SÉQUENCE 7 FONCTIONS LINÉAIRES ET AFFINES. f(0)= = = 4.

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1 196 Séquence 7 SÉQUENCE 7 FONCTIONS LINÉAIRES ET AFFINES Ce que tu devais faire Les commentaires du professeur Séance 1 JE RÉVISE LES ACQUIS DE LA 4 e L image de 0 par la fonction f est le nombre f(0). Pour calculer f(0), on remplace x par 0 dans l égalité : f(x) = 5x + 4. f(0)= = = 4. ) ,8 ) ) f(4) = = 4 f(5) = = 9 f(0) = = 4 f( 0,8) = 5 ( 0,8) + 4 = = 0. Parmi les quatre nombre proposés, seul 0,8 est un antécédent de 0 par f. On peut prouver que 0,8 est le seul antécédent de 0 par f en résolvant l équation : f(x) = 0 5x + 4 = 0 5x = 4 x = 4 5 = 0,8 ) ,5 7, On peut chercher s il existe un nombre a tel que : a = 4,5 5 a = 7,5 8 a = 1 10 a = 15 0 a = 0 On voit que a = 1,5 convient. On peut aussi comparer les quotients : 4, 5 7, = = = = = 1, On peut passer de chaque nombre de la ligne du dessus à celui juste en dessous en multipliant par 1,5. Le tableau est donc un tableau de proportionnalité Attention : on ne peut pas utiliser la méthode utilisant la comparaison des quotients 1,, car le premier quotient «1 divisé par 0» ne peut pas se calculer! Il n existe aucun nombre qui multiplié par 0 donne 1. Le tableau n est donc pas un tableau de proportionnalité. 196 Cned, Mathématiques e

2 197 Séquence 7 4) 1,19 g , 0,67 1 1, Attention : là aussi, on ne peut pas utiliser la méthode de comparaison des quotients 1 1,, car le premier quotient «0 divisé par 0» ne peut pas se calculer! Par contre, il existe un nombre a tel que : 0 a = 0 1 a = 1 a = a = 4 a = 4 Le nombre a est égal à 1. Le tableau est donc un tableau de proportionnalité. Attention : là aussi, on ne peut pas utiliser la méthode de comparaison des quotients 0, 0, 67,, car le premier 1 quotient «0 divisé par 0» ne peut pas se calculer! 1 0, = 0, Si ce tableau est un tableau de proportionnalité, son coefficient est égal à 0,. Or on a : 0, = 0,66. On ne trouve pas 0,67. Le tableau n est donc pas un tableau de proportionnalité. 4) 119 g environ 97 g 5 Calculer 5 % de 40, c est calculer : = 0, 5 40= % EXERCICE 1 Je regarde si les grandeurs masse et énergie semblent proportionnelles : = = = = L énergie cinétique de chacun des véhicules s obtient en multipliant la masse du véhicule par 00. Les grandeurs masse et énergie semblent proportionnelles. Les commentaires du professeur : On pouvait aussi rassembler ces données dans un tableau et regarder si ce tableau était un tableau de proportionnalité. Le tableau est un tableau de proportionnalité donc les grandeurs semblent proportionnelles. Pour être sûr que ces deux grandeurs sont proportionnelles, il faudrait tester non pas 4 valeurs de chacune des grandeurs, mais toutes les valeurs. On ne peut donc dire que : «ces deux grandeurs semblent proportionnelles». Cned, Mathématiques e 197

3 198 Séquence 7 ) Le produit de la masse du véhicule en kg par 00 est égal à son énergie cinétique en J, d où : f(x) = 00x. La fonction f est linéaire. Son coefficient est 00. c) Andry a raison : le tableau est bien un tableau de proportionnalité de coefficient 00. Le coefficient du tableau est égal au coefficient de la fonction linéaire et c est normal : dans les deux cas, c est le nombre qui multiplié par la masse d un véhicule en kg donne son énergie cinétique. d) Je sais que la représentation graphique d une fonction linéaire est une droite qui passe par l origine. La masse x en kg d un véhicule est positive ou nulle, donc la représentation graphique C f de la fonction f est une demi-droite d origine O, l origine du repère. Je déduis de l énoncé que le point A (par exemple) de coordonnées (50 ; ) est un point de cette demidroite. Je trace donc C f : c est la demi-droite [OA). Les commentaires du professeur : Si on place sur le graphique les points de coordonnées (75 ; ), (150 ; 0 000), (1 100 ; 0 000), on remarque que ces point semblent sur la demi-droite [OA). C était prévisible : la représentation graphique de la fonction linéaire f est l ensemble de tous les points de coordonnées (x ; f(x)) c est-à-dire (0 ; 00x) avec x 0. Ces points appartiennent donc à [OA). 198 Cned, Mathématiques e

