Exercice 1 sur 5 points Cet exercice est commun à tous les candidats

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1 Eercice sur 5 points Cet eercice est commun à tous les candidats Soit f une fonction définie sur ]0 ; + [. On note C f sa courbe représentative dans un repère orthonormal représentée en annee. - La courbe C f coupe l ae des abscisses en A ; 0 et en B ; - La tangente en A à la courbe C f coupe l ae des ordonnées en D ; - On sait également que C f admet au point C d abscisse e une tangente horizontale d équation y. y Annee - E. C C f O A e B D Lycée Beaussier La Seyne sur Mer Mars 07

2 Sachant que f est de la forme f a + b ln ln, déterminer les réels a et b. f est dérivable sur ]0 ; + [, comme produit de fonctions dérivables. f U V avec U a + b ln et V ln f U V + U V avec U b et V fonction ln dérivée f b ln + a + b ln f a + b ln b ln b U.V U.V + U.V C e ; C f f e 0 fe f e 0 a + b a+b e 0 a + b a + b 0 a b On admet pour la suite que : f ln ln. a Calculer la limite de f en 0 et la limite de f en +. lim ln + lim f lim ln ln par produit avec lim ln lim f lim ln ln + + par produit avec 0 lim ln + ln + lim + b Déterminer la fonction dérivée de f puis dresser le tableau de variation de f sur ]0 ; + [. a Avec j obtiens d après la question f ln b Sur ]0 ; + [, f est donc du signe du numérateur : ln 0 ln 0 < e d où le tableau des variations de f : B 0 e + f + 0 f 0 0 Lycée Beaussier La Seyne sur Mer Mars 07

3 a On admet ici que l abscisse de B appartient à l intervalle [7 ; 8]. Écrire ci-dessous, en annee, un algorithme afin d en obtenir un encadrement d amplitude 0. On peut procéder par dichotomie mais on présente ici un algorithme par balayage sur l intervalle [7 ; 8] avec un pas de 0,. Annee - E. Variables Traitement Sortie t est un nombre réel appartenant à l intervalle [7 ; 8] t prend la valeur 7 tant que ln t ln t > 0 t prend la valeur t + 0, Fin tant que Afficher «L abscisse de B appartient à l intervalle» ]t 0, ; t[ b Déterminer par le calcul l abscisse eacte du point B. L abscisse du point B est solution de l équation f 0 ln ln 0 ln 0 ou ln 0 } e ou S ; e On retrouve l abscisse du point A : A ; l abscisse du point B est donc B e 4 Déterminer l ordonnée eacte du point D. L ordonnée du point D correspond à l ordonnée à l origine de la tangente en A à la courbe C f d équation y f f 0 + f avec f ln Par suite y D f f 0 5 Soit la fonction g définie sur ]0 ; + [ par g f + ln 4. a Démontrer que g est une primitive de f sur ]0 ; + [. La fonction g est dérivable sur ]0 ; + [ comme somme et produit de fonctions dérivables. g U V avec U et V f + ln 4 g U V + U V avec U et V f + g f + ln 4 + f + f + ln 4 + ln + f g f g est une primitive de f sur ]0 ; + [ fonction ln dérivée U.V U.V + U.V Lycée Beaussier La Seyne sur Mer Mars 07

4 b En déduire le tableau de variations de g sur [ ; 8]. Pour les variations de g, on utilise le tableau des variations de f de la question b pour déterminer le signe de g f : B e 8 g f + 0 g 4 0 g8 Eercice sur 5 points Cet eercice est commun à tous les candidats Dans le plan complee rapporté à un repère orthonormal O, u, v dans lui-même qui, à tout point M d affie z associe le point M d affie z telle que : z z 4z, on considère l application f du plan Soit A et B les points d affies : z A i et z B + i a Calculer les affies des points A et B, images des points A et B par f. pt + pt z A z A 4z A i }} i+i 4 i 4 + i et z B z B 4z B + i 4 + i 4 + i }} 9+6i+i b Décrire l ensemble des points M d affie z tels que z fz soit un nombre réel puis représenter cet ensemble sur l annee. On pose z + iy la forme algébrique de z. z z 4z + iy 4 + iy 4 y + i y 4y }} +iy y Re z 4 y et Im z y 4y pt + pt z R Im z 0 y 4y 0 y 0 y 0 M z appartient à l ae O, u z R y 0 y 0 ou L ensemble des points M z tels que M z appartienne à l ae O, u est la réunion des deu droites d équations respectives y 0 et Lycée Beaussier La Seyne sur Mer 4 Mars 07

5 Annee - E. 4i M 4e i π A B i i z i z B y 0 M 4 I v M O u 4 z i A z i i 4i M 4 4e i 5π Soit I le point d affie. a Démontrer que OMIM est un parallélogramme si, et seulement si, z z + 0. OMIM est un parallélogramme M I OM z M I z OM OMIM est un parallélogramme z + 4z z 0 z z + 0 b Résoudre l équation z z + 0 puis tracer sur l annee les éventuels quadrilatères OMIM qui sont des parallélogrammes. Soit l équation du second degré z z + 0, 4 i. Il y a donc deu solutions complees et conjuguées : z i et z z + i i + i } S ; par suite les points M tels que OMIM est un parallélogramme sont les points d affies z et z. On considère maintenant le point M d affie z 4e iθ avec θ [0 ; π[. a Justifier que le point M est sur un cercle C dont on précisera le centre et le rayon. z 4 OM 4 M C où C est le cercle de centre O et de rayon 4. Lycée Beaussier La Seyne sur Mer 5 Mars 07

6 b Vérifier que son image M a pour affie z 6 e i θ e i θ e i θ. z 4e iθ 4 4e iθ 6e iθ 6e iθ 6 e iθ e iθ Or e i θ e i θ e i θ e iθ e iθ par suite z 6 e i θ e i θ e i θ c Simplifier l epression e i θ e i θ qui est la différence entre deu nombres complees conjugués. En déduire pour θ 0, la forme eponentielle du nombre complee z 6 e i θ e i θ e i θ. e i θ e i θ.i.im e i θ θ.i. sin en effet, pour tout z C, θ Comme θ [0 ; π[, on a θ [0 ; π[ et donc sin 0 Finalement, en utilisant e i π i, on obtient : z z.i.im z Si θ 0, alors z 0 et z 0 c est-à-dire M M O Si θ 0, alors z 6 sin θ e i θ e i π θ z. sin e i θ+π forme eponentielle de z d Déterminer les points du cercle C d affie z 4e iθ tels que z fz soit un nombre réel. z 0 z 4z 0 z θ [0 ; π[ z 4 car z 4e iθ 0 fz R ou ou arg z 0 [π] θ+π k Z ou 0 + k.π θ + π 0 + k.π z fz R z 4 θ [0 ; π[ ou k Z θ π z 4 ou z 4e i π ou z 4e iπ 4 ou z 4e i 5π + k.π Il y a quatre points du cercle C d affie z 4e iθ tels que z fz soit un nombre réel : M 4 M 4e i π M 4 M 4 4e i 5π Remarque : Les points M, M, M et M 4 sont bien sûr les points d intersections du cercle C et de l ensemble solution de la question b : les deu droites d équations y 0 et. Lycée Beaussier La Seyne sur Mer 6 Mars 07

7 Eercice sur 5 points Cet eercice est commun à tous les candidats Les questions suivantes sont indépendantes les unes des autres. Question On désigne par A et B deu évènements indépendants d un univers muni d une loi de probabilité p. On sait que pa B 4 5 et p A. Déterminer la probabilité de l évènement B. 5 On a p A 5, donc pa. De plus A et B sont indépendants, donc pa B pa pb. 5 On a : pa B pa + pb pa B pa + pb pa pb pb pa + pa On en déduit : pb Question pa B pa pa pb Dans ma rue, il pleut un soir sur quatre. S il pleut, je sors mon chien avec une probabilité égale à ; s il ne pleut pas, je sors mon chien avec une 0 probabilité égale à 9. Je sors mon chien ; déterminer la probabilité qu il ne pleuve pas. 0 Soit C l événement : «je sors mon chien» et P l événement «il pleut». P et P forment une partition de l univers, donc j utilise la formule des probabilités totales : pc p P C pp + p P C pp On en déduit p C P p P C Question pc p P C pp pc On joue avec un dé non pipé, en effectuant des lancers successifs. Quelle est la probabilité d obtenir au moins une fois le 6 en lancers? À la répétition, fois de façon indépendante d une épreuve à issues succès si on obtient le 6 on peut associer une variable aléatoire X, qui comptabilise le nombre de 6 obtenus. X suit une loi binomiale de paramètres n et p 6. X B ; 6 P X P X 0 p 0 q 0 5 0, Question 4 Soit k un entier naturel supérieur ou égal à. Une urne contient k boules noires et boules blanches. Ces k + boules sont indiscernables au toucher. Une partie consiste à prélever au hasard successivement et avec remise deu boules dans cette urne. On établit la règle de jeu suivante : Lycée Beaussier La Seyne sur Mer 7 Mars 07

8 - un joueur perd 9 si les deu boules tirées sont de couleur blanche ; - un joueur perd si les deu boules tirées sont de couleur noire ; - un joueur gagne 5 si les deu boules tirées sont de couleurs différentes ; on dit dans ce cas là qu il gagne la partie. Un joueur joue une partie. On note X k la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur. a Justifier l égalité : p X k 5 6k k + k k+ N N, N le joueur perd k k+ k+ N B k+ k k+ B N, B le joueur gagne 5 N B, N le joueur gagne 5 k+ B B, B le joueur perd 9 On en déduit que : p X k 5 k k + k + + k + k k + p X k 5 6k k + b Écrire la loi de probabilité de la variable aléatoire X k. X k 9 +5 P X k i 9 k 6k k + k + k + c On note EX k l espérance mathématique de la variable aléatoire X k On dit que le jeu est favorable au joueur lorsque l espérance EX k est strictement positive. Déterminer les valeurs de k pour lesquelles ce jeu est favorable au joueur. E X k 9 9 k + + k k k k + 8 k + 0k k k 7 k + k + D où : E X k > 0 k ] ; 7[ Le jeu est favorable au joueur pour k ] ; 7[. Lycée Beaussier La Seyne sur Mer 8 Mars 07

9 Eercice 4 sur 5 points Cet eercice est pour les candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité On considère la suite u n définie sur N par : u 0 et u n+ u n + n a Démontrer que pour tout entier n supérieur ou égal à, u n 0. On a u u et u u + 4 Montrons par récurrence que pour tout entier n supérieur ou égal à, u n 0 Initialisation : On a u et u 4 u donc u 0. 8 La propriété est vraie pour n. Hérédité : Supposons que la propriété soit vraie pour un certain entier n : u n 0 je suppose la proposition vraie au rang n u n 0 HR u n 0 Alors, comme n u n + n On en déduit donc u n+ 0 finalement alors la proposition est vraie au rang n + et la propriété est donc héréditaire. Conclusion : la proposition est vraie pour n, elle est héréditaire donc par récurrence on a, pour tout entier n supérieur ou égal à u n 0 b Montrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 4 u n n Pour tout entier naturel n on a u n+ u n + n or d après la question précédente pour n u n 0. On peut donc en déduire que pour tout entier n, u n+ n donc que pour tout entier n 4, u n n Lycée Beaussier La Seyne sur Mer 9 Mars 07

10 c En déduire la limite de la suite u n. lim n + donc, d après les théorèmes de comparaison sur les limites : n + lim u n + n + On définit la suite v n sur N par : v n 4u n 8n + 4 a Démontrer que la suite v n est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison. Pour tout entier naturel n : v n+ 4u n+ 8n u n + n 8n u n + 4n 4 8n u n 4n + 4u n 8n + 4 v n La suite v n est donc géométrique de raison et de premier terme v 0 4u b Eprimer v n en fonction de n et en déduire que, pour tout entier naturel n : u n 7 n + n 6 Pour tout entier naturel n : On peut écrire : v n v 0 q n 8 n 8 n v n 4u n 8n v n u n n + 6 u n 4 v n + n 6 u n 7 n + n 6 c Vérifier que, pour tout entier naturel n, u n n + y n, ou n est une suite géométrique et yn une suite arithmétique, dont on précisera pour chacune, le premier terme ainsi que la raison. Pour tout entier naturel n, on pose n 7 n n 7 et y n n 6. Lycée Beaussier La Seyne sur Mer 0 Mars 07

11 La suite n est géométrique de raison et de premier terme 0 7 ; La suite y n est arithmétique de raison et de premier terme y0 6 ; d En déduire l epression de : en fonction de l entier naturel n. Pour tout entier naturel n : S n S n n u k u 0 + u + + u n k0 n u k k0 n k + k0 0 7 S n 4 n k + y k k0 n y k k0 n+ n+ + n + y 0 + y n 6 + n 6 + n + n+ + n + n 6 Lycée Beaussier La Seyne sur Mer Mars 07

12 Eercice 4 sur 5 points Cet eercice est pour les candidats ayant suivi l enseignement de spécialité On considère la matrice A On appelle I la matrice identité d ordre. Vérifier que A A + I A A + I A 7 En déduire une epression de A et une epression de A 4 sous la forme αa + βi où α et β sont des réels. En partant de l égalité A A + I, on obtient en multipliant chaque membre par A : A AA + I A + A A + I + A A + I et on recommence : A 4 A A AA + I A + A A + I + A 5A + 6I On considère les suites r n et s n définies par r 0 0 et s 0 et, pour tout entier naturel n, rn+ r n + s n s n+ r n Démontrer que, pour tout entier naturel n, A n r n A + s n I. Démonstration par récurrence Initialisation : Pour n 0, A 0 I 0A + I r 0 A + s 0 I. la relation est vraie au rang 0. Hérédité : Supposons qu il eiste un naturel p non nul, tel que A p r p A + s p I. En multipliant chaque membre par A, on obtient : A A p A r p A + s p I A p+ r p A + s p A r p A + I + s p A r p + s p A + r p I r p+ A + s p+ I la relation est donc vraie au rang p +. On a donc démontré par récurrence que, pour tout entier naturel n, A n r n A + s n I 4 Démontrer que la suite k n, définie pour tout entier naturel n par k n r n s n est géométrique de raison. En déduire, pour tout entier naturel n, une epression eplicite de k n en fonction de n. On a pour tout entier naturel n non nul : k n+ r n+ s n+ r n + s n r n s n r n r n s n k n. L égalité k n+ k n montre que la suite k n est géométrique de raison. On sait qu alors k n k 0 n n Lycée Beaussier La Seyne sur Mer Mars 07

13 5 On admet que la suite t n, définie pour tout entier naturel n par t n r n + n est géométrique de raison. En déduire, pour tout entier naturel n, une epression eplicite de t n en fonction de n. r r 0 + s 0 donc t r + On sait qu alors pour tout n, t n t q n n n 6 Déduire des questions précédentes, pour tout entier naturel n, une epression eplicite de r n et s n en fonction de n. On a donc r n t n n n n Pour tout n, k n r n s n et k n n ; on en déduit que s n r n + n n n + n n + n 7 En déduire alors, pour tout entier naturel n, une epression des coefficients de la matrice A n. 4rn 6r A n r n A + s n I donc A n n sn 0 4rn + s + n 6r n r n 5r n 0 s n r n 5r n + s n 4r n + s n 4 n + 4 n + n + n n + n 6r n 6 n 6 n n+ n r n n n n + n 5r n + s n 5 n 5 n + n + n n n n+ n Conclusion : A n n + n n+ n n + n n+ n Lycée Beaussier La Seyne sur Mer Mars 07