Chapitre V. Chapitre V : Bases et dimension

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1 Chapitre V Chapitre V : Bases et dimension

2 Introduction On avait vu au Chapitre IV qu une base pour un espace vectoriel V est une partie à la fois libre et génératrice de V. Les bases constituent un outils pratique : elles permettent d engendrer tout V (au moyen des combinaisons linéaires) et contiennent un nombre de vecteurs aussi petit que possible.

3 Introduction Le but est d étudier plus en détails les bases d un espace vectoriel. On va notamment voir que tout espace vectoriel admet au moins une base!

4 Bases On peut facilement démontrer que : Théorème 1 Soit V espace vectoriel sur K et B V. Alors les proprétés suivantes sont équivalentes : 1 B est une partie libre et génératrice de V (une base), 2 B est une partie libre maximale de V, 3 B est une partie génératrice minimale de V. Minimale et maximale signifient minimale et maximale pour l inclusion : une partie libre de V est maximale si elle n est strictement contenue dans aucune autre partie libre de V. Une partie génératrice de V est minimale si elle ne contient strictement aucune autre partie génératrice de V.

5 Bases Nous avons vu que {(1, 0,..., 0), (0, 1, 0,..., 0),..., (0, 0,..., 0, 1)} était une base de K n (quel que soit K). On l appelle parfois la base canonique de K n. Par "canonique", il faut comprendre "naturelle", la plus "évidente". Même si K n admet d autres bases, c est la base canonique qui semble la plus naturelle et facile à manipuler.

6 Bases Exemple 2 La base canonique de R 2 est B = {(1, 0), (0, 1)}. Voici une autre base de R 2 : B 1 = {(1, 2), (2, 0)}. La partie B 1 est clairement libre vu qu aucun des deux vecteurs de B 1 n est multiple de l autre. Pour montrer qu elle est génératrice, soit (x, y) R 2 et trouvons deux scalaires λ 1 et λ 2 tels que c est-à-dire tels que (x, y) = λ 1 (1, 2) + λ 2 (2, 0) (x, y) = (λ 1 + 2λ 2, 2λ 1 ). On voit qu il suffit de prendre λ 1 = y/2 et du coup λ 2 = (x λ 1 )/2 = (2x y)/4. Donc B 1 est bien génératrice.

7 Bases On ne va démontrer l existence de base que pour certains espaces vectoriels particuliers : ceux de dimension finie. L espace vectoriel V sur K est appelé de dimension finie si il admet une partie génératrice ayant un nombre fini d éléments. Sinon, on dit qu il est de dimension infinie. Les espaces vectoriels de dimension infinie admettent aussi des bases, mais la démonstration est plus complexe et ne sera pas donnée dans ce cours.

8 Bases Exemple 3 Quel que soit K, l espace K n est de dimension finie vu que {(1, 0,..., 0), (0, 1, 0,..., 0),..., (0, 0,..., 0, 1)} est une base. En revanche, R[X ] n est pas de dimension finie. En effet, un ensemble fini de polynômes {p 1 (X ),..., p m (X )} ne peut jamais engendrer tout R[X ] vu que le degré du polynôme λ 1 p 1 (X ) λ m p m (X ) est au plus égal au degré maximum des p i (X ). Or, il existe des polynômes de degré plus grand que ce maximum dans R[X ], et qui ne seront donc pas engendrés par {p 1 (X ),..., p m (X )}!

9 Bases Théorème 4 Soit V espace vectoriel de dimension finie sur K et soit G = {v 1,..., v m } une partie génératrice finie de V. Soit L G une partie libre de V. Alors il existe une base B de V telle que L B G. Démonstration : Considérons toutes les parties libres de G contenant L. Parmi toutes ces parties libres, prenons en une B = {w 1,..., w k } qui est maximale (pour l inclusion). On va montrer que B est une base de V. Il suffit de montrer que <B> = V (on sait déjà que B est libre, par hypothèse). Prouvons tout d abord que G <B>.

10 Bases En effet, pour tout g G \ B, la partie B {g} n est pas libre (par hypothèse sur B). Il existe donc des scalaires λ 0,..., λ k tels que λ 0 g + λ 1 w λ k w k = 0 ou les λ i sont non tous nuls. Mais alors λ 0 0 sinon tous les λ i seraient nuls (vu que B est libre par hypothèse). On peut donc isoler g dans cette équation, ce qui prouve que g <B>. Soit à présent h V quelconque. Comme G est génératrice, il existe des scalaires λ 1,..., λ m K tels que h = λ 1 v λ m v m.

11 Bases Mais chaque v i G peut s écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs de B. Du coup, h peut aussi s écrire comme combinaison linéaire des vecteurs de B. Ceci prouve que B est génératrice dans V.

