TS Limites de fonctions Cours

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1 TS Limites de fonctions Cours I. Limites à l infini. Limite infinie en + ( 3 ) Définition Une fonction f a pour limite + en + si pour toute valeur réelle A, on a f() > A pour assez grand c est à dire pour : pour tout A réel, il eiste 0 réel tel que : > 0 implique f() > A On note lim f( ) = + + Remarque : on définit de même lim f( )=+ Interprétation graphique : f a pour limite + en + Les images f() sont plus grandes que n importe quel réel fié, à condition de prendre assez grand f a pour limite - en + : Eemple : démontrer à l aide de la définition que lim = 2. Limite finie en + ( + ) Soit l un nombre réel Définition Une fonction f a pour limite le nombre l en + signifie que : Tout intervalle ouvert de centre l contient toutes les valeurs f() pour suffisamment grand On note lim f( ) = l ( cette définition traduit l accumulation des valeurs de f() autour de l ) + Remarque : lim f( )= l signifie Interprétation graphique : Quel que soit l intervalle ouvert I contenant l et aussi petit soit-il, on peut trouver un réel A tel que Si > A alors f() I

2 Définition On dit que la droite d équation y = l est asymptote horizontale à C f en + Remarque : si f a une limite l en + ou -, celle-ci est unique 2 Eemple : Démontrer à l aide de la définition que lim + 2 = 0 ; en déduire une asymptote horizontale Eemple : On considère la fonction f dont le tableau de variations est donné ci-dessous f - - a. Déterminer la limite de f en + et b. Interpréter graphiquement ces résultats ( asymptote ) c. Proposer une courbe pouvant représenter f 3. Limite des fonctions usuelles Propriété Les fonctions, ², n ( n N*), ont pour limite 0 quand tend vers + et - (sauf Si n est pair : lim + n = lim n = + Si n est impair : lim + n = + lim n = ) 2

3 La fonction eponentielle Propriété lim + e = + et lim e = 0 Preuve : ROC. Montrons que R, e > On étudie la fonction d définie sur R par d() = e d () = e d où le tableau: d () d Donc pour tout réel, d() > 0 et e > 2. Soit A réel. On cherche pour quelle valeur de on a :e > A Or : e > pour tout réel donc dès que > A on a e > A On en déduit : lim + e = + 3. lim e = lim + e = lim Or : lim + e = + donc lim + + e e = 0 =lim e = 0 II. Limite en a, a réel Eemple : pour On veut calculer f() pour des valeurs de aussi proches que l on veut de mais différentes de 0,8 0,9 0,95 0,99 0,999,00,0 f(). Limite infinie asymptote verticale Définition Soit f une fonction définie sur une partie de R contenant un intervalle du type ]a h ; a[ ou ]a ; a + h[ où h > 0 3

4 f a pour limite + quand tend vers a si f() est aussi grand que l on veut à condition de prendre suffisamment proche de a Ie : tout intervalle du type ]A ; + [ contient toutes les valeurs de f() dès que est suffisamment proche de a On note : lim a f() = + On définit de manière analogue: lim a f() = Graphiquement : Tableau de variations ( Définition ) La droite d équation = a est asymptote verticale à la courbe représentative de f si lim a f() = + ou lim a f() = On doit parfois distinguer une limite à gauche et une limite à droite en a On note : lim a <a f() = ou lim a f() =. pour une limite à droite en a lim f() = ou lim a+ f() =. Pour une limite à gauche en a a >a Eemple: Soit f une fonction définie sur ] 2 ; 4 [ ]4 ; 0 [ telle que : f est décroissante sur ] 2 ; 4 [ et sur ]4 ; 0 [ lim 2 > 2 f() = + ; lim f() = ; lim f() = + ; f(0) = 4 <4. Dresser le tableau de variations de la fonction f 2. La courbe C admet-elle des asymptotes? 3. Tracer dans un repère la courbe C et ses asymptotes 4 >4 4

5 2. Fonctions usuelles Propriété lim 0 = + ; lim 0 > 0 < 0 = - ; lim 0 ² = + 3. Limite finie en un réel a On admet que : lim a k = k, k étant un réel ; lim a n = a n, n N lim a = a, pour a 0 ; lim a = a Eercices : 0, 3 page 95 ; 53, 55 page 03 ; 57 page 04 5

6 III. Opérations sur les limites. Règles opératoires 6

7 2. Déterminer une limite a. Pour déterminer une limite, on utilise d abord les théorèmes générau Déterminer : lim + (2 ) ; lim + 2 ( 2) ; lim (2 2 8) ; lim b. Lever une indétermination pour une fonction polynôme Eemple : Déterminer lim La limite d une fonction polynôme à l infini est égale à la limite de son terme de plus haut degré c. Etude d une fonction rationnelle A l infini Déterminer lim + 4² La limite d une fonction rationnelle à l infini est égale à la limite du quotient des termes de plus haut degré Eemple : Soit f la fonction définie sur l intervalle ]0,5 ; + [ par f() = 4+3 Déterminer la limite de f en + et en déduire l eistence d une asymptote (d) à C f Etudier la position relative de (d) et C f Déterminer un nombre A > 0,5 tel que pour tout nombre > A, f() 2 < 0,005 2 limite en la racine du dénominateur Déterminer lim on calcule séparément la limite du numérateur et du dénominateur ( on pourra distinguer limite à droite et à gauche ) on applique les propriétés sur la limite d un quotient 7

