T.S L 2. Limite d une fonction. Limites de fonctions, continuité et dérivabilité. I.1 Activités. I.2 Définitions

Transcription

1 T.S Limites de fonctions, continuité et dérivabilité. L 2 Le second degré, vu en classe de ère S, est à connaître IMPÉRATIVEMENT : solutions événtuelles d une équation du second degré, signe d une epression du second degré, représentation graphique et variations d une fonction polynomiale du second degré. I Limite d une fonction I. Activités Celles du livre page 52 : 2,3 et 4. I.2 Définitions I.2. Limites en + et en ( ± ) f est une fonction définie sur un intervalle de la forme I α = [α; + [ ou I β =] ; β].. Ä ÆÑ Ø Å Ò + Ø Ò ± µ D é f i n i t i o n : n dit que f() tend vers + lorsque tend vers +, quand tout intervalle du type [A; + [ contient toutes les valeurs de f() pour assez grand. Cela se note f() = + Ce qui se traduit concrètement et rigoureusement par : «pour tout A R, il eiste un réel A (qui dépend de A) tel que : I α et A implique que f() A ( ou encore f() [A; + [ )» [ α Remarque Utiliser la définition pour prouver que f() = + revient à chercher s il eiste des solutions dans I α à l inéquation f() A et ceci pour n importe lequel des nombres A que je choisis. Eemple f() = 2 définie sur I 0 = [0; + [ (f() 0 donc choi de A 0) A = 00 A = A quelconque positif EXERCICE Prouver que = + D é f i n i t i o n : n dit que f() tend vers lorsque tend vers +, quand tout intervalle du type ] ; B] contient toutes les valeurs de f() pour suffisamment grand. Cela se note / 2 f() = My Maths Space - 206

2 EXERCICE 2 (a) Écrire deu définitions analogues traduisant f() = + et f() = (b) Donner un eemple de fonction pour chacune des ites précédentes. Fonctions de référence dont il faut retenir les ites 2. Ä ÆÑ Ø ÆÒ f() l µ = 2 = + 2 = + n = + (n N ) 3 = { + si n est pair = + n = si n est impair D é f i n i t i o n : n dit que f() tend vers l lorsque tend vers +, quand tout intervalle ouvert contenant l, contient toutes les valeurs de f() pour suffisamment grand. Cela se note f() = l Traduction rigoureuse : «pour tout ǫ > 0, il eiste un réel ǫ (qui dépend de ǫ) tel que : I α et ǫ implique que f() l < ǫ ( ou encore f() ]l ǫ; l + ǫ[ )» l + [ α Remarque 2 Utiliser la définition pour prouver que f() = l revient à chercher s il eiste un nombre à partir duquel tous les nombres plus grands sont solutions dans I α de l inéquation f() l < ǫ et ceci pour n importe lequel des nombres ǫ que je choisis. Eemple 2 f() = définie sur I 0 =]0; + [ ǫ = 0, ǫ = ǫ quelconque positif EXERCICE 3 Prouver que = 3 n dit que f() tend vers l lorsque tend vers,... n note... EXERCICE 4 Donner un eemple de fonction : une vérifiant 2 / 2 h() = et l autre g() = 2 My Maths Space - 206

3 Fonctions de référence dont il faut retenir les ites 3. Asymptote horizontale = 0 2 = 0 n = 0 (n N ) = 0 = 0 2 = 0 n = 0 (n N ) Lorsque f a pour ite l en + (en ), on dit que la droite d équation y = l est asymptote horizontale à la courbe C f en + (en ). D un point graphique, la courbe de f «se rapproche» de la droite d équation y = l. f() = l f() = l l + l + [ α ] β Eemple 3 Traduire graphiquement la ite de l eercice 3. I.2.2 Limite d une fonction en un réel a ( a ) f est définie sur un ensemble (intervalle, réunion d intervalles,...) dont a est l une des bornes.. Ä ÆÑ Ø ÆÒ ÆÒ f() µ n dit que f() tend vers + lorsque tend vers a, quand tout intervalle de la forme [A; + [ contient toutes les valeurs de f() pour assez proche de a. Cela se note a f() = + Traduction approimative : «Il eiste des proche de a dont l image dépasse n importe lequel des nombres que je choisis» Eemple 4 Déterminer 0 2 Faire un schéma illustrant le résultat. 2. Ä ÆÑ Ø ÆÒ f() l µ n dit que f() tend vers l lorsque tend vers a, quand tout intervalle ouvert contenant l, contient toutes les valeurs de f() pour assez proche de a. Cela se note a f() = l Remarque 3 Dans certains cas, pour proche de a, f() prend des valeurs positives très grandes et des valeurs négatives très petites suivant que est inférieur ou supérieur à a, donc f n a pas de ite en a. 3 / 2 My Maths Space - 206

