Novembre 2008 Nouvelle Calédonie

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1 Novembre 2 Nouvelle Calédonie Pondichéry Avril 2 Centres étrangers Juin 2 Amérique du nord juin 2 Inde Pondichéry avril 2ds vos annales p 6) Sujets : Novembre 2 Nouvelle Calédonie PARTIE A On considère la fonction f définie sur l intervalle ; + par = 2+.. Déterminer les limites de la fonction f en et en Étudier le sens de variation de la fonction f puis dresser son tableau de variations. 3. Montrer que l équation fx) = admet une unique solution α dans l intervalle; + Donner un encadrement du nombre à 2 près. PARTIE B Le plan est muni d un repère orthonormal ; ;. On considère sur le graphique ci-dessous, la courbe représentative C de la fonction, ainsi que la droite D d équation = 2. On note E le point d intersection de la courbe C et de la droite D. On considère l aire en unités d aire, notée A, de la partie du plan située au dessus de l axe des abscisses et au dessous de la courbe C et de la droite D.. Déterminer les coordonnées du point E. 2. Soit =. a. Donner une interprétation géométrique de I. b. Calculer I, en fonction de, à l aide d une intégration par parties. c. Montrer que I peut aussi s écrire = ²++ sachant que =. 3. Calculer l aire A en fonction de. D 3 2 C Pondichéry Avril 2 Partie A : Restitution organisée de connaissances Soient et deux réels tels que < et et! deux fonctions continues sur l intervalle ;. On suppose connu les résultats suivants : # $ %+! %&% =# %% +#! %% si pour tout % ;, % alors # %%

2 Montrer que si pour tout % ;, %! % alors %% Partie B : Soit un entier naturel non nul.! %% On appelle 6 la fonction définie sur ; + par 6 =ln + 6 et on pose 6 = ln + 6. On note 9 6 la courbe représentative de 6 dans un repère orthonormal ; ;..a. Déterminer la limite de en +.b. Etudier les variations de sur ; +..c. A l aide d une intégration par parties, calculer et interpréter graphiquement le résultat. pour le calcul de, on pourra utiliser le résultat suivant : pour tout ;, on a : :; = :;. 2.a. Montrer que pour tout entier naturel non nul, on a : b. Etudier les variations de la suite 6 2.c. En déduire que la suite 6 est convergente. 3. Soit! la fonction définie sur ; + par! =ln +. 3.a. Etudier le sens de variation de la fonction! sur ; +. 3.b. En déduire le signe de! sur ; +. Montrer alors que pour tout entier naturel non nul, et pour tout réel positif, on a : ln c. En déduire la limite de la suite 6. Centres étrangers Juin 2 x Soient f et g les fonctions définies sur l ensemble R des nombres réels par : f x ) = xe 2 x et g x ) = x e. Les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère orthogonal O ; i, j) sont respectivement notées C) et C ). leur tracé est donné ci-dessous.. Étude des fonctions f et g a. Déterminer les limites des fonctions f et g en. b. Justifier le fait que fonctions f et g ont pour limite en +. c. Étudier le sens de variations de chacune des fonctions f et g et dresser leurs tableaux de variations respectifs. 2. Calcul d intégrales Pour tout entier naturel n, on définit l intégrale I n par : x I e dx = et, si n >, n x n =. I x e dx a. Calculer la valeur exacte de I. b. À l aide d une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel n : In+ = + n + ) I. n c. En déduire la valeur exacte de I, puis celle de I Calcul d une aire plane a. Étudier la position relative des courbes C) et C ). b. On désigne par A l aire, exprimée en unité d aire, de la partie du plan comprise d une part entre les courbes C) et C ), d autre part entre les droites d équations respectives x = et x =. En exprimant A comme différence de deux aires que l on précisera, démontrer l égalité : A = 3 e. 4. Étude de l égalité de deux aires Soit a un réel strictement supérieur à. On désigne par S a ) l aire, exprimée en unité d aire, de la partie du plan comprise d une part entre les courbes C) et C ), d autre part entre les droites d équations respectives x = et x = a. a 2 On admet que a ) S a = 3 e a + a +. S s exprime par : ) ) L objectif de cette question est de prouver qu il existe une et une seule valeur de a pour laquelle les aires A et S a ) sont égales. a 2 a. Démontrer que l équation S a ) = A est équivalente à l équation : e = a + a +.

