Université Lyon 1 Année Master Mathématiques Générales 1 ère année Analyse appliquée aux équations aux dérivées partielles

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1 Université Lyon Année Master Mathématiques Générales ère année Analyse appliquée aux équations aux dérivées partielles Feuille 4. Intégration Notations n N λ n est la mesure de Lebesgue dans R n. H k est la mesure de Hausdorff k-dimensionnelle. Cas particulier : H est la mesure de longueur. Donc une courbe et dl l intégrale de longueur. Cas particulier : H est la mesure de surface. Donc S f(x) dh (x) = f(x) dh (x) = S f dl, avec f ds, avec S une surface et ds l intégrale de surface. La norme euclidienne standard sur R n est désignée par x x. B(x, r) et S(x, r) sont respectivement la boule ouverte et la sphère centrées en x et de rayon r dans R n (par rapport à la norme euclidienne standard). ω n = λ n (B(0, )) (=volume de la boule unité). σ n = H n (S(0, )) (=superficie de la sphère unité). Exercice. (Paramétrisations concrètes) Donner des formules pour :. f(x, y) dl. x+y=. f(x, y) dl. C(0,) 3. (Dans R 3 ) S(0,) f(x, y, z) ds. 4. L intégrale sur un k-plan dans R n. Exercice. (Changements de coordonnées sphériques généralisées) Soient x R n, r > 0.. Si f est H n -intégrable ou mesurable positive sur S(x, r), montrer l identité f dh n = r n f(x + ry) dh n (y). S(x,r) S(0,). Si f est λ n -intégrable ou mesurable positive sur B(x, r), montrer l identité f dλ n = r n f(x + ry) dλ n (y). B(x,r) B(0,) 3. Calculer λ n (B(x, r)) et H n (S(x, r)) en fonction de ω n et σ n.

2 4. Généralisation des propriétés. et.? Exercice 3. (Intégrales de référence) Déterminer pour quelles valeurs du paramètre a les intégrales suivantes sont finies :. B(0,) x dx. a. x dx. a R n \B(0,) Exercice 4. (Formules de ω n et σ n ) En calculant de deux manières différentes R n e x σ n = πn/ (n/), ω π n/ n = (n/ + ). Donner l expression de ces quantités selon la parité de n. On rappelle que la fonction d Euler est donnée par et que (/) = π. (t) = 0 x t e x dx, t > 0, dx, montrer les identités suivantes : Exercice 5. (Propriétés de la mesure superficielle sur la sphère) Soit A une partie borélienne de S(0, ). Soit B = B(A) = 0 t. Montrer que B est une partie borélienne de R n et que H n (A) = nλ n (B).. En déduire que σ n = nω n. 3. Soit R O(n). Déterminer B(R(A)). En déduire que la mesure sur la sphère S(0, ) est invariante par isométries linéaires. 4. Soit f : S(0, ) R intégrable et impaire par rapport à l une des coordonnées. Montrer que f(x) dh n (x) = 0. S(0,) 5. Calculer S(0,) x dh n (x). ta. Exercice 6. (Mesure d un cône) Calculer la superficie du cône circulaire droit C := {x R n ; x n + x x n =, 0 x n }. Exercice 7. (Intégration par parties)

3 Soient R n un ouvert lipschtzien, et f, g C (). On suppose que soit est relativement compact, soit l une des fonctions f ou g est à support compact. Montrer la formule d intégration par parties f j g = ν j fg dh n g j f. Exercice 8. (Formules de Green) Soient un ouvert borné de classe C et u, v C (). Montrer les identités suivantes :. u v = u v u v (première formule de Green) (. (u v v u) = u v v u ) (deuxième formule de Green). Exercice 9. (Aire d un domaine délimité par une courbe) Soit une courbe simple dans le plan, délimitant un domaine de classe C. On considère, sur, l orientation positive par rapport à. En utilisant le théorème fluxdivergence div f = n f pour un choix convenable du champ de vecteurs f, montrer la formule suivante aire() = (x dy y dx). Exercice 0. (Formules de la moyenne) Soit f C (R n ).. Montrer que la fonction G :]0, + [ R définie pour tout r > 0 par G(r) = f(x) dh n (x) est de classe C et que G (r) = r n r n S(0,r) S(0,r) x f(x) dh n (x) pour tout r > 0.. En déduire que G (r) = f(x) dx pour tout r > 0. r n B(0,r) 3. Établir la première formule de la moyenne : si f C (B(0, R)) C(B(0, R)) est harmonique (càd solution de f = 0 dans ), alors f(0) = f(x) dh n (x). H n (S(0, R)) S(0,R) 4. Établir la deuxième formule de la moyenne : si f C (B(0, R)) C(B(0, R)) est harmonique, alors f(0) = f(x) dλ n (x). λ n (B(0, R)) B(0,R) 3

4 5. En déduire le principe du maximum (minimum) : si une fonction harmonique dans un ouvert connexe admet un point de maximum (minimum), alors elle est constante. 6. En déduire l unicité { de la solution du problème de Dirichlet : si est un ouvert borné, u = f dans alors le problème u = g sur a au plus une solution u C () C(). Exercice. (Identité de Pohozaev) Soit un ouvert de classe C. Notations. Si u C () et x, on note par u (x) = u(x) ν(x) la dérivée normale de u au point x u τ u (x) = u(x) (x) ν(x) le gradient tangentiel de u au point x. Autrement dit : u τ est la projection orthogonale de u sur ν. Soit f C (R). Soit u C () telle que u = f (u) dans. n. En multipliant l équation u = f (u) par x u = x j j u, obtenir l identité de Pohozaev n { = u + n f(u) x νf(u) x ν ( u ) + x ν j= u τ } u x u. τ. Application. { Montrer que, si est une boule, alors la seule solution u C () du u = u 3 dans problème est u 0. u = 0 sur Exercice. (formule de la co-aire) Soit un ouvert. Soit ϕ : R une fonction de classe C sans point critique. Montrer que pour toute fonction f : R "convenable" (on précisera le sens du mot) on a la formule de la co-aire f dh n dt = f ϕ dλ n. R {ϕ=t} Exercice 3. (le rôle de la solution fondamentale) Soit, pour x R n \ {0}, ln x, si n = n (x) = π., si n 3 (n )σ n x n 4

5 ( n est la solution fondamentale de.) () Montrer l identité n ( ϕ) = ϕ, ϕ C c (R n ). () Montrer que, si f Cc (R n ) et n 3, alors l équation u = f a exactement une solution u C (R n ) telle que u(x) = 0. lim x Exercice 4. (le rôle de la fonction de Green) Soit un ouvert borné de classe C. On suppose que, { pour tous f C () et ϕ C 3 ( ), il y a une solution u C u = f dans () du problème (P ) u = ϕ sur. Soit, pour x, g(x, ) la solution du problème (P) pour f = 0 et ϕ = n (x ). On pose G(x, y) := n (x y) + g(x, y), x, y. (G est la { fonction de Green de.) u = f dans Montrer que la solution de (P) si ϕ = 0, c est-à-dire de, est donnée par u = 0 sur la formule u(x) = G(x, y)f(y) dy, x. Autrement dit : si on sait résoudre (P) pour f = 0 et ϕ quelconque, alors on sait résoudre (P) pour ϕ = 0 et f quelconque. 5