6.1. Les fonctions exponentielles x q n avec q>0

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1 6. Foctios potills L foctio 6.. Ls foctios potills vc >0. Défiitio : st foctio défii sr. S cor rprésttiv st ot rlit pr li coti t rélièr ls poits d coordoés ( ) foctio st pplé foctio potill d s. Cs > Cs <, por. Ctt = = Poits : rprésttio rpi d l sit ( ) Cor : rprésttio rpi d l foctio. Dérivilité Propositio : O dmt ls foctio sot dérivls sr. Cosécs : cs foctios sot doc cotis sr t dmttt tt c poit. 3. Rltio foctioll Rmr : o sit déjà si t sot ds tirs t >0, rltio por ls réls. + =. O élrit ctt Propriété : (dmis) Por tot omr rél t, l foctio potill d s (>0) vérifi l rltio + foctioll f ( + ) = f f c st-à-dir = O dit ls foctios potills trsformt somm prodit. Cors Trmil E. Poli P 5

2 Propriété : cosécs dési omr rél strictmt positif. Por tot réls t, o = = > 0 = t prticlir 0,5 = Por tot tir rltif, ( ) = ( ) Prvs : = cr = (propriété dmis) = soit =. Doc 0 + ( ) = = = = doc > 0 cr = 0. = cr comm t = = t crré st tojors positif. O sit fi = t > 0, o =. 4. Ss d vritio d l foctio potill Téorèm : O dmt l ss d vritio d l foctio, défii sr, st l mêm cli d l sit éométri ssocié. Si 0 < <, l foctio st strictmt décroisst sr Si =, l foctio Si >, l foctio st costt sr ( ) st strictmt décroisst sr. 0 < < > Empls : L foctio r j O r i L foctio = 0, 9 st strictmt décroisst sr, cr 0<0,9<, 9 st strictmt croisst sr, cr,9>. r j O r i = Cors Trmil E. Poli P 6

3 6.. L foctio potill. Propriété - défiitio Il ist i foctio i dmt por omr dérivé 0. O ot l s d ctt foctio potill t, 78 O dit l foctio potill d s st l foctio potill. Ell s ot : p : Cosécs L foctio potill st dérivl sr t so omr dérivé 0 st : p ( 0) = p( 0) = 0 = = p = p 0,5 = = p ( 0,5) = = Por tot omr rél, > 0 L foctio potill st strictmt croisst cr > 0 Propriétés léris : Ells s dédist imméditmt ds propriétés ds foctios + = = = = =. Dérivé d l foctio potill Propriété : L foctio potill st él à s foctio dérivé. Aisi por tot omr rél, p = Démostrtio : dési omr rél. L omr dérivé d l foctio potill st l limit d + p td vrs 0 d ( + ) p t = = = =. O sit p ( 0) =, c'st-à-dir l limit d td vrs 0 d otit à. O dédit l limit d td vrs 0 d t st. st él 3. Cor rprésttiv Tl d vritio d l foctio potill 0 + = Etio d l tt T 0 à C poit A(0 ;) p ( 0) = doc T 0 : = ( 0) + soit = + Etio d l tt T à C poit B( ;) p = doc T : = ( ) + soit = A C p B Cors Trmil E. Poli P 7

4 Propriété : Por tot rél t, Por tot rél t, < = < = Applictios : Résodr ds ls étios t iétios sivts : = 0 5 = 0, 4+ = = 6.. L foctio () Nottio : dési foctio défii sr itrvll I. p défii sr I st oté. L foctio ( ). Foctio dérivé Propriété (dmis) : SI l foctio st dérivl sr itrvll I, lors l foctio st dérivl sr I t por tot omr rél d I : ( ) = Coséc : Ls foctios t ot l mêm ss d vritio sr l itrvll I. Empl : Détrmir l dérivé d f() = 4-. E dédir ls vritios d f. Primitivs O v prrp précédt ( ) = ls foctios d l form Propriété (dmis) : p. Pr cosét, ls primitiv d + C (C étt costt réll lco) f Si sr itrvll foctio f st tll sot défiis pr sot =, lors ls primitivs F d f sr I F = + C (C étt costt réll lco) Empl : Détrmir l primitiv d f()= 3+. Cors Trmil E. Poli P 8

5 3. Empls tps Ls foctios : f : vc omr rél strictmt positif. Cs foctios sot d l form vc =. Ells sot doc dérivls sr t por tot omr rél : f = < d où 0 Ls foctios f f vc >0 sot doc strictmt décroissts sr 0 + f - f + 0,3 0, 0,9 Por tot >0, ls cors rprésttivs ds foctios f psst pr. Ls foctios : : vc omr rél strictmt positif. Cs foctios sot d l form vc =. Ells sot doc dérivls sr t por tot omr rél : =. Or > 0 d où st d si d. vc >0 sot croisst sr ] ;0] t décroissts sr [ ;+ [ Ls foctios Por tot >0, ls cors rprésttivs ds foctios dmttt l ds ordoés por d smétri. E fft, d omrs réls opposés ot l mêm im pr cs foctios. 0, 0,9,3 Cors Trmil E. Poli P 9