THEOREME DE THALES. 3 e. Trois situations possibles où le théorème de Thalès peut s'appliquer : N [AC] et M [AC]
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- Charlotte Champagne
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1 THEOREME DE THALES 3 e Hypothèses de départ Dans ce chapitre nous travaillerons avec les hypothèses suivantes : - (d1) et (d2) sont deux droites sécantes en un point A. - B et M sont deux points appartenant à (d1) - C et N sont deux points appartenant à (d2) I. Théorème de Thalès Théorème : Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles alors Remarque : dans ce cas les longueurs des côtés du triangle AMN sont proportionnelles aux longueurs des côtés respectifs du triangle ABC Trois situations possibles où le théorème de Thalès peut s'appliquer : N [AC] et M [AC] N [AC] M [AB] N [AC) et M [AB) N [CA) et M [BA) 05/2014 Mathaf R tous droits réservés
2 Application : calcul d'une longueur Dans la figure ci-dessus : M (AB); N (AC);(BC)//(MN) BC 36 ; CA 38 ; MN 14 Calculer AN. On sait que : o Les points A N et C sont alignés. o Les points A M et B sont alignés. o Les droites (BC) et (MN) sont parallèles. Donc d'après le théorème de Thalès on a : On rappelle les données permettant d appliquer le théorème de Thalès On n a aucune donnée concernant le rapport AN 147 On ne travaille donc qu avec l égalité des deux autres rapports pour lesquels seule la longueur demandée AN est inconnue. La longueur AN est environ égale à 15 (valeur arrondie au dixième près) 05/2014 Mathaf R tous droits réservés
3 Définition : Après l application du théorème de Thalès si les quotients et sont : o o inférieurs à 1 on dit que le triangle AMN est une réduction du triangle ABC. supérieurs à 1 on dit que le triangle AMN est un agrandissement du triangle ABC. Exemple : Dans l application précédente : et < 1 (car le numérateur est inférieur au dénominateur) donc le triangle AMN est une réduction du triangle ABC. II. Démontrer que deux droites ne sont pas parallèles Propriété : Si deux des trois quotients (MN) ne sont pas parallèles. et ne sont pas égaux alors les droites (BC) et Remarques : o Dans ce cas on peut dire aussi que (BC) et (MN) sont sécantes. o Dire que deux des trois quotients et ne sont pas égaux signifie que les longueurs des côtés du triangle AMN ne sont pas proportionnelles aux longueurs des côtés du triangle ABC. 05/2014 Mathaf R tous droits réservés
4 Application Dans la figure ci-dessus : M (AB) ; N (AC) AN 17 ; AC 4 MN 13 ; BC 34. Les droites (BC) et (MN) sont-elles parallèles? On sait que : o Les points A N et C sont alignés. o Les points A M et B sont alignés. On a : Or et donc c'est-à-dire Ainsi on remarque que On multiplie le numérateur de l un par le dénominateur de l autre et inversement. Puis on compare les résultats. Donc les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles. Remarque : on peut aussi chercher à mettre au mettre au même dénominateur les deux quotients afin de constater qu ils ne sont pas égaux en comparant leurs numérateurs. 05/2014 Mathaf R tous droits réservés
5 III. Réciproque du théorème de Thalès Si o ET o les points A B et M sont alignés et les points A C et N sont alignés respectivement dans le même ordre deux des trois quotients et sont égaux alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles. Application : Dans la figure ci-dessus : M (AB) ; N (AC) ; N [AC] AN 3 ; AC 45 ; BC 36 ; MN 24 Les droites (BC) et (MN) sont-elles parallèles? Les points C A et N sont alignés et les points B A et M sont alignés dans le même ordre. De plus : Or et donc c est-à-dire!. Ainsi on remarque que. Donc d après la réciproque du théorème de Thalès les droites (BC) et (MN) sont parallèles. 05/2014 Mathaf R tous droits réservés
6 Remarque : on peut aussi chercher à mettre au mettre au même dénominateur les deux quotients afin de constater qu ils sont égaux.!! : #: Et!!: $: On remarque bien que IV. Agrandissement et réduction d'un triangle On suppose que (BC) et (MN) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès on a : On note k le nombre strictement positif égal aux trois rapports de longueurs précédents. On a donc : k Définition Si k < 1 on dit que le triangle AMN est une réduction du triangle ABC de rapport k. Si k > 1 on dit que le triangle AMN est un agrandissement du triangle ABC de rapport k. Remarque : dans une réduction ou un agrandissement les mesures des angles sont conservées. 05/2014 Mathaf R tous droits réservés
7 Propriété : La longueur de chaque côté du triangle AMN est égale au produit de k par la longueur du côté respectif du triangle ABC. Exemple de l application du III: AM k AB AN k AC MN k BC On ajoute la donnée suivante : AB 63. Calculer la longueur AM. donc le triangle AMN est une réduction du triangle ABC de rapport! On en déduit que : AM! %& AM! 63 La longueur AM est égale à 42. AM 42 Dans la suite on notera : P AMN et A AMN respectivement le périmètre et l aire du triangle AMN. P ABC et A ABC respectivement le périmètre et l aire du triangle ABC. Propriété : Le périmètre du triangle AMN est égal au produit de k par le périmètre du triangle ABC. P AMN k P ABC Exemple de l application du III : On ajoute la donnée suivante : AB 63. Calculer le périmètre du triangle AMN. On calcule tout d abord le périmètre du triangle ABC : P ABC AB + BC + CA P ABC P ABC /2014 Mathaf R tous droits réservés
8 donc le triangle AMN est une réduction du triangle ABC de rapport! Ainsi P AMN! PABC P AMN! 144 P AMN 96 Le périmètre du triangle AMN est égal à 96. Remarque : On retrouve bien ce résultat avec la longueur AM donnée dans l exemple précédent. P AMN AM + MN + NA P AMN P AMN 96 Propriété : L aire du triangle AMN est égale au produit de k² par l aire du triangle ABC. A AMN k² A ABC Exemple de l application du III : Exprimer l aire du triangle AMN en fonction de l aire du triangle ABC donc le triangle AMN est une réduction du triangle ABC de rapport! Ainsi A AMN '! (! A ABC A AMN ) AABC 05/2014 Mathaf R tous droits réservés
9 V. Agrandissement et réduction d'une figure Lorsque les longueurs d'une figure F ' sont obtenues en multipliant par un nombre k strictement positif les longueurs d'une figure F on dit que : F ' est une réduction de la figure F de rapport k lorsque k < 1 F ' est un agrandissement de la figure F de rapport k lorsque k > 1. Remarque : k peut aussi être appelé facteur de réduction ou d'agrandissement. Exemple : Dans le trapèze rectangle ABCD : DC 4 cm ; BC 16 cm ; BA 24 cm. Le trapèze A B C D est obtenu en multipliant par! ABCD. les longueurs des côtés du trapèze Comme! > 1 le trapèze A B C D est un agrandissement du trapèze ABCD de rapport!. 05/2014 Mathaf R tous droits réservés
10 Propriété : Dans une réduction ou un agrandissement d'une figure de rapport k le périmètre est multiplié par k. l'aire est multipliée par k². les mesures d'angles sont conservées. Exemple : Calculer l aire du trapèze A B C D en cm² de l exemple précédent On calcule tout d abord l aire du trapèze ABCD : On note A ABCD l aire du trapèze ABCD en cm² : AABCD (+)! AABCD (!+)! AABCD 512 On note A A B C D l aire du trapèze A B C D en cm² : Le trapèze A B C D est un agrandissement du trapèze ABCD de rapport!. A A B C D A ABCD '! (! A A B C D 512 # A A B C D 1125 L aire du trapèze A B C D est égale à 1125 cm². 05/2014 Mathaf R tous droits réservés
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