Suites réelles. I Rappels de vocabulaire. II Suites remarquables. Définition 5

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1 I Rappels de vocabulaire Suites réelles Définition 1 Une suite réelle u est une application de I R où I est une partie de N. Au lieu de noter u(n), pour les suites on note u n l image de n par l application u et on appelle aussi u n le terme de rang ou d ordre n de la suite u. Remarques : Le plus souvent I = N ou I = N Pour noter une suite on note soit u soit (u n ) n I Définition 2 Une suite (u n ) n I est dite majorée (resp. minorée) s il existe un réel M (resp. m) tel que : n I u n M (resp.u n m) Une suite (u n ) n I est dite bornée si elle est à la fois majorée et minorée, c est-à-dire s il existe M R tel que pour tout n I, u n M. Définition 3 Une suite (u n ) n I est dite constante si pour tout n I, u n+1 = u n. Une suite (u n ) n I est dite stationnaire s il existe n 0 I tel que n n 0, u n+1 = u n. Définition 4 Une suite (u n ) n I est dite croissante (resp. décroissante) si : n I, u n u n+1 (resp. u n u n+1 ) Pour étudier le sens de variation d une suite on peut soit étudier le signe de la différence u n+1 u n soit, si u est une suite à termes positifs, étudier si u n+1 u n est supérieur ou inférieur à 1. Propriété 1 Une suite croissante est minorée par son premier terme. Une suite décroissante est majorée par son premier terme. II Suites remarquables 1 Suites arithmétiques Définition 5 On dit que la suite (u n ) n I est arithmétique s il existe r R, appelé raison, tel que pour tout n I, u n+1 = u n +r Analyse : Chapitre 3 Page 1 Suites réelles

2 Propriété 2 Si (u n ) n N est une suite arithmétique de raison r alors : n N, u n = u 0 +nr Si la suite n est définie qu à partir du rang p alors on a : n p, u n = u p +(n p)r Propriété 3 Une suite arithmétique de raison r est strictement croissante si r > 0, constante si r = 0, et strictement décroissante si r < 0. 2 Suites géométriques Définition 6 On dit que la suite (u n ) n I est géométrique s il existe q R, appelé raison, tel que pour tout n I, u n+1 = qu n Propriété 4 Si (u n ) n N est une suite géométrique de raison q alors : n N, u n = u 0 q n Si la suite n est définie qu à partir du rang p alors on a : n p, u n = u p q n p Propriété 5 Une suite géométrique de raison q est strictement croissante si q > 1, constante si q = 1, strictement décroissante si 0 < q < 1, constante à partir du rang 1 si q = 0 et non monotone si q < 0. Propriété 6 Soit q R, n et p deux entiers naturels tels que p n. On a : Si q 1 n k=p q k = q p1 qn p+1 1 q et si q = 1 n q k = n p+1 k=p 3 Suites arithmético-géométriques Définition 7 On dit que la suite (u n ) n I est arithmético-géométrique s il existe (a,b) R 2 tels que : n I u n+1 = au n +b Analyse : Chapitre 3 Page 2 Suites réelles

3 Propriété 7 Si (u n ) n N est une suite arithmético-géométrique (avec a 1) alors : ( n N u n = a n u 0 + b ) b a 1 a 1 Propriété 8 Soit (u n ) n N une suite arithmético-géométrique telle que n N, u n+1 = au n +b (avec a 1). Soit x le réel vérifiant x = ax+b. Alors la suite (u n x) n N est géométrique de raison a. Exemple 1: Soit la suite u définie par n N, u n+1 = 5u n 3 et u 0 = 1. On résout l équation x = 5x 3 x = 3 4 On pose alors v n = u n 3 4. On sait que v n est une ( suite géométrique de raison 5. Donc v n = 5 n v 0 = 5 n u 0 3 ) = n. Comme u n = v n + 3 4, on en déduit que u n = 1 4 5n Propriété 9 Soit u une suite arithmético-géométrique. Alors on a u n+1 u n = a n (u 1 u 0 ). Donc si a > 0 le sens de variation de u dépend du signe de u 1 u 0. Si a < 0 la suite u n est pas monotone. 4 Suites récurrentes d ordre 2 On considère une suite u définie par une relation de récurrence linéaire d ordre 2 : u 0 et u 1 sont donnés Équation caractéristique : x 2 ax b = 0. n N u n+2 = au n+1 +bu n Propriété 10 Si l équation caractéristique admet deux solutions réelles distinctes α 1 et α 2 alors : n N u n = A 1 α n 1 +A 2α n 2 Si l équation caractéristique n admet qu une racine réelle α alors n N u n = (A 1 +A 2 n)α n Si l équation caractéristique n admet pas de racines réelles alors on ne sait pas déterminer u n en ECE2. On détermine les valeurs de A 1 et A 2 grâce à u 0 et u 1. Analyse : Chapitre 3 Page 3 Suites réelles

