Produit scalaire dans l espace

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1 Chapitre G Produit scalaire dans l espace Contenus Capacités attendues Commentaires Produit scalaire Produit scalaire de deux vecteurs dans l espace : définition, propriétés. Vecteur normal à un plan. Équation cartésienne d un plan. Déterminer si un vecteur est normal à un plan. Caractériser les points d un plan de l espace par une relation ax+by+cz +d = 0 avec a, b et c trois nombres réels non tous nuls. Déterminer une équation cartésienne d un plan connaissant un point et un vecteur normal. Déterminer un vecteur normal à un plan défini par une équation cartésienne. Démontrer qu une droite est orthogonale à toute droite d un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. Choisir la forme la plus adaptée entre équation cartésienne et représentation paramétrique pour : - déterminer l intersection d une droite et d un plan; - étudier la position relative de deux plans. On étend aux vecteurs de l espace la définition du produit scalaire donnée dans le plan. On caractérise vectoriellement l orthogonalité de deux droites et on introduit la notion de plans perpendiculaires. AP Perpendiculaire commune à deux droites non coplanaires. Intersection de trois plans. 1

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3 Table des matières G Produit scalaire dans l espace 1 I - Rappels de première sur le produit scalaire dans le plan Définitions et propriétés Droites et cercles II - Produit scalaire dans l espace Repère orthonormé de l espace Définition du produit scalaire III - Orthogonalité dans l espace Vecteurs orthogonaux, vecteurs normaux Droites perpendiculaires (ou orthogonales) à un plan Plan perpendiculaires Équations cartésiennes d un plan I - Rappels de première sur le produit scalaire dans le plan 1. Définitions et propriétés Définition 1 Si #» u et #» v sont deux vecteurs non nuls tels que #» u = AB et #» v = AC. On note H le projeté orthogonal de C sur (AB). C C #» v #» v A #» u H B H A #» u B Le produit scalaire de ces deux vecteurs est le nombre réel, que l on note #» u #» v défini par : #» u #» v = AB AC { AB AH si AB et AH ont le même sens. = AB AH si AB et AH sont de sens contraire. Si #» u ou #» v est nul, on pose par : #» u #» v = 0. Propriété 1 Deux vecteurs #» u et #» v sont orthogonaux si, et seulement si #» u #» v = 0. Propriété 2 Pour tous vecteurs #» u et #» v on a : #» u #» v = #» u #» v cos( #» u, #» v). 3

4 Propriété 3 Expression analytique du produit scalaire Le planç étant å muni Ç d un å repère orthonormal (O; #» ı, #» j). Soit #» x u et #» x v y y dans (O; #» ı, #» j). Alors : #» u #» v = xx +yy. Propriété 4 Soit #» u et #» v deux vecteurs. (1) #» u #» v = 1 î #» u + #» v 2 #» u 2 #» v 2ó = 1 î #» u 2 + #» u 2 #» u #» v 2ó ; 2 2 (2) #» u 2 = #» u 2 = x 2 +y 2 et #»» u = x 2 +y 2 dans un repère orthonormal (O; #» ı, #» j) ; (3) Les vecteurs Ç å #» u et #» vçsont åorthogonaux si, et seulement si dans un repère orthonormal (O; #» ı, #» j)xx +yy = 0 avec #» x u et #» x v y y. Propriété 5 Soit #» u, #» v et #» w des vecteurs et k un réel. Alors : (i) #» u #» v = #» v #» u ; (ii) (k #» u) #» v = #» u (k #» v) = k( #» u #» v) ; (iii) #» u ( #» v + #» w) = #» u #» v + #» u #» w. 2. Droites et cercles Définition 2 Soit #» n un vecteur non nul et A un point du plan. L ensemble des points M du plan tels que AM #» n = 0 est une droite D, passant par A, et dirigée par une vecteur #» u orthogonal à #» n. On dit que n est un vecteur normal à la droite D. Propriété 6 Caractérisation d une droite Soit AÇ un å point du plan et #» n un vecteur non nul. Si #» a n dans un repère orthonormal (O; #» ı, #» j), alors la droite D a une équation cartésienne de la forme b ax+by +c = 0. Exemple 1 Ç å Soit A(3;1) et #» 1 n. On note #» u un vecteur directeur de la droite D passant par A de vecteur normal #» n. 2 Ç å Ç å Çå On a #» n #» x 1 u = 0 = 0 x+2y = 0 x = 2y. On peut prendre #» 2 u. y 2 1 M(x;y) D AM #» n = 0 (x 3) ( 1)+(y 1) 2 = 0 x+3+2y 2 = 0 x+2y +1 = Lycée Pierre-Gilles de Gennes