4 Eemple 5 f : 3. Étude en f() f() 3. Å ÆÝ Ñ Ô Ø Ó Ø Ú Ö Ø Ð Lorsque a f() = + ou, on dit que la droite : = a est asymptote verticale à C f et cette définition se généralise au ites à gauche ou à droite. Illustrations : f() = + a f() = a f() = +, f() = a >a a <a I.3 pérations sur les ites n considère deu fonctions f et g, admettant des ites soit en, soit en +, soit en un réel a. Limite d une somme f l l + + g l ± + (f + g) FI Limite d un produit f l l g l ± + ± (f g) FI Limite d un quotient f l l + l 0 0 ± g l 0 ± l 0 l ± ( f g ) FI FI Ø Ø Ò Ø Ó Ò Ò Ó Ñ Ö Ù Å Ø Ù Ø Ó Ò Ò Å Ø Ò Ø Ð Ù Ø Ð Ø Ó Ò Ð Ö Ð Å Ò Å Ð Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ø Ó Ò Ó Ù Ð ÆÚ Ó Ò Ó Ò Ø Ð Å Ñ Ñ Å µ Eemple 6 Déterminer la ite en 3 de f : ( 3) 2 4 / 2 My Maths Space - 206

5 I.4 Limites en + et d une fonction polynôme Limite d une fonction polynôme en ± En + et en uniquement, la ite de la fonction polynôme définie sur R par : est celle de la fonction a n n. a n n a + a 0 (avec a n 0) Ç Ò Ø Õ Ù ³ Ð ÆÒ ÆÒ ÙÆÒ Ó Ò Ø Ó Ò Ô Ó Ð Ý Ò Ñ Ñ Ñ Ð ÆÑ Ø Õ Ù Ó Ò Ø ÖÆÑ Ô Ð Ù Ù Ø Ö º Eemple 7 Étudier la ite en + de la fonction I.5 Limites en + et d une fonction rationnelle Limite d une fonction rationelle en ± En + et en uniquement, la ite de la fonction rationnelle définie sur R {v.i} par : a n n a + a 0 b p p b + b 0 (avec a n 0 et b p 0) est celle de la fonction a n n b p p Ç Ò Ø Õ Ù ³ Ð ÆÒ ÆÒ ÙÆÒ Ó Ò Ø Ó Ò Ö Ø Ó ÒÆÒ Ð Ð Ñ Ñ Ð ÆÑ Ø Õ Ù Ð Ö Ô Ô Ó Ö Ø Å Ø ÖÆÑ Å Ô Ð Ù Ù Ø Ö º Eemple 8 Étudier la ite en + de la fonction I.6 Théorèmes de comparaison Les résultats ci-dessous permettent, dans certains cas, de déterminer la ite lorsque tend vers a (a fini ou infini) d une fonction f, par comparaison à d autres fonctions dont le comportement est connu. Théorème des gendarmes (Limite finie) Si, pour assez «proche» de a, on a l encadrement u() f() v(), et si u et v ont la même ite l en a, alors a f() = l traduction graphique pour a = + Eemple 9 : ]0; ], 2 f() 3. Quelle est la ite de f en +? Eemple 0 : ]; + [, f(). Quelle est la ite de f en +? 5 / 2 My Maths Space - 206

6 Théorèmes de comparaison (Limite infinie) Si, pour assez «proche» de a, on a l inégalité f() u(), et si u() = +, alors f() = + a a Si, pour assez «proche» de a, on a l inégalité f() u(), et si u() =, alors f() = a a Eemple Étudier le comportement de f : 2 sin en +. I.7 Limite d une fonction composée a, b et l sont chacun un réel ou l un des symboles ou. Si a f() = b et y b g(y) = l alors a g o f() = l schéma de composition f f() g y g(y) = g(f()) Eemple 2 : Étudier la ite éventuelle en + de u : a b L II Continuité d une fonction sur un intervalle Soit a un réel et f une fonction définie sur un intervalle I contenant a. a admet une image f(a). Mise en route, le document... II. Continuité en a La fonction f est continue en a si f() = f(a) a La fonction f est continue sur l intervalle I si f est continue en tout réel a de I. Si f n est pas continue en a, on dit que f est discontinue en a. Remarque 4 Compte-tenu de ce qui précède, une fonction f est continue en a si elle admet une ite en a : ce sera obligatoirement f(a). Eemple de fonction non continue en : (discontinuité en ) Eemple 3 j i f() = { 2 pour < pour j i La fonction inverse est continue sur ] ; 0[ ]0; + [. 6 / 2 My Maths Space - 206