3 b. Dans cette question, toute trace d argumentation, même incomplète, ou d initiative,même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Conclure, quant à l existence et l unicité du réel a, solution du problème posé. Amérique du nord juin 2 On considère les suites x n ) et y n ) définies pour tout entier naturel n non nul par : 6 = % 6 <=>% % et n y = t sin tdt. n. a. Montrer que la suite ) n x est à termes positifs. b. Étudier les variations de la suite ) n x. c. Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite ) n 2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, x n x? n +. b. En déduire la limite de la suite x n ). 3. a. À l aide d une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, xn+ = n + ) yn + sin ). b. En déduire que lim y n + n =. 4. On admet que, pour tout entier naturel n non nul, yn n ) xn cos ) Déterminer lim nx et lim ny. n + n n + n + = +. Inde Pondichéry Avril 2 Partie I : Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormal, les courbes C et C 2 représentatives de deux fonctions f et f 2 définies sur l intervalle ; On sait que : l axe des ordonnées est asymptote aux courbes C et C 2 ; l axe des abscisses est asymptote à la courbe C 2 ; la fonction f 2 est continue et strictement décroissante sur l intervalle ; ; la fonction f est continue et strictement croissante sur l intervalle ; ; la limite quand x tend vers de est.

4 Pour chacune des quatre questions de cette partie, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie la réponse choisie. Aucune justification n est demandée. Chaque réponse juste rapporte,5 point. Une réponse fausse ou l absence de réponse n est pas sanctionnée.. La limite quand x tend vers de? est : a) b) + c) on ne peut pas conclure 2. La limite quand x tend vers de? est : a) b),2 c) on ne peut pas conclure 3. En, C admet une asymptote oblique : a) oui b) non c) on ne peut pas conclure 4. Le tableau de signes de? est :? +?? + Partie II On considère la fonction f définie sur l intervalle ; par ln :.. Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition. 2. Étudier les variations de la fonction f sur l intervalle ;. 3. En déduire le signe de lorsque x décrit l intervalle ;. 4. Montrer que la fonction F définie sur ; AA.CDACDA est une primitive de la fonction f sur cet intervalle. 5. Démontrer que la fonction F est strictement croissante sur l intervalle ;. 6. Montrer que l équation E admet une unique solution dans l intervalle ; qu on note. F 7. Donner un encadrement de α d amplitude G. Partie III Soit g et h les fonctions définies sur ] ;+ [par:! et H ln : Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormal, les courbes Cg et Ch représentatives des fonctions g et h.. A est le point d intersection de la courbe Ch et de l axe des abscisses. Déterminer les coordonnées du point A. 2. P est le point d intersection des courbes Cg et Ch. Justifier que les coordonnées du point P sont ; ). 3. On note A l aire du domaine délimité par les courbes Cg, Ch et les droites d équations x = /e et x = domaine noir sur le graphique). a. Exprimer l aire A à l aide de la fonction f définie dans la partie II. b. Montrer que F. 4. Soit t un nombre réel de l intervalle ;. On note I J l aire du domaine délimité par les droites d équations respectives x =, x = t et les courbes Cg et Ch domaine grisé sur le graphique). On souhaite déterminer une valeur de t telle que I J a. Montrer que I J % % %. b. Conclure.