4 III Suites convergentes 1 Définition Définition 8 On dit qu une suite u a pour limite le nombre réel l si u n est aussi proche que l on veut de l dès que n est assez grand : ε > 0, N N, n N u n l < ε On dit qu une suite u tend vers + (resp. ) si : Notations : lim n + u n = l ou u n n + l A R, N N, n N, u n A (resp. u n A) Définition 9 On dit qu une suite u est convergente si elle admet une limite finie. Une suite qui n est pas convergente est dite divergente. Remarques : - Une suite divergente peut soit tendre vers ± soit ne pas avoir de limite, par exemple : u n = 2n+1 v n = ( 1) n - Lorsqu une suite tend vers ± on dit aussi qu elle diverge vers ±. 2 Propriétés a Premières propriétés Propriété 11 Si une suite est convergente alors sa limite est unique. Toute suite convergente est bornée. Si v n est une suite qui diverge vers + (resp. ) et si u est une suite telle que n N, v n u n (resp. u n v n ) alors u diverge vers + (resp. ). Propriété 12 Soient f une fonction définie sur D, (u n ) n N une suite d éléments de D, a et l deux éléments de R. Si la suite (u n ) converge vers a et si limf(x) = l alors lim f(u x a n) = l n + Propriété 13 Soit deux suites (u n ) n N et (v n ) n N telles qu à partir d un certain rang u n v n. Si (u n ) n N converge vers l et (v n ) n N converge vers s alors l s. Propriété 14 Soit trois suites (u n ) n N, (v n ) n N et (w n ) n N telles qu à partir d un certain rang v n u n w n. Si (v n ) n N et (w n ) n N convergent vers la même limite l alors (u n ) n N converge vers l. Analyse : Chapitre 3 Page 4 Suites réelles

5 b Suites remarquables Proposition 1 Soit u une suite arithmétique de raison r. Si r > 0, lim n + u n = + Si r < 0, lim n + u n = Si r = 0, lim n + u n = u 0 Proposition 2 Soit u une suite géométrique de raison q. Si q > 1, lim n + u n = + Si q < 1, lim n + u n = 0 Si q = 1, lim n + u n = u 0 Dans les autres cas la suite u (c est-à-dire q 1) n admet pas de limite. c Opérations sur les limites Une suite étant une application de N R, les propriétés d opérations sur les limites sont exactement les mêmes que pour les fonctions : se reporter au chapitre 1 d analyse. d Suites monotones Théorème 1 Toute suite croissante et majorée est convergente. Toute suite décroissante et minorée est convergente Théorème 2 Toute suite croissante non majorée diverge vers +. Toute suite décroissante non minorée diverge vers. e Suites adjacentes Définition 10 Soient u et v deux suites telles que : la suite u est croissante la suite v est décroissante lim n + v n u n = 0 On dit que u et v sont deux suites adjacentes. Théorème 3 Deux suites adjacentes sont convergentes et ont même limite. Analyse : Chapitre 3 Page 5 Suites réelles

