GEOMETRIE. Le bûcheron Application du théorème de Thalès
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- Adrien Joseph
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1 /2 Application du théorème de Situation EXERCICE Un bûcheron souhaite mesurer la hauteur d'un arbre. Pour cela, il enfonce un Bâton à 9 m de l'arbre. La partie visible du bâton mesure 2 m. se place de manière à ce que son Oeil, le Sommet du bâton et la Cime de l'arbre soient alignés. Il constate alors que son Oeil est à m du sol et qu'il se trouve à,5 m du Bâton. Ce bûcheron affirme qu'il peut alors calculer la hauteur de l'arbre. Quelle est cette hauteur? EXERCICE 2 A Thalville, la Poste, la Gare et la Mairie forment un triangle. Toutes les rues sont rectilignes. La Poste se trouve à 900 m de la Gare et à 540 m de la Mairie. La Gare se trouve à 600 m de la Mairie. Le Stade est à 200 m de la Gare dans la rue qui va de la Mairie à la Gare. La Banque est à 600 m de la Poste dans la rue qui va de la Poste à la Gare. La rue qui va de la banque au stade est-elle parallèle à celle qui va de la mairie à la poste? Quelle est la distance entre la banque et le stade? EXERCICE 3 Un arbre poussant verticalement sur le flanc d'une colline a été brisé par la foudre. La Cime touche le sol à 2 m de son Pied. Entre l'arbre et la Cime, on plante un Bâton verticalement à 4 m de la Cime de l'arbre. La partie visible du Bâton mesure 2 m et la distance entre le Sommet du bâton et la Cime mesure 5 m. Quelle était la hauteur de l'arbre? EXERCICE 4 Quelle est la hauteur de l'arbre? La croix du bûcheron La croix du bûcheron est formée de 2 tiges perpendiculaires, de 20 cm, notées AE et BD., qui veut estimer la hauteur d'un arbre, tient sa croix de manière à laisser AE horizontale. En mettant son oeil en A, il vise la cime C, et le pied P de l'arbre, en s'éloignant au besoin et en réglant la tige AE. arrive à viser l'arbre avec sa croix quand il est à 30 m du pied. Il relève DE cm.
2 2/2 Application du théorème de Situation EXERCICE 5 Tracer un triangle ABC tel que AB 6 cm BC 4 cm AC 5 cm Le cercle de centre C et de rayon 2 cm, coupe [AC] en E et [BC] en F. Le cercle de centre C et de rayon 3 cm, coupe [AC] en G et [BC] en H. Est-ce que (EF) est parallèle à (GH)? Justifier. EXERCICE 6 Calculer BG si : OH m BH 0,2 m FG,5 m.
3 3/2 Application du théorème de Plan de travail Pour chacun des exercices précédents : Faire le schéma. Utiliser les initiales des mots (Oeil O ; Sommet S ;...) pour repérer les différents points. Repérer les triangles pour appliquer le théorème de. Calculer les mesures demandées.
4 4/2 Application du théorème de Aide : schémas EXERCICE EXERCICE 2
5 5/2 Application du théorème de Aide : schémas EXERCICE 3 EXERCICE 4
6 6/2 Application du théorème de Aide : schémas EXERCICE 5 EXERCICE 6
7 7/2 Application du théorème de Corrigés EXERCICE OK OH + HK 0,5 m AC AK + KC + KC SH SB - BH m Le triangle OSH est une réduction du triangle OCK à l'échelle OH OS SH OK OC CK OK SH CK CK 7 m IH On en déduit la hauteur de l'arbre : AC AK + KC AC OH,5 OK 0,5 La hauteur de l'arbre et de 8 mètres. 7
8 8/2 Application du théorème de Corrigés EXERCICE 2 La distance de la gare à la banque est de ( ) 300 mètres Pour savoir si BS // PM, il faut vérifier que le triangle SGB est une réduction du triangle MGP, c'est-à-dire que : GS GB SB GM GP MP GS 200 GB 300 o r GM GP Le triangle GSB est donc une réduction du triangle GMP à l'échelle 3 Donc SB est parallèle à MP (on note SB // MP) et SB MP 3 SB La distance du stade à la banque est de 80 m. SB MP 3
9 9/2 Application du théorème de Corrigés EXERCICE 3 Hauteur de l'arbre PK + KC CP 2 m CB 4 m BS 2 m SC 5 m Comme SB et KP sont verticaux (SB // KP), le triangle SCB est une réduction du triangle CB 4 KCP à l'échelle CP 2 3 CB CS SB CP 3 CK CS CK 5 5 CP CK KP CB CP 3 KP SB KP 2 6 CB PK + KC L'arbre avait une hauteur de 2 m.
10 0/2 Application du théorème de Corrigés EXERCICE 4 AK 30 m AE 0,2 m BD 0,2 m AE Le triangle ABE est une réduction du triangle ACK, à l'échelle AK Le triangle ADE est une réduction du triangle APK, à l'échelle AE AK AE Donc le triangle ADB est une réduction de triangle APC, à l'échelle AK On cherche PC, la hauteur de l'arbre. AE BD AD AB PC BD AK PC AP AC L'arbre mesure 30 m de haut. PC 0,2 AK AE 30 0,2 30 Remarque : Quel que soit le réglage de la croix, la hauteur de l'arbre (PC) est toujours égale à la distance entre le bûcheron et le pied de l'arbre (AK HP).
11 /2 Application du théorème de Corrigés EXERCICE 5 On a donc : AB 6CE CF 2 AC 5CG CH 3 CB 4 Pour que GH et EF soient parallèles (GH // EF), il suffit que le triangle CEF soit une réduction du triangle CGH. C'est-à-dire qu'il suffit que : CE CG CF CH Or CE CG 2 3 CF CH Donc GH // EF et EF GH 2 3
12 2/2 Application du théorème de Corrigés EXERCICE 6 OH m BH 0,2 m FG,5 m. Le triangle OBJ est égal au triangle OBH. JO Le triangle OBJ est une réduction du triangle FBG à l'échelle FG JO FG BJ BG OB BF On cherche la longueur BG FG BG BJ JO,5 BG 7,5 0,2 La longueur BG est de 7,5 mètres.
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