5 Corrigés : Novembre 2 Nouvelle Calédonie On considère la fonction f définie sur l intervalle ; par 2. limite en : KL : :N KL 22 O KL 2,K>K KL : : : :N :N Limite en + KL KL 22 R KL 2,K>K KL 2 Variations de la fonction : Dérivée : est dérivable sur ; comme somme de fonctions dérivables sur ; Pour tout de ;, on a : S : Signe de la dérivée : Pour tout de ;,on a : T : T : TT S T Tableau de variations de la fonction α + S + 3 Equation D après son tableau de variations, la fonction est continue car dérivable) et strictement croissante sur ;, donc est une bijection de ; sur son image ; De plus ;, donc l équation admet une unique solution dans ;, on la note α.,55 α,56,945,469 Partie B : Point d intersection de 9 et Y D où,55 ;,56 à G? près.

6 Z ; 9 Y ] 2 ]2 ] 2 2 ^ 2 d où b ;2 2 a) La fonction est positive sur ; donc I représente «l aire sous la courbe» limitée par les droites d équation,, et par l axe des abscisses et 9 c6. b) On pose ] d e S on en déduit f ds : e c) Les fonctions d,e sont dérivables sur ; d S,e sont continues sur ; #. #..... d) 2 2 D où :. 22²². e) Position de C et D : On observe et on le prouve en annexe ) sur la figure que C et D coupent l axe des abscisses respectivement en et 2, et se coupent au point d abscisse α C est en en-dessous de D sur ; D est en-dessous de C sur ; D où? g 2h2 ²i? ²22?? ²3 ² d..? Annexe : Pour tout de ;, ona : 2 D après le tableau de variation, complété avec α solution de, on a : α + + Donc 9 c6 est en dessous de D sur ;α et D est en dessous de 9 c6 sur α ; De plus ln 2 sur ; donc sur ; et 22 sur ;2 donc sur ;2 Pondichéry Avril 2 Ex III : Partie A : Pour tout % de ; %5! %! % %2! %2 #! %% 2 Fl mnno n=>k%kek%é o S K%é!mo >dm d K%omeo $! % %&% 2 #! %% # %% 2 2 èsf mnno KémK%é o S K%é!mo # %% 5#! %% Partie B :. Etude de la fonction définie par 6 ln sur.a. Limite en KL o% KL t ;Q.b. Dérivée : S Pour tout de, on a Signe de la dérivée et variations u KL K>K KL :; il n y a jamais d équivalence quand vous passez des fonctions aux intégrales : Travaillez par implication!

7 Pour tout de +, + +> :; > S > Ainsi la fonction est strictement croissante sur +..c. Calcul de à l aide d une intégration par parties = = ln + On pose d =ln + e S = On en déduit d S = et on choisit e = ;: Les fonctions d et e sont dérivables sur ;, les fonctions d et e sont continues sur ; D où : = =# ln + = ln + # + =2 # w + x =2 ln + =2 2 = +22 Interprétation : la fonction étant positive sur ;, cette intégrale représente l aire du domaine limité par les droites d équation =,=, l axe des abscisses et la courbe 9 yz. Cette aire est = +22 d.. Pensez à faire référence au signe de la fonction sur l intervalle avant de dire que l intégrale représente l aire de!