4 199 Séquence 7 Si on utilise Geogebra, on tape : «f(x)=00x». La représentation graphique de la fonction (une droite qui passe par l origine) s affiche alors. On ne la voit cependant pas très bien car l échelle n est pas très adaptée. Regarde l animation sequence7exercice1corrige pour voir comment changer d échelle. ) D après le graphique de la page précédente, l énergie cinétique d un véhicule de 700 kg qui roule à la même vitesse que les véhicules d essais est joules. D après le graphique de la page précédente, un véhicule qui roule à la même vitesse que les véhicules précédents, et dont l énergie cinétique est joules a une masse de 500 kg. ) On cherche graphiquement l image par la fonction f de 700. On cherche graphiquement un antécédent par la fonction f de ) énergie cinétique d un véhicule de 700 kg : On cherche f(700). f(700) = = L énergie cinétique de ce véhicule est bien joules. masse d un véhicule d énergie cinétique joules : On cherche x tel que : f(x) = Autrement dit tel que : 00 x = D où : x = = La masse de ce véhicule est 500 kg. 4) On cherche à l aide d un calcul l image par la fonction f de 700. On cherche à l aide d un calcul un antécédent de par la fonction f. Cned, Mathématiques e 199

5 00 Séquence 7 EXERCICE f : x x f(7) = 7 = 1 c) x f(x) ) On obtient chaque nombre de la ème ligne en multipliant le nombre qui se trouve juste au-dessus de lui par. Ce tableau est donc un tableau de proportionnalité de coefficient. On peut également écrire : f est définie par : f(x) = x. Il suffit de remplacer x par 7 dans l égalité : f(x) = x. c) f( 5) = ( 5) = 15 f( ) = ( ) = 9 f(0) = 0 = 0 f( = 1 = f(4) = 4 = 1 f(7) = 1 ) Dans ce cours, on a appelé coefficient de proportionnalité d un tableau de proportionnalité le nombre qui, multiplié par chaque nombre de la ligne du dessus, permet d obtenir le nombre du tableau qui se trouve juste au dessous. Les deux coefficients sont égaux. ) Pour les valeurs positives de x, la fonction qui à x associe x est la fonction qui au côté x d un triangle équilatéral associe son périmètre. ) Le périmètre d un triangle équilatéral de côté x est x + x + x soit x. EXERCICE La fonction f est linéaire car elle est définie par la relation : f(x) = ax avec a = 7. Son coefficient est 7. La fonction g n est pas linéaire car x + ne peut pas s écrire sous la forme ax. c) La fonction h est linéaire car elle est définie par la relation : h(x) = ax avec a =. Son coefficient est. d) La fonction i n est pas linéaire car x ne peut pas s écrire sous la forme ax. e) La fonction j est linéaire car elle est définie par la relation : j(x) = ax avec a = 4. Attention! x + n est pas égal à 5x. x + ne peut pas s écrire sous la forme ax car par exemple : pour x = 0 x + = 0 + = ax = a 0 = 0 x + et ax ne sont pas égaux pour x = 0. c) d) Attention! On ne peut pas prendre la valeur x pour a. Le nombre a ne doit pas dépendre de x. e) Son coefficient est 4. f) k(x) = 5(x ) + 15 = 10x = 10x La fonction k est linéaire car elle est définie par la relation : k(x) = ax avec a = 10. f) On développe 5(x ) + 15 et on regarde si l on obtient un résultat de la forme ax. C est le cas, donc la fonction k est linéaire. 00 Cned, Mathématiques e

6 01 Séquence 7 EXERCICE 4 La fonction f est définie par : f(x) = 5 x. Séance On pouvait aussi écrire : f : x 5x ) f(,5) = 5 (,5) = 1, f = 5 = f(5) = 5 5 = 5 f( = 5 1 = 5 f(,6) = 5,6 = 18 EXERCICE 5 On ne peut pas en trouver : l image de 0 par une fonction linéaire est toujours 0. On peut définir une fonction linéaire f par l égalité : f(x) = ax où a est un nombre donné. On a donc : f(0) = a 0 = 0 On pouvait également raisonner à l aide de la représentation graphique d une fonction linéaire : c est une droite qui passe par l origine, donc l image de 0 est 0. On peut également penser à un tableau de proportionnalité qui comporte des valeurs de x sur une ligne (dont 0), et les valeurs de f(x) correspondantes sur la ligne du dessous. Comme ce tableau est un tableau de proportionnalité, le nombre qui se trouve au dessous de 0 est 0. EXERCICE 6 Les fonctions linéaires f et g sont telles que : f : x x g : x 4 x. Chercher les antécédents (s il en existe) de 6 par f, c est chercher les nombres x tels que : x= 6 6 x= x= est l unique antécédent de 6 par f. On peut encore dire : 6 admet un unique antécédent par f qui est. Cned, Mathématiques e 01

