement de petites vlnches ; les effets directs l emportnt sur les effets induits. Si u contrire, les préférences sont très concentrées, (σ petit reltivement à J), on tendr vers une unique vlnche, de l tille de l popultion, comme dns le cs des h i uniformément égux à h que l on vient de décrire. Dns les régimes intermédiires, une distribution d vlnches de toutes tilles peut être observée. Lorsque les IWA (h i ) sont distribuées selon une loi symétrique, il est églement possible de donner un utre sens u seuil j/. En effet, on peut identifier une vleur théorique de p qui correspond à une sitution moyenne sns biis (symétrique) en fveur de l un des deux choix possibles. Dns ce cs, l disposition à pyer est neutre en moyenne : il y utnt d gents qui doptent le produit que d gents qui ne l doptent ps. Ainsi, si 5% des gents sont clients pour ce produit, l disposition moyenne à pyer ser h + J/, et le prix sns biis ser : p n = h + J/. Remrquons que p n se trouve exctement u milieu de l intervlle de prix [p h,p j ]. Si l on prt de cette sitution de symétrie, vec p = p n, on peut distinguer les prix qui présentent un biis en fveur des décisions d cht ( p < p n, donc en moyenne h + J/ p > ), et ceux qui sont en moyenne en défveur de l cht ( p > p n ). Finlement, en dynmique, une rupture de symétrie peut intervenir pour p = p n lorsqu une vlnche conduit l influence socile à psser le seuil de J/. Les comportements dynmiques de l popultion d cheteurs fce ux prix ne sont cependnt ps triviux. L étude pr simultion de l dynmique d justement des cheteurs à une vrition des prix, permet de mettre en évidence les notions de rupture de symétrie et de trnsition de phse utilisées pr les physiciens, ce qui illustre l intérêt d une pproche multi-gents dns ce cs pourtnt simple et très proche de l littérture stndrd. Pour une vrition des prix donnée, il est possible d observer les vritions résultntes de l demnde. Commençons pr le cs le plus spectculire, où tous les gents révisent leurs choix simultnément (régime d ctivtion synchrone) dns le cs d interctions globles.

18 8 Figures 8 : Trnsition de phse brutle du système de demnde (régime d ctivtion synchrone) ,,,3,4,5 Hystérésis dns le système de demnde (prix et nombre de clients) trjectoire montnte (noire) et descendnte (grise) b Chronologie et tille des effets induits dns l vlnche à l trnsition de phse montnte pour p =.48 p n =,5) Source : Phn, Pjot, Ndl (3) ; Prmètres : h =, J =.5, Logistique vec β = ; seed = 9. L courbe de l figure 3-, représente l reltion entre les prix et le niveu de demnde pour chque ps de simultion. Cette courbe comprend donc à l fois les positions d équilibre à prix donné et l ensemble des positions temporires tteintes à chque étpe des vlnches. L courbe noire (grise) représente l trjectoire de l demnde montnte (descendnte) suivie lorsque les prix diminuent (ugmentent) pr incréments de 4, dns l intervlle [.9,.6]. On observe une boucle d hystéresis vec une trnsition de phse utour du point de symétrie, p n =,5. Dns chcune des deux brnches, des vlnches se produisent lors d une trnsition de phse dite «du premier ordre». Le long de l brnche montnte» de l hystéresis (vec prix décroissnts l courbe noire), une succession d doption en chîne induites les unes pr les utres se déclenche pour p =.48 < p n, conduisnt l ensemble du système de demnde d un tux d doption de l ordre de 3% à un tux de près de 87%. L figure 3-b présente l chronologie et l tille de ces effets induits qui viennent se cumuler dns une gigntesque vlnche. Le long de l brnche descendnte» de l hystéresis (vec prix croissnts l courbe grise), l effet externe entrîne une forte résistnce du système de demnde à l décroissnce du nombre de clients. Le seuil de trnsition de phse se situe ici utour de p =.744 > p n. Pour cette vleur, le tux d doption du produit diminue drstiquement de 73% à,7%. L mpleur des vlnches dns l boucle l hystérésis ugmente vec l connectivité. L figure 4- montre une boucle d hystérésis vec une évolution progressive sns vlnches importntes (trnsition de phse du second ordre). L simultion repose sur les même prmètres, mis le réseu sous-jcent est périodique de dimension un (un cercle), et chque gent n que voisins. L dimension des vlnches durnt l trnsition de phse ugmente églement lorsque l vrince de l distribution des θ i diminue (σ = π /(3.β ) qund β ugmente), insi que l on pu le constter dns le cs extrême de l disposition à pyer uniforme pour tous les gents (h i = h pour tout i). Les vlnches sont d utnt plus importntes à l trnsition de phse que les préférences des gents,

