Trigonométrie. AOB = 1 rad

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1 Trigonométrie ) Radian et cercle trigonométriqe: définition (rappel) : Un cercle trigonométriqe est n cercle de rayon sr leqel on distinge dex sens de parcors : le sens direct (sens inerse des aigilles d'ne montre et le sens indirect (sens des aigilles d'ne montre). La longer d cercle est, celle d demi-cercle est, celle d sens direct qart de cercle est sens indirect le "sens direct" est le sens contraire à celi des aigilles d'ne montre. n dit également "sens trigonométriqe" Nos allons définir ne noelle nité de mesre d'angles! Soient dex points et d'n cercle trigonométriqe de centre. n considère qe la mesre de l'angle géométriqe a por mesre la longer de. Cette noelle nité de mesre est le radian. n le note rad. définition : Soit le cercle de centre et de rayon. Un angle de radian est n angle a centre interceptant sr n arc de longer. = rad E F conséqence : - Sr la figre précédente, EF a por longer donc radians correspond à 80 Les mesres en radians sont propositionnelles ax mesres en degrés. n pet dresser n tablea de proportionnalité mesre en degrés mesre en radians mesre en radians = mesre en degrés x 80 Ex : La mesre en radians d'n angle de 5 est 5 x 80 = rad

2 ) Repérage sr le cercle trigonométriqe: Soit le cercle trigonométriqe de centre et (,, ) n repère orthonormé direct d plan. Le repère d plan (,, ) est direct si le trajet le pls + cort por aller de à est obten en tilisant le sens direct sr le cercle. Soit le point H de coordonnées (;). n mnit la droite (H) d repère (;H). n a donc ne droite gradée recorant tos les réels! (H) est ne droite nmériqe a) enrolement de la droite nmériqe sr n cercle : n "enrole" la droite (H) sr le cercle. Tot nombre réel x ient s'appliqer sr n point M niqe. n dit qe M est l'image de x sr le cercle. Ex : Dans la sitation représentée ci-contre, N est l'image de 0,79 sr le cercle remarqes : Dans notre exemple, d'après la définition d paragraphe précédent, l'angle N a por mesre 0,79 rad. + H N 0,79 Nos allons à présent grader la droite nmériqe en écriant les abscisses des points de la droite nmériqe à l'aide d nombre.

3 b) n point d cercle trigonométriqe est l'image d'ne infinité de réels : propriété : Tot point M de est l'image d'ne infinité de réels. Soit x l'n de ses réels, les atres sont les réels x + k x où k est n entier relatif. illstration Dans l'exemple ci-contre, S est l'image d réel mais également 9 de 9. L'enrolement de la droite nmériqe entre et 9 correspond à n tor complet. n se retroe donc a même point d cercle. En effet, on a 9 = + or, la longer d cercle trigonométriqe est. S + + S le rayon de est! n porrait reprodire l'enrolement à partir de S aec n'importe qel nombre entier de tors (dans le sens direct comme dans le sens indirect). n retomberait tojors sr le même point. Dans notre exemple, S est assi l'image d nombre réel pisqe = x n a fait tors complets ( x ) dans le sens indirect (négatif) à partir d point-image de Pls généralement, dex réels x et x' aront le même point-image si et selement si l'enrolement de la droite nmériqe entre x et x' correspond à n nombre entier de tors.

4 ) ngle orienté de ecters non nls : Nos n'aons encore pas les otils por donner ne définition rigorese d'n angle orienté! a) ne approche de la définition par la mesre d'n angle orienté : définition : Soit (,, ) n repère orthonormé direct d plan. Soient et dex ecters non nls. Soient et dex points tels qe = et =. Soient ' et ' les points d'intersection de [) et [) aec le cercle trigonométriqe de centre. Si ' est l'image d réel x et ' l'image d réel y sr, y x est ne mesre en radians de l'angle orienté ( ) y Porqoi ne mesre? Un point d cercle trigonométriqe est l'image d'ne infinité de réels (siant le nombre de tors entiers effectés pendant l'enrolement de la droite nmériqe!). donc, si on enlèe (o on ajote) ne o plsiers fois à y x, on obtient également ne mesre de l'angle orienté ( ) en radians! ' ' x Chacn des nombres de la forme (y x) + k où k est n entier relatif est ne mesre de l'angle orienté ( )!! Ex : Dans l'exemple ci-contre, ( ) = 5 = = n porrait également écrire, ( ) = + x = + 8 = 0 o ( ) = 5 x = 0 = 8 5 Pls généralement, ( ) = + k x (aec k )

5 b) mesre principale d'n angle orienté de ecters : propriété et définition : Parmi totes les mesres de l'angle orienté ( ) de dex ecters non nls, il en existe ne et ne sele dans l'interalle ] ; ]. n l'appelle la mesre principale de l'angle orienté ( ). remarqe : la mesre en radians de l'angle géométriqe associé a por mesre Ex : Dans l'exemple précédent, la mesre principale de ( ) est égale à < La mesre de l'angle géométriqe est égale à = comment troer la mesre principale d'n angle? l s'agit de retrancher le pls grand nombre de fois possibles jsq'à ce qe le nombre obten soit dans l'interalle ] ; ] exemple : on effecte la diision eclidienne de 0 par 7 Donc, 0 7 = 7 + = 7 + x = La mesre principale est 7 exemple : on effecte la diision eclidienne de 5 par Donc, 5 9 = = = 9 + x La mesre principale est 9 e décompose 5 por obtenir ne somme de dex termes dont l'n est n mltiple de. soltions intéressantes sont possibles ( + o + ). e choisis celle me permettant d'obtenir ne mesre comprise dans l'interalle ] ; ]!! 5

6 ) Propriétés des angles orientés : cette propriété porra être tile por démontrer qe dex droites sont parallèles! propriété : Soient et dex ecters non nls. et sont colinéaires de même sens si et selement si ( ) = 0 + et sont colinéaires de sens contraire si et selement si ( ) = + propriété admise (relation de Chasles) : Por tos ecters non nls, w : ( ) + (, w ) = ( w ) Ex :Sr l'exemple ci-contre, (, CD) = (, C) + ( C, CD) = 5 + ( C, ) + (, CD) = = = D C w + 5 propriétés : Soient et dex ecters non nls. ( ) = (, ) (, ) = ( ) + D'après la relation de Chasles, ( ) = ( ) + (, ); or, ( ) = 0 donc ( ) = (, ) D'après la relation de Chasles, (, ) = ( ) + (, ); or, (, ) = donc (, ) = ( ) + démonstration démonstration ( ) = ( ) + D'après la relation de Chasles, ( ) = ( ) + ( ) or, ( ) = donc ( ) = ( ) + démonstration (, ) = ( ) démonstration D'après la relation de Chasles, (, ) = ( ) + (, ) or, ( ) = et (, ) = ( ) + donc (, ) = + ( ) + donc (, ) = ( ) + = ( )

7 V) cosins et sins d'n réel - cosins et sins d'n angle orienté : définition : Soit le cercle trigonométriqe de centre et (,, ) n repère orthonormé direct d plan. Soit M l'image d'n réel x sr le cercle trigonométriqe. x Le cosins de x, noté cos x est l'abscisse de M cos x Le sins de x, noté sin x est l'ordonnée de M sin x M x propriétés (rappel) : Por tot nombre réel x, cos x sin x cos² x + sin² x = propriété : Por tot nombre réel x, por tot entier relatif k, cos (x + k) = cos (x) sin (x + k) = sin (x) alers particlières à retenir : x 0 cos x sin x 0 0 définition : Le cosins et le sins d'n angle orienté ( ) sont le cosins et le sins d'ne qelconqe de ses mesres. n les note cos ( ) et sin ( ) V) Cosins et sins d'angles associés : définition : Les angles associés à n angle orienté de mesre x en radians sont les angles dont ne mesre est x ; π x ; π + x ; π + x ; π x propriétés : Por tot nombre réel x, cos ( x) = cos x cos ( + x) = cos x cos ( x) = cos x sin ( x) = sin x sin ( + x) = sin x sin ( x) = sin x M' ( x) M' ( x) M' ( + x) 7

8 cos + x x sin + x sin x M' + x M' x V) Éqations trigonométriqes: propriétés : L'éqation cos x = cos a a por soltions les nombres réels : x = a + k (aec k ) et x = a + k (aec k ) M (a) Ex : Résolez dans l'éqation cos x = cos 5 x = 5 + k x = 5 (aec k ) + k M' ( a) L'éqation sin x = sin a a por soltions les nombres réels : x = a + k (aec k ) et x = a + k (aec k ) M' ( a) M (a) Ex : Résolez dans l'éqation sin x = sin x = + k x = + k = 7 (aec k ) + k 8