7 Important : Les fonctions polynômes, les fonctions rationnelles, les fonctions trigonométriques, les fonctions usuelles vues en seconde et en première, les composées de ces fonctions sont continues sur leur ensemble de définition. { EXERCICE 5 n considère la fonction h définie sur R par f() = pour < 0 k pour 0 Pour quelle valeur de k, la fonction f est-elle continue sur R? II.2 Théorème des valeurs intermédiaires Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a et b deu réels de I. Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il eiste un réel c compris entre a et b tel que : f(c) = k. Interprétation graphique Nécessité de la continuité j i j i Eemple 4 En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires sur un intervalle convenablement choisi, démontrer que l équation 3 3 = admet au moins une solution.... j i II.3 Théorème de la bijection Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I et a et b deu réels de I. Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il eiste un unique réel c compris entre a et b tel que : f(c) = k. Remarque 5 : Dans un tableau de variation, la flêche indique la continuité et la stricte monotonie. Ainsi le théorème de la bijection s applique dans l une des deu situations suivantes : a c b a c b Variations de f f(a) k f(b) Variations de f f(a) k f(b) Eemple 5 Reprendre l eemple 4 et dénombrer le nombre de solutions sur R. 7 / 2 My Maths Space - 206

8 II.4 Résolution d équations Une équation (E) étant donnée, on se ramène à une équation de la forme f() = k où k est un réel (souvent k = 0, sinon on peut s y ramener) et f une fonction continue sur un intervalle à préciser (si ce n est déjà fait). Méthode Si la question consiste à justifier l eistence de solutions, on utilise éventuellement le théorème des valeurs intermédiaires. Si la question fait allusion à l eistence d une unique solution sur un intervalle ou du nombre de solutions de l équation, on utilise le théorème de la bijection. (calcul de dérivée et tableau de variation) Si l on demande eplicitement les valeurs approchées de solutions, on utilise la calculatrice ou un ordinateur : tableau de valeurs et balayage ou dichotomie Eemple 6 Donner la valeur arrondie au centième des solutions de l équation de l eemple 2. III Dérivabilité d une fonction sur intervalle Soit f une fonction définie sur un intervalle I, et a un réel de I. III. Rappel : dérivabilité et nombre dérivé. ÆÒ Ø Ó Ò n dit que f est dérivable en a lorsque le tau d accroissement de f en a admet une ite L en a, c est à dire lorsque : f() f(a) f(a + h) f(a) = l ou écrit autrement, = l a a h 0 h Dans ce cas, l est appelé le nombre dérivé de f en a, et on note f (a). 3 2 Interprétation graphique : 4 3 a f() f(a) Le tau d accroissement est la pente de la droite a passant par les points A(a; f(a)) et M(; f()). Lorsque tend vers a, le point M se «rapproche» de A et la droite devient la tangente à la courbe de la fonction en A Õ Ù Ø Ó Ò Ð Ø ÆÒ Ò Ø f est une fonction dérivable en a. L équation de la tangente à C f au point d abscisse a est : y = f (a)( a) + f(a) 3. Ó Ò Ø Ó Ò Ò Ó Ò Ö ÆÚ Ð Ò ÙÆÒ Ö Ð a Il ne s agit pas de tenir un dicours théorique sur la dérivabilité. A partir de deu eemples comprendre ce qu est une fonction non dérivable en un réel a. 8 / 2 My Maths Space - 206

9 n définit la fonction f sur ]0; + [ de la façon suivante : f() = pour 0 < < pour La fonction f est-elle dérivable en? Est-elle dérivable sur ]0; + [? j i Prouver que la fonction n est pas dérivable en 0 (Elle est donc continue sur [0; + [ et dérivable sur ]0; + [) 4. Ö ÆÚ Ð Ø Ø Ó Ò Ø ÆÒ Ù Ø Si une fonction f est dérivable sur un intervalle I alors elle est continue sur cet intervalle. III.2 Calculs de dérivées. Ó Ò Ø Ó Ò Ö ÆÚ Lorsqu une fonction est dérivable en tout nombre d un intervalle I, nous pouvons définir la fonction dérivée : f : f () sur I Avec la notation différentielle (Sciences physiques, Enseignement supérieur,...), f se note encore df d 2. Ö ÆÚ Å Å Ó Ò Ø Ó Ò Ù Ù Ð Ð Å Fonction Dérivée Ensemble de dérivation k,k R 0 R R 2 2 R R n,n N n n R 2 n,n N n n+ 2 ] ; 0[ ou ]0; + [ ] ; 0[ ou ]0; + [ ]0; + [ sin cos R cos sin R tan cos 2 = + tan2 ] π2 + kπ; π2 [ + kπ,k Z 9 / 2 My Maths Space - 206