19 t t t t 9 sont proches. L figure 4-b montre un ensemble de trjectoires montntes pour différentes vleurs of β, prises entre et 5. Pour β = 5 il n y plus d hystérésis du tout. Sur l figure 4-c, on peut voir un hystérésis étroit pour un réseu périodique de dimension un (cercle) vec 8 voisins pr gents et β = 5. Pour β =, le même réseu fit pprître un hystérésis beucoup plus mple. Figures 9 : reltion prix-demnde sous un régime d ctivtion synchrone ; seed = 9 (9-) hystérésis vec voisinge = (9-b) connectivité totle ; β entre & ,9,,,3,4,5,6 6 4,,,3,4,5 (9-c) fible hystérésis (voisinge = 8 ; β = 5) i (9-d) Inner Hysteresis (voisinge = 8 β = ) (Sethn) sous-trjectoire : [,8-,9] i ,,,3,4,5, ,,5,,5,3,35,4 i Source : Phn,Pjot, Ndl (3) i Une propriété intéressnte des hystérésis dns les modèles d Ising à chmps létoire été étblie pr Sethn et l. (993). Pour des risons similires à celles qui conduisent à un hystérésis de l demnde globle, tout chngement de direction dns l évolution des prix conduit à des boucles internes à l hystérésis globle. Ces boucles ont comme propriété de revenir à leur point de déprt, lorsque le prix redevient égl u prix initil. Sur l figure 4-d, le retournement de prix (une husse) se situe en un point de l trjectoire montnte. Cette ugmenttion des prix se trduit pr une bisse moins que proportionnelle du nombre de client, à cuse de l résistnce à l bisse due à l influence socile (courbe grise interne). Lorsque le prix remonte, l courbe grise rejoint le point de déprt. Du point de vue économique, une telle propriété peut voir plusieurs pplictions importntes, comme l possibilité pour le vendeur d pprendre u voisinge d une trjectoire.

20 3. Choix stochstiques 3.. Min tremblnte../.. Sous l hypothèse de min tremblnte logistique (ussi ppelée quntl réponse), l probbilité d dopter est d utnt plus grnde que le surplus non optimisé v i est élevé () ( ) vi η = hi p+ j. η ω i = η = εi i η == + exp β.vi () P( ) P( v ( )) ( ) Où ε est une vrible létoire indépendnte et identiquement distribuée sur les gents, qui suit une loi logistique centrée de prmètre β. Lorsque l écrt type de l distribution logistique tend vers zéro, β tends vers l infini et l on retrouve l règle de décision déterministe précédente (équtions 7 et ). En effet, si le surplus est positif, l exponentielle tends vers zéro et l probbilité d dopter tends vers un ; si u contrire, le surplus est négtif, l exponentielle tends vers l infini et l probbilité d dopter tends vers zéro. Plus générlement, l probbilité de choix conditionnelle à l nticiption d doption s écrit : (3.) P( ) ( ωβ i i) ( ) exp..v ωi η = + β exp.v Dns ce cs prticulier, comme : ω i {,}, l espérnce d doption conditionnelle à l nticiption d doption est égle à l probbilité conditionnelle d doption. (si les modlités du choix vient été : s {,} i exemple : Durluf, 997), l espérnce conditionnelle d doption urit été une tngente hyperbolique, cf. pr (3.) E ω η = P( ω = η ) i i Remrquons que dns le cs où les gents ont tous l même IWA (h i = h pour tout i) on : (3.3) ( ) ( ) vi η = h p+ j. η = zm η i ΩN i

21 Où z m est l prt idiosyncrsique de l IWA de l gent mrginl u surplus nul (éqution 6). L probbilité (conditionnelle à l doption nticipée) qu un gent i choisisse d dopter est mintennt exctement l même pour tous les gents. Elle est églement égle à l probbilité (conditionnelle à l doption nticipée) qu un gent tiré u hsrd it un ε i supérieur l IWA mrginl z m, et dopte en suivnt l règle de meilleure réponse dns le cs du désordre gelé (éqution 9) P ω i = η = P ε i > zm η == i ΩN + exp ( β.zm ) (3.4) ( ) ( ( )) Si les termes stochstiques individuels sont indépendnts, l mesure jointe de probbilité sur l ω ω,.. ω,.. ω. popultion nous donne l probbilité d une configurtion spécifique du vecteur ( ) Elle suit une loi de Gibbs () P ( ω η ) = P( ω η ) i i ωη ω η = (3.5) P( ) P( ) i i i ( ωβ i i) ( ) exp..v + exp β.v i i A l suite de Mnsky (), Brock, Durluf () considèrent l solution du problème de coordintion sous l hypothèse d nticiption rtionnelle. Dns ce cs, les nticiptions d doption des gents sont toutes égles à l espérnce mthémtique de l doption et on un système de N d éqution : ( ωη ) η = E../ Distribution invrinte du processus sttionnire. On montre que le processus stochstique de «min tremblnte» est ergodique. A prtir des probbilités de trnsition, il est possible de clculer numériquement l distribution invrinte du processus sttionnire (Annexe A) N (3.8) n st s N ( ( )) { } p (n) = p ().C exp +β n.h + j. η.(n + ) n,..n N n p() s = + CNexp+β n.h+ j..(n η + ) n= ( ( )) Figures 9 : distributions invrintes du processus

