Identités remarquables Equations Calculs-Racines carrées Trigonométrie Thalès et Pythagore Geométrie dans l'espace. Le / 02 / 2008 classe : 3

Transcription

1 ompétences: Identités remarquables Equations alculs-racines carrées Trigonométrie Thalès et Pythagore Geométrie dans l'espace Le / 02 / 2008 classe : Devoir de mathématiques n 6. (sujet ) Durée 2h calculatrice autorisée présentation et rédaction : 4 point. ctivités numériques. Exercice I.(4 pts): Dans cet exercice, toutes les étapes des calculs seront détaillées sur la copie. 1. alculer = On donnera le résultat sous forme d une fraction irréductible. 2. On considère = 2, a. alculer (le résultat sera donné en écriture décimale). b. Écrire en écriture scientifique.. alculer l expression = On donnera le résultat sous la forme a 5 où a est un entier relatif. Exercice II. (1,5 pts) 1. alculer le PGD des nombres 675 et Écrire la fraction sous forme irréductible. 75 Exercice III.(4,5 pts) On considère l expression suivante : E = (1 2x)² (x + 7)² 1. Développer et réduire E. 2. Factoriser E.. alculer E pour x= Résoudre l équation ( x 6)(8 x)= 0 Exercice IV.(2 pts) Résoudre le système (S) { 2x y=12 x y= 7 ctivités géométriques. Exercice I. (4 pts) 1. onstruire un triangle tel que : = 7 cm ; =7 et =5. 2. Prouver que ce triangle est un triangle rectangle.. alculer la longueur puis donner la valeur arrondie au mm. Exercice II. (4 pts) [H] est la hauteur issue du sommet d un triangle. 1. alculer la mesure de l angle H. On donnera une valeur arrondie au degré près. 2. alculer la longueur H. On donnera une valeur arrondie au millimètre. 40 (Sur ce dessin les dimensions indiquées ne sont pas respectées) 8 cm 5 cm H

2 Exercice III. (4 pts) les deux droites (P) et (R) sont sécantes en un point. 1. Démontrer que les droites (PR) et () sont parallèles. 2. alculer la longueur RP. (Sur ce dessin les dimensions indiquées ne sont pas respectées) P R 6 cm 7,5 cm 28 cm 5 cm 21 cm Problème. (12 pts) Un sablier est constitué de deux pyramides superposées comme le montre le croquis ci-dessous. Le sable s écoule au niveau du point S. La surface du sable est représentée par le plan D horizontal et parallèle aux bases des pyramides. On suppose qu au départ, le volume du sable occupe la totalité de la pyramide SD. La pyramide SD est régulière, sa base est un carré D, on rappelle que la hauteur (SO) est perpendiculaire au plan D. Le niveau du sable est repéré par la longueur S' sur l'arête de la pyramide SD. On donne : O = 18 mm, SO = 80 mm. Dans tout ce problème est le milieu de [S] 1. Représenter la base D en vraie grandeur. 2. a. Justifier que le triangle O est rectangle isocèle. b. Montrer que = 18 2 mm.. a. alculer l aire du carré D. b. En déduire que le volume V de la pyramide SD est mm. 4. Le triangle SO est rectangle. Montrer que S = 82 mm. 5. La pyramide S D est une réduction de la pyramide SD. a. Que peut-on dire des droites (O) et (O )? b. Déterminer le coefficient de réduction. 6. On note V le volume de la pyramide S D. alculer V (on donnera la réponse en mm et en cl). 7. On admet que le volume du sable descendu est proportionnel au temps écoulé. Tout le sable s écoule en 4 minutes. u bout de combien de temps le niveau de sable est-il dans la position étudiée?