7 0 Séquence 7 Chercher les antécédents (s il en existe) de 9 par f, c est chercher les nombres x tels que : x= 9 9 x= x= est l unique antécédent de 9 par f. Chercher les antécédents (s il en existe) de 6 par g, c est chercher les nombres x tels que : 4 x= 6 x= x= = 9 4 est l unique antécédent de 6 par g. Chercher les antécédents (s il en existe) de 9 par g, c est chercher les nombres x tels que : 4 x= 9 x= ( 9) 4 7 x= 4 7 est l unique antécédent de 9 par g. 4 ) Dans les cas précédents, les nombres 6 et 9 ont un unique antécédent par chacune des fonctions linéaires. Autrement dit : 9 admet un unique antécédent par f qui est. Comme 9 = 4,5 on pouvait encore répondre : 6 admet un unique antécédent par g qui est 4,5. 7 Comme = 6,75 on pouvait également répondre : 4 9 admet un unique antécédent par g qui est 6,75. Voici ma conjecture : «Tout nombre a un antécédent et un seul par une fonction linéaire». Soit une fonction linéaire f. On a : f(x) = ax Je cherche les antécédents éventuels d un nombre t par la fonction f. Je cherche donc les nombres x tels que : a multiplié par x est égal à ce nombre t. Si a est différent de 0, le nombre t a un seul antécédent : x = t a Par une fonction linéaire f (sauf la fonction nulle), tout nombre a un unique antécédent. On ne peut diviser par a lorsque a est égal à 0. Si a est égal à 0, la fonction f est telle que pour tout x : f(x) = 0. f est appelée la «fonction nulle». Dans ce cas, tous les nombres ont pour image 0 par f. Ainsi, 0 a une infinité d antécédents. Par contre, un nombre non nul (comme 7, par exemple), n en a pas. 0 Cned, Mathématiques e

8 0 Séquence 7 EXERCICE 7 Une fonction linéaire f est définie par : f(x) = ax. On a : f(4) = 4 donc : a 4 = 4. D où : a = 6. Il existe une seule fonction linéaire pour laquelle l image de 4 est 4, c est la fonction définie par : f : x 6x. Une fonction linéaire g est définie par : g(x) = ax. On a : g(,5) = 0 donc : a (,5) = 0. D où : a = 0 = 8.,5 Il existe une et une seule fonction linéaire pour laquelle l image de,5 est 0, c est la fonction définie par : g : x 8x. c) Une fonction linéaire f est définie par : f(x) = ax. On a : f(c) = d donc : ac = d Comme c 0, on a : a = d c. Il existe une et une seule fonction linéaire pour laquelle l image de c est d, c est la fonction définie par : f : x d c x. On cherche à déterminer l expression d une fonction linéaire f telle que : f(4) = 4. On cherche à déterminer l expression d une fonction linéaire g telle que : g(,5) = 0. c) On cherche à déterminer l expression d une fonction linéaire f telle que : f(c) = d. Cned, Mathématiques e 0

9 04 Séquence 7 EXERCICE 8 La fonction q est définie par : q(x) = 5x. Comme q(x) est de la forme ax avec a = 5, q est une fonction linéaire. Sa représentation graphique est donc une droite qui passe par l origine. Le coefficient de la fonction linéaire q est 5. Pour tracer cette droite, il suffit donc de connaître les coordonnées d un autre point de la représentation graphique. Je calcule f(. f( = 5 1 = 5 Le point de coordonnées (1 ; 5) est donc un point de la représentation graphique de q. On peut choisir de calculer l image de n importe quel nombre non nul. Généralement, on choisit un nombre pour lequel les calculs sont simples, et qui permette de placer le point sur sa feuille. On aurait par exemple pu choisir de calculer f(4). f(4) = 5 4 = 0. Le point de coordonnées (4 ; 0) est un point de la représentation graphique. On pourrait le placer, mais il faudrait choisir une autre unité de longueur sur les axes. 5 Si un point de coordonnées (x ; y) se trouve sur la représentation graphique de q, alors on a : y = q(x) donc : y = 5x. ) Si un point de coordonnées (x ; y) se trouve sur la représentation graphique de f, alors on a : y = f(x) donc : y = 7x. Les points de la représentation graphique de la fonction q ont pour coordonnées x ; q ( x). y L ordonnée y de chacun de ces points est donc égale à q(x) soit 5x. ) De façon générale : si un point est sur la représentation graphique de la fonction linéaire définie par : f(x) = ax alors ses coordonnées (x ; y) sont telles que : y = ax. 04 Cned, Mathématiques e

