affines à un pas est appelée équation affine aux différences linéaire, d ordre 1

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1 EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (II/II) 1. Rappels théoriques : équations linéaires affines à un pas 1.1. Équations linéaires affines à un pas. Définition. Soient a R, a 0 et b R deux constants. L équation (1) x(k + 1) = ax(k) + b est appelée équation affine aux différences linéaire, d ordre 1 et à coefficients constants. 1

2 EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (II/II) Équations linéaires affines à un pas (II). Théorème. Pour chaque valeurs initiale x 0 l équation (1) a une solution unique. La forme analytique de la solution dépend du coefficient a : (1) Si a = 1 alors x(k) = x(0) + kb et (a) si b 0 il n existe aucun équilibre et toutes les trajectoires sont divergentes. (b) si b = 0 toutes les valeurs de x sont des valeurs d équilibre et toutes les trajectoires sont constantes. (2) Si a 1 alors x(k) = (x 0 α)a k + α où x = α = b/(1 a) est le seul équilibre. Notons que (a) si a < 1 toutes les trajectoires convergent vers α. (b) si a > 1 toutes les trajectoires sont divergentes (à part celle constante si x 0 = α)

3 EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (II/II) 3 (c) si a = 1 alors l équilibre est α = b/2 et toutes les solutions sont oscillantes autour de cet équilibre (à part celle constante pour x 0 = α = b/2).

4 EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (II/II) Représentation graphique : linéaire d ordre 1, a = 1, b > 0. x(k+1) x(0) x(1) x(2) x(3) x(k)

5 EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (II/II) Représentation graphique : linéaire d ordre 1, a < 1, b > 0. x(k+1) x(0) x(1) x(2) b/(1 a) x(k)

6 EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (II/II) Représentation graphique : linéaire d ordre 1, a = 1, b > 0. x(k+1) x(0) b/a x(k)

7 EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (II/II) 7 2. Rappels théoriques : systèmes non-linéaires 2.1. Systèmes discrets non-linéaires d ordre 1. Considérons un système discret autonome d ordre 1 dont la dynamique est décrite par x(k + 1) = f(x(k)) où f C et x(k) I R. Dénotons ce système par le couple {f, I}. Nous dénotons l orbite de x(0) par x(1) = f(x(0)) x(2) = f(x(1)) = f(f(x(0))) = f 2 (x(0))... x(k) = f(x(k 1)) = f(f(... (f(x(0))))) = f k (x(0)) N.B. : f k ( ) dénote la valeur de x après la kème itération. Donc x(k) = f k (x(0)) (f(x(0))) k f (k) (x(0))

8 EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (II/II) Représentation graphique : non-linéaire d ordre 1. f(x) x(4) x(0) x(1) x(2)

9 EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (II/II) Etats d équilibre. Comme dans le cas à temps continu, les points fixes où états d équilibre jouent un rôle important dans la description de la dynamique Définition. L état x est un état d équilibre (ou point fixe) du système {f, I} si x = f( x) D un point de vue géométrique les points d équilibre sont les intersections sur le plan x, y entre la fonction y = f(x) et la droite y = x. Théorème. Soit I = [a, b] un intervalle clos et borné et f : I I une fonction continue. Alors il existe toujours un point d équilibre x tel que f( x) = x.

10 2.4. Exemple. Le système à temps discret EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (II/II)10 x(k + 1) = x(k) 3 a les points fixes x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 1

11 2.5. Stabilité de l équilibre : ordre 1. EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (II/II)11 Définition. L équilibre est stable si pour chaque ɛ > 0 il existe une constante δ > 0 telle que x(0) x < δ x(k) x < ɛ Définition. L équilibre est globalement asymptotiquement stable (ou globalement attractif) si pour chaque x(0) I lim x(k) = x. k Définition. L équilibre est localement asymptotiquement stable (ou localement attractif) si il existe η > 0 telle que pour chaque x(0) I { x η, x + η} lim x(k) = x. k

12 2.6. Cycles. EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (II/II)12 Définition. Soit donné un système discret {f, I}. Un cycle d ordre s est un ensemble de s valeurs différentes { x 0,..., x s 1 } telles que x 1 = f( x 0 ), x 2 = f( x 1 ),..., x 0 = f( x s 1 ) La quantité s est le période de l orbite. Par exemple le système non linéaire {1/x, (0, + )} a un seul équilibre mais un nombre infini de trajectoires de période 2. Théorème. Considérons le système discret {f, I}. La paire { x 0, x 1 } est un cycle d ordre 2 ssi x 0 et x 1 sont des points d équilibre de {f 2, I} mais pas de {f, I}.

13 2.7. Exemple. Le système à temps discret EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (II/II)13 x(k + 1) = (2 x(k))(3x(k) + 1)/2 a un cycle d ordre 3 formé par les valeurs x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 2

14 2.8. Conditions de stabilité. EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (II/II)14 Théorème. Si x un équilibre du système {f, I}, où f C 1 alors f ( x) < 1 x est localement asymptotiquement stable f ( x) > 1 x est instable f ( x) = 1 ne renvoie aucune information sur la stabilité de x

15 EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (II/II) Localement asymptotiquement stable. x(k+1) x(k) f ( x) < 1.

16 2.10. Equilibre instable. EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (II/II)16 x(k+1) x(0) x(k) f ( x) > 1.

17 2.11. Conditions de stabilité (II). EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (II/II)17 Théorème. Si x un équilibre du système {f, I}, où f C 2 et f ( x) = 1. Alors f ( x) > 0 x est inférieurement asymptotiquement stable et supérieurement instable (ou répulsif) f ( x) < 0 x est supérieurement asymptotiquement stable et inférieurement instable (ou répulsif) Théorème. Si x un équilibre du système {f, I}, où f C 3 et f ( x) = 1 et f ( x) = 0. Alors f ( x) > 0 x est instable. f ( x) < 0 x est localement asymptotiquement stable Théorème. Si x un équilibre du système {f, I}, où f C 3 et f ( x) = 1. Alors 2f ( x) + 3 (f ( x)) 2 > 0 x est localement asymptotiquement stable. 2f ( x) + 3 (f ( x)) 2 < 0 x est instable.

18 EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (II/II)18 x(k+1) x(0) x(0) x(k) x(k+1) x(0) x(0) x(k)

19 EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (II/II)19 3. Exercices (a) Trouver les cycles du système suivant : x(k + 1) = x(k) 2 1 (b) Considérons le système non linéaire à temps discret décrit par l itération x(k + 1) = 6x(k) 2 (1 x(k)) où x(k) [0, 1]. L étudiant devra (1) calculer analytiquement f 2 (x) et tracer les graphiques respectifs de f(x) et de f 2 (x), (2) trouver les points d équilibre, (3) étudier la stabilité des points d équilibre, (4) pour chaque point d équilibre, simuler graphiquement et numériquement une trajectoire de 5 étapes qui soit compatible avec l analyse de stabilité, (5) trouver graphiquement s il existe un cycle d ordre 2.

20 Solutions : EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (II/II)20 (a) Nous devons résoudre l équation x = x 2 1, ç.-à-d. x 2 x 1 = 0 dont le discriminant vaut 5, et dont les racines sont Nous avons : x 1,2 = 1 ± 5 2 f 2 = (x 2 1) 2 1 = x 4 2x 2 Nous devons donc résoudre l équation x = x 4 2x 2, ç.-à-d. x 4 2x 2 x = 0 Les solutions 0 et 1 sautent aux yeux, ce qui nous donne la factorisation x(x + 1)(x 2 x 1) = 0 L équation x 2 x 1 = 0 a déja été résolue ci-dessus, et a pour racines 1± 5 2. Nous avons donc x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 1 + 5, x 3 =

21 EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (II/II)21 Les points x 0 = 0 et x 1 = 1 sont donc des points d équilibre de f 2 mais pas de f. Ils forment donc un cycle d ordre 2 du système {f, I}.

22 (b) EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (II/II)22 (1) La fonction f 2 a la forme analytique suivante 216x 4 (1 x) 2 (1 6x 2 + 6x 3 ) Le fonctions f et f 2 sont tracées en bleu et en vert dans la figure suivante (2) Les points d équilibre de f sont les intersections entre la bissectrice et le graphique de la fonction f, c.-à-d. l origine x (1) = 0 et le points x (2) = et x (3) =

23 EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (II/II) qui satisfont 6x 2 (1 x) = x (3) f = 12x 18x 2, Puisque f ( x (1) ) = 0 < 1 l équilibre x (1) est asymptotiquement stable. Puisque f ( x (2) ) => 1 l équilibre x (2) est instable. Puisque f ( x (3) ) > 1 l équilibre x (3) est instable

24 EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (II/II)