Une urne contient 5 boules rouges, 5 boules blanches et 6 boules bleues.

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1 Lycée Paul Gaugu CPGE-EC Aée 04/05 Exercces «basques» Fche N : Exercces sur les varables aléatores réelles dscrètes Exercce. : O cosdère deux dés dscerables be équlbrés. O ote X la varable aléatore égale à la somme des faces apparues.. Doer le support de X pus doer la lo de probablté de X Exercce. : valets obteus. O tre das u jeu de 3 cartes ue ma de cartes. Sot Y la varable aléatore égale au ombre de. Doer le support de Y. Doer la lo de probablté de Y 3. Doer la focto de répartto F et costrure sa courbe. 4. Calculer l espérace et la varace de Y. 5. Doer la lo, l espérace et la varace de la varable aléatore de la varable 6. Mêmes questos pour T Y 3 Z Y Exercce.3 : O effectue das ue ure coteat des boules umérotées de à 0, trages successfs d ue boule avec remse de la boule après chaque trage. Sot X la varable aléatore égale au plus grad uméro obteu au cours de la sére de trages.. Doer la focto de répartto de X pus e dédure la lo de probablté de X. Exercce.4 : U sac cotet 8 boules blaches et boules ores. O tre les boules ue à ue sas remse jusqu à vder le sac. O désge par X la varable aléatore égale au rag d apparto de la premère boule blache.. Détermer la lo de X, E(X). Exercce.5 : Ue ure cotet 5 boules rouges, 5 boules blaches et 6 boules bleues.. O tre successvemet et sas remse 4 boules. O ote X le ombre de boules rouges obteues. Détermer la lo de X pus calculer E(X).. O tre mateat 4 boules successvemet avec remse. O ote Y le ombre de boules rouges obteues. Détermer la lo de Y et doer E(Y). Exercce.6 : U paquet de 0 cartes à jouer compred 5 as, 3 ros et dames. Le trage d u as rapporte 5 pots, celu d u ro pots et celu d ue dame coûte pot. Du paquet o extrat smultaémet deux cartes et o ote X la varable aléatore égale au total des pots marqués. O suppose les trages équprobables.. Détermer la lo de X et calculer E(X). Détermer la focto de répartto de X et costrure sa courbe Exercce.7 : U sac cotet 0 jetos dot 4 rouges et 6 blacs. O extrat les jetos u à u sas remse. Sot X la varable aléatore égale au rag du premer jeto rouge tré. Trouver la lo de X pus calculer E(X). Id : o pourra trodure les évéemets blac» et exprmer l évéemet X= à l ade des A j A j «le j-ème trage amèe u jeto 79

2 Lycée Paul Gaugu CPGE-EC Aée 04/05 Exercce.8 : Ue ure cotet boules blaches et 4 boules ores. O tre les boules ue à ue au hasard jusqu à ce qu l e reste plus das l ure que des boules d ue seule couleur. Sot X le ombre de trages écessares. Détermer la lo de X as que so espérace. Exercce.9 : Dx chevaux, 4 blacs et 6 ors etret sur la pste d u crque u par u et au hasard. O appelle X la varable aléatore égale au ombre de chevaux blacs précédat le premer cheval or. Détermer la lo de X. Exercce.0 : O tre au hasard et smultaémet 5 cartes d'u jeu de 3 cartes. Sot X la varable aléatore égale au ombre de ro obteus.. Doer la lo de X.. Mêmes questos avec Y v.a.r qu correspod au ombre de ros obteus das le cas de cq trages successfs d ue carte avec remse. Exercce. : U test cosste à répodre à 5 questos par ou ou o. Chaque répose juste est otée 4 pots et chaque répose fausse est otée pots. U caddat répod au hasard à chacue des questos. Sot X la varable aléatore égale au ombre de répose justes et Y celle égale à la ote obteue.. Doer la lo de X et calculer l espérace et la varace de X.. Lo de Y. Exercce. : O dspose d'ue ure coteat 6 boules blaches et 4 boules ores. O jette u dé équlbré et l'o tre avec remse das l'ure u ombre de boules égal au uméro ameé par le dé. Sot X la var égale au ombre de boules blaches trées. Détermer la lo de X. Exercce.3 : Ue ure cotet jetos umérotés de à. O les tre u à u, successvemet avec remse. Sot X la V.A.R égale au ombre de trages qu'l faut fare pour obter pour la premère fos deux uméros dstcts.. O désge par A l'évéemet :" le apparaît au premer trage ". Calculer P ( X ),.. Dédure de. la lo de X. 3. Lo, espérace et varace de Y=X- Exercce.4 : O cosdère ue ure coteat boule rouge, boules ores et 3 boules jaues. O effectue des trages successfs jusqu à ce qu l e reste plus das l ure que des boules de deux couleurs dfféretes. O ote X la varable aléatore égale au ombre de trages effectués.. Détermer la lo de X. Calculer l espérace et la varace de X Exercce.5 : U fora dspose d ue roue dvsée e hut secteurs égaux : 3 blacs, vert et 4 rouges. Il vete le jeu suvat : le joueur lace la roue ue premère fos : s l obtet le secteur vert, l gage ; s l obtet le secteur blac l perd et s l obtet le secteur rouge, l relace la roue ue secode fos : s l obtet alors le secteur vert, l gage 8 ; s l obtet le secteur blac l gage 6 et s l obtet le secteur rouge, l a déftvemet perdu. Sot X la varable aléatore égale au ga du joueur.. Détermer la lo de X. Quel prx dot fare payer le fora pour que chaque parte lu rapporte e moyee. A 80