6 3 Comparaison de suites Les définitions et les résultats sont très semblables aux compraisons de fonctions. La principale différence vient du fait que l on ne compare des suites que au voisinage de + donc il n y a jamais de confusion possible. Définition 11 Soient u et v deux suites réelles. On dit que u est négligeable devant v, et on note u n = o(v n ) ou u = o(v), s il existe un entier n 0 et une suite ε définie à partir du rang n 0 qui converge vers 0, telle que : n n 0, u n = v n ε n On dit que u est équivalente à v, et on note u n v n ou u v, s il existe un entier n 0 et une suite α définie à partir du rang n 0 qui converge vers 1 telle que : n n 0, u n = v n α n Théorème 4 Si à partir d un certain rang la suite v ne s annule pas alors u = o(v) ssi lim u v = 0 Théorème 5 Si à partir d un certain rang la suite v ne s annule pas alors u v ssi lim u v = 1 Les règles d opérations sur la négligeabilité et les équivalents sont les mêmes que pour les fonctions. Se reporter au chapitre 2 d analyse. IV Suites récurrentes u n+1 = f(u n ) Dans cette partie on considère une suite définie par son premier terme u 0 et n N, u n+1 = f(u n ). 1 Suite bien définie La première chose à faire lorsque l on vous donne une relation de récurrence du type u n+1 = f(u n ) est de vérifier que votre suite est bien définie, c est-à-dire que vous pouvez calculer tous les u n. Cela va dépendre de la valeur de u 0. Exemple 2: Soit la suite u définie par u 0 = 2 et u n+1 = 1 u n 1. On remarque que u 1 = 1 et donc à partir de u 2, on ne peut plus calculer les termes successifs de la suite. Voici un exemple qui vous donne la méthode classique pour montrer qu une suite est bien définie. Exemple 3: Soit la suite u définie par u 0 = 1 et n N, u n+1 = u n u n. Montrer que la suite u est bien définie et que pour tout n N u n > 0. Montrons par récurrence que la propriété P n : u n est existe et u n > 0 est vraie pour tout n N. Pour n = 0 : u 0 est donné dans l énoncé donc u 0 existe et de plus u 0 = 1 donc on a bien u 0 > 0. P(0) est bien vérifiée. Soit n N fixé. Supposons que P(n) est vraie. Analyse : Chapitre 3 Page 6 Suites réelles

7 Comme u n > 0, on peut calculer u n u n (car u n 0) et donc u n+1 existe bien. De plus, comme la somme de deux termes positifs est positive, on a bien u n+1 > 0. Donc la propriété est vraie au rang n+1. Grâce au principe de récurrence, on a montré que pour tout n N, u n existe, c est-à-dire que la suite u est bien définie et u n > 0. 2 Limites éventuelles On considère ici une fonction f définie sur un intervalle I. Définition 12 Soit x I, on dit que x est un point fixe de f si f(x) = x. Attention, une fonction peut posséder plusieurs points fixes. Propriété 15 Soit f une fonction continue sur I et u une suite réelle dont tous les termes sont des éléments de I. Si la suite u converge vers l I, alors f(u n ) f(l). Cette propriété nous permet d énoncer le théorème suivant sur les limites éventuelles d une suite récurrente : Théorème 6 Soit f : I I une fonction continue et u la suite définie par u 0 I et u n+1 = f(u n ). Si la suite u converge vers l alors l est un point fixe de f. Ainsi les seules possibilités de limites pour la suite u sont à chercher parmi les solutions de l équation f(x) = x. Exemple 4: Déterminer les limites possibles de la suite (u n ) définie dans l exemple 4. On considère la fonction f définie sur R par f(x) = x Déterminons les points fixes de f : x f(x) = x x x = x x 2 = 1 x x2 = 2 x = 2 ou x = 2 Les limites possibles de la suite (u n ) sont donc 2 et 2 mais comme on a montré que u n > 0, on peut dire que (u n ) ne converge pas vers 2. La seule limite possible est donc 2. Attention on a pas ici démontré que (u n ) converge vers 2!!!!!!!!! 3 Deux exemples complets a Cas f croissante Remarque : Soit f une fonction définie sur un intervalle I stable par f et u la suite définie par u n+1 = f(u n ). Si f est croissante alors le sens de variation de u est déterminé par la position de u 1 par rapport à u 0. Attention encore un résultat qu il faudra redémontrer. Analyse : Chapitre 3 Page 7 Suites réelles