3 ompétences: Identités remarquables Equations alculs-racines carrées Trigonométrie Thalès et Pythagore Geométrie dans l'espace Le / 02 / 2008 classe : Devoir de mathématiques n 6. (sujet ) Durée 2h calculatrice autorisée présentation et rédaction : 4 point. ctivités numériques. Exercice I.(4 pts): Dans cet exercice, toutes les étapes des calculs seront détaillées sur la copie. 1. alculer = On donnera le résultat sous forme d une fraction irréductible. 2. On considère = a. alculer (le résultat sera donné en écriture décimale). b. Écrire en écriture scientifique.. alculer l expression = On donnera le résultat sous la forme a 5 où a est un entier relatif. Exercice II. (1,5 pts) 1. alculer le PGD des nombres 576 et Écrire la fraction sous forme irréductible. 20 Exercice III.(4,5 pts) On considère l expression suivante : E = (1 x)² (x + 5)² 1. Développer et réduire E. 2. Factoriser E.. alculer E pour x= Résoudre l équation ( 4x 4)(6 2x)= 0 Exercice IV.(2 pts) x y=10 Résoudre le système (S) { x 2 y= 5 ctivités géométriques. Exercice I. (4 pts) 1. onstruire un triangle tel que : = 6 cm ; =57 et =. 2. Prouver que ce triangle est un triangle rectangle.. alculer la longueur puis donner la valeur arrondie au mm. Exercice II. (4 pts) [H] est la hauteur issue du sommet d un triangle. 1. alculer la mesure de l angle H. On donnera une valeur arrondie au degré près. 2. alculer la longueur H. On donnera une valeur arrondie au millimètre. 40 (Sur ce dessin les dimensions indiquées ne sont pas respectées) 9 cm 6 cm H

4 Exercice III. (4 pts) les deux droites (P) et (R) sont sécantes en un point. 1. Démontrer que les droites (PR) et () sont parallèles. 2. alculer la longueur RP. (Sur ce dessin les dimensions indiquées ne sont pas respectées) P R 6 cm 7,5 cm 14 cm 17,5 cm 21 cm Problème. (12 pts) Un sablier est constitué de deux pyramides superposées comme le montre le croquis ci-dessous. Le sable s écoule au niveau du point S. La surface du sable est représentée par le plan D horizontal et parallèle aux bases des pyramides. On suppose qu au départ, le volume du sable occupe la totalité de la pyramide SD. La pyramide SD est régulière, sa base est un carré D, on rappelle que la hauteur (SO) est perpendiculaire au plan D. Le niveau du sable est repéré par la longueur S' sur l'arête de la pyramide SD. On donne : O = 27 mm, SO = 120 mm. Dans tout ce problème est le milieu de [S] 1. Représenter la base D en vraie grandeur. 2. a. Justifier que le triangle O est rectangle isocèle. b. Montrer que = 27 2 mm.. a. alculer l aire du carré D. b. En déduire que le volume V de la pyramide SD est mm. 4. Le triangle SO est rectangle. Montrer que S = 12 mm. 5. La pyramide S D est une réduction de la pyramide SD. a. Que peut-on dire des droites (O) et(o )? b. Déterminer le coefficient de réduction. 6. On note V le volume de la pyramide S D. alculer V (on donnera la réponse en mm et en cl). 7. On admet que le volume du sable descendu est proportionnel au temps écoulé. Tout le sable s écoule en 4 minutes. u bout de combien de temps le niveau de sable est-il dans la position étudiée?

5 orrection du devoir de mathématiques n 6. (sujet ) ctivités numériques. Exercice I.(4 pts): 1. = = = =2 2 =6 2 = 4 2. = 2, ,5 9 = =1, =1, = = = = =2 5 Exercice II. (1,5 pts) 1. On a PGD(675 ; 75) = PGD(75 ; 00) = PGD(00 ; 75) = = =9 5 Exercice III.(4,5 pts) On considère l expression suivante : E = (1 2x)² (x + 7)² 1. E = (1 2x)² (x + 7)² = 1 4x + 4 x² x² 14x 49 = x² 18x E = (1 2x)² (x + 7)² = [ 1 2x x 7 ][ 1 2x x 7 ]= 8 x x 6. Dividende Diviseur Reste Quotient Pour x= -2, on a : E= = =25 25 =0. 4. ( x 6)(8 x)= 0 si = 0 alors = 0 ou = 0 donc -x 6 = 0 ou 8 x = 0 donc x = - 2 ou x = 8. Les solutions de l'équation sont -2 et 8. Exercice IV.(2 pts) { 2x y=12 x y= 7 2x 7 x =12 { y= 7 x { 11x=12 21 y= 7 x { 11x= y= 7 x { x= y= 7 { x= y= 2 Le couple solution de ce système est ( ; -2) ctivités géométriques. Exercice I. (4 pts) 2. On sait que =7 et =5. Or, la somme des angles d'un triangle est égale à 180. Donc, = = =90. Le triangle est alors rectangle en.. On sait que est rectangle en, d'après la définition du cosinus d'un angle aigu, on a : cos = coté adjacent à donc cos7 = d'où = 7 cos 7. hypoténuse 7 l'aide de la calculatrice on obtient : = 5,6 cm. Exercice II. (4 pts) 1. On sait que H est rectangle en H, d'après la définition du cosinus d'un angle aigu, on a : cos H= coté adjacent à donc cos H = 5 hypoténuse 8. l'aide de la calculatrice on obtient : H = On sait que H est rectangle en, d'après la définition de la tangente d'un angle aigu, on a : cos H= coté opposé à H donc cos 40 = H d'où H = 5 cos 40. l'aide de la calculatrice : H =,8 cm. coté adjacent à H 5 Exercice III. (4 pts) 1. R = 6 28 = P et 14 = 7,5 5 = = 14 On sait maintenant que R = P et que les points R,, et P,, sont alignés dans le même ordre. D'après la réciproque du théorème de Thalès, on en déduit que (PR) // (). 2.On sait que PR et forment une configuration de Thalès où () // (PR). D'après le Théorème de Thalès, on a : R = P = PR donc 6 28 = 7,5 5 = PR 21. On en déduit que : PR = 21 7,5 5 = 4,5. Donc, La longueur PR est de 4,5 cm.

6 Problèmes. (12 pts) 1. Figure. 2. a. On sait que D est un carré de centre O. Or, les diagonales d'un carré ont la même longueur se coupent en leur milieu et perpendiculairement. Donc, O = O et (O) (O). Le triangle O est rectangle isocèle. O b.. On sait que O est rectangle et isocèle en O. D'après le théorème de Pythagore, on a : ² = O² + O² Donc ² = 18² + 18² = 648. omme >0, on a = 648 = 18 2 Donc, la longueur est de 18 2 mm. D,6 cm. a. alcul de l aire du carré D. (D)= ² = 648. Donc, l'aire de D est de 648 mm². b. alcul du volume V de la pyramide SD. V = aire de base hauteur = = Donc, le volume V de la pyramide SD est mm. 4. On sait que OS est rectangle en O. D'après le théorème de Pythagore, on a : S² = O² + SO² Donc S² = 18² + 80² = omme S>0, on a = 6724 = 82. Donc la longueur S est de 82 mm. 5. a. Les droites (O) et (O ) sont parallèles (car '''D' est une réduction de D) b. alcul du coefficient de réduction. K = S ' S = 1 2 ( car ' est le milieu de [S]) 6. alcul de V le volume de la pyramide S D. alculer V (on donnera la réponse en mm et en Litre). V' = k V = = Donc, le volume V' est mm soit 0,00216 L soit 0,216 cl Tout le sable s écoule en 4 minutes. Il reste 1/8 du volume de sable dans la partie haute du sablier, donc 7/8 du volume du sable s'est écoulé, autrement 7/8 des 4 minutes s'est écoulé, c'est à dire min et 0 secondes.

