( ) = 1, Im( z 1 ) = 2. ( ) = 0, Im( z 2 ) = 1. ( ) = 7, Im( z 3 ) = 0. = 1+ 2i. Re z 1 = i. Re z 2 z 3. z 1. = 7. Re z 3

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1 I Forme algébrique d un nombre complexe 1 Il existe un ensemble noté et appelé ensemble des nombres complexes qui vérifie les propriétés suivantes : " ; L'ensemble est muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de et les règles de calcul restent les mêmes ; Il existe un nombre complexe, noté i, tel que i = 1 ; Tout nombre complexe z s'écrit de façon unique sous la forme z = x + iy, avec x et y deux réels Exemple 1+ i, i et i sont des nombres complexes 7 Forme algébrique Soit x et y deux réels L'écriture x + iy d un nombre complexe z s appelle la forme algébrique Le réel x est la partie réelle de z On la note Re z Le réel y est la partie imaginaire de z On la note Im z Exemple z 1 = 1+ i Re z 1 z = i Re z z 3 = 7 Re z 3 ( ) = 1, Im( z 1 ) = ( ) = 0, Im( z ) = 1 ( ) = 7, Im( z 3 ) = 0 Un nombre complexe de forme algébrique iy avec y est appelé imaginaire pur Exemple 15i et 3i sont des imaginaires purs Conséquences Pour tout nombre complexe z : z est un nombre réel Im z ( ) = 0 ; 1

2 z est un imaginaire pur Re( z) = 0 Remarque On retrouve le fait que " Application On considère z 1 = ( 1 5i) ( + i) et z = 3( 1+ i) ( 5 6i) On a alors z 1 = = 11i donc z 1 est un nombre imaginaire pur z = = donc z est un nombre réel Propriété Deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont même partie réelle et même partie imaginaire Conséquence Un nombre complexe est nul si, seulement si, sa partie réelle et sa partie imaginaire sont simultanément nulles Exercice 1 On considère le nombre complexe z = x + + i ix + x ( ) + i 5ix 1 Déterminer la forme algébrique de z a Déterminer x, pour que z soit un réel b Déterminer x, pour que z soit un imaginaire pur Exercice 1 Résoudre dans l équation : 3z + 6i = z a Montrer que z 6z + 5 = z 3 ( ) +16 b En déduire les solutions de l'équation z 6z + 5 = 0 II Opération sur les complexes 1 Opération sur les nombres complexes Soit deux nombres complexes z = x + iy et z' = x'+ iy' a Opposé L'opposé du nombre complexe z est le nombre complexe noté z définie par : z = x iy

3 b Somme et produit Propriété Somme : z + z' = ( x + x' ) + i( y + y' ) Produit : zz' = ( xx' yy' ) + i( xy'+ x' y) Remarque ( x + iy) ( x iy) = x + y c Inverse et quotient et propriété Tous nombre non nul z de forme algébrique x + iy admet un inverse noté 1 z de forme algébrique : 1 z = x x + y + i y x + y On définit le quotient z z' = z 1, avec z' 0 z' En pratique, pour obtenir la forme algébrique de 1 z et z', on multiplie le numérateur et le z dénominateur par le conjugué de z Conjugué d'un nombre complexe On appelle conjugué du nombre complexe z = x + iy, le nombre complexe noté z de forme algébrique x iy On écrit alors z = x iy Remarques z + z = Re( z) z z = i Im( z) Par conséquence : z est un réel z = z z est un imaginaire pur z = z Opérations sur les conjugués Pour tout nombre complexe z et z' et pour tout entier naturel n non nul on a : z + z' = z + z' zz' = zz' z n = z De plus, si z' 0, alors : ( ) n 3

4 1 z = 1 z z' z = z' z Remarques z = z zz = x + y Exemples ( i) = ( + i) + 3i 5 i = 3i 5+ i 3z + iz' = 3z iz' Exercice 3 Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants : ( ) + 3( i) z = ( 3 i) + 6i z 1 = i 1 4i z 3 = 3 1 i z 5 = a + ib, où a et b sont deux réels b ia Exercice 4 z 4 = 1+ i i Soit z = x + iy et Z = z + où z est un nombre complexe différent de i z + i 1 Donner la forme algébrique de Z en fonction de x et y Déterminer l ensemble D 3 Déterminer l ensemble C ( ) des points M d affixe z tel que Z soit un réel ( ) des points M d affixe z tel que Z soit imaginaire pur III Equation du second degré à coefficients réels 1 Théorème On considère l'équation az + bz + c = 0 dont l'inconnue z est un nombre complexe et les coefficients a, b et c sont des réels, avec a 0 On note Δ le réel b 4ac appelé le discriminant Si Δ > 0, alors l'équation admet deux solutions réelles : b Δ b + Δ Si Δ = 0, alors l'équation admet une solution réelle : b Si Δ < 0, alors l'équation admet deux solutions complexes conjuguées : b i Δ b + i Δ 4

5 Démonstration Lorsque Δ 0, la résolution dans a été vue en Première Si Δ < 0 : az + bz + c = 0 a z + b Dans, Δ i Δ est le carré de 4a az + bz + c = 0 a z + b Δ 4a = 0, on peut donc factoriser : i Δ D où les deux solutions complexes conjuguées : Exercice 5 Résoudre dans les équations suivantes : 1 1+ i ( )z = 3+ i z = 9 3 4z +16z + 5 = 0 4 3z z +1 = z = 0 a z + b + i Δ z + b i Δ = 0 b i Δ et b+ i Δ Exercice 6 On considère dans le polynôme défini par P( z) = z Montrer que si le complexe α est racine de P alors α est aussi racine de P Vérifier que, pour tout complexe z, on a P( z) = P( z) 3 Calculer P( 1+ i) et en déduire les solutions de P( z) = 0 Livre Déclic : 5 p 4 IV Représentation graphique 1 Repère complexe s À tout point M du plan de coordonnées ( x; y) est associé le complexe z = x + iy appelé affixe du point M À tout nombre complexe z = x + iy avec x et y réels, on associe le point M de coordonnées ( x; y) Le plan muni d'un repère orthonormal direct dans lequel on représente des nombres complexes est appelé plan complexe 5

6 Conséquences L'axe des abscisses est appelé axe des réels L'axe des ordonnées est appelé axe des imaginaires purs Les points M z Les points M z ( ) sont symétriques par rapport à l'axe des réels ( ) et M 1 z ( ) et M ( z) sont symétriques par rapport à l'origine du repère Vecteur " À tout vecteur w du plan de coordonnées ( x; y) est associé le complexe z = x + iy appelé affixe du vecteur w " Notation On utilise la notation z w " pour désigner l'affixe du vecteur w " et on utilise la notation z A pour désigner l'affixe du point A Propriété " " Pour tout vecteur w et w' d'affixes respectives z" " w et z " w' L'affixe du vecteur w + w' est z" w + zw' " Pour tout réel k, l'affixe du vecteur k w " est kz w " Exemple " " On donne w ( 1+ i) et w' ( 1 i ) Le vecteur w " " w' a pour affixe : 1+ i " ( ) ( 1 i) = 3+ 4i 6

7 Propriétés On considère deux points A et B du plan complexe admettant pour affixes respectives z A et z B " L affixe du vecteur AB est zb z A L'affixe du milieu I de AB noté z I est z I = 1 ( z + z A B ) Exercice 7 On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives z A = 3i, z B = 4 + i, z C = et z D = + i 1 Placer ces points sur un graphique puis déterminer l'affixe du milieu I du segment AC " " Déterminer les affixes des vecteurs AB et DC Que peut-on en déduire? 3 Déterminer l'affixe du point E symétrique de A par rapport à B 4 Déterminer la nature du quadrilatère DBEC Exercice 8 On considère le complexe z = x + y x 3+ i x 1+ y ( ) des points M d'affixe z tel que z soit un réel 1 Déterminer et représenter l'ensemble E Déterminer et représenter l'ensemble ( F )des points M d'affixe z tel que z soit un imaginaire pur V Forme trigonométrique d'un nombre complexe Dans cette partie le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct( O;u,v ) Pour tout point M distinct de O, on peut donner les coordonnées cartésiennes x; y On note OM = r et θ = u,om """" 1 Module et argument Soit z un nombre complexe non nul, M le point d'affixe z, r = OM etθ = ( u,om """" ) Alors : r est le module de z et on le note z ; ( ) π θ est un argument de z et on le note arg z 7

8 Point de vue algébrique z = r = x + y θ = arg( z), avec : cosθ = x r sinθ = y r Point de vue géométrique z = r = OM arg( z) = θ = ( u,om """" ) π Remarques Comme zz = x + y alors zz = z z = 0 z = 0 OM = 0 M = O Configurations de base Pour tout nombre complexe z, on appelle M 1 ( z), M z ( ), M 3 z ( ) et M 4 z CommeOM 1 = OM = OM 3 = OM 4, on en déduit que z = z = z = z arg z ( ) = arg z ( ) π, arg z Remarque Pour z = 0, on a r = 0 et θ n'est pas défini Forme trigonométrique ( ) = π + arg( z) π, arg z Soit z un nombre complexe non nul, l'écriture z = r cosθ + isinθ θ = arg z ( ) π, est appelée forme trigonométrique Remarque 0 n'a pas de forme trigonométrique ( ) = π arg z ( ) π ( ), avec r = z et Exercice 9 1 Dans le repère orthonormal direct O;u,v ( )déterminer par lecture graphique le module et un argument des affixes des points A, B, C et D 8

9 Déterminer le module et l'argument des nombres complexes suivants : z 1 = 3 + i, z = cos π 1 isin π 1 et z = 3 cos π isin π 4 Exercice 10 Déterminer la forme trigonométrique des nombres complexes suivants : z 1 = 1+ i 3, z = 1 i et z 3 = cos π 6 isin π 6 VI Opérations sur les formes trigonométriques 1 Égalité de deux complexes Les complexes z = r( cosθ + isinθ ) et z' = r '( cosθ '+ isinθ '), avec r > 0 et r ' > 0, sont égaux r = r ' si, et seulement si, θ = θ '+ kπ,k Propriétés Soit z et z ' deux nombres complexes non nuls et n entier naturel non nul Produit zz' = z z' arg(zz') = arg(z) + arg(z') Puissance z n = z n arg(z n ) = narg(z) Inverse Quotient 1 z = 1 z, z 0 arg 1 z = arg(z), z 0 z z' = z z', z ' 0 arg z z' = arg(z') arg(z), z' 0 9

10 Démonstration pour le produit ( ) z' ( cosθ '+ isinθ ') ( ) + i( sinθ cosθ '+ cosθ sinθ ') ( ) + isin( θ +θ ') zz' = z cosθ + isinθ = z z' cosθ cosθ ' sinθ sinθ ' = z z' cos θ +θ ' Donc le module de zz' est z z' et un argument de zz' est θ +θ ' = arg(z) + arg(z') 3 Inégalité triangulaire Pour tous nombres complexes z et z ', on a : z + z' z + z' 4 Module et argument d'un quotient z A, z B et z C sont trois nombres complexes distincts, d'images respectives A, B et C dans le plan complexe Propriété z B z A = AB et arg( z B z A ) = u """ (, AB) z B z C = BC et arg z z B C z A z C AC z A z C = CA " ( ",CB ) π Démonstration On considère un point M tel que OM " " = AB Alors M a pour affixe z B z A Donc u,om """" """ ( ) = arg z B z A ( ) = u, AB z B z A = z M = AB Comme OM " " = AB, OM = AB donc z B z A = AB arg z z B C z A z C = arg z z B C = u """,CB ( ) u "" (,CA) "" = ( CA,u ) + u """ (,CB) "" = CA " "",CB ( ) ( ) arg( z A z C ) Exercice 11 On note A, B, C et D les points d'affixes respectives, 4i, 1+ i et 3+ i Déterminer géométriquement les ensembles des points M d'affixe z vérifiant : 10

11 E : z+ 1 i = 3 E : z 3 i = z 4i 1 E : z 1 i z 3 i 3 :arg 3 π 4 4 z + π E6 :arg = π z+ 1 i + + = E ( z i) = [ π ] π ( ) [ π ] E :arg 1 5 z i 3 Exercice = [ ] On donne z 1 = 1+ i 3 et z = 1 i 1 Déterminer la forme trigonométrique de z 1, z et Z = z 1 z Déterminer la forme algébrique de Z En déduire la valeur exacte de cos 7π 1 7π et sin 1 Exercice 13 Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct ( O;u,v ), on considère les points A, B, C et D d'affixes respectives : a = 1+ i, b = 1 i, c = i et d = i 1 Placer ces points sur un graphique Calculer c a et en déduire la nature du triangle ACD d a 3 Montrer que les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon VII Forme exponentielle Posons f (θ) = cosθ + isinθ On a démontré précédemment que : ( cosθ + isinθ )( cosθ '+ isinθ ') = cos( θ +θ ') + isin( θ +θ ') Soit : f (θ) f (θ ') = f (θ +θ ') On retrouve ainsi la même équation fonctionnelle que celle établie pour les exponentielles : e θ e θ ' = e θ+θ ' 1 Pour tout réel θ, on a : e iθ = cosθ + isinθ Remarque e iθ est le nombre complexe de module 1 et d'argument θ Exemples e i0 = cos0 + isin0 = 1+ i 0 = 1 11

12 e iπ = cos π + isin π = 0 + i 1= i e iπ = cosπ + isinπ = 1 Tout nombre complexe z non nul de module r et d'argument θ s'écrit sous sa forme exponentielle z = re iθ Application 1 Déterminer la forme algébrique des nombres complexes e iπ et e iπ Déterminer la forme exponentielle des nombres complexes : z 1 = 3, z =, z 3 = 4i et z 4 = 5+ 5i 3 Propriétés Pour tous réels θ et θ ', pour tout entier naturel n non nul, e iθ e iθ ' = e i( θ+θ ') e iθ e iθ e iθ ' = e i θ θ ' ( ) ( ) n = e inθ (Formule de Moivre) e iθ = e iθ 1 e = iθ e iθ Application On donne z 1 = e iπ, z = ie iπ 3 et z 3 = 4e iπ 3 1 Déterminer la forme exponentielle de z 1 puis de z Déterminer la forme exponentielle de z 1 z z 3 puis de z z 1 ( ) Exercice 14 Déterminer les entiers n pour lesquels le point M d'affixe 6 i O;u ( ) n appartient à l'axe Livre Déclic : p

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