3 Lycée Paul Gaugu CPGE-EC Aée 04/05 Exercce.6 : O cosdère la V.A.R X telle que X( ) 4 et vérfat la proprété : P(X ) P(X ) pour 0. Détermer l expresso de P(X ) e focto de P(X 0). E dédure P(X 0) pus la lo de X. Détermer E(X) Exercce.7 : O cosdère la V.A.R X telle que X( ) telle que :,P(X ) a!. Détermer le réel a. Calculer E(X) Ue ure cotet boules ores et b boules blaches. O effectue des trages d ue boule avec Exercce.8 : remse jusqu à l obteto d ue boule ore. Sot X la VAR égale au ombre de trage écessare pour obter la premère boule ore et Y la varable aléatore égale au ombre de boules blaches trées avat la ore.. Détermer la lo de X et so espérace. Détermer la lo de Y et so espérace Exercce.9 : Soet a et b deux eters aturels qu vérfet b a. Ue ure cotet a boules dot b boules blaches. O effectue des trages successfs d ue boule de cette ure avec remse. Sot X la varable aléatore égale au ombre de trages justes écessares pour obter boules blaches.. Détermer la lo de X pus calculer E(X). E s approchat des exgeces des cocours.. Problème.0 : O dspose de deux ures A et B de sx boules umérotées de à 6 as que d u dé équlbré. Italemet l ure A cotet les boules umérotées et et l ure B cotet les boules umérotées 3,4,5,6. O appelle échage l expérece qu cosste à lacer ue fos le dé et à chager d ure la boule portat le uméro obteu. O ote X la varable aléatore égale au ombre de boules coteues das A après échages successfs.. Les 5 premers lacers du dé doet,3,,3,5. quel est le coteu de A après ces 5 échages?. Détermer la lo de X et calculer so espérace pus détermer la lo de X. 3. Motrer que pour tout eter aturel o ul o a P(X 0) P(X 6 ) 4. Motrer que pour tout ;5 7 P(X ) P(X ) P(X 6 6 ) 5. Motrer que P(X 6) P(X 6 5) 6. E dédure que pour tout o ul E(X ) E(X ) 3 7. Calculer alors E(X ) e focto de pus détermer lm E(X ) 8

4 Lycée Paul Gaugu CPGE-EC Aée 04/05 Problème. : Lors d ue compétto sportve, u athlète tete de frachr les hauteurs successves,,.,,.. O suppose que la probablté de succès à la hauteur est égale à /. O suppose les sauts dépedats les us des autres. Le sauteur est élmé à so premer échec et l a drot qu à u seul saut par hauteur. Sot X la varable aléatore égale au ombre de sauts effectués ( le saut où l athlète est élmé est compté ). O ote E l évéemet : le sauteur réusst le -ème saut. Justfer que X( ) 0;. Exprmer l évéemet (X ) à l ade des E pour 3. E dédure P(X ) pour tout supéreur ou égal à. 4. Vérfer que P(X ). Que pouvez vous e dédure? 5. Motrer que E(X) exste et la calculer. 6. Motrer que E(X(X-)) exste et vaut e 7. Dédure de 6. et 5. que E(X ) exste pus détermer sa valeur. 8. Dédure de 7. et 5. que X admet ue varace que l o doera. Problème. : O effectue des trages das ue ure coteat talemet ue boule blache et ue boule ore, das les codtos suvates : s o tre ue boule ore, o arrête ; s o tre ue boule blache, o la remet das l ure et avat le trage suvat o rajoute des boules blaches af de doubler le ombres de boules blaches présetes das l ure. Pour tout eter aturel o ul o ote A l évéemet : «la boule ore a pas été trée au cours des premers trages.», u P(A ) et v l u l(p(a )). S la boule ore a pas été trée au cours des (-) premers trages, quel est le coteu de l ure au trage suvat?. Calculer P(A ) pus e dédure que v v l( ) pour o ul 3. Motrer que pour tout réel x postf o a 0 l( x) x * * 4. Dédure de 3. que, 0 v v pus que, v l. E dédure que la sute coverge vers u réel a que l o ecadrera. 5. Motrer que la sute (u ) * coverge vers u réel b strctemet postf et doer ue terprétato probablste de ce résultat 6. O ote X le rag d obteto de la premère boule ore. X est-elle ue varable aléatore? (o justfera avec so sa répose) 8

5 Lycée Paul Gaugu CPGE-EC Aée 04/05 Problème.3 : O réalse ue sute de lacers d ue pèce équlbrée, chaque lacer ameat doc ple ou face avec la probablté ½. O ote P ( resp F ) l évéemet : o obtet ple ( resp face ) au -ème lacer Pour e pas surcharger les écrtures, o écrra par exemple PF à la place de P F. O ote X la varable aléatore qu pred la valeur s o obtet pour la premère fos ple pus face das cet ordre aux lacers - et ( désgat u eter supéreur ou égal à ). X pred la valeur 0 s ue telle successo e se produt jamas.. Calculer P(X ). a) E remarquat que (X 3) PP F3 FP F3, calculer P(X 3) b) Sur le modèle de la questo précédete, écrre pour tout eter supéreur ou égal à 3, l évéemet (X ) comme réuo de - évéemets compatbles. c) Détermer P(X ) pour tout supéreur ou égal à. d) Calculer P(X 0) 3. Motrer que X a ue espérace pus la calculer. 83