Débrouillage pré-diagnostique. Mathématique. Secondaire III. Mat-3001 Mat Mat-3003

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1 Débrouillage pré-diagnostique Mathématique Secondaire III Mat-3001 Mat-300 Mat-3003 Conception originale : Mario Dumais Adaptation : Éric Malenfant Adaptation subséquente : Micheline Denis, Dominic Ducharme et Nathalie Poulin

2 Secondaire III Rappel théorique Termes semblables Les termes sont semblables lorsqu ils sont constitués des mêmes variables affectées des mêmes exposants. 5, 6, 3 xya ya x a yx Addition et soustraction de polynômes On additionne ou soustrait les coefficients numériques des termes semblables seulement. Les exposants des variables demeurent inchangés. a 5a 4a 4a a 1 5a 6a 4a a 1 5a 6a 4a 5a a 6a 1 9a 4a 1 Multiplication de termes algébriques On multiplie les coefficients numériques et on additionne les exposants d une même variable ensemble. 4 9wyz 8w z 3 5 7w yz Division de termes algébriques On divise les coefficients numériques ou on forme une fraction simplifiée et on soustrait les exposants d une même variable a b 8b a 7 6 8a b

3 Distributivité On peut appliquer la distributivité de la multiplication sur l addition et la soustraction. Par exemple: Effectuer les opérations suivantes: a b a a a a b ab ab a b a b c b a 3 3 a bc ab c a b c abc ab 4a 3b 5ab 8 16a b 4ab 6ab 6ab 3

4 Rappel théorique Priorités des opérations Lorsqu il y a plusieurs opérations à effectuer, il faut suivre l ordre des priorités. On commence toujours à effectuer les calculs dans les parenthèses(1) en premier lieu. Pour effectuer ces calculs on fait tout d abord les multiplications et les divisions() dans l ordre de gauche à droite et finalement, on fait les additions et les soustractions(3) dans l ordre de gauche à droite. 3 y 4 6y y 4 1 y y 4 6y 4y y 8 1 y 3 y 4 6y 4y y 8 1 y 3 6y 6y y y 13 3y y Effectuer les opérations suivantes: a a a a a a 1 3a a 3a 9a b 3ab 4

5 Rappel théorique Périmètre de figures planes Le périmètre (P) est la longueur (mm, cm, m, km) du contour d une figure. On effectue la somme des côtés. (Voici les formules particulières) Carré : P 4c Rectan gle : P L l Losange : P 4c Cercle : C r où vaut 3,14 Carré : P 4c P 4 3,8 P 15, Cercle : C r C 3,1416 C 1,57cm 5

6 Aire de figures planes L aire (A) est la mesure de surface (mm, cm, m, km ) d une figure. Voici quelques formules: Carré : A c Rec tan gle : A L l b h Triangle : A Parallélog ramme : A b h Losange : A Trapèze : A Cercle : A r D d B b h Parallélog ramme : A B h C,5 4,5 C 11,5 cm Trapèze : A B b h A 5,8,6 3, A 13, 44 cm 6

7 Calculer le périmètre et l aire des figures suivantes:

8 Rappel théorique Le plan cartésien Le plan cartésien est un mode de représentation graphique à dimensions. On y représente par un point un couple de coordonnées (x,y). La première coordonnée, l abscisse (x), s aligne sur l axe horizontal et la deuxième, l ordonnée (y) sur l axe vertical. Sur l axe des abscisses (axe horizontal), les valeurs négatives sont à gauche et les positives à droite. Sur l axe des ordonnées (vertical) les valeurs négatives sont en bas et les positives en haut. Le point (0,0) est l origine du plan cartésien. Les droites obliques Toute droite oblique correspond à une équation du premier degré à deux variables, et vice versa. Pour tracer la droite correspondant à une équation à deux variables, il est préférable d isoler d abord la variable «y». y x distributivité y 8 1x 10 6y 1x 8 10 méthode des opérations inverses 6y 1x y x 3 division par le coefficient On obtient alors une équation de la forme : y mx b Où a = le taux de variation (ou la pente) de la droite. b = l ordonnée à l origine (ou la valeur initiale) de la droite Si a = et b = 3 alors y x 3 8

9 Pour trouver des points de la droite, il suffit d attribuer à la variable «x» différentes valeurs, et de calculer pour chacune d elles la valeur que prendra alors la variable «y». y x 3 Si x vaut 3, alors y Si x vaut 1, alors y Si x 0, alors y On peut aussi attribuer une valeur à la variable «y» et trouver la valeur correspondante pour la variable «x», en l isolant. Si y vaut 0, alors y x 3 0 x 3 x 3 3 x ou 1,5 Grâce aux couples de coordonnées obtenus, on peut tracer la droite dans le plan cartésien. 9

