Chapitre II : Limites de fonctions et continuité

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1 Chapitre II : Limites de fonctions et continuité Cité Scolaire Gambetta Année scolaire 0-03 I Limite à l infini : ) Limite finie en Définition : Dire qu une fonction f a pour limite le réel l en signifie que tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs f( ) pour suffisamment grand ( c est-à-dire pour tous les d un certain intervalle ]A ; [ ). On note lim f ( ) l. Interprétation graphique : Quel que soit l intervalle ouvert contenant l, et aussi petit soit-il, il eiste un nombre A tel que la courbe C restreinte à l intervalle ]A ; [ soit située dans la partie colorée ci-dessus. f On dit que la droite d équation y = l est asymptote horizontale à la courbe Cf en +. Remarque : On définit de façon analogue une limite réelle en. Limite à l infini de fonctions de référence : lim 0 ; lim 0 ; lim 0 ( n ) de même en. n L ae des abscisses est asymptote horizontale de la courbe représentative de ces fonctions en et en. On a aussi lim 0. L ae des abscisses est asymptote horizontale de la courbe représentative de cette fonction en.

2 ) Limite infinie en Définition : Dire qu une fonction f a pour limite en signifie que tout intervalle ouvert M; contient toutes les valeurs f( ) pour suffisamment grand ( c est-à-dire pour tous les d un certain intervalle ]A ; [ ) On note lim f( ). Interprétation graphique : Quel que soit le nombre M, on peut trouver un nombre A tel que pour tout A, f ( ) M : la courbe C f restreinte à l intervalle ]A ; [ est dans la partie colorée cidessus. Limite à l infini de fonctions de référence : lim n ( n ) ; lim Si n entier pair lim n et si n entier impair lim n II Limite infinie en un réel a : Définition : f est une fonction définie sur un intervalle ouvert I et le nombre a est une borne de I. Dire qu une fonction f a pour limite en a signifie que tout intervalle ouvert M; contient toutes les valeurs f( ) pour tous les nombres de l intervalle I suffisamment proches de a, c est-à-dire pour tous les nombres de I dans un certain intervalle a ; a ou a; a. On note lim f ( ). a Remarque : On définit de façon analogue lim f ( ). a

3 En pratique, on est parfois amené à étudier séparément les limites de f pour aet pour a. On parle alors de «limite de f à droite en a» notée lim f ( ) ou lim f ( ) a a a et de «limite de f à gauche en a» notée lim f ( ) ou lim f ( ) a a a Interprétation graphique : La courbe C peut être «aussi proche que l on veut» de la droite d équation a. f Lorsqu une fonction f admet une limite infinie en un réel a (ou à droite en a ou à gauche de a), on dit que la droite d équation a est asymptote verticale à la courbec f. Limite de fonctions de référence : lim ; 0 lim 0 et lim 0 n * ( n ) lim et 0 lim 0 n si n est pair si n est impair L ae des ordonnées est asymptote verticale de la courbe représentative de ces fonctions.

4 III Théorèmes sur les limites : ) Limites et opérations Les théorèmes du chapitre sur la limite d une somme, d un produit et d un quotient de suites sont encore valables dans le cas des calculs de limites de fonctions. somme Limite de f Limite de g Limite de f + g l l' l + l' l + + l FI produit quotient Limite de f Limite de g Limite de f. g l l' l l' l > l > 0 l < 0 + l < FI Limite de f Limite de g Limite de f / g l l' 0 l l l ou + 0 l' > 0 l' < 0 l' > 0 l' < 0 ou + ou + FI l > 0 ou l > 0 ou + 0 l < 0 ou 0 + l < 0 ou FI

5 Eemples : Déterminer FI mais Et 3 lim 4 lim et 3 3 Donc lim 4 lim et lim 0 d où lim 3 3 A retenir : De façon plus générale, la limite d une fonction polynôme en ou en est égale à la limite de son terme de plus haut degré. lim 3 4 lim 3

6 Déterminer FI donc 9 lim 3 A retenir : De façon plus générale, la limite d une fonction rationnnelle en ou en est égale à la limite du quotient de ses termes de plus haut degré. Remarque : Pour déterminer une limite On commence par conjecturer la limite cherchée (tableur, courbe, ) On utilise les opérations sur les limites Si on a une forme indéterminée du type, on met en facteur le terme dominant. Si on a une forme indéterminée du type «termes dominants, puis on simplifie.», on factorise au numérateur et au dénominateur les ) Limite d une fonction composée : Définition : Soit une fonction f définie sur un intervalle I à valeurs dans J et g définie sur J. On appelle fonction composée de f suivie de g, notée gof, la fonction qui, à tout réel g f ( ) de I, associe Eemple : soit les fonctions f définies sur f g f ( ) g f ( ) par 4 f ( ) 3 5 et g( ) Alors, pour tout réel, gof ( ) g f ( ) g

7 Théorème ( ADMIS ) : a, b et c représentent 3 réels ou éventuellement + ou, et f et g sont des fonctions. Si lim ( ) a f b et lim g ( ) c b lim ( ) a gof c alors Eemple : Déterminer la limite 4 en ) Limites et comparaison : On dispose des théorèmes analogues à ceu déjà vus pour les suites Théorème : f et g sont deu fonctions définies sur un intervalle I = a; ( ou I = pour tout réel de I, f ( ) g( ) : ) telles que si lim g ( ) alors lim f( ) (Théorème de minoration) si lim f( ) alors lim g ( ) (Théorème de majoration) Remarque : ce théorème s adapte au comparaisons en Démo ( à titre indicatif) Démontrons ce résultat au voisinage de +. On suppose que lim g ( ) et f ( ) g( ) pour suffisamment grand. Soit B un réel positif fié. lim g ( ) soit d après la définition des limites il eiste un réel A tel que pour tout A; implique que g( ) B Donc pour tout réel A on a g( ) B f ( ) g( ) soit f ( ) B Ceci étant prouvé pour tout réel B positif et fié, on en déduit, d après la définition, que : lim f( )

8 Théorème d encadrement dit «des gendarmes» f, g et h sont trois fonctions définies sur un intervalle I = a; ( ou I = ) et l est un réel. Si, pour tout réel de I, g( ) f ( ) h( ) et si lim g( ) l et lim h( ) l, Alors lim f ( ) l Remarque : ce théorème s adapte à l encadrement en IV Rappel sur la dérivation : Nombre dérivé, fonction dérivée : Tangente à la courbe d une fonction :

9 Signe de la dérivée et sens de variation : Théorème: Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si pour tout de I, f ( ) 0, alors f est croissante sur I. Si pour tout de I, f ( ) = 0, alors f est constante sur I. Si pour tout de I, f ( ) 0, alors f est décroissante sur I. Dérivée et etremum local : Théorème : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et 0 I. Si f admet un etremum local en 0, alors f '( 0 ) 0. Si f s annule en 0 en changeant de signe, alors f admet un etremum local 0. Dérivées usuelles et opérations : Fonction f Fonction dérivée f f ( ) k f '( ) 0 f est dérivable sur l intervalle Théorème : f ( ) m p f '( ) m f ( ) f ( ) n f ( ), f( ) f ( ) '( ) 3 n * f f '( ) 3 f '( ) n n f '( ) f '( ) ;0 0; 0; Soient u et v deu fonctions dérivables sur un intervalle I et un réel, alors les fonctions u, u + v et uv sont dérivables sur I et : ( u ) = u ( u + v ) = u + v ( u v ) = u v + u v Si pour tout réel a de I, v ( a ) 0 les fonctions v et u ' ' v sont dérivables sur I et : v' v v, u u ' v uv' v v

10 V Continuité : ) Continuité sur un intervalle : Définitions : f est une fonction définie sur un intervalle I et a est un réel de I On dit que la fonction f est continue en a lorsque lim f ( ) f ( a ) ou a lim f ( a h) f ( a) h0 Eemples : On dit que la fonction est continue sur un intervalle lorsqu elle st continue en tout réel a de cet intervalle Graphiquement, la continuité d une fonction f sur un intervalle I se traduit par le fait que sa courbe représentative peut être tracée sans lever le crayon. Les fonctions usuelles (affine, carré, cube, racine carrée, inverse, valeur absolue, cosinus et sinus) sont continues sur tout intervalle où elles sont définies. Les fonctions construites à partir de ces fonctions par somme, produit ou compositions sont continues sur tout intervalle où elles sont définies (en particulier les fonctions polynômes continues sur et rationnelles où elles sont définies) Eercice : On considère la fonction f définie sur par f( ) k 3 5 si 0. si 0 Pour quelle valeur de k, la fonction f est-elle continue sur? Eemples de fonctions non continues : La fonction partie entière : Pour tout réel, il eiste un unique entier n tel que n n. On appelle fonction partie entière la fonction notée E qui au réel de l intervalle nn ; associe l entier n ; on note E( ) n E(4) = 4 E(6, ) = 6 E( ) = E( 4, 3) = 5-0 La fonction partie entière n'est pas continue en mais est continue sur 0;.

11 ) Continuité et dérivabilité : Propriété : f est une fonction définie sur un intervalle I et a est un réel de I. Si f est dérivable en a, alors cette fonction est continue en a. Si f est dérivable sur I, alors cette fonction est continue sur I. Remarques : Cette propriété nous donne un moyen pour démontrer qu une fonction est continue sur un intervalle I : il suffit en effet de démontrer que cette fonction est dérivable sur I. La réciproque est fausse. Par eemple, la fonction valeur absolue est continue en 0 mais n est pas dérivable en 0.

12 VI Résolution d équations : ) Théorème des valeurs intermédiaires : Théorème ( ADMIS ) : Si la fonction f est définie et continue sur un intervalle ab ; et k un réel tel que f ( a) k f ( b), alors il eiste au moins un réel c compris entre a et b tel que f () c k ) Théorème de bijection : Théorème de bijection : Si la fonction f est continue et strictement monotone sur l intervalle ab ;, alors pour tout réel k compris entre f( a) et f() b l équation f ( ) k a une solution unique dans ab ;. Démo : Eistence : Théorème des valeurs intermédiaires Convention : Remarques : Unicité : Démontrons ceci à l aide d un raisonnement par l absurde On suppose qu il y a réels distincts c et c ( c < c ) tel que f ( c) f ( c') k or il y a une contradiction avec le fait que f soit strictement monotone, donc la solution est unique. Dans un tableau de variation, les flèches obliques traduisent la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l intervalle considéré. Ce théorème s applique au intervalles ; ;b a, a;, ab ;, ab ;, ab ;, ;b, ou encore, il convient alors d étudier la limite de f au bornes de l intervalle de départ. Si on doit résoudre l équation ( ) 0 f, on montre que f est monotone sur ; f ( a) f ( b) 0 alors l équation f( ) 0 admet une solution unique. Eercice : 3 La fonction f est définie sur par f ( ) 4 4. a) Dresser le tableau de variations de f. b) Démontrer que l équation f( ) admet eactement 3 solutions dans. ab et que Avec la calculatrice, donner la valeur eacte ou l arrondi au centième de chaque solution. (,6 ;- ;-0 ;38)