10 3. Ö ÆÚ Ð Ó Ò Ø Ó Ò u() Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. La fonction f : u() est dérivable sur tout intervalle J inclus dans I tel que, pour tout de J, u() > 0. n a, pour tout J, f () = u () 2 u() Eemple 7 Dérivabilité de 2 3 sur un intervalle J à déterminer Ö ÆÚ Ð Ó Ò Ø Ó Ò [u()] n n Z Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. La fonction f : [u()] n (n Z ) est dérivable : sur I, si n > 0 ; sur tout intervalle J inclus dans I tel que, pour tout de J, u() 0, si n < 0. n a, pour tout de l ensemble de dérivabilité de f, f () = n u () [u()] n Eemple 8 Dérivabilité de g : ( ) 2 et de h : ( ) Ö ÆÚ ³ ÙÆÒ Ó Ò Ø Ó Ò Ù Ø ÝÅÔ f o u Ó u Å Ø ÆÒ Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, a et b sont deu nombres réels. La fonction g : f(a + b) est dérivable sur tout intervalle J tel que, pour tout de J, a + b I. n a, pour tout J, g () = a f (a + b) Eemple 9 Dérivabilité de g : cos(2 ) Ö ÆÚ ³ ÙÆÒ Ó Ò Ø Ó Ò Ó Ñ Ô Ó«Ò Ö Ð Schéma de composition de f = v o u u u() v y v(y) = v(u()) I y J v o u() R 7. Ö ÆÚ Å Ø Ó«Ô Ö Ø Ó Ò T H É R È M E : u définie et dérivable sur I et à valeurs dans J (u() J) ; v dérivable sur J La fonction f = u o v est dérivable sur I et : pour tout I, f () = u () v (u()) pération Fonction Dérivée Multiplication par un scalaire ku ku Addition u + v u + v Multiplication uv u v + uv Inverse Quotient u u v u u 2 u v uv Composition v o u u (v o u) 0 / 2 v 2 My Maths Space - 206

11 III.3 Dérivées et variations. Variations d une fonction (rappels) Soit f une fonction dérivable sur un intevalle I : Si la dérivée f est nulle sur I, alors f est constante sur I ; Si f est strictement positive sur I, sauf peut-être en des points isolés où elle s annule, alors f est strictement croissante sur I ; Si f est strictement négative sur I, sauf peut-être en des points isolés où elle s annule, alors f est strictement décroissante sur I ; 2. f dérivable sur un intervalle ouvert I et 0 un réel de I. Si en 0 la dérivée f s annule en changeant de signe, alors f admet un etremum local en 0 (minimum ou maimum). IV Cosinus et sinus : point de vue fonctionnel IV. Définitions Soit R. n définit deu fonctions, cos : R R cos() De cos( ) = cos(), il résulte que deu nombres opposés ont la même image. D un point de vue graphique la courbe représentative de la fonction cosinus C cos est symétrique par rapport à l ae des ordonnées. sin : R R sin() De sin( ) = sin(), il résulte que deu nombres opposés ont des images opposées. D un point de vue graphique la courbe représentative de la fonction sinus C sin est symétrique par rapport à l origine du repère. De cos( + 2kπ) = cos(), il résulte que deu nombres «distants» d un multiple de 2π ont la même image. De sin( + 2kπ) = sin(), il résulte que deu nombres «distants» d un multiple de 2π ont la même image. D un point de vue graphique les courbes représentatives des fonctions cosinus C cos et sinus C sin sont composées d un «motif» qui se répète : on dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2π. Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur R et, É Ù Ð Õ Ù Å Ó ÖÆÑ Ù Ð Å R, (cos) () = sin() et (sin) () = cos() R, cos 2 () + sin 2 () = ; (, y) R 2, cos( + y) = cos() cos(y) sin() sin(y) ; (, y) R 2, cos( y) = cos() cos(y) + sin() sin(y) ; (, y) R 2, sin( + y) = sin() cos(y) + cos() sin(y) ; (, y) R 2, sin( y) = sin() cos(y) cos() sin(y) ; en particulier, R, sin(2) = 2 sin() cos() ; et, R, cos(2) = cos 2 () sin 2 () = 2 cos 2 () = 2 sin 2 () ; il y en a plein d autres :-) / 2 My Maths Space - 206

12 IV.2 Variations des fonctions cosinus et sinus π/2 π/2 croît sin() décroît croît sin() croît π cos() décroît 0 π 0 cos () = sin() 0 π sin () = cos() 0 π 2 π + 0 Variations de cos Variations de sin 0 0 IV.3 Courbes Courbes C cos et C sin π π/2 π/2 π C sin C cos IV.4 Eemple d étude de fonction trigonométrique n considère la fonction h : R R cos(2) sin(). Étudier les variations de h sur [ 0; π 2 ]. 2. Pour tout réel, calculer h ( π 2 + ) h ( π 2 ). Que peut-on en déduire pour la courbe de h?. 3. Pour tout réel, calculer [h(π ) + h(π + )]. Que peut-on en déduire pour la courbe de h? Calculer, pour tout réel, h( + 2π). En déduire le tracé de C h. 2 / 2 My Maths Space - 206