8 Exemple 5: Étudions la suite définie par u 0 = 0 et n N, u n+1 = u n Montrons que la suite est bien définie : Pour cela nous allons montrer par récurrence que la propriété P(n) : u n existe et u n 0 est vraie pour tout entier n. Rang 0 : par énoncé, u 0 existe et comme u 0 = 0 on a bien u 0 0 donc P(0) est vraie. Soit n fixé. Supposons que P(n) est vraie. Comme u n 0, on peut calculer u n +2 c est-à-dire que u n+1 existe. De plus u n +2 0 donc on a bien u n+1 0. P(n+1) est alors vraie. Grâce au principe de récurrence on a donc démontré que la suite (u n ) est bien définie et que pour tout n, u n Limites éventuelles : On considère la fonction f définie sur R + par f(x) = x+2. Commef estunefonctioncontinuesurr +,silasuite(u n )convergeversunréellalorsnécessairement l est un point fixe de f et l 0. Cherchons les points fixes de f : Le seul point fixe de f est donc x = 2. Donc la seule limite possible est l = 2. f(x) = x x+2 = x x+2 = x 2 x = 1 ou x = 2 3. Sens de variation : Comme f 1 (x) = 2 x+2 la fonction f est croissante sur R+. Donc on sait que le sens de variation sera donné par la position relative de u 0 et u 1. De plus u 1 = 2 u 0 donc on va démontrer que la suite (u n ) est croissante. Montrons par récurrence que la propriété P(n) : u n u n+1 est vraie pour tout entier n. Rang 0 : d après le calcul précédent u 0 u 1 donc P(0) est vraie. Soit n un entier fixé. Supposons que P(n) est vraie. On sait que u n u n+1 et de plus la fonction f est croissante, donc f(u n ) f(u n+1 ), ce que l on peut écrire : u n+1 u n+2. P(n+1) est alors vraie. Grâce au principe de récurrence on a donc démontré que pour tout entier n, u n u n+1, c est-à-dire que la suite est croissante. 4. Convergence : Comme on vient de démontrer que la suite est croissante, il suffit de regarder si la suite est majorée ou non pour savoir si elle converge vers 2 ou si elle diverge vers +. Montrons par récurrence que la propriété P(n) : u n 2 est vraie pour tout entier n. Rang 0 : comme u 0 = 0, on a bien u 0 2 et donc P(0) est vraie. Soit n fixé. Supposons que P(n) est vraie. On sait que u n 2 et que f est croissante donc f(u n ) f(2) ce qui signifie que u n+1 f(2) = 2. P(n+1) est alors vraie. Grâce au principe de récurrence on a donc démontré que pour tout entier n, u n 2, c est-à-dire que la suite est majorée. La suite (u n ) est donc croissante et majorée, par conséquent elle est convergente. De plus sa seule limite possible est 2 donc la suite (u n ) converge vers 2. Analyse : Chapitre 3 Page 8 Suites réelles

9 b Cas f décroissante Lorsque la fonction f sera décroissante, la suite (u n ) ne sera pas monotone. On pourra alors utiliser deux méthodes pour étudier la convergence de la suite (u n ) : soit onmontrera que les suites (u 2n ) et (u 2n+1 ) convergent vers la même limite, soit on utilisera l inégalité des accroissements finis. Voici la première méthode : Exemple 6: Étudions la suite définie par u 0 = 1 et n N, u n+1 = 1+ 2 u n 1. Montrons que la suite est bien définie : Pour cela nous allons montrer par récurrence que la propriété P(n) : u n existe et u n > 0 vraie pour tout entier n. Rang 0 : par énoncé, u 0 existe et comme u 0 = 1 on a bien u 0 > 0 donc P(0) est vraie. Soit n fixé. Supposons que P(n) est vraie. Comme u n > 0 onau 0 0, et onpeut calculer 1+ 2 u n c est-à-dire que u n+1 existe. De plus 1+ 2 u n > 0 donc on a bien u n+1 > 0. P(n+1) est alors vraie. Grâce au principe de récurrence on a donc démontré que la suite (u n ) est bien définie et que pour tout n, u n > Limites éventuelles : On considère la fonction f définie sur R + par f(x) = 1+ 2 x. Commef estunefonctioncontinuesurr +,silasuite(u n )convergeversunréellalorsnécessairement l est un point fixe de f et l 0. Cherchons les points fixes de f : f(x) = x 1+ 2 x = x x2 x 2 = 0 x = 1 ou x = 2 Le seul point fixe de f sur R + est donc x = 2. Donc la seule limite possible est l = Sens de variation : Comme f (x) = 2 x 2 la fonctionf est décroissante sur R+. La suite (u n ) ne sera donc pas monotone. 4. Suite (u 2n ) : On pose pour tout entier n, v n = u 2n. La suite v vérifie la relation de récurrence : v n+1 = u 2(n+1) = f f(u 2n ) = f f(v n ) Comme la fonction f est décroissante, la fonction f f est croissante. De plus v 0 = u 0 = 1 et v 1 = u 2 = 5 3 donc on peut montrer par récurrence que la suite (v n) est croissante. (cf. exemple précédent) Si la suite (v n ) converge vers l alors on a f f(l) = l et l 0. Or : f f(x) = x = x 1+ 2 ( x +2 = x 1+ 2 ) x 2 x 2 = 0 x = 1 ou x = 2 x x La seule limite éventuelle est l = 2. est Analyse : Chapitre 3 Page 9 Suites réelles