12 Bases Le théorème qu on vient de démontrer est en fait vrai en générale : Théorème 5 Soit V espace vectoriel sur K et soit G une partie génératrice de V. Soit L G une partie libre de V. Alors il existe une base B de V telle que L B G. Mais la démonstration dans le cas ou V n est pas de dimension finie fait intervenir l axiome du choix (un axiome assez subtil de la théorie des ensembles) qui n est pas au programme de ce cours.

13 Bases En particulier, le Théorème 5 prouve donc que tout espace vectoriel admet (au moins) une base. En fait, il affirme plus que cela : Théorème 6 Soit V un espace vectoriel sur K. Alors toute partie génératrice de V contient une base de V. De plus, toute partie libre de V est contenue dans une base de V. Démonstration : Si G 1 est une partie génératrice de V, on applique le Théorème 5 avec G = G 1 et L =. Si L 1 est libre, on applique le Théorème 5 avec G = V et L = L 1.

14 Bases Exemple 7 Dans R 2, la partie L = {(1, 1)} est libre. Il est donc possible de la compléter en une base. Par exemple B = {(1, 1), (1, 0)} est une base (on vérifie aisément que B est libre et génératrice de R 2 ).

15 Bases Ce qu il faut bien comprendre : on a vu que V admet toujours une base. Une telle base contiendra un nombre fini d éléments si V est de dimension finie, et un nombre infini sinon. Cependant, que V soit de dimension finie ou pas, si B est une base de V, tout vecteur de V peut s exprimer comme combinaison linéaire d un nombre fini de vecteurs de B! Par définition, une combinaison linéaire ne peut en effet contenir qu un nombre fini d éléments. Prendre une somme infinie dans un espaces vectoriel n a à priori aucun sens!

16 Bases Exemple 8 L ensemble infini B = {1, X, X 2,..., X n,...} est une base de l espace vectoriel des polynômes R[X ]. L ensemble B est générateur vu que pour tout polynôme P(X ) il existe a 0,..., a m R tel que p(x ) = a 0 + a 1 X a m X m. Comme un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls, la partie B est aussi libre.

17 Bases Exemple 9 On peut montrer que l espace vectoriel réel R R est de dimension infinie. Mais on ne connaît aucune base explicitement!

18 Dimension Théorème 10 Soit V un espace vectoriel de dimension finie sur le corps K. Alors toutes les bases de V ont le même nombre d éléments. Ce nombre est appelé la dimension de V sur K, et noté dim K (V ). Lorsqu il n y a pas d ambiguité vis à vis du corps sur lequel on travaille, on note la dimension plus simplement dim(v ).

19 Dimension Démonstration : On se contentera d une idée de la preuve. Il suffit de montrer que si G = {v 1,..., v n } est une partie génératrice à n éléments de V, alors toute partie ayant plus de n éléments n est jamais libre. Ceci implique immédiatement que si B et B sont deux bases alors le nombre d éléments de B est au plus le nombre d éléments de B, et le nombre d éléments de B est au plus le nombre d éléments de B. Donc, B et B ont même nombre d éléments.

20 Dimension Il suffit donc de montrer que si G = {v 1,..., v n } est une partie génératrice de V à n éléments, alors toute partie ayant plus de n éléments n est jamais libre. Soit donc H un ensemble d au moins n + 1 vecteurs de V. Soit H contient n vecteurs liés, auquel cas H n est pas libre. Si ce n est pas le cas, on peut montrer (ce n est pas dur, mais un peu long) qu on peut remplacer successivement chaque vecteur v i G par un vecteur w i H tout en gardant une partie génératrice. Ainsi, on aurait une partie G = {w 1,..., w n } de H qui est génératrice pour V. Mais comme H contient plus de n éléments, il existe un élément dans H \ G. Cet élément est combinaison linéaire des éléments de G, et donc H n est pas libre.

21 Dimension Exemple 11 On a vu que {(1, 0,..., 0), (0, 1, 0,..., 0),..., (0, 0,..., 0, 1)} constitue une base de K n. Donc dim K (K n ) = n et toutes les bases de K n contiennent exactement n vecteurs.

22 Dimension et bases Théorème 12 Soit V un espace vectoriel de dimension finie n sur le corps K. Alors toute partie libre de n vecteurs est forcément génératrice (et est donc une base). De même, toute partie génératrice de n vecteurs est forcément libre (et est donc une base). Démonstration : Soit A une partie libre de n éléments. Si A n est pas génératrice, on pourrait la compléter pour avoir une base B (par le Théorème 6) qui aurait donc plus de n éléments, d où la contradiction. La démonstration du second point est similaire.

23 Dimension et bases Le Théorème 12 est très utile pour prouver qu une partie X de n vecteurs forme bien une base d un espace vectoriel V de dimension (finie) connue n. En effet, il affirme qu il suffit de prouver que X est libre, on gagne donc du temps.