5 Propriété 7 Caratérisation d un cercle Le cercle C de diamètre [AB] est l ensemble des points M du plan tels que MA MB = 0. Propriété 8 Soit Ω(a;b) un point du plan dans un repère orthonormé (O; #» ı, #» j), R un réel strictement positif. Le cercle C de centre Ω et de rayon R est l ensemble des points M du plan tels que ΩM = R, ou encore ΩM 2 = R 2. Une équation cartésienne de C dans (O; #» ı, #» j)est (x a) 2 +(y b) 2 = R 2. Exemple 2 Prenons Ω( 2;5) et R = 3. Le cercle de centre Ω et de rayon 3 a pour équation cartésienne : (x+2) 2 +(y 5) 2 = 9 x 2 +y 2 +4x 10y +20 = 0. II - Produit scalaire dans l espace 1. Repère orthonormé de l espace Définition 3 Soit O, I, J et K quatre points non coplanaires. Le quadruplet (O; I, J, K) est un repère : (1) orthogonal lorsque les droites (OI), (OJ) et (OK) sont deux à deux perpendiculaires. (2) orthonormé (ou orthonormal) lorsqu il est orthogonal et OI = OJ = OK. Théorème 1 Soit (O;I,J,K) un repère orthonormé de l espace et #» u de coordonnées (a;b;c) un vecteur de l espace. On a : #» u = a 2 +b 2 +c 2. M(a;b;c) Soit M le point tel que OM = #» u. La parallèle à (OK) coupe le plan (OIJ) en H. D après théorème de la médiane, on a vu dans l activité que la droite (OK) est perpendiculaire à (OH), ainsi le triangle (OHM) est rectangle en M. D après le théorème de Pythagore, on a OM 2 = OH 2 +HM 2 = OH 2 +c 2. De plus, en notant M 1 le projeté orthogonale de H sur la droite (OI) dans le plan (OIJ), le triangle OM 1 H est rectangle en M 1 et d après le théorème de Pythagore, on a OH 2 = OM M 1 H 2 = a 2 +b 2. On en déduit finalement que #» u = OM = a 2 +b 2 +c 2. K I O J #» u M 2 M 1 H Remarque» : Si A(x A ;y A ;z A ) et B(x B ;y B ;z B ) sont deux points de l espace muni d un repère orthonormé alors AB = (x B x A ) 2 +(y B y A ) 2 +(z B z A ) Lycée Pierre-Gilles de Gennes

6 2. Définition du produit scalaire Définition 4 Soit #» u et #» v deux vecteurs de l espace et A, B et C trois points tels que : #» u = AB et #» v = AC. Il existe toujours un plan P contenant A, B et C et le produit scalaire des vecteurs #» u et #» v est le produit scalaire des vecteurs AB et AC dans le plan P. Remarque : On a #» u #» v = 1 Ä #» u + #» v 2 #» u 2 #» v 2ä et cette expression est indépendante du choix des 2 représenants de #» u et #» v. Par conséquent, le produit scalaire est indépendant du plan P. Théorème 2 Toutes les propriétés du produit scalaire établies en géométrique plane s appliquent à des vecteurs coplanaires de l espace. Propriété 9 Soit #» u(x;y;z) et #» v(x ;y ;z ) deux vecteurs de l espace muni d un repère orthonormé (O;I,J,K). On a : #» u #» v = xx +yy +zz. On note (O;I,J,K) le repère orthonormé, ainsi que #» ı = OI, #» j = OJ et #» k = OK. Soit M le point de l espace tel que #» u = OA. La parallèle à (O, #» k) coupe le plan (O; #» ı, #» j)en un unique point B(x;y;0). On a OA 2 = OB 2 +AB 2 = x 2 +y 2 +z 2. Ainsi #» u 2 = x 2 +y 2 +z 2 et de même #» v 2 = x 2 +y 2 +z 2 et #» u #» v 2 = (x x ) 2 +(y y ) 2 +(z z ) 2 = x 2 +y 2 +z 2 +x 2 +y 2 +z 2 (2xx +2yy +2zz ). Or, #» u #» v = 1 [ #» u 2 + #» v 2 #» u #» v 2] = (2xx +2yy +2zz ). D où #» u #» v = xx +yy +zz. Définition 5 Projection orthogonale sur un plan Soit P un plan et M un point de l espace. La droite perpendiculaire à P passant par M coupe le plan P en M appelé projeté orthogonal de sur P. D M B C M P P A C Remarque : Si A, B soit deux points d un plan P et C / P alors AB AC = AB AC où C est le projeté orthogonal de C sur P. En effet, AB AC = AB ( AC + C # C)» = AB AC + AB AC = AB AC. 6 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes

7 Propriété 10 Soit A et B deux points de l espace. (1) L ensemble des points M tels que MA MB = 0 est la sphère de diamètre [AB]. (2) Soit R un réel strictement positif et Ω(a;b;c) un point dans un repère orthonormé de l espace. Une équation cartésienne de la sphère de centre Ω et de rayon R est : (x a) 2 +(y b) 2 +(z c) 2 = R 2. Soit I le milieu de [AB]. (1) MA MB = ( MI + IA) ( MI + IB = MI 2 + MI ( IA+ IB)+ IA IB = MI 2 IA 2 car I est le milieu de [AB], c est-à-dire IA = IB. Ainsi, MA MB = 0 IM = IA M est un point de la sphère de diamètre [AB]. (2) M(x;y;z) appartient à la sphère de centre Ω et de rayon R si, et seulement si ΩM 2 = R 2, c est-à-dire (x a) 2 +(y b) 2 + (z c) 2 = R 2. III - Orthogonalité dans l espace 1. Vecteurs orthogonaux, vecteurs normaux Propriété 11 Soit #» u et #» v deux vecteurs de l espace. A, B et C sont trois points tels que #» u = AB et #» v = AC. #» u #» v = 0 si, et seulement si #» #» u = 0 ou #» #» v = 0 ou BAC = π 2. En effet, #» u #» v = #» u #» v cos BAC. Remarque : La notion d angle orienté n a pas de sens dans l espace maiscos( #» u, #» v) = cos( ( #» u, #» v)) = cos BAC. Définition 6 On dit que deux vecteurs #» u et #» v sont orthogonaux lorsque #» u #» v = 0. Remarque : Deux droites de l espace sont orthogonales si, et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Définition 7 Soit O un point et #» ı, #» j et #» k trois vecteurs non colinéaires de l espace. Le triplet (O; #» ı, #» j, #» k) est un repère : (1) orthogonal de l espace lorsque les vecteurs #» ı, #» j et #» k sont deux à deux orthogonaux; (2) orthonormé (ou orthonormal) de l espace lorsquil est orthogonal et que #» ı = #» j = #» k. Définition 8 On dit qu un vecteur non nul de l espace est normal à un plan lorsqu il est orthogonal à tout vecteur du plan. Remarque : On rappelle qu un vecteur est normal à une droite lorsqu il est orthogonal à tout vecteur direction de cette droite. 7 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes

8 Théorème 3 Un vecteur est normal à un plan si, et seulement si il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan. " " Évident par définition du vecteur normal à un plan. " " Soit #» u et #» v deux vecteurs non colinéaires d un plan P et #» n un vecteur orthogonal à #» u et #» v. Soit #» w un vecteur normal de P. Il faut montrer que #» w #» n = 0. Puisque #» u et #» v sont non colinéaires et que #» u, #» v et #» w sont coplanaires, il existe deux réels α et β tels que #» w = α #» u +β #» v. Ainsi, #» n w #» = #» n (α #» u)+ #» n (β #» v) = α }{{} #» n #» u +β }{{} #» n #» v = 0. Ainsi #» n est orthogonal à w. #» =0 =0 Remarques : Soit M un point de l espace n appartenant pas à un plan P et H le projeté orthogonal de M sur P. Le vecteur HM est un vecteur normal de P. Ainsi, tout plan de l espace admet un vecteur normal. Deux vecteurs normaux d un plan de l espace sont colinéaires. 2. Droites perpendiculaires (ou orthogonales) à un plan Théorème 4 Une droite est perpendiculaire à un plan si, et seulement si tout vecteur directeur de cette droite est normal au plan. " " Soit D une droite perpendiculaire au plan P et #» n un vecteur directeur de D. Considérons #» u et #» v deux vecteurs non colinéaires de P et notons d et d deux droites de P de vecteurs directeurs respectifs #» u et #» v. Par définition D est orthogonale à d et d, donc #» n est orthogonal à #» u et #» v, ainsi #» n est normal à P. " " Soit D une droite de l espace et #» n un vecteur directeur de D. Puisque #» n est normal à D, il est othogonal à tout vecteur de P. Considérons d et d deux droites de P, #» n étant orthogonal aux vecteurs directeurs de d et d, la droite D est orthogonal à d et d, elle est alors perpendiculaire au plan P. Propriété 12 Soit A un point et #» n un vecteur non nul de l espace. Il existe un unique plan P de vecteurs directeurs #» u et #» v ayant pour vecteur normal le vecteur #» n. De plus, les vecteurs #» u, #» v et #» n sont non coplanaires. ) ( a On munit l espace d un repère orthonormé et on note b les coordonnées de #» u dans ce repère. Puisque #» u est non nul, on peut c supposer par exemple que a est non nul (dans le cas contraire on échangera les rôles de a, b et c). ( ) ( ) c b Posons #» u 0 et #» v a. a 0 c = kb Ils sont non colinéaires car 0 = ka k = 0 puisque a est non nul, de plus on vérifie facilement que #» n #» u = 0 et #» n #» v = 0. a = k 0 Considérons maintenant le plan P passant par A de vecteurs directeurs #» u et #» v. Si les vecteurs #» u, #» v et #» n étaient coplanaires, il existerait deux réels α et β tels que #» n = α #» u + β #» a = αc βb (1+α 2 +β 2 )a = 0 v b = βa b = βa, ce qui est absurde car c = αa c = αa puisque a est non nul, il faudrait que 1+α 2 +β 2 soit nul, ce qui n est pas possible. Par suite, les vecteurs #» u, #» v et #» n sont non coplanaires. On admettra l unicité. 8 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes

9 Propriété 13 Soit A un point et #» n un vecteur non nul de l espace. L ensemble des points M de l espace tels que AM #» n = 0 est le plan passant par A de vecteur normal #» n. Soit P le plan de vecteur normal #» n. On note #» u et #» v deux vecteurs directeurs de P non coplanaires avec #» n. Ainsi (A; #» u, #» v, #» n) forme un repère de l espace et pour tout point M de l espace il existe trois réel x, y et z tels que AM = x #» u +y #» v +z #» n. =0 =0 Or, AM #» {}}{{}}{ n x #» u #» n +y #» v #» n +z #» n #» n = 0 z #» n 2 = 0 z = 0 AM = x #» u + y #» v AM, #» u et #» v sont coplanaires M P. D où le résultat. 3. Plan perpendiculaires Propriété 14 Admise Soit P et P deux plans de l espace de vecteurs normaux respectifs #» n et #» n. (1) P et P sont perpendiculaires si, et seulement si #» n #» n = 0. (2) P et P sont parallèles si, et seulement si #» n et #» n sont colinéaires. 4. Équations cartésiennes d un plan Propriété 15 Soit A un point et #» n un vecteur non nul de l espace. (1) Si #» n a pour coordonnées (a;b;c) dans un repère orthonormé de l espace, alors le plan P passant par A et de vecteur normal #» n admet dans ce repère une équation cartésienne de la forme : ax+by +cz +d = 0 où a,b,c,d R. (2) Un équation de la forme ax+by +cz +d = 0 où a,b,c,d R avec (a,c,d) (0,0,0) est dans un repère orthonormé de l espace une équation cartésienne d un plan de vecteur normal #» n de coordonnées (a;b;c). à faire!!! Remarque : Dans un repère orthonormé (O; #» ı, #» j, #» k), le plan d équation z = 0 admet le vecteur #» k(0;0;1) pour vecteur normal et contient le point O(0;0;0). C est donc le plan (O; #» ı, #» j). +donner des exemples pour passer d une équation cartésienne à un système d équations paramétriques et réciproquement 9 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes