PRODUIT SCALAIRE. , noté u.

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1 1 PRODUIT SCLIRE I. Définition et propriétés 1) Norme d'un vecteur Définition : Soit un vecteur u et deux points et B tels que u B. La norme du vecteur u, notée u, est la distance B. ) Définition du produit scalaire Définition : Soit u et v deux vecteurs du plan. On appelle produit scalaire de u par v, noté u. v, le nombre réel définit par : - u. v 0, si l'un des deux vecteurs u et v est nul u. v u v cos u ; v, dans le cas contraire. - u. v se lit "u scalaire v ". Remarque : Si B et C sont deux représentants des vecteurs non nuls u et v alors : u. v B. C B C cos BC Exemple : Soit un triangle équilatéral BC de côté a. B. C B C cos BC a a cos 60 a a 0,5 ttention : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel. Ecrire par exemple u. v 0 est une maladresse à éviter! 3) Propriété de symétrie du produit scalaire Propriété : Pour tout vecteur u et v, on a : u. v v. u On suppose que u et v sont non nuls (démonstration évidente dans la cas contraire).

2 u. v u v cos u ; v v u cos u ; v v u cos v ; u v u cos v ; u v. u 4) Opérations sur les produits scalaires Propriétés : Pour tous vecteurs u, v et w, on a : u. v w u. v u. w u. kv ku. v, avec k un nombre réel. 1) 5) Identités remarquables ) Propriétés : Pour tous vecteurs u et v, on a : 1) u v u u. v v ) u v u u. v v u v u v u v 3) Démonstration pour le ) : u v u vu v u. u u. v v. u v. v u u. v v II. Produit scalaire et norme Soit un vecteur u, on a : u. u u u cos u ; u u cos 0 u et u. u u On a ainsi : u u. u u Propriété : Soit u et v deux vecteurs. On a : 1 1 u. v u v u v u. v u v u v Démonstration de la première formule : u v u v u u. v v u u. v v et

3 1 donc u. v u v u v 3 Propriété : Soit, B et C trois points du plan. On a : 1 B. C B C BC 1 B. C B C B C 1 B C CB 1 B C BC Exemple : 1 CG. CF CG CF GF III. Produit scalaire et orthogonalité 1) Vecteurs orthogonaux Propriété : Les vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si u. v 0. Si l'un des vecteurs est nul, la démonstration est évidente. Supposons le contraire. u. v 0 cos u v u ; v 0 cos u ; v 0 Les vecteurs u et v sont orthogonaux ) Projection orthogonale Définition : Soit une droite d et un point M du plan. Le projeté orthogonal du point M sur la droite d est le point d'intersection H de la droite d avec la perpendiculaire à d passant par M.

4 4 Propriété : Soit u et v deux vecteurs non nuls du plan tels que u O et v OB. H est le projeté orthogonal du point B sur la droite (O). On a : u. v OOB. OOH. O. OB O. OH HB OOH. O. HB OOH. En effet, les vecteurs O et HB sont orthogonaux donc O. HB 0. Exemple : Soit un carré BCD de côté c. B. C B. B B c IV. Produit scalaire dans un repère orthonormé : Le plan est muni d'un repère orthonorméo; i; j. Propriété : Soit u et v deux vecteurs de coordonnées respectives On a : u. v xx ' yy '. x ; y et ' ; ' x y.

5 5 u. v xi y j. x ' i y ' j xx ' i. i xy ' i. j yx ' j. i yy ' j. j xx ' i xy ' i. j yx ' j. i yy ' j xx ' yy ' car i j 1, le repère étant normé, et i. j j. i 0 le repère étant orthogonal. Exemple : Soit u 5; 4 et v3;7 deux vecteurs. u. v V. Formules de trigonométrie 1) Formules d'addition Propriété : Soit a et b deux nombres réels quelconques. On a : cos a b cos a cosb sin a sin b cos a b cos a cosb sin a sin b sin a b sin a cosb cos a sin b sin a b sin a cosb cos asin b - 1 ère formule : On considère un repère orthonormé O; i; j du plan et le cercle trigonométrique de centre O. u et v sont deux vecteurs de norme 1 tels que : i; u a et i; v b. cos a cosb On a alors : u et v. sin a sin b insi : u. v cos a cosb sin asin b. On a également : u. v u v cos u; v 11 cosb a cosa b D'où cos a b cos a cosb sin asin b. - e formule : cos a b cos a b cos a cos b sin asin b cos a cosb sin asin b - 3 e formule :

6 6 sin a b cos a b cos a b cos a cosb sin a sin b sin a cosb cos asin b - 4 e formule : sin a b sin a b sin a cos b cos a sin b sin cosb cos a sin b Méthode : Calculer des valeurs de cos et sin à l'aide des formules d'addition Calculer cos 5 1 et sin cos cos cos cos sin sin sin sin sin cos cos sin ) Formules de duplication Propriété : Soit a un nombre réel quelconque. On a : cos a cos a sin a cos a 1 1 sin a sin a cos a sin a Démonstrations : Cas particulier des e et 4 e formules d'addition dans le cas où a b : cos a cos a sin a sin a cos a sin a On a également : cos a sin a 1 donc : cos a sin a cos a 1 1 sin a Méthode : Calculer des valeurs de cos et sin à l'aide des formules de duplication Calculer cos 8 et sin cos cos 1 donc 1 1 cos 1 cos

