DEVOIR SURVEILLÉ DE MATHÉMATIQUES CONTRÔLE COMMUN N 1. Exercice n 1 (sur 9,5 points)

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1 5 ème /6 ème année décembre 2015 durée : 4 x 60 mn DEVOIR SURVEILLÉ DE MATHÉMATIQUES CONTRÔLE COMMUN N 1 Exercice n 1 (sur 9,5 points) Partie A. On considère la fonction définie sur l intervalle par ( ). 1. Etudier les limites de en et en. 2. a. Montrer que pour tout appartenant à l'intervalle on a ( ) b. Déterminer, en justifiant, le signe de. En déduire les variations de et dresser le tableau de variations de.. a. Démontrer que l équation ( ) admet dans l intervalle une solution unique. b. Donner une valeur approchée de à près. 4. Déduire de l étude précédente le signe de sur l intervalle. Partie B. On considère la fonction définie sur l intervalle par ( ) ( ). On note ( ) sa courbe représentative dans un repère orthogonal ( 1 cm sur l axe des ordonnées. ) d unité graphique 4 cm sur l axe des abscisses et 1. a. Calculer la limite de en. b. Calculer la limite de en 0. Interpréter graphiquement le résultat. 2. a. Calculer la fonction dérivée de la fonction. b. Montrer que est du même signe que En déduire les variations de et dresser le tableau de variations de. Déterminer l équation réduite de la tangente ( ) à ( ) au point d abscisse. 4. Construire avec soin ( ) ( ) et la tangente horizontale à ( ) dans le repère indiqué. 5 e /6 e 1/4 TC1

2 Exercice n 2 (sur 4,5 points) Soient ( ) et ( ) deux droites dans l espace muni d un repère orthonormal ( d unité graphique 1 cm. ) La droite ( ) passe par les points ( ) et ( ) et la droite ( ) est définie par une représentation paramétrique: ( ) { 1. Pour chacune des droites ( ) et ( ), déterminer un vecteur directeur. Calculer la mesure de l angle formé par ( ) et ( ). 2. Justifier que ces droites sont coplanaires.. On note ( ) le plan contenant les droites ( ) et ( ). Montrer que est une équation cartésienne de ( ) 4. On considère le plan ( ) d équation a) Montrer que les plans ( ) et ( ) sont perpendiculaires. b) Vérifier que ( ) est la droite d intersection des plans ( ) et ( ). c) Calculer la distance du point ( ) aux plans ( ) et ( ) En déduire la distance du point C à la droite ( ) 5 e /6 e 2/4 TC1

3 Exercice n (sur 6 points) QCM - les 12 questions de cet exercice sont indépendantes. Exactement une réponse est correcte. Noter sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie et donner la justification de cette réponse. Chaque bonne réponse avec la justification rapporte 0,5 point, chaque bonne réponse sans justification ou l absence de réponse vaut 0 point. Q1. La partie réelle du nombre complexe 2 z 2 i est : a) 2 b) 4 c) d) 1 2i Q2. La partie imaginaire du nombre complexe z est : 1 i a) b) c) d) Q. Soit un nombre complexe. z i est égal à : a) z 1 b) z 1 c) i z 1 d) z i Q4. Soit le nombre complexe de module et d'argument La forme algébrique de est égale à : a) i b) 1 i c) i d) 1 i Q5. La forme trigonométrique du nombre complexe est : a) 2 2 cos i sin b) 2 2 cos i sin c) 2 2 cos i sin d) 2 2 cos i sin Q6. La forme trigonométrique du nombre complexe cos i sin z est : cos i sin a) cos i sin b) cos i sin c) cos i sin d) cos i sin e /6 e /4 TC1

4 Q7. Soit un nombre complexe non nul d argument Quel réel ci-dessous est un argument de 1 i z? 2 a) 1 b) 1 c) 2 d) z 2 Q8. L'ensemble des solutions dans de l'équation z est : z 1 a) 1 i;1 i b) 1 i c) i d) l' ensemble vide Q9. L équation 2 z z 9 i admet une seule solution qui est égale à : a) b) c) d) Q10. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( ) Soit le point d'affixe et le point d'affixe L'ensemble des points d'affixe tel que est : b) le cercle de diamètre c) le cercle de centre A a) l'ensemble vide d) la droite (AB) [AB] et de rayon 2 Q11. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( ) Soient A le point d'affixe 1 + i et B le point d'affixe 1 - i. L'ensemble des points d'affixe tel que est : a) le milieu du segment b) la droite ( ) c) l axe réel d) l'ensemble vide Q12. Soient et trois points non alignés du plan complexe rapporté à un repère orthonormal ( ) d'affixes respectives telles que Il en résulte que : a) est un b) le triangle c) est le milieu d) parallélogramme est isocèle en de 5 e /6 e 4/4 TC1

5 Barème /20 Exercice 1 9,5 A1 1,25 (en 0 : 0,75 = 0,25 rés. + 0,5 just., en : 0,25 rés. + 0,25 just.) A2a 0,5 A2b 1,25 (0,5 signe du trinôme + 0,25 signe de g + 0,5 tableau avec lim.) Aa 1 ( x 0,25 + 0,25 conclusion) Ab 0,5 A4 0,25 B1a 0,5 (0,25 rés. + 0,25 just.) B1b 1 (0,25 rés. + 0,5 just. + 0,25 asympt.) B2a 0,75 (0,25 produit + 0,25 dérivée + 0,25 factorisation) B2b 1 (0,25 signe de f +0,75 tableau) B 0,5 B4 1 (0,25 repère + 0,25 (t) + 0,25 tgte. hor. + 0,25 courbe) Exercice 2 4,5 1 1 (0,25 + 0,25 vecteurs + 0,5 angle) 2 0,75 (0,25 équation de (AB) + 0,5 sol. du système) 0,75 (0,5 v. normal + 0,25 équation du plan) 4a 0,5 4b 0,5 4c 1 (0,25 + 0,25 distances aux plans + 0,5 distance à la droite) Exercice 6 Q1 0,5 Q2 0,5 Q 0,5 Q4 0,5 Q5 0,5 Q6 0,5 Q7 0,5 Q8 0,5 Q9 0,5 Q10 0,5 Q11 0,5 Q12 0,5 5 e /6 e 5/4 TC1