22 On peut ussi étudier les propriétés nlytiques de cette distribution grâce à l pproximtion u dérivées prtielle de Fokker-Plnk (cf Annexe B, Weidlich et Hg, 983, Orlén, ). 4. Un exemple d ppliction u mrché : monopole vec externlité Dns cette section, on considère un modèle de mrché de monopole vec externlité étudié dns Ndl et l. 3, 4). Les gents choisissent itértivement d cheter ou de ne ps cheter. On s intéresse u problème de détermintion des prix d équilibre de long terme du monopole. On trouve dns l littérture une solution pour le prix optiml du vendeur dns les deux cs polires de l bsence d externlité et de l externlité globle, mis l question de l plurlité des équilibres stbles pour un même prix n ps été étudiée systémtiquement vnt Ndl et l. 3. De plus, Ndl et l, 5 étendent l nlyse à de lrges clsse de distributions continues ou continues pr morceux, sns se limiter à l Logistique. Dns Phn et l. (3b) des jeux de simultions explorent différentes configurtions de réseu régulier périodique en dimension (voisinge,4,6,8) et des configurtions intermédiires entre réseu régulier et réseu létoire correspondntes (petits mondes). Ces résultts montrent que le prix optiml du monopole en régime sttionnire ugmente régulièrement vec l connectivité, ce qui souligne l sensibilité des résultts à l topologie du réseu. mis on se limiter à présenter ici le cs le plus simple, vec une externlité globle (chmp moyen). Après voir rppelé brièvement les résultts nlytiques dns le cs de l externlité globle, on discute de l plurlité d équilibres dns le cs intéressnt où les consommteurs ne souhitent ps, en moyenne, cheter le produit (h < ). 4.. Le prix optiml du monopole en régime sttionnire : Le cs de l externlité globle. Le monopoleur est supposé se trouver en sitution de risque : il connît le comportement des consommteurs et l distribution de probbilité des IWA. Il observe son nombre de clients et connît donc le tux d doption dns l popultion. Pr contre, il n observe ps les IWA de ses clients, mis seulement leur comportement d doption. On considère un désordre gelé, c'est-à-dire que les gents ont une vleur fixée de z i donnée u début de l période et qui ne chnge ps près. On considère que l distribution est logistique, c est à dire que le niveu d doption d équilibre est conforme à l éqution (.). Pr inversion de cette condition d équilibre, on peut fire pprître une fonction inverse de demnde : (4.) d p ( η e e) = h+ J. η e +.ln η β η e L reltion (.) permet églement de définir l demnde globle comme une fonction implicite η e (p) dont on peut clculer les dérivées pr rpport à p :

23 ( ) Φ( η e(p),p) = η e(p) + F p h J. η e(p) = 3 (4.) e ( e ) ( ) d ηe (p) Φ p f p h j. η = = dp Φ η f p h j. η.j e Dns le cs de l externlité globle vec influence socile dditive, l éqution () nous permet d exprimer le tux d doption comme une fonction implicite des prix. Comme le monopoleur observe le tux d doption et qu il est supposé tout connître du comportement de demnde () des consommteurs et l distribution de probbilité des dispositions individuelles à pyer, le monopoleur peut écrire et résoudre le progrmme qui mximise son espérnce de profit (pour simplifier, on suppose des coûts nuls et on normlise l tille de l popultion à, ce qui revient à utiliser les prix pr tête p) : mx E Π (p) = p. η (p) (4.3) [ ] c p En utilisnt l dérivtion implicite (4.) l condition de premier ordre s écrit : (4.4) ( ηc ) ( ) p.f p h J. J.f p h J. η c = η c En utilisnt une propriété commode de l distribution logistique: f(x) = β.f(x).(-f(x), on peut écrire l éqution d un courbe inverse de qusi-offre (le monopoleur, en intégrnt l fonction de demnde inverse git ici en suiveur de stckelberg) : (4.5) o p ( η c) = J. η β.( η ) c c Les solutions optimles correspondent à l intersection des courbes inverses de qusi-offre (4.5) et de demnde (4.) qui nous donnent les points de comptibilité entre l ensemble grégé des meilleurs réponses des demndeurs u prix p et l meilleure réponse du monopoleur, compte tenu de l intégrtion dns s fonction objectif des crctéristiques de l demnde. Dns le cs où h > on peut montrer que l équilibre de mrché qui mximise le profit de monopole est unique. Dns le cs où h < (peu de consommteurs désirent le bien), ont peut églement montrer qu il y dns certins cs deux mximum locux (vec des prix élevés ou fibles, cf. Figure ) séprés pr une trnsition brutle. Le mximum globl dépend de β.j et correspond soit à une sitution vec peu d cheteurs et des prix élevés, soit à beucoup d cheteurs vec un prix fible (Ndl et l. 3).