7 7 et donc : cos 8, car cos 8 est positif. - sin 8 1 cos et donc : sin 8 4, car sin 8 est positif. Méthode : Résoudre une équation trigonométrique Résoudre dans 0; l'équation cosx sin x. cosx sin x soit 1 sin x sin x. On pose X sin x, l'équation s'écrit alors : 1 X X Soit : X X L'équation du second degré possède deux solutions distinctes : X et X Résolvons donc dans 0; les équations : sin x 1 sin x 1 x 6 ou x 5 6. et sin x 1 : sin x 1 x 3. insi : S 6 ;5 6 ; 3.

8 8 I. Calculs d'angles et de longueurs PPLICTIONS DU PRODUIT SCLIRE 1) Calculs d'angles Méthode : Déterminer un angle à l'aide du produit scalaire Calculer la mesure de l'angle B; CD. On a : B. CD B CD cos B; CD cos B; CD 50 cos B; CD 130 cos B; CD 5 On a également : B et CD, donc : 1 4 B. CD 5 x (-) + (-1) x (-4) = cos ; 6 On a ainsi : B CD Et donc : cos B; CD Et : B; CD 105,3 ) Théorème de la médiane Propriété : Soit deux points et B et I le milieu du segment [B]. Pour tout point M, on a : M MB MI B

9 9 M MB M MB M MB MI I MI IB MI MI. I I MI MI. IB IB MI MI. I IB I IB 1 1 MI MI.0 B B MI B Exemple : On souhaite calculer la longueur de la médiane issue de C. D'après le théorème de la médiane, on a : C CB CK B, donc : 1 B CK C CB Donc : CK 1. 3) Théorème d'l Kashi Théorème : Dans un triangle BC, on a, avec les notations de la figure : a b c bc cos

10 10 B. C B C cos bc cos et 1 1 B. C B C BC b c a donc : 1 cos b c a bc soit : a b c bc cos II. Equation de droite et équation de cercle On se place dans un repère orthonormé O; i; j du plan. 1) Equation de droite de vecteur normal donné Définition : Soit une droite d. On appelle vecteur normal à une droite d, un vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de d. Exemple : Soit la droite d d'équation cartésienne x 3y 6 0. Un vecteur directeur de d est : 3; Un vecteur normal na; b Soit : 3a b 0. u. de d est tel que : u. n 0 a = - et b = 3 conviennent, ainsi le vecteur n;3 est un vecteur normal de d.

11 Propriétés : - Une droite de vecteur normal na; b ax by c 0 où c est un nombre réel à déterminer. admet une équation cartésienne de la forme - Réciproquement, la droite d d'équation cartésienne ax by c 0 admet le vecteur na; b vecteur normal. Démonstrations : x ; y de la droite d. - Soit un point M x; y est un point de d si et seulement si Soit : M. n 0 a x x b y y Soit encore : 0 x x M y y et a n sont orthogonaux. b ax by ax by 0. - Si ax by c 0 est une équation cartésienne de d alors u b; a est un vecteur directeur de d. a Le vecteur n vérifie : b a a b 0. Donc les vecteurs u et n sont orthogonaux. b Méthode : Déterminer une équation de droite connaissant un point et un vecteur normal Dans un repère orthonormé O; i; j et dont un vecteur normal est le vecteur n3; 1 Déterminer une équation cartésienne de la droite d. Comme n3; 1 3x y c 0. pour du plan, on considère la droite d passant par le point 5;4. est un vecteur normal de d, une équation cartésienne de d est de la forme Le point 5;4 appartient à la droite d, donc : Une équation cartésienne de d est : 3x y 19 0 ) Equation de cercle Propriété : Une équation du cercle de centre ; x x y y r ; c 0 et donc : c 19. x y et de rayon r est : Tout point M x y appartient au cercle de centre ; M r. Méthode : Déterminer une équation d'un cercle Dans un repère orthonormé O; i; j passant par le point B 3;5. Déterminer une équation du cercle C. Commençons par déterminer le carré du rayon du cercle C : x y et de rayon r si et seulement du plan, on considère le cercle C de centre 4; 1 et 11

12 1 r B Une équation cartésienne du cercle C est alors : x y Méthode : Déterminer les caractéristiques d'un cercle Dans un repère orthonormé O; i; j du plan, on considère l'ensemble d'équation : x y x 10y Démontrer que l'ensemble est un cercle dont on déterminera les caractéristiques (centre, rayon). x y x y x x y y x y x y L'ensemble est le cercle de centre le point de coordonnées (1 ; 5) et de rayon 3.