10 05 Séquence 7 EXERCICE 9 Pour avoir une idée de la réponse, j ai utilisé Geogebra. Il semble que l ordonnée du point B soit proportionnelle à son abscisse. Je n arrive pas à le démontrer. Séance L utilisation de Geogebra pour émettre une conjecture est détaillée dans la question. ) Lorsqu on déplace le point B sur d, le rapport change pas. y x B B ne ) Je déplace le point A, puis je déplace le point B sur la yb droite d, le rapport ne change pas. x B Il semble donc que l ordonnée du point B soit proportionnelle à son abscisse. ) La représentation graphique de la fonction linéaire x y C x est une droite qui passe par l origine du repère. Cette droite passe par les points de coordonnées (x ; y C x). ) La représentation graphique d une fonction est l ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)). Si je choisis pour x la valeur 1, je déduis que cette droite passe par le point de coordonnées (1 ; y C ), c est-à-dire le point C. Cette droite passe donc par l origine du repère et par C. C est donc la droite d. Le point B est sur la droite d, donc sur la représentation graphique de la fonction x y C x. D où : y B = y C x B L ordonnée du point B est donc proportionnelle à son abscisse. Cned, Mathématiques e 05

11 06 Séquence 7 EXERCICE 10 Le point de coordonnées ( ; est sur la droite d. On a donc : f () = 1. Soit a le coefficient de la fonction linéaire f. On a : f () = a donc : a = 1 1 D où : a =. La fonction linéaire f est donc définie par : f(x) = 1 x. D après la propriété précédente : «Toute droite passant par l origine d un repère et non parallèle à l axe des ordonnées, est la représentation graphique d une fonction linéaire». On déduit donc que les deux droites d et d sont bien des représentations graphiques de fonctions linéaires. On utilise ensuite la définition de la représentation graphique d une fonction ; selon cette définition, «si un point est sur la représentation graphique d une fonction f, alors ses coordonnées sont : (x ; f(x)). Le point de coordonnées ( ; ) est sur la droite d. On a donc : g( ) =. Soit a le coefficient de la fonction linéaire g. On a : g( ) = a ( ) donc a = D où a =. La fonction linéaire g est donc définie par : g(x) = x. 06 Cned, Mathématiques e

12 07 Séquence 7 EXERCICE 11 Je n ai pas réussi à construire la figure dynamique alors j ai fait des tests en construisant différentes figures. Il semble que les aires soient égales quand x est environ égal à 4,5 cm. Je n arrive pas à le prouver. Il faut impérativement laisser sur le cahier ou la copie les figures construites ainsi que les calculs faits (ici, pour calculer les aires des surfaces)! La conjecture semble être correcte ) Je déplace le point M sur le segment [BC]. Il semble qu il existe une valeur de BM pour laquelle les aires du triangle ABM et du rectangle MCDN sont égales : c est environ 4,66 cm. ) Le logiciel de géométrie dynamique permet d affiner un peu la précision de la conjecture ) Le triangle ABM est rectangle en B car ABCD est un rectangle. AB BM x A ABM = = = x A MCDN = MN MC = (7 x) = 1 x c) ) L aire d un triangle rectangle est le produit des longueurs des côtés adjacents à l angle droit divisé par. L aire d un rectangle est le produit de sa longueur par sa largeur. c) f est définie par : f(x) = x. g est définie par : g(x) = 1 x. d) J ai testé les valeurs 4,66 et 4,67. J ai ensuite testé les valeurs 4,666 et 4,667 car je me dis que le résultat est peut être du type : 4,666 Il semble effectivement que la solution de problème soit 4,666 cm. d) On programme la feuille de calcul de telle façon que pour une valeur de x inscrite dans une cellule, les deux aires s affichent. Ensuite, le jeu consiste à chercher une valeur de x pour laquelle les deux aires sont égales. On n y parvient pas, mais il semble que la valeur de x cherchée soit comprise entre 4,666 et 4,667. e) A l aide de Geogebra, j ai représenté graphiquement les deux fonctions. J ai créé le point d intersection des deux droites obtenues et j ai fait afficher ses coordonnées. L abscisse de ce point, c est-à-dire le nombre x tel que : f(x) = g(x) est environ égal à 4,666. e) Geogebra sait représenter n importe qu elle fonction! Cned, Mathématiques e 07

13 08 Séquence 7 f) On cherche x tel que : x = 1 x x+ x= 1 9 x= 1 x= 1 9 f) Pour résoudre l équation : f(x) = g(x), on remplace dans cette égalité f(x) par x et g(x) par 1 x. 7 x= 14 x= Il existe une seule valeur de BM pour laquelle les aires du triangle ABM et du rectangle MCDN sont 14 égales : cm soit environ 4,67 cm (arrondi au centième) 4) La troncature au millième de 14 est 4,666. Le calcul confirme les résultats obtenus précédemment. 4) La fonction f est linéaire car on peut écrire : f(x) = ax avec a = 1,5 La fonction g n est pas linéaire car : g(0) = 1 0 = 1 g(0) n est pas égal à 0. Seule Nadia a raison. On peut voir sur la figure dynamique que la représentation graphique de g est une droite qui ne passe pas par l origine, donc la fonction g n est pas une fonction linéaire. 08 Cned, Mathématiques e

14 09 Séquence 7 EXERCICE 1 Séance 4 L image d un nombre x par une fonction affine est égale à ax + b, où a et b sont deux nombres qui ne dépendent pas de x. La fonction f est définie par la relation : f(x) = ax + b avec a = 6 et b = 7. La fonction f est donc affine. 5x + ne peut pas s exprimer sous la forme ax + b. La fonction g n est donc pas affine. Si 5x + était égal à ax + b, alors la représentation graphique de g serait une droite (on a vu dans la séquence 6 que la représentation graphique d une fonction affine était une droite), or si on fait représenter la fonction g à l aide de Geogebra, on obtient la courbe ci-dessous. La fonction h est définie par la relation : h(x) = ax + b avec a = 4 et b =. La fonction h est donc affine. La fonction i est définie par la relation : i(x) = ax + b avec a = 0 et b = 5. La fonction i est donc affine. La fonction j est définie par la relation : j(x) = ax avec a = 5 La fonction j est linéaire, c est donc une fonction affine. x x k(x) = x 4 x x 1 x = x x = x x x x x 1 = + = x + 9 x k(x) = x x x + 9 x On a bien envie de dire que la fonction k n est pas affine, car l expression de k(x) contient des «x». Cependant, pour en être sûr, il faut développer et réduire l expression de k(x) afin de voir si les termes en x ne s annulent pas. On développe séparément les deux produits afin d avoir une meilleur lisibilité. On développe à l aide de l identité remarquable : (a = a ab + b On n oublie pas les parenthèses! k(x) = x 4 x x x 4 4 Les termes en x se s annulent. k(x) = x Cned, Mathématiques e 09

15 10 Séquence 7 La fonction k est définie par la relation : k(x) = ax + b avec a = 9 4 et b = 9. La fonction k est donc affine. EXERCICE 1 f(0) = = f( 5) = 8 ( 5) + = 40 + = 7 f() = 8 + = 7 f 16 1 = 8 + = + = g(0) = = 5 g( 5) = ( 5) 5= 5= = 50 g() = = = g = = = = 7 7 On remplace dans l égalité : f(x) = 8x + le nombre x par 0 ; 5 ; On remplace dans l égalité : g(x) = 7 x 5 le nombre x par 0 ; 5 ; ) Je cherche x tel que : f(x) = 0 Je résous donc l équation : 8x+ = 0 8x= x= 8 est l unique antécédent de 0 par la fonction f. 8 Je cherche x tel que : f(x) = 6 Je résous donc l équation : 8x+ = 6 8x= x= 8 est l unique antécédent de 6 par la fonction f Cned, Mathématiques e

16 11 Séquence 7 Je cherche x tel que : g(x) = 0 Je résous donc l équation : 7 x 5= 0 7 x= 5 x= x= 15 7 est l unique antécédent de 0 par la fonction g. Je multiplie les deux membres de l équation par l inverse de 7 soit 7. Je cherche x tel que : g(x) = 6 Je résous donc l équation : 7 x 5= 6 7 x= 11 x= 11 7 x= 7 7 est l unique antécédent de 6 par la fonction g. EXERCICE 14 Soit f une fonction affine. On a : f(x) = ax + b. Je cherche à déterminer les antécédents éventuels d un nombre t par la fonction f. Je résous l équation : ax+ b= t ax= t b Si a est différent de 0 : t b x= a Si a est différent de 0 (c est-à-dire si la fonction affine n est pas constante), le nombre t admet un unique antécédent par f. Cned, Mathématiques e 11

17 1 Séquence 7 EXERCICE 15 Le bénéfice est ce qu Andry gagne, soit la somme rapportée par les CDs vendus moins le prix de l emplacement donc : f(x) = 4x 5. ) f(0) = = 80 5 = 45 f(5) = = = 105 f(45) = = = 145 ) Je cherche x tel que : f(x) = 0 Je résous l équation : 4x 5= 0 4x= 5 5 x= 4 x= 8,75 8,75 est l antécédent de 0 par f. C est seulement à partir du 9ème CD vendu que le bénéfice devient positif, c est-à-dire qu Andry gagne de l argent. 4) Je cherche x tel que : f(x) = 10 Je résous l équation : 4x 5= 10 4x= 155 x= x= ,75 On n oublie pas d enlever les 5 qu Andry paie pour l emplacement. ) f(0) correspond au bénéfice d Andry pour 0 CDs vendus, f(5) pour 5 CDs vendus et f(45) pour 45 CDs vendus. ) Pour compenser le prix de l emplacement, Andry doit vendre plus de 8 CDs. 4) L antécédent de 10 par f est 8,75. Pour qu Andry gagne 10 lors de cette foire à tout, il faudrait qu il vende plus de 8 CDs. Je cherche x tel que : f(x) = 155 Je résous l équation : 4x 5= 155 4x= 190 x= x= ,5 L antécédent de 155 par f est 47,5. Pour qu Andry gagne 155 lors de cette foire à tout, il faudrait qu il vende plus de 47 CDs. 1 Cned, Mathématiques e

18 1 Séquence 7 EXERCICE ,8 + = 9, 4 C est égal à 9, F. ) f(t) = t 1,8 + = 1,8t + ) La fonction f est affine car on peut écrire : f(t) = at + b avec a = 1,8 et b =. Séance 5 On applique le conseil de George : on multiplie 4 par 1,8 puis on ajoute. ) On fait comme dans la question précédente, mais cette fois avec un nombre t. ) 4) Je sais que la représentation graphique d une fonction affine est une droite. Pour tracer une droite dans un repère, il suffit de connaître les coordonnées de deux points. f(0) = 1,8 0 + = f(10) = 1, = 50 4) On peut choisir n importe quelle valeur pour t, mais le mieux est de choisir des valeurs de façon que les calculs soient simples. La représentation graphique de la fonction f est la droite qui passe par les points de coordonnées (0 ; ) et (10 ; 50). 5) La représentation graphique d une fonction affine est une droite qui peut ne pas passer par l origine du repère. 6) L ordonnée du point d intersection de la représentation graphique de f avec l axe des ordonnées est. 5) On a vu cette propriété dans la séquence 6 du cours de e. 6) Cette ordonnée est en fait f(0). Cned, Mathématiques e 1

19 14 Séquence 7 EXERCICE 17 Les parties en pointillé correspondent soit : à un nombre négatif de jours, ce qui n a pas de sens, à un nombre négatif de kg de farine en stock, ce qui n a pas de sens non plus! L ordonnée du point de la droite d abscisse 0 est 50 : le boulanger disposait au départ de 50 kg de farine. c) L ordonnée du point de la droite d abscisse 4 est 50 : le boulanger dispose au bout de 4 jours de 50 kg de farine. d) L abscisse du point de la droite d ordonnée 0 est 14 : Il ne reste plus de farine au boulanger au bout de 14 jours. ) nombre de jours écoulés masse de farine en stock (en kg) Ce tableau ne représente pas une situation de proportionnalité car pour 0 jour écoulé, la masse de farine n est pas de 0 kg. c) Si on calcule la différence entre la masse de farine en stock un jour et celle du lendemain, on trouve toujours 5 kg. Chaque jour, le boulanger utilise donc 5 kg de farine. d) m(x) = 50 5x = 5x + 50 e) La fonction m est définie par la relation : m(x) = ax + b avec a = 5 et b = 50. Cette fonction est donc affine. f) m(10) = = = 100 Au bout de 10 jours, il reste 100 kg de farine. m(1) = = = 50 Au bout de 1 jours, il reste 50 kg de farine. g) m(18) = = = 100 Le 18ème jour, le résultat obtenu est négatif. C est normal : le boulanger n avait déjà plus de farine le 14ème jour! Le résultat de Pauline met en évidence qu il manque 100 kg de farine. On peut le voir également sur le graphique : la droite ne passe pas par l origine du repère. c) d) Le boulanger disposait au départ de 50 kg de farine. e) f) On pouvait lire directement ce résultat dans notre tableau. On pouvait également lire directement ce résultat dans notre tableau. g) 14 Cned, Mathématiques e

20 15 Séquence 7 EXERCICE 18 La droite d 1 est la représentation graphique de la fonction affine : x 0,5x +. La droite d est la représentation graphique de la fonction affine : x 0,5x 1. La droite d est la représentation graphique de la fonction affine : x 4x. La droite d 4 est la représentation graphique de la fonction affine : x Il semble que toute droite non parallèle à l axe des ordonnées tracée dans un repère soit la représentation graphique d une fonction affine. Cned, Mathématiques e 15

21 16 Séquence 7 EXERCICE 19 Séance 6 Je sais que par deux points distincts il passe une unique droite, et que toute droite non parallèle à l axe des ordonnées est la représentation graphique d une fonction affine. (AB) n est pas parallèle à l axe des ordonnées. Il existe donc une fonction affine dont la représentation graphique passe par A et B. Le problème pose en fait deux questions. La 1 ère est : «est-ce qu il existe une fonction affine dont la représentation graphique passe par A(0 ; 5) et B( ;?» Cette question n est pas difficile. La ème question : «déterminer cette (ou ces) fonction(s) f» est plus complexe J ai utilisé Geogebra pour avoir une idée de l expression de cette fonction. J ai placé les points A et B, et j ai construit la droite passant par ces deux points. Geogebra indique dans le volet algèbre (à gauche) que les coordonnées (x ; y) des points de cette droite vérifient : x + y = 5 D où : y = 5 + x soit y = x + 5. La fonction f semble être définie par : f(x) = x + 5. J ai essayé de le démontrer à l aide d un calcul, mais je n y parviens pas! ) f est une fonction affine telle que : f(x) = ax + b A(0 ; 5) est un point de la représentation graphique de f donc : f(0) = 5 c est-à-dire : a 0 + b = 5 D où : b = 5. En effet, la représentation graphique de f est l ensemble de points de coordonnées (x ; f(x)). ) On traduit le fait que le point de coordonnées (0 ; 5) appartient à la représentation graphique de la fonction. Cela veut dire que 5 est l image de 0 par cette fonction. B( ; est un point de la représentation graphique de f donc : f( ) = 1 c est-à-dire : a ( ) + b = 1 D où : a + b = Cned, Mathématiques e

22 17 Séquence 7 Comme : b = 5 on a : a + 5 = 1 D où : a = 4 soit : a =. Il existe une et une seule fonction affine dont la représentation graphique passe par les points A et B. Cette fonction affine est telle que : f(x) = x + 5. EXERCICE 0 Soit f la fonction qui à x le nombre de films que Nadia est allée voir associe le prix payé par Nadia, prix incluant celui de la carte. Ce prix est le produit du prix payé au demi-tarif par x (le nombre de films que Nadia est allée voir) plus le prix de la carte. On a : f(x) = ax + b, où b est le prix de la carte et a le prix à demi-tarif d une séance. La fonction f est donc affine. Je traduis les données de l énoncé : «Si Nadia n était allée voir aucun film, elle aurait dépensé seulement 1» revient à dire que : f(0) = 1 On a trouvé une seule valeur de a et une seule valeur de b. Cela veut dire qu il existe une seule fonction affine dont la représentation graphique passe par les deux points A et B. Ce type d exercice peut très bien être résolu sans utiliser une fonction! En effet, si Nadia ne va pas voir de film, elle paie 1. Cela veut dire que la carte coûte 1. Si Nadia va voir 7 films, elle paie 40. Nadia paie donc à chaque séance 40 1 le tout divisé par 7 soit 8 : 7 donc 4. Le prix à plein tarif est le double, soit 8. Pour connaître le nombre de séances à partir duquel il est plus avantageux d acheter une carte de cinéma, on peut commencer par le prix à payer avec chacun des deux tarifs pour différents nombres de séances. Cependant, la conclusion doit être justifiée par un raisonnement mathématique pour être reconnue. Il est important de comprendre que derrière cette situation «se cache» une fonction affine. «Nadia est allée 7 fois au cinéma et elle a dépensé 40» revient à dire que : f(7) = 40 On a donc : a 0 + b = 1 soit b = 1 a 7 + b = 40 d où : 7a + b = 40 Comme b = 1, on a : 7a + 1 = 40 D où : 7a = 8 soit : a = 4. La fonction f est donc définie par : f(x) = 4x + 1 ) La carte coûtait 1 et le prix d une entrée à demitarif est 4. ) Une place de cinéma à demi-tarif coûte 4 donc Clément, qui n a pas acheté la carte, va payer le double soit 8. 4) Pour x séances à plein tarif, le prix payé en est 8x. On cherche x tel que : 4x+ 1< 8x 1< 4x x> Il est plus avantageux d avoir une carte si l on veut aller voir plus de trois films. < x donc : x > Cned, Mathématiques e 17

23 18 Séquence 7 EXERCICE 1 Je place les points A( ; et B(1 ; 5) à l aide de Geogebra, puis je trace la droite passant par ces deux points. La méthode utilisée ci-contre n est pas mauvaise. On va voir par la suite que le résultat trouvé est juste. Seulement, pourquoi ce résultat est-il juste? D autre part, il faut être capable de résoudre ce type de question sans avoir à utiliser un ordinateur, c est pourquoi nous allons utiliser une autre méthode dans la question. Selon la partie de gauche de la fenêtre Geogebra, (AB) est l ensemble des points dont les coordonnées (x ; y) vérifient : x + y = 7 On a : x + y = 7 D où : y = x + 7. Je pense que f est telle que : f(x) = x + 7. On a : f() = + 7 = = 1. et : f( = = + 7 = 5. f est bien la fonction cherchée. ) L image de par f est 1 donc : f() = 1 D où : a + b = 1 ) On utilise la méthode employée dans l exercice précédent. L antécédent de 5 par f est 1 donc : f( = 5 D où : a 1 + b = 5 1 ère égalité : a + b = 1 ème égalité : a + b = 5 Je retranche membre à membre les deux égalités : a+ b ( a+ = 1 5 a+ b a b = 1 5 D où : a = 4 soit : a =. c) Je remplace a par par exemple dans la ème égalité. J obtiens : + b = 5 D où : b = 5 + soit : b = 7. d) La fonction affine f recherchée est la fonction f telle que : f(x) = x + 7. Vérification : f() = + 7 = = 1 f( = = + 7 = 5 18 Cned, Mathématiques e

