I- LE RADIAN. Activité d introduction : enroulement de la droite numérique sur le cercle trigo.

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1 Activité d introduction : enroulement de la droite numérique sur le cercle trigo. I- LE RADIAN Le radian est, comme le degré ou le grade, une unité de mesure d angles. Sur un cercle de centre O, l angle au centre a pour mesure 1 radian si la longueur de l arc AB est égale au rayon du cercle. Et sur un autre cercle concentrique de rayon R, si l angle mesure 1 radian, alors l arc A B a pour longueur R. Définition : soit A et M deux points d un cercle de centre O et de rayon r. Soit l un réel désignant la longueur de l arc AM. La mesure en radians de l angle est le réel. Il y a évidemment proportionnalité entre les mesures en radians et les mesures en degrés. Le tableau de proportionnalité ci-dessous permet de convertir un angle de x degrés en un angle de radians (ou inversement). Exemple : Tableau de conversion : 1

2 Applications éventuelles : fiches Euler 986 & 987. II- ANGLES ORIENTÉS 1) Définitions Définition 1 : sur un cercle, on appelle sens direct, sens positif ou sens trigonométrique le sens contraire des aiguilles d une montre. Définition 2 : la donnée de deux vecteurs non nuls détermine un angle orienté. Si et sont deux vecteurs non nuls, ils déterminent un angle orienté noté,. Remarque : il faut bien faire attention à l ordre dans lequel on cite les vecteurs. En effet,,,. 2) Mesures des angles orientés de vecteurs unitaires Etant donné un angle orienté de vecteurs unitaires, : on place les points A et B sur le cercle de centre O et de rayon 1. On appelle mesure de, tout nombre réel ayant : o Pour valeur absolue, la longueur de fil enroulée sur le cercle de A à B. o Pour signe, le signe «+» quand l enroulement s est fait dans le sens direct et le signe «-» quand cet enroulement s est fait dans l autre sens. 2

3 Théorème (admis) : si est une mesure en radians d un angle orienté,, toutes ses autres mesures sont de la forme 2 avec. Exemple : soit un angle, tel que,. Toutes les mesures de cet angle sont de la forme 2 (avec ). Par exemple, si k = 1, 2 3) Mesure principale d un angle orienté Parmi toutes les mesures d un angle orienté,, une et une seule appartient à l intervalle,. C est cette mesure que l on appelle la mesure principale de l angle,. (Celle qui correspond à l enroulement le plus court du fil sur le cercle.) Exemple : III- CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE Définition 1 : on dit que ;, est un repère orthonormal direct si : 1 et,. Définition 2 : dans le plan muni d un repère orthonormal ;, et orienté dans le sens direct, le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1. IV- COSINUS ET SINUS 1) Définition Définition : le plan est muni d un repère orthonormal direct ;,. Soit C le cercle trigonométrique de centre O et M le point de C tel que,. L abscisse de M est le cosinus de x, noté cos x. L ordonnée de M est le sinus de x, noté sin x. 3

4 Remarques : o On peut ainsi écrire : cos ; sin. o 2,4,6,2,,2 sont aussi des mesures en radian de l angle x. Exemples : fiches Euler 991, 992 2) Signes Soit ;, un repère orthonormal direct et C le cercle trigonométrique de centre O. Exemples : fiches Euler 993, 994 3) Propriétés Propriétés (admises) : pour tout nous avons, o 1 cos 1 o 1 sin 1 o cos sin 1 Exemple : 6, cos 6 sin 6 1 4

5 4) Valeurs remarquables A concevoir avec les élèves (voir astuce Anne), rajouter ligne tangente. A positionner sur le cercle en application. 5) Propriétés de symétrie Soit ;, un repère orthonormal direct et C le cercle trigonométrique de centre O. Propriétés (admises) : pour tout réel x, on a : Exemples : cos 6 cos cos 4 3 cos 3 cos sin 3 4 sin 4 sin

6 V- FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 1) Fonction cosinus On appelle fonction cosinus la fonction f définie sur par cos. Périodicité : 2π est la + petite valeur > 0 tq sinon pas période! Parité : Pour tout x de, cos cos et (intervalle de définition) centré sur 0, donc la fonction cosinus est paire (sa courbe représentative dans un repère orthonormal direct est donc symétrique par rapport à l axe des ordonnées). Dérivée : La fonction f définie sur par cos est dérivable sur et sa dérivée est : sin. Sens de variation sur l intervalle ]-π ; +π[ : Tableau de variation : x 0 cos x 6

7 Représentation graphique : Ci-dessous, dans le plan muni d un repère orthonormal ;,, la courbe représentative de la fonction f définie sur par cos. 2) Fonction sinus On appelle fonction sinus la fonction f définie sur par sin. Périodicité : Parité : Pour tout x de, sin sin, donc la fonction sinus est impaire (sa courbe représentative dans un repère orthogonal est donc symétrique par rapport à l origine). Dérivée : La fonction f définie sur par sin est dérivable sur et sa dérivée est : cos. Sens de variation sur l intervalle ]-π ; +π[ : 7

8 Tableau de variation : Représentation graphique : Ci-dessous, dans le plan muni d un repère orthonormal ;,, la courbe représentative de la fonction f définie sur par sin. VI- EQUATIONS TRIGONOMETRIQUES 1) Equations du type cos x = Soit l équation cos, où est un réel. 8

9 Exemple : résoudre sur 2 ; 2 l équation : cos On sait que cos, donc les solutions de l équation sont de la forme : C est-à-dire : ; ; ; ou ; ; ; 5 3 ; 3 ; 3 ; 5 3 Remarque : attention à l intervalle dans lequel in cherche les solutions! 2) Equations du type sin x = Soit l équation sin, où est un réel. Exemple : résoudre sur 0 ; 2 l équation : sin On sait que sin, donc les solutions de l équation sont de la forme : C est-à-dire : ; ; ; ou ; ; 2 ; 6 ; 5 6 Applications : exercices 45 à 50 p. 77 et 78 9