LA DEMONSTRATION EN GEOMETRIE PLANE

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1 LA DEMONSTRATION EN GEOMETRIE PLANE I. Le débat Pour discuter de la validité d'énoncés mathématiques, les mathématiciens ont mis en place des règles de débat. En mathématiques, ces principales règles sont : un énoncé est soit vrai, soit faux ; un contre-exemple suffit pour invalider une propriété ; les mathématiciens s'appuient, pour débattre, sur un certain nombre de propriétés ou définitions clairement énoncées sur lesquelles ils se sont mis d'accord ; des exemples même nombreux qui vérifient un énoncé ne suffisent pas à prouver qu'il est vrai ; une constatation ou une mesure sur un dessin ne suffisent pas à prouver qu'un énoncé de géométrie est vrai. II. Qu est-ce qu une démonstration? Pour prouver que des énoncés mathématiques sont vrais, les mathématiciens ont élaboré un outil spécifique : la démonstration. Les démonstrations sont des preuves particulières, seules acceptées par les mathématiciens, qui possèdent les caractéristiques suivantes : toute affirmation est soit une donnée, soit une propriété, soit la conséquence d'une propriété établie à partir de règles de logique ; une fois qu'un résultat est démontré, il est considéré comme vrai sans qu'on ait besoin de le redémontrer. III. Apprendre à faire des démonstrations Une démonstration repose sur la connaissance de définitions et de propriétés géométriques. Méthode de recherche d une démonstration 1. Il faut tout d'abord dégager les données et expliciter ce qu'il faut démontrer. 2. On peut ensuite répertorier toutes les propriétés qui permettent de démontrer une affirmation. 3. Il faut ensuite choisir celle qui semble la plus adaptée au problème. La démonstration en géométrie plane 1 / 6

2 4. La propriété étant choisie, il y a deux cas possibles : Les conditions d'utilisation de la propriété sont dans les données. Dans ce cas il n'y a plus qu'à rédiger la démonstration. Les conditions d'utilisation ne sont pas dans les données, il faut alors les démontrer, et repartir de l'étape 2. Organigramme de recherche d une démonstration Quelles sont les données? Que faut-il démontrer? Quelles propriétés puis-je utiliser? Quelles sont les conditions d utilisation de ces propriétés? Pour chacune de ces propriétés ai-je une chance de pouvoir démontrer leurs conditions d'utilisation? Je choisis une propriété Les conditions de la propriété choisie font-elles partie des données ou sont-elles démontrées? Oui Non Il n y a plus qu à rédiger Il faut les démontrer La démonstration en géométrie plane 2 / 6

3 IV. Les principales propriétés à connaître 1. Droites Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles. Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles. Si A, B et C sont trois points tels que (AB) et (AC) sont parallèles, alors A, B et C sont alignés. Si deux droites sont parallèles et si une troisième droite est perpendiculaire à l'une d'elles, alors elle est perpendiculaire à l'autre. 2. Cercle Si un point M est sur un cercle de centre O et de rayon r, alors OM = r. Si un triangle est rectangle, alors le milieu de l'hypoténuse est le centre du cercle circonscrit (c'est-à-dire que la médiane issue du sommet de l'angle droit est égale à la moitié de l'hypoténuse). Si un point M est sur le cercle de diamètre [AB], alors (MA) est perpendiculaire à (MB). 3. Médiatrice Si un point est équidistant des extrémités d un segment, alors il est sur la médiatrice de ce segment. Si un point est sur la médiatrice d'un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment. Si une droite est perpendiculaire à (AB) et passe par le milieu de [AB], alors c'est la médiatrice de [AB]. Si une droite est la médiatrice d'un segment [AB], alors elle est perpendiculaire à (AB) et passe par le milieu de [AB]. Si une droite contient deux points équidistants de A et B, alors c'est la médiatrice de [AB]. Si une droite est perpendiculaire à (AB) et contient un point équidistant de A et B, alors c'est la médiatrice de [AB]. La démonstration en géométrie plane 3 / 6

4 4. Parallélogramme Si un quadrilatère a des côtés opposés parallèles deux à deux, alors c'est un parallélogramme. Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux. Si un quadrilatère a des diagonales qui ont le même milieu, alors c'est un parallélogramme. Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales ont le même milieu. Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont de même longueur deux à deux. Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés de même longueur et parallèles, alors c'est un parallélogramme. 5. Losange Si un quadrilatère a quatre côtés égaux, alors c'est un losange. Si un quadrilatère est un losange, alors il a quatre côtés de même longueur. Si un quadrilatère a des diagonales perpendiculaires et qui ont le même milieu, alors c'est un losange. Si un quadrilatère est un losange, alors il a des diagonales perpendiculaires et qui ont le même milieu. 6. Rectangle Si un quadrilatère a trois angles droits, alors c'est un rectangle. Si un quadrilatère est un rectangle, alors il a quatre angles droits. Si un quadrilatère a des diagonales de même longueur et qui ont le même milieu, alors c'est un rectangle. Si un quadrilatère est un rectangle, alors il a des diagonales de même longueur et qui ont le même milieu. 7. Carré Si un quadrilatère a quatre côtés de même longueur et un angle droit, alors c'est un carré. Si un quadrilatère est un carré, alors il a quatre angles droits et quatre côtés de même longueur. Si un quadrilatère a des diagonales de même longueur perpendiculaires et qui ont même milieu, alors c'est un carré. La démonstration en géométrie plane 4 / 6

5 Si un quadrilatère est un carré, alors il a des diagonales de même longueur perpendiculaires et qui ont le même milieu. 8. Triangle Dans un triangle, la longueur d'un côté est strictement inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. Si dans un triangle une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un deuxième côté, alors elle coupe le troisième en son milieu. Si dans un triangle (ABC) une droite passe par les milieux (M et N) de deux côtés ([AB] et [AC]), alors elle est parallèle au troisième (BC), de plus MN = 1/2 BC (théorème de la droite des milieux). Si un triangle est rectangle, alors la somme des carrés des côtés de l'angle droit est égale au carré de son hypoténuse (théorème de Pythagore). Si dans un triangle ABC on a AB² + AC² = BC², alors le triangle est rectangle en A. Théorème de Thalès dans le triangle et sa réciproque. 9. Angle Dans un triangle la somme des angles est égale à 180. Si deux angles sont opposés par le sommet, alors ils sont égaux. Si deux angles sont alternes-internes formés à partir de droites parallèles, alors ils sont égaux. Si deux angles sont correspondants formés à partir de droites parallèles, alors ils sont égaux. Si un triangle ABC est isocèle en A, alors Bˆ = Ĉ. Si un triangle est équilatéral, alors il a trois angles égaux à 60. Si B ÂC = 180, alors A, B et C sont alignés. Si un triangle a deux angles égaux, alors il est isocèle. Si un triangle a trois angles égaux, alors il est équilatéral. 10. Angle et cercle Si un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc, alors la mesure de l'angle au centre est double de celle de l'angle inscrit. Si deux angles inscrits interceptent le même arc, alors ils sont égaux. La démonstration en géométrie plane 5 / 6

6 11. Symétrie Si deux segments sont symétriques par rapport à un axe ou à un point, alors ils sont de même longueur. Si deux angles sont symétriques, alors ils sont égaux. V. Exemple Pour démontrer que deux droites sont perpendiculaires... on peut utiliser les propriétés suivantes Si une droite est la médiatrice d un segment [AB], alors elle est perpendiculaire. Si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales sont perpendiculaires et ont le même milieu. à condition d avoir une médiatrice un losange La démonstration en géométrie plane 6 / 6