7 orrection du devoir de mathématiques n 1. (sujet ) ctivités numériques. Exercice I.(4 pts): 1. = 7 14 = = = 2 =6 2 2 = 2 2. = = = = 10 6 = = = = =4 5 Exercice II. (1,5 pts) 1. On a PGD(576 ; 20) = PGD(20 ; 256) = PGD(256 ; 64) = 64 Dividende Diviseur Reste Quotient = =9 5 Exercice III.(4,5 pts) On considère l expression suivante : E = (1 x)² (x + 5)² 1. E = (1 x)² (x + 5)² = 1 6x + 9 x² x² 10x 25 = 8x² 16x E = (1 x)² (x + 5)² = [ 1 x x 5 ][ 1 x x 5 ]= 6 2x 4x 4.. Pour x= -2, on a : E= = =49 9 = ( 4x 4)(6 2x)= 0 si = 0 alors = 0 ou = 0 donc -4x 4 = 0 ou 6 2x = 0 donc x = - 1 ou x =. Les solutions de l'équation sont -1 et. Exercice IV.(2 pts) x y=10 { x 2 y= 5 { x=10 y 10 y 2y = 5 { x=10 y 11 y= 5 0 Le couple solution de ce système est 5 11 ; {x= y= {x= 5 11 y= ctivités géométriques. Exercice I. (4 pts) 2. On sait que =57 et =. Or, la somme des angles d'un triangle est égale à 180. Donc, = = =90. Le triangle est alors rectangle en.. On sait que est rectangle en, d'après la définition du cosinus d'un angle aigu, on a : cos = coté adjacent à donc cos57 = d'où = 6 cos 57. hypoténuse 6 l'aide de la calculatrice on obtient : =, cm. Exercice II. (4 pts) 1. On sait que H est rectangle en H, d'après la définition du cosinus d'un angle aigu, on a : cos H= coté adjacent à donc cos H = 6 hypoténuse 9. l'aide de la calculatrice on obtient : H = On sait que H est rectangle en, d'après la définition de la tangente d'un angle aigu, on a : cos H= coté opposé à H donc cos 40 = H d'où H = 6 cos 40. l'aide de la calculatrice : H = 5,0 cm. coté adjacent à H 6 Exercice III. (4 pts) 1. R = 6 14 = P et 7 = 7,5 17,5 = 15 5 = 7 On sait maintenant que R = P et que les points R,, et P,, sont alignés dans le même ordre. D'après la réciproque du théorème de Thalès, on en déduit que (PR) // (). 2.On sait que PR et forment une configuration de Thalès où () // (PR). D'après le Théorème de Thalès, on a : R = P = PR donc 6 14 = 7,5 17,5 = PR 21. On en déduit que : PR = = 9. Donc, La longueur PR est de 9 cm.

8 Problèmes. (12 pts) 1. Figure. 2. a. On sait que D est un carré de centre O. Or, les diagonales d'un carré ont la même longueur se coupent en leur milieu et perpendiculairement. Donc, O = O et (O) (O). Le triangle O est rectangle isocèle. b.. On sait que O est rectangle et isocèle en O. D'après le théorème de Pythagore, on a : ² = O² + O² Donc ² = 27² + 27² = omme >0, on a = 1458 = 27 2 Donc, la longueur est de 27 2 mm.. a. alcul de l aire du carré D. (D)= ² = Donc, l'aire de D est de 1458 mm². b. alcul du volume V de la pyramide SD. V = aire de base hauteur = = Donc, le volume V de la pyramide SD est mm. D O 5,4 cm 4. On sait que OS est rectangle en O. D'après le théorème de Pythagore, on a : S² = O² + SO² Donc S² = 27² + 120² = omme S>0, on a = = 12. Donc la longueur S est de 12 mm. 5. a. Les droites (O) et (O ) sont parallèles (car '''D' est une réduction de D) b. alcul du coefficient de réduction. K = S ' S = 1 2 ( car ' est le milieu de [S]) 6. alcul de V le volume de la pyramide S D. alculer V (on donnera la réponse en mm et en Litre). V' = k V = = Donc, le volume V' est mm soit 0,00729 L soit 0,729 cl 2 7. Tout le sable s écoule en 4 minutes. Il reste 1/8 du volume de sable dans la partie haute du sablier, donc 7/8 du volume du sable s'est écoulé, autrement 7/8 des 4 minutes s'est écoulé, c'est à dire min et 0 secondes.