10 Montrons par récurrence que la propriété P(n) : v n 2 est vraie pour tout entier n. Rang 0 : comme v 0 = 1, on a bien v 0 2 et donc P(0) est vraie. Soit n fixé. Supposons que P(n) est vraie. On sait que v n 2 donc f(v n ) f(2) = 2 et donc f f(v n ) f(2) = 2 ce qui signifie que v n+1 2. P(n+1) est alors vraie. Grâce au principe de récurrence on a donc démontré que pour tout entier n, v n 2, c est-à-dire que la suite est majorée. La suite (v n ) est donc croissante et majorée, par conséquent elle est convergente. De plus sa seule limite éventuelle est 2 donc la suite (v n ) converge vers Suite (u 2n+1 ) : On pose pour tout entier n, w n = u 2n+1. La suite w vérifie la relation de récurrence : w n+1 = u 2(n+1)+1 = f f(u 2n+1 ) = f f(w n ) De plus w 0 = u 1 = 3 et w 1 = u 3 = 11 5 donc w 1 w 0. On peut donc démontrer que la suite (w n ) est décroissante. De plus comme on sait que u n > 0 pour tout n, on peut dire que la suite (w n ) est minorée. La suite (w n ) est décroissante et minorée donc convergente vers l qui doit nécessairement vérifier l = f f(l) et l 0 donc (w n ) converge vers Convergence de (u n ) : Comme les suites (u 2n ) et (u 2n+1 ) convergent vers la même limite 2, on peut conclure que la suite (u n ) converge vers 2. 4 Utilisation de l inégalité des accroissements finis Exemple 7: Soit la suite définie par : u 0 = 1 et u n+1 = 1 u2 n x2 et la fonction f définie sur R par f(x) = Montrons par récurrence que pour tout entier n, la propriété P(n) : 0 u n 1 est vraie. Comme u 0 = 1 la propriété est bien vraie au rang 0. Soit n un entier fixé. Supposons P(n) vraie. 0 u n 1 0 u 2 n u2 n u2 n u n+1 1 Donc P(n+1) est alors vraie. Grâce au principe de récurrence on a montré que pour tout entier n, 0 u n 1. Montrons que pour tout x [0;1], f (x) 1 2. Pour tout x, f (x) = x 2. Donc pour tout x [0;1], 1 2 f (x) 0 et donc f (x) 1 2. Montrer que f admet un unique point fixe α dans l intervalle [0;1] et donner la valeur de α. f(x) = x x 2 +4x 4 = 0 x = 2+ 8 ou x = 2 8 Or 2 8 < 0 et comme 4 < 8 < 9, on a 2 < 8 < 3 et donc on a bien Donc f admet sur [0;1] un unique point fixe : α = ( ) n 1 Montrons par récurrence que la propriété P(n) : u n α u 0 α est vraie pour tout entier 2 n. ( ) n 1 Pour n = 0 on a u n α = u 0 α et u 0 α = u 0 α donc P(0) est bien vraie. 2 Analyse : Chapitre 3 Page 10 Suites réelles

11 Soit n un entier fixé. Supposons que P(n) est vraie. f est une fonction dérivable sur [0;1] telle que pour tout x [0;1], f (x) 1. On peut donc lui 2 appliquer l inégalité des accroissements finis. De plus u n [0;1] et α [0;1] donc : f(u n ) f(α) 1 2 u n α Comme f(u n ) = u n+1 et f(α) = α on peut écrire : u n+1 α 1 2 u n α Or d après P(n), 1 2 u n α 1 ( ) n ( ) n u 0 α = u 0 α ( ) n+1 1 Donc u n+1 α u 0 α. 2 P(n+1) est donc vraie. Grâce au principe de récurrence on a démontré que pour tout entier n, u n α ( ) n 1 < 1 on a lim u 0 α = 0. n + 2 Comme 0 < 1 2 Donc, par inégalité, lim u n α = 0 et donc la suite (u n ) converge vers α. n + ( ) n 1 u 0 α 2 Analyse : Chapitre 3 Page 11 Suites réelles

12 5 Représentation graphique On considère la suite u définie par u 0 = 0,9 et u n+1 = u 2 n. Voici comment représenter graphiquement la suite u n. y 1 y = x y = x 2 1 x On considère la suite v définie par v 0 = 0,45 et v n+1 = 1 vn 2. Représenter graphiquement v. y 1 y = x y = 1 x 2 1 x Analyse : Chapitre 3 Page 12 Suites réelles