24 19 Séquence 7 EXERCICE f est une fonction affine, elle est donc définie par : f(x) = ax + b On a : f() = 1 donc : a + b = 1. On a : f( ) = 1 donc : a ( ) + b = 1. D où les deux égalités : 1ère égalité : a + b = 1 ème égalité : a + b = 1 Je retranche membre à membre la ème égalité de la 1ère : a+ b ( b = 1 ( 1) D où : 5a = 5 soit : a = 5. Je remplace a par 5 dans la 1ère égalité. J obtiens : 5 + b = 1 d où : 15 + b = 1 soit : b =. La fonction f cherchée est telle que : f(x) = 5x. Vérification : f() = 5 = 15 = 1 f( ) = 5 ( ) = 10 = 1 EXERCICE Dans cet exercice, l unité de masse est la tonne. La masse totale du camion f(x) est égale au produit de la masse d un ballot (qui est fixe) par le nombre x de ballots plus la masse du camion vide. Ainsi, f(x) = ax + b où : a est la masse d un ballot x est le nombre de ballots b est la masse du camion vide La fonction f est donc une fonction affine. ) On a : f(5) = 11,5 donc : a 5 + b = 11,5 On a : f(1) = 17,1 donc : a 1 + b = 17,1 D où les deux égalités : 1 ère égalité : 5a + b = 11,5 ème égalité : 1a + b = 17,1 Je retranche membre à membre la ème égalité de la 1ère : 5a+ b 1a b = 11,5 17,1 D où : 7a = 5,6 soit : a = 0,8. Je remplace a par 0,8 dans la 1ère égalité. J obtiens : 5 0,8 + b = 11,5 soit 4 + b = 11,5 D où : b = 7,5. La fonction f est telle que : f(x) = 0,8x + 7,5 Vérification : f(5) = 0, ,5 = 4 + 7,5 = 11,5 f(1) = 0, ,5 = 9,6 + 7,5 = 17,1 ) La masse du camion à vide est b soit 7,5 tonnes. 4) La masse d un ballot est a soit 0,8 tonne. Cned, Mathématiques e 19

25 0 Séquence 7 EXERCICE 4 Séance 7 Je ne comprends pas bien la question. Que veut dire le quotient de la différence de leurs ordonnées par la différence de leurs abscisses? Dans ce cas, il faut essayer de traduire le problème : si les deux points sont M et N : les ordonnées de ces points sont respectivement y M et y N. les abscisses de ces points sont respectivement x M et x N. La différence des ordonnées est : y M y N. La différence des abscisses est : x M x N. Le quotient de la 1ère différence par la ème est : ym yn. x x M La question est donc : si l on choisit deux points M et N au ym yn hasard sur la droite d, le rapport est-il toujours le x x même? N M N ) ym yn 5 On a : x M = 1 x N = y M = y N = 5 = = = 1 x x 1 ym' yn' 1 1 On a : x M = 1 x N = 0 y M = 1 y N = = = = 1 x x Les deux rapports sont égaux. M M' N N' 0 Cned, Mathématiques e

26 1 Séquence 7 ym yn Je place d autres points M et N et M et N sur la droite d. Je calcule les rapports x x ym yn ym' yn' On a : = x x x x M N M' N' M N y x et M' N' M' y x N'. Conclusion : il semble que si deux points sont sur une même droite, le quotient de la différence de leurs ordonnées par la différence de leurs abscisses est toujours le même. Pour n importe quelles valeurs de x 1 et x, le y y1 quotient est le même. x x 1 c) Le quotient est toujours égal à. ) J utilise la méthode de Pauline. Je choisis deux points distincts donc x 1 et x sont différents. y y1 ax + b ( ax1 + ax ax1 a( x x1 ) = = = x x x x x x x x a( x x1 ) x x 1 est différent de 0. Je peux simplifier par x x 1. = a x x 1 D où : y x y x 1 1 = a Les commentaires du professeur : Si on avait utilisé la méthode d Andry, on aurait écrit : Le point de coordonnées (x 1 ; y 1 ) se trouve sur la représentation graphique de f donc : y 1 = f(x 1 ) soit y 1 = ax 1 + b ( En raisonnant de même, pour le point de coordonnées (x ; y ) on prouve que : y = ax + b () On déduit des égalités ( et () que : y y 1 = (ax + (ax 1 + y y 1 = ax + b ax 1 b y y 1 = a(x x 1 ) y 1 x x 1 0 donc on a : y = a x x 1 Cned, Mathématiques e 1

27 Séquence 7 EXERCICE 5 droite d 1 L ordonnée à l origine est. Le coefficient directeur de la droite est : yn ym = = x x 1 N M La fonction affine f 1 est définie par : f 1 (x) = x. On a choisi des points M et N dont les coordonnées sont entières (car dans cet exemple, c est possible!). Il y avait bien d autres possibilités comme par exemple celle ci-contre. yn ym 6 = = x x N M droite d L ordonnée à l origine est 0. Le coefficient directeur de la droite est : ym yo 5 = = 5 x x 1 M La fonction affine f est définie par : f (x) = 5x. O droite d L ordonnée à l origine est. Le coefficient directeur de la droite est : yn ym 1 1 = = x x La fonction affine f est définie par : 1 f (x) = x +. N M droite d 4 L ordonnée à l origine est 4. Le coefficient directeur de la droite est : yn ym 0 = = 0 x x N La