10 x y 3 9 abscisse à l ' origine / 0 ordonnée à l ' origine La coordonnée «y» du point situé sur l axe des ordonnées est l ordonnées à l origine (ou valeur initiale). Elle correspond à la valeur du paramètre «b» de l équation. Elle s accompagne d une coordonnée «x» de valeur zéro. La coordonnée «x» du point de la droite qui est situé sur l axe des abscisses est l abscisse à l origine. Elle s accompagne d un «y» égal à zéro. Pour trouver directement sa valeur à l aide des paramètres de l équation, il faut calculer «-b/a» Le taux de variation (ou la pente) Pour calculer le paramètre «a» de l équation d une droite, il faut connaître deux points quelconques de cette droite. Soient deux points (x 1,y 1 ) et (x,y ) de la droite, sont taux de variation est a y x y 1 x 1 Soit les points 1,1 et 3, a

11 Le taux de variation donne une indication sur l évolution de la droite. À partir de n importe quel point de la droite, on peut tracer rapidement la droite dans le plan cartésien en se fiant au taux de variation. Sous forme fractionnaire, le numérateur indique la variation verticale et dénominateur la variation horizontale entre deux points de la droit. Soit la pente a, et le po int 3, Soit le taux de var iation a, et le point 3,5 4 11

12 Trouver l équation Lorsqu on connaît la pente et un point quelconque d une droite, on peut trouver l équation de cette droite à l aide de la formule de la pente, et de la propriété fondamentale des proportions (produit croisé). Il sera utile d exprimer la pente sous forme de fraction. pente a 1 y y x x 1 y 9 y 9 x 6 x y 9 Produit croisé y x 6 9 isoler Y x 3 Point 3, 9 a y x équation de la forme y ax b y x 3 5 Point 3,5 pente a 4 y y 1 a 4 y 5 5 x 3 x x y 4y 0 5x 15 4 x y Produit croisé 4y 5x 15 0 isoler Y x 5x 5 équation de la forme y ax by 4 4 4y 5x

13 Les droites verticales et horizontales Ces droites ont des équations du premier degré à une seule variable. Les équations des droites verticales ne contiennent que la variable «x» alors que les équations des droites horizontales contiennent seulement la variable «y». Dans un cas comme dans l autre, pour trouver la solution de l équation, on isole la variable. (voir section sec II). x 4 x 1 x x 1 4 méthode des opérations inverses x 3 L ensemble solution de cette équation inclut tous les points qui ont une première coordonnée égale à «-3». Ces points forment une droite verticale dans le plan cartésien. Table des valeurs x y abscisse à l ' origine ( ) 13

14 3 y 3 3y 6 3 3y 3 6 3y y 1 distributivité division par le coefficient L ensemble solution de cette équation est formé de tous les points qui ont une coordonnée «x» égale à «1». La représentation graphique de cet ensemble solution est une droite horizontale, à la hauteur «1» sur l axe des ordonnées. Table des valeurs x y ordonnée à l ' origine ( ) 1 Droites verticales Forme de l équation : Ordonnée à l origine : Abscisse à l origine : Taux de variation : x k aucun k non défini soient 3,1 et 3, 4 1 y y a x x non défini 14

15 Droites horizontales Forme de l équation Ordonnée à l origine : Abscisse à l origine : Taux de variation : y k k aucun 0 ou nul En effet : soient 1,1 et,1 1 y y a x x ou nul Situations de la vie courante Les droites servent à représenter des situations de proportionnalité, directe ou indirecte, sont lorsque deux grandeurs évoluent ensemble de façon constante. Exemple 1 : Si y représente mon salaire et x le nombre d heures que j ai travaillées, l expression «Je gagne 10$ de l heure» peut être représentée des façons suivantes : a) 15

16 b) abscisse à l ' origine x y ordonnée à l ' origine c) y 10x forme y ax ou y ax b alors que b 0 Exemple : «Après heures de route, il me restait 100 km à faire, après 3 heures, j étais rendu à destination.» a) 16

17 b) x y ordonnée à l ' origine abscisse à l ' origine 3 0 c) y 100x 300 forme y ax b 17

18 17. Sur un plan cartésien, représentez les couples suivants par des points: a b c d 1 5,1 3, e, f 3, 5, g 1,8;1, 0,0 18. Isoler y dans les équations suivantes: a y 4 6x d 3y 3 9x 3 1 b 10 x y 3 e x y 4 x 6 6 c x y 19. Isoler la variable: x 4 a x 3 0 c 3 7 b y y Indiquer le taux de variation, l ordonnée à l origine et l abscisse à l origine, des équations des questions 18 et 19, si elles existent et tracer les dans un plan cartésien. 18

19 1. Calculer le taux de variation (la pente) à partir de points. 3, 4,1 3, 0 3, 4 a et d et b, et 1,1 e, et 3, 3 5 c 1, et 4,8. À l aide des points du numéro 1, déterminer les équations des droites qu ils représentent. 3. Un trajet en taxi coûte 3,50$ à l embarquement et 8 00$ après 6 km. Représenter graphiquement cette situation dans un plan cartésien. 19