8 d. La fonction eponentielle Propriété ( croissances comparées) lim + e = + ; lim e = 0 Eemple : Déterminer lim + e 4. Théorèmes de comparaison a) Théorème d encadrement ( gendarmes) admis f, g et h sont 3 fonctions ; a représente un réel, ou + ou - ; l est un nombre réel. Si pour tout réel voisin de a : g() f() h() avec Alors lim a f( ) = l lim a g( ) = lim a h( ) = l Eemple Déterminer la limite en + et - de 7 2sin 3 + b) Théorème à l infini ( admis ) Eemples: Limite en + de la fonction : + cos () Limite en 0 de g 2 cos() Application : démonstration des croissances comparées Preuve : ROC f, g et h sont 3 fonctions, a représente un réel, ou + ou -. Si pour tout voisin de a, f() g() et lim a g() = +, alors lim a f() = + Si pour tout voisin de a, f() < g() et lim a g() =, alors lim a f() = On considère la fonction définie sur [0 ; + [ par : f() = e 2 2 On étudie son sens de variations et on montre que : pour tout > 0, e lim + = + donc d après le théorème de comparaison, lim 2 + lim e = lim + e = lim + = 0 e > 2 e = + 8

9 5. Limite d une fonction composée Théorème ( admis) f et g sont 2 fonctions. a, b et c désignent soit un réel, soit + ou -. Si lim f( ) = b et si lim a b g() = c alors lim a (g(f()) = c tend vers a,donc y = f() tend vers b f() et g(y) tend vers c lorsque y tend vers b y g(y) = g(f()) or g(y) = (f()), donc gof tend vers c Eemples : Limite de h : + lim + sin ( π + 3 2) lim + + quand tend vers + et 0 + a b c IV. Continuité f est une fonction définie sur un intervalle I. Définition Activité 2 page 7 Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I, de courbe représentative C f. Soit a un réel de I. La fonction f est continue en a si C f ne présente pas de «rupture» au point a. La fonction f est continue sur l intervalle I si elle est continue en tout point de I. Interprétation graphique La courbe représentative d une fonction continue sur un intervalle I se reconnaît au fait que son tracé s effectue sans lever le crayon. Eemples : fonction carré, inverse + une discontinue 9

10 Tableau de variations d une fonction continue Par convention, les flèches obliques du tableau de variations traduisent la continuité et stricte monotonie de f sur l intervalle correspondant f() 2 0 Eemples : si Soit f la fonction définie par f() = { 3 si > Représenter graphiquement la fonction f. Est-elle continue sur R? La fonction partie entière E 2. Propriétés ( admises) Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors f est continue sur I Remarque : réciproque fausse La fonction est continue en 0 mais non dérivable en 0 Les fonctions polynômes sont continues sur R La fonction valeur absolue est continue sur R La fonction inverse est continue sur chacun des intervalles ]- ; 0[ et sur ]0 ;+ [ La fonction racine carrée est continue sur [0 ;+ [ Toutes les fonctions définies comme somme, produit,quotient Eercices : des cours fonctions 52, 55 page usuelles 30 ; sont maison continues 54 page sur 30 tout, 59 page intervalle 3 où elle sont définies 3. Equation f() = k sur un intervalle [a ;b] Soit f une fonction continue sur un intervalle I, a et b deu réels de I. Si k est un réel compris entre f(a) et f(b), les points A(a ; f(a)) et B(b ; f(b)) sont situés de part et d autre de la droite D d équation y = k. Comme f est continue sur l intervalle I, la courbe relie les points A et B par un trait continu et coupe donc au moins une fois D Illustration Geogebra 0

11 Théorème des valeurs intermédiaires (admis) Soit f une fonction continue sur un intervalle I, a et b 2 réels de I. Pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), il eiste au moins un réel c compris entre a et b tel que f ( c ) = k c est à dire : f prend entre a et b, toute valeur intermédiaire entre f(a) et f(b) Application à la résolution d équations : Dans les conditions du théorème précédent, pour tout nombre réel k compris entre f(a) et f(b), l équation f() = k admet au moins une solution c comprise entre a et b. Remarque : Le TVI est un théorème d eistence, il affirme l eistence d au moins une solution à l équation f() = k Eemple : f est une fonction définie sur [-3 ; 4 ] dont le tableau de variations est : f() 3-6 a. Déterminer le nombre de solutions de l équation f() = 0 ; f() = 2 ; f() = 4 b. Discuter suivant la valeur de m du nombre de solutions de l équation f() = m 4. Fonction continue strictement monotone Question : Le nombre c n est pas forcément unique Que faut-il rajouter comme hypothèse pour avoir l unicité? Théorème de la bijection Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a ; b]. Si k est un réel compris entre f(a) et (b), Alors : l équation f() = k admet une unique solution dans l intervalle [a ;b] a c b f(b) f() k f(a)

12 a c b f(a) f() k f(b) Eemple : f est une fonction continue sur l intervalle [-2 ;] dont le tableau de variations est : f() -6-2 a. Démontrer que l équation f() = admet une unique solution α b. La fonction f est définie par f() = ² 2. Donner une valeur approchée de α à 0-2 près. Donner un encadrement de α d amplitude 0, 5. Généralisation à un intervalle quelconque Le théorème précédent se généralise à un intervalle ouvert ou semi-ouvert L image de I par f est l intervalle Si I = f est strictement croissante sur I f est strictement décroissante sur I [a ; b ] [f(a) ; f(b) ] [f(b) ; f(a) ] ]a ; b ] ] lim f() ; f(b) ] a [f(b) ; lim f() [ a [ a ; b [ [ f(a) ; lim ] lim f() [ b ] a ; b [ ] lim f()) ; lim f() [ a b f() ; f(a) ] b ] lim f()) ; lim f() [ b a Méthode de dichotomie 2