Utilisation des éléments finis pour le pricing d'options

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Adam Laperrière
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1 1 Utilisation des éléments finis pour le pricing d'options Semaine «éléments finis», ENSMP 29 novembre 2006 Jean-Didier Garaud (ONERA, DMSE/LCME)

2 2 Plan Actions et produits dérivés Modèle de Black-Scholes Hypothèses & équations Calcul d'itō EDP de Black-Scholes Différentes méthodes de résolution Options «panier»

3 Sous-jacents Exemples de sous-jacents: Actions Obligations, PEL Indices (ex: CAC 40) Devises (ex: $ vs. ) 3

4 Sous-jacents 4 Exemples de sous-jacents: Actions Obligations, PEL Indices (ex: CAC 40) Devises (ex: $ vs. ) S(t) Temps (jours)

vs. ) 105 104.5 104 103.5 S(t) 103 102.5 102 101.

5 5 Modèle de Black-Scholes Modèle de Black-Scholes (1973) (prix Nobel en 97, avec Merton) S(t) 103 St valeur du sous-jacent dérive Temps (jours) volatilité Wt processus de Wiener (Brownien)

5 S(t) 103 St valeur du sous-jacent dérive 102.5 102 101.5 101 100.

6 Modèle de Black-Scholes Hypothèses du modèle : et µ connus et constants pas de frais d'achat / vente pas de dividendes arbitrage impossible 6

7 Produits dérivés Call européen droit d'acheter un sous-jacent à date T (maturité) au prix K (strike) Put européen droit de vendre un sous-jacent à date T au prix K 7

8 Produits dérivés Call européen protection contre montée de l'action transfert du risque pari sur une hausse perte limitée, gain illimité... 8

9 9 Objectif : déterminer la valeur d'une option

10 Valeur du produit dérivé Valeur : C(t, T, St, K) 10

11 11 Valeur d'un call Valeur : C(t, T, St, K) À maturité : C(t=T) = (ST K)+ Payoff d'un call (en T) C 60 Call S

d'un call (en T) 100 90 80 70 C 60 Call 50

12 12 Valeur d'un put Valeur : P(t, T, St, K) À maturité : P(t=T) = (K ST)+ Payoff d'un put (en T) P 60 Put S

d'un put (en T) 100 90 80 70 P 60 Put 50

13 Produits dérivés Variantes : binaires, et autres payoffs barrières américaines asiatiques paniers... 13

14 Valeur du produit dérivé Valeur : C(t, T, St, K) À maturité : C(t=T) = (ST K)+ Problème : valeur aujourd'hui? 14

15 Valeur du produit dérivé Valeur : C(t, T, St, K) À maturité : C(t=T) = (ST K)+ Problème : valeur aujourd'hui? 15

16 Valeur du produit dérivé Valeur : C(t, T, St, K) À maturité : C(t=T) = (ST K)+ Problème : valeur aujourd'hui? 16

17 17 Encadrements du call C BorneSup Call BorneInf S

18 18 Put européen 1D Put européen P S

19 Obtention de l'edp de Black-Scholes Calcul d'itō 19

20 Obtention de l'edp de Black-Scholes Stochastique Calcul d'itō Déterministe 20

21 De Black-Scholes à l'équation de la chaleur 21

22 De Black-Scholes à l'équation de la chaleur Equation de la chaleur Existence et unicité d'une solution Régularité de la solution 22

23 Différentes méthodes de résolution Solution analytique 23 rapide exacte pas adaptée aux variantes

24 Différentes méthodes de résolution Solution analytique Monte-Carlo 24 facile à mettre en oeuvre adaptable : si non constants si dividendes convergence en lourd sur options américaines

25 Différentes méthodes de résolution Solution analytique Monte-Carlo Différences finies 25 bon taux de convergence adaptable aux variantes maillage régulier problème du domaine infini (en S) conditions au bord

26 Différentes méthodes de résolution Solution analytique Monte-Carlo Différences finies Éléments finis 26 bon taux de convergence adaptable aux variantes erreur a posteriori maillage adapté problème du domaine infini (en S) conditions au bord intégration temporelle CFL

27 Problème du domaine infini Problème du domaine infini (en S) Quelle condition en Smax? 27

28 Conditions au bord pour un put 0 = St Aujourd'hui Payoff S max 28

29 29 Résolution par éléments finis Maillage adapté C 70 Call S

30 30 Résolution par éléments finis Maillage adapté C 70 Call S

31 31 Résolution par éléments finis Maillage adapté C 70 Call S

32 Options panier Plusieurs sous-jacents : S1,... SN Payoff : Valeur : Système d'ed stochastiques : EDP 32

33 33 Options panier Exemple sur un put éléments

34 34 Options panier Exemple sur un put éléments

35 35 Options panier éléments

36 Références 36 Computational Methods for Option Pricing, O. Pironneau et Y. Achdou (2005) Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance D. Lamberton et B. Lapeyre (1997) The mathematics of financial derivatives, P. Wilmott, CUP (1995) EDP et méthodes numériques en finance, cours du DEA ANEDP, H. Berestycki et O. Pironneau

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