24 Dimension et bases Exemple 13 La partie X = {(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1)} est une base de R 4. En effet, dim R (R 4 ) = 4 vu que la base canonique est une base de R 4 et il est aisé de monter que X est libre : l équation λ 1 (1, 0, 0, 0)+λ 2 (1, 1, 0, 0)+λ 3 (1, 1, 1, 0)+λ 4 (1, 1, 1, 1) = (0, 0, 0, 0) est équivalent à (λ 1 + λ 2 + λ 3 + λ 4, λ 2 + λ 3 + λ 4, λ 3 + λ 4, λ 4 ) = (0, 0, 0, 0).

25 Dimension et bases Exemple (Suite de l exemple précédent) D où il suit que λ 4 = 0, et donc λ 3 = 0, λ 2 = 0, λ 1 = 0. La partie X est donc une partie libre de 4 vecteurs de R 4, c est-à-dire une base de R 4.

26 Dimension et bases Théorème 14 Soit V un espace vectoriel sur K et B une base de V. Alors tout vecteur non nul x V s exprime d une et une seule façon comme combinaisons linéaire d éléments de B. Démonstration : Soit x V. Comme B est génératrice, x peut s écrire comme une combinaison linéaire d éléments de B. Il reste à montrer que cette combinaison est bien unique. Il existe donc un sous-ensemble fini C B et des scalaires λ i 0 tels que x = x i C λ i x i.

27 Dimension et bases S il existait un autre sous-ensemble non vide D B et des scalaires α i 0 tels que x = y i D α i y i on aurait 0 = y i D α i y i x i C λ i x i. Mais comme B est libre, ceci ne peut arriver que si B = C et λ i α i = 0 pour tout i.

28 Coordonnées Soit V un espace vectoriel de dimension n sur K et {e 1,..., e n } une base de V. Pour tout vecteur x V, il existe donc des scalaires uniques λ 1,..., λ n tels que x = n λ i e i. i=1 On dira que λ 1,..., λ n sont les coordonnées (ou composantes) de x dans la base B.

29 Coordonnées Exemple 15 Soit V = K n et B = {(1, 0,..., 0), (0, 1, 0,..., 0),..., (0, 0,..., 0, 1)} la base canonique. Alors pour tout vecteur (x 1,..., x n ) K n on a (x 1,..., x n ) = x 1 (1, 0,..., 0) x n (0, 0,..., 0, 1) de sorte que les coordonnées de (x 1,..., x n ) dans la base canonique sont exactement x 1,..., x n.

30 Coordonnées Exemple 16 On a vu dans un des exemples précédents que B 1 = {(1, 2), (2, 0)} était une base de R 2 et que (x, y) = y 2 2x y (1, 2) + (2, 0). 4 Donc y/2 et (2x y)/4 sont les coordonnées de (x, y) dans la base B 1.

31 Applications Donnons à présent quelques applications de la notion de base à des problèmes issus de l informatique.

32 Applications Rappel : nous avons vu au Chapitre II qu il est possible de représenter un graphe au moyen de sa matrice d incidence. b 2 a 1 4 d 3 c a b c d

33 Applications On dira qu un graphe est connexe s il est en un seul morceau. Le dessin ci-dessous représente un graphe connexe G et un graphe non connexe H. G H

34 Applications Il est possible de démontrer le théorème suivant (voir un ouvrage de référence sur les graphes) : Théorème 17 Soit G un graphe ayant n sommets et m arêtes. Soit V le sous-espace de (Z 2 ) n engendré par les colonnes de la matrice d incidence de G. Alors dim Z2 (V ) n 1 avec égalité si et seulement si G est connexe. Ce théorème permet donc en particulier de déterminer si G est connexe à partir de sa matrice d incidence.

35 Applications Donnons maintenant une application concernant les codes correcteurs d erreurs. La terminologie qui suit est classique : Une code linéaire C de longueur n sur le corps fini Z p est un sous-espace de (Z p ) n. Si dim Zp (C) = k, on dit que C est un [n, k]-code p-aire.

36 Applications Soit C un [n, k]-code p-aire et B une base de C. La matrice de Mat(n k)(z p ) obtenue en mettant les vecteurs de B en colonnes est appelée matrice génératrice de C. Pour voir si un mot appartient au code, il suffit de voir s il peut être écrit comme une combinaison linéaire des colonnes de la matrice génératrice.

37 Résumé des points importants du chapitre 1 La définition d une base. Tout partie libre d un espace vectoriel V est contenue dans une base, toute partie génératrice contient une base. Toutes les bases ont le même nombre d éléments, 2 Les espaces vectoriels de dimension finie/infinie, 3 Dans un espace vectoriel de dimension finie n, toute partie libre de n éléments est une base, 4 Les coordonnées d un vecteur dans une base donnée.