8 2.a. Encadrement de 6 : 6 = ln + 6 avec * Soit un entier naturel non nul. Pour tout de ; : ln Par positivité de l intégrale sur l intervalle [ ; ] et par intégration de cette inégalité sur l intervalle [ ; ] # ln + 6 # Remarque : on pouvait aussi utiliser l inégalité de la moyenne sur [ ; ] ln ln b. sens de variation de la suite 6 Pour tout de * : 6; 6 =# ln + 6; # ln + 6 =# ln + 6; ln + 6 Signe de cette intégrale : Pour tout de ; 6; 6 + 6; + 6 ln + 6; ln + 6 ln + 6; ln + 6 D où par «négativité» de l intégrale sur l intervalle ; : # ln + 6; ln + 6 6; 6 Ainsi la suite 6 est décroissante. 2.c. La suite 6 est décroissante cf 2.b.) et minorée par cf 2.a.) donc elle converge. 3. Soit! la fonction définie sur ; + par! =ln +. 3.a. Dérivée : Pour tout de ;+ :! S = ;: = G: ;: Signe de la dérivée et variation de! Pour tout de ;+ : ^ +>> G: ;:!S De plus! S = G: = = = ;: Ainsi la fonction! est strictement décroissante sur ; + 3.b. La fonction! est strictement décroissante sur ; + et! = donc, pour tout de ; +, on a :!. Pour tout entier naturel non nul, et pour tout réel positif, on a : 6 réel positif, donc! 6 donc ln ainsi, pour tout entier naturel non nul, et pour tout réel positif, on a : ln c. limite de 6 Soit un entier naturel non nul Pour tout de ;, on a : ln par intégration de cette inégalité sur l intervalle [ ; ] # ln + 6 # 6 6 { + 6; 6 + De plus d après 2 a : 6, on a alors : pour tout de * 6 KL 6 ;Q6; = donc d après le théorème des gendarmes, on a : KL 6 ;Q 6 = 6; il n y a jamais d équivalence quand vous passez des fonctions aux intégrales : Pour tout % de ; %! % Donc par intégration de l inégalité sur ; # %% #! %%

9 Ainsi la suite 6 converge vers. Avec votre calculatrice, en observant les courbes des fonctions,?, } sur [ ;], vous pouviez vous rendre compte que l aire entre la courbe et l axe des abscisses diminuait, donc que la suite 6 était décroissante. Centres étrangers Juin 2 x f x ) = xe 2 x et g x ) = x e. Étude des fonctions f et g a. Déterminer les limites des fonctions f et g en. lim : GQ lim : GQ o% lim t ;Q ot o G: R lim : GQ og: lim : GQ lim ² : GQ lim : GQ o% lim t ;Q ot o G: R lim : GQ? o G: lim : GQ! b. Justifier le fait que fonctions f et g ont pour limite en +. o G: o :vo o : lim 99=Lnméo lim lim o :! ²o G: ² o :vo o : ² lim 99=Lnméo lim lim ² o: o :vo lim ² o :vo lim! c. Étudier le sens de variations de chacune des fonctions f et g et dresser leurs tableaux de variations respectifs. Dérivées : Pour tout de S vo G: o G: vo G:

10 ! S =2 o G: + o G:? = 2? o G: = 2 o G: Signe des dérivées : + + o G: o G: + +! + La fonction est strictement croissante sur ; et strictement décroissante sur ; + La fonction! est strictement décroissante sur ;, strictement croissante sur ;2 et strictement décroissante sur 2 ; + Tableau de variations ! + + F! 2a. Calculer la valeur exacte de I. =# o G: = o G: = o +o =o 2b Relation entre D et D; 6; =# 6; o G: On pose d = 6; e S =o G: On a : d S = + 6 et on choisit e = o G: Les fonctions d et e sont dérivables sur ; Les fonctions d et e sont continues sur ; 6; =# 6; o G: = 6; o G: # + 6 o G:

11 = + +# 6 o G: = Calcul de? : = + = =o 2? = +2 = =2o 5 3. Calcul d une aire plane a. Étudier la position relative des courbes C) et C ). Pour tout de! =o G:? o G: =o G:? = o G: Tableau de signe 9 y et 9 ƒ se coupent aux points d abscisse et 9 y est au-dessus de 9 ƒ sur ] ;[ 9 y est en dessous de 9 ƒ sur ] ;[ ] ; + [ b. On désigne par A l aire, exprimée en unité d aire, de la partie du plan comprise d une part entre les courbes C) et C ), d autre part entre les droites d équations respectives x = et x =. En exprimant A comme différence de deux aires que l on précisera, démontrer l égalité : A = 3 e. La courbe 9 est au dessus ou au contact de la courbe 9 sur [ ; ] Donc l aire A= $! & =! =? = o 2 2o 5=3 o 4. Étude de l égalité de deux aires Soit a un réel strictement supérieur à. On désigne par S a ) l aire, exprimée en unité d aire, de la partie du plan comprise d une part entre les courbes C) et C ), d autre part entre les droites d équations respectives x = et x = a. On admet que a ) a 2 S s exprime par : a ) = 3 e a + a + ) S. L objectif de cette question est de prouver qu il existe une et une seule valeur de a pour laquelle les aires A et S a ) sont égales. a. Démontrer que l équation S a ) = A est équivalente à l équation : a 2 e = a + a +. b. Dans cette question, toute trace d argumentation, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Conclure, quant à l existence et l unicité du réel a, solution du problème posé. 4a : condition d égalité des aires : =g 3 o G? ++=3 o o G? ++=o o o? ++=o? ++ o =? ++=o

12 4b : Existence et unicité du réel a, solution du problème posé tel que =g Graphiquement : une unique valeur de Calculatrice : Observez la table des fonctions : =g quand ˆ, Algébriquement : g solution de l équation H avec H o :? On cherche à mettre en œuvre le théorème de la bijection : Pour tout de ; H o :? H S o : 2 H SS o : 2 Signe de H : H SS o : 2 o : ; H H H H S o3, donc d après le th de la bijection, il existe une unique valeur telle que H S, ce qui permet de connaître le signe de H, et donc de déduire les variations de H Variation de H : H H H H H o3 H o? 2?? T? T? H à nouveau, d après le th de la bijection, il existe une unique valeur telle que H, ainsi il existe une unique valeur de telle que les deux aires soient égales.

13 Amérique du nord juin 2 Corrigé : 6 = % 6 <=>% % a : pour tout de * pour tout % de ;, on a % o% <=>%> donc % 6 <=>% donc par positivité de l intégrale, on a : % 6 <=>% % ainsi pour tout de *, on a 6, c est-à-dire la suite 6 est à termes positifs. b : variation pour tout de * 6; 6 =# % 6; <=>% % =# % 6; % 6 <=>% % =# % 6 % <=>% % # % 6 <=>% % pour tout % de ;, on a :% 6, % o% <=>%> donc % 6 % <=>% donc % 6 % <=>% % ainsi pour tout de *, on a 6; 6, la suite 6 est décroissante. c : la suite 6 est décroissante cfb) et minorée par cfa), donc convergente. 2a : soit * pour tout % de ;, on a <=>% % 6 <=>% % 6 car % 6 Par intégration de l inégalité sur ;, on obtient : # % 6 <=>% % # % 6 % 6 { %6; 2b : on a 6, 6 6; de plus KL 6 ;Q+ = donc d après le théorème des gendarmes, KL 6 = 6 ;Q la suite 6 converge vers. 3a : intégration par parties 6; =# % 6; <=>% % On remarque que ; h ;? i Donc <=>% sur ;

14 On pose d %=% 6; e S %=<=>% On en déduit d %= +% 6 et on choisit : e %=>K% Les fonctions d et e sont dérivables sur ;, les fonctions d et e sont continues sur ; 6; =# % 6; <=>% % =% 6; >K% # +% 6 >K% % =>K +# % 6 >K% % =>K + 6 3b limite de Ž D On a : 6; =>K = + sin 6; Calcul de la limite : KL 6 = KL sin 6;=sin 6 ;Q 6 ;Q KL 6 ;Q+ = S =ù KL 6 ;Q+ sin 6= K>K KL 6 = 6 ;Q 4 : On admet : 6; = + 6 cos Donc 6 = 6; 6 +cos =m KL 6 = o% KL 6 = 6 ;Q 6 ;Q =< KL 6 =cos 6 ;Q De même : 6; = + 6 +sin Donc 6 = 6; 6 +>K =m KL 6 = o% KL 6 = 6 ;Q 6 ;Q =< KL 6 =>K 6 ;Q Inde Pondichéry 2 Pour chacune des quatre questions de cette partie, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie la réponse choisie. Aucune justification n est demandée. Chaque réponse juste rapporte,5 point. Une réponse fausse ou l absence de réponse n est pas sanctionnée.. La limite quand x tend vers de? est : b) + 2. La limite quand x tend vers + de? est : a) 3. En +, C admet une asymptote oblique : c) on ne peut pas conclure 4. Le tableau de signes de? est :

15 +? + Partie II On considère la fonction f définie sur l intervalle ;+ par =ln + :.. limite en : KL= : :N KL : :N =+ KL : :N Ainsi KL = : :N limite en + : = KL : :N ln + KL =+ O KL KL = ln + =+ Ainsi KL =+ 2. Variations de f : = Dérivée : La fonction est dérivable sur ;+ comme opérations de fonctions dérivables sur ;+ Pour tout de ;+, S = : + G : = : + : Signe de la dérivée : Pour tout de ;+, > : > o% : > < : + : > S > Ainsi la fonction est strictement croissante sur ;+. 3. Signe de : la fonction est strictement croissante sur ;+ et =+ =, on en déduit que est négative sur ; et positive sur ; F primitive de : Pour tout de ;+, E S = + : : =+ = : Ainsi F est une primitive de sur ;+. 5. variations de E : E S = pour tout de ;+, or le signe de a été établi à la question 3 : + +

16 Donc la fonction E est strictement croissante sur ; + 6. A= š : α + E + + E E = = F Limite en + avec E =. KL =+ KL =+ R KL =+ KL E =+ La fonction F est continue et strictement croissante sur ; + donc E est une bijection de ; + sur son image ; + de plus ; + F donc l équation E = admet une unique solution dans ; + ; notée. F 7. Encadrement de :,9 2, E,577 oˆ,6322,6935 D où,9<<2, est un encadrement de d amplitude,. Partie III Soit g et h les fonctions définies sur ] ;+ [par :! = : et h =ln +. A est le point d intersection de la courbe Ch et de l axe des abscisses. Déterminer les coordonnées du point A. On résout : h = ln += ln = =o G d où g o G ; 2. P est le point d intersection des courbes Cg et Ch. Justifier que les coordonnées du point P sont ; ).! = = o% h =ln +=+= On a! =h =, donc le point d intersection P a pour coordonnées ;. 3. On note A l aire du domaine délimité par les courbes Cg, Ch et les droites d équations x = /e et x = domaine noir sur le graphique). a. Exprimer l aire A à l aide de la fonction f définie dans la partie II. Position des courbes 9 ƒ et 9 œ : Pour tout de ; + h! =ln + = :

17 Or d après le signe de établi à la question II-3 on a sur h F ;i on en déduit que 9 œ est en-dessous de 9 ƒ sur h F ;i Aire «noire», délimitée par 9 ƒ et 9 œ et les droites d équation F, # $! H & /F b. Montrer que F. # /F E F # /F # /F E Ew o x o 4. Soit t un nombre réel de l intervalle ;. On note I J l aire du domaine délimité par les droites d équations respectives x =, x = t et les courbes Cg et Ch domaine grisé sur le graphique). On souhaite déterminer une valeur de t telle que I J a. Montrer que I J % % %. D après le signe de la différence établi précédemment : 9 œ est au-dessus de 9 ƒ sur ; Donc pour tout % de ] ; + [ % I J # $H! &# E % %.%% b. Conclure. % On souhaite déterminer une valeur de t telle que I J or o et I J%.%%E % On doit donc résoudre dans ; E % o D après II-6 E % F % Ainsi il existe une unique valeur de % telle que les deux domaines aient la même aire, c est pour %