x(a + b) = 2 Pythagore et Thalès

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1 Pythagore et Thalès Exercice 1 : On a découpé 4 exemplaires de la figure 0 pour les assembler et obtenir la figure 1. La mesure de l aire de la figure 1 est celle d un carré dont le côté a pour mesure de longueur c. Elle vaut c² La mesure de l aire de la figure est la somme des mesures d aires de deux rectangles de dimensions a et b et d un carré dont le côté a pour mesure de longueur est b-a. La mesure d aire de la figure est donc égale à : x ab + (a-b) ² = ab + a² - ab + b² = b² + a² Comme les figures 1 et sont composées des mêmes figures, elles ont donc la même aire. On en déduit que b² + a² = c² Exercice : Les triangles rectangles BAE et EDC sont isométriques car ils possèdent tous deux un angle droit compris entre deux côtés de même longueur. Ainsi AEB = ECD et ABE = DEC Par ailleurs, dans un triangle rectangle, la somme des deux angles aigus vaut 90. Donc ABE + AEB = DEC + AEB = 90. On en déduit que : BEC = 180 (DEC + AEB) = 90. Il résulte de l isométrie des triangles rectangles précédents que BE = EC = c. Le triangle BEC est donc rectangle isocèle. ) On calcule l aire A du trapèze ABCD. Premier calcul en appliquant la formule de l'aire du trapèze : produit de la demi - somme des bases par la hauteur Soit: A = a + b (a + b) x(a + b) = Deuxième calcul en considérant le trapèze ABCD comme l'assemblage de trois triangles rectangles ABE, BEC et EDC.

2 Ainsi A = ABxAE + BExCE + DExDC A = ab + c + ab = c + ab 3) Il en résulte l égalité : (a + b) = c + ab ou encore a + b + ab = c + ab D'où en simplifiant a + b = c On retrouve ainsi le théorème de Pythagore dans un triangle rectangle dont les côtés de l angle droit ont pour mesure a et b et dont l hypoténuse a pour mesure c. Exercice 3 : cet exercice est identique au précédent Soit a la mesure en m du segment [HM]. La mesure en m du segment [MK] est 5-a puisque MK= HK HM Le triangle AHM est rectangle en A.d après le théorème de Pythagore : (AH) ² + (HM) ² = AM² soit 9 + a² =L² (1) Le triangle BKM est rectangle en B. D après le théorème de Pythagore : (MK) ² + (BK) ² =BM² Soit (5-a)² + 16 = L² () En utilisant les égalités (1) et (), on peut écrire : (5-a)² + 16 = 9 + a² soit 5-10a + a² +16 = 9 + a² et donc 10a =3 soit a = 3, En remplaçant a par sa valeur dans l égalité (1) on obtient : L² = 19,4 soit L 4,39. Les deux échelles doivent donc avoir pour longueur 4,39m. Exercice 5 : a) soit h la mesure de la longueur commune des segments [AH] et [BH].Le triangle AHB est rectangle en H : d après le théorème de Pythagore, AB² = AH² +BH² soit h² = 36 d où h² = 18. Soit k la mesure de la longueur du segment [HC]. Le triangle BHC est rectangle en H : d après le théorème de Pythagore, CB² = CH² +BH² soit h² + k² = 64 soit en remplaçant h² par 18 : 18 + k² = 64 donc k² = 46.Comme les points A, H, et C sont alignés, on peut écrire que AC= AH + HC soit AC = h + k et donc AC = d où AC 11. La longueur du segment [AC] est donc 11cm à 0,1 près par défaut. b) On trace un segment [AC] de longueur 11cm.Puis on trace un arc de cercle de centre A et de rayon 6cm et un arc de cercle de centre C et de rayon 8cm.L intersection des deux arcs de cercles est le point B. On trace pour finir la hauteur [AH] issue de A. Exercice 6 : On peut calculer la largeur de la boîte puis qu elle vaut 4 fois le rayon de cercle qui représente la tartelette. Elle est donc égale à 0 cm. Soit ABCD, le rectangle obtenu en joignant les centres des cercles qui représentent les tartelettes. La largeur BC du rectangle est égale à deux fois le rayon du cercle qui représente la tartelette. La longueur de la diagonale vaut 4 fois le rayon du cercle soit 0 cm. Appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ABC : AC²= BC² + AB²

3 C Soit 0² = 10² + AB² => AB² = 0² - 10² = = 300 On peut alors en déduire que AB = x 10cm et que la longueur de la boîte est égale à 10cm + AB = 10cm + 10 cm =,3cm à 0,00cm près. Autour du théorème de Thalès Exercice 1: On sait que (DE) est parallèle à (FG) et que : FC = 1 ; DF = 5 ; EG = 9,1 C, D, F et C, E, G sont alignés dans cet ordre et (DE) est parallèle à (FG) donc d après le théorème de Thalès : CE CG = CD CF = DE FG Donc CE - Donc 1 CE = 1 x 9,1 donc CE CG = CE = 1 x 9,1 et CE = x 9,1 = 1,4 5 et CG = CE + 9,1 donc CE= ( CE + 9,1) 1 Exercice : On sait que les droites (KE) et (FG) sont parallèles et que KA = 3 ; EA = ; AG = 5 K, A, G et E, A, F sont alignés dans cet ordre et (KE) est parallèle à (FG) donc d après le théorème de Thalès : AE AF = AK AG = KE FG donc 3 5 = AF donc AF = x5 3 = 35 3 et EF = AE + AF = 56 3 Exercice 3 : ABCD est un carré dont la mesure de la longueur du côté est 10, donc on sait que les droites (AD) et (BC) sont parallèles et donc que (BF) et (AE) sont parallèles. A, B, G et E, F, G sont alignés dans cet ordre donc d après le théorème de Thalès : On sait que BG = ED = 3 donc 3 13 = BF BG AG = GF FE = BF AE. doncbf = 1 13 (ED) et (CB) sont parallèles et B, A, E et C, A, D sont alignés dans cet ordre donc d après le AC théorème de Thalès : AD = AE AB = ED BC. AE = ; AC = 15 ; AB = 1 ; BC = 18. Donc 1 = ED 15 AD = 1 donced = x18 1 donc AD = 15x1 = 180 donc ED = 1

4 Autres Théorèmes (divers) Exercice 1 D après le théorème de la droite des milieux appliqué : au triangle ABD : (MQ) // (BD) au triangle CBD : (NP) // (BD) au triangle BAC : (MN) // (AC) au triangle DAC : (QP) // (AC) De (MQ) // (BD) et (NP) // (BD) on déduit (MQ) // (NP). De (MN) // (AC) et (QP) // (AC) on déduit (MN) // (QP). Ayant ses côtés parallèles deux à deux, le quadrilatère MNPQ est un parallélogramme. N Exercice : 1) Dans le triangle ABD,C est le milieu de [AB] et G est le milieu de [AD].D après la réciproque du théorème de la droite des milieux, (C G) est parallèle à (BD) or (CC ) et (C G) sont confondues donc (CC ) est parallèle à (BD). De même, dans le triangle ACD, B est le milieu de [AC] et G est le milieu de [AD].D après la réciproque du théorème de la droite des milieux, (B G) est parallèle à (CD) or (BB ) et (B G) sont confondues donc (BB ) est parallèle à (CD). ) BCDG est un quadrilatère dont les côtés opposés sont deux à deux parallèles car(cc ) est parallèle à (BD) et (CC ) et (CG) sont confondues donc (CG) est parallèle à (BD) et (BB ) est parallèle à (CD) or (BB ) et (BG) sont confondues donc (BG) est parallèle à (CD). 3) Puisque BCGD est un parallélogramme, ses diagonales se coupent en leur milieu :A.A appartient donc au segment [GD] et donc puisque A, G et D sont alignés, G appartient à (AA ) la troisième médiane. B M A Q C P D 4) G est le milieu de [AD] donc AG = et AD = AA + A D car A appartient à [GD] donc à [AD]. Or A est le milieu de [GD] donc A D= = donc AA = AD A D = AG - donc AA = d où AG = Exercice 3 : ) H est le point d intersection des hauteurs du triangle ABC donc (AH) est perpendiculaire à (BC) et coupe (BC) en K.Le triangle ABK est donc rectangle en K.K appartient donc au cercle de diamètre [AB]. De même (BH) est perpendiculaire à (AC) et coupe (AC) en L.Le triangle ABL est donc rectangle en L.L appartient donc au cercle de diamètre [AB]. 1) C est un point du cercle de diamètre [AA ] donc le triangle AA C est rectangle en C donc (AC ) et (A C ) sont perpendiculaires ;de même B est un point du cercle de diamètre [AA ] donc le triangle AA B est rectangle en B donc (AB ) et (A B ) sont perpendiculaires. Puisque le triangle ABC est rectangle en a et que B appartient à (AC) et C à (AB), les droites (AB ) et (AC ) sont perpendiculaires.le quadrilatère AB A C a donc au moins 3 angles droits donc c est un rectangle.

5 ) De plus puisque A est le milieu de [BC] et que les côtés [A C ] et [AC] sont parallèles dans le triangle ABC, on peut dire que C est le milieu de [AB].De même on montre que B est le milieu de [AC] donc la droite (B C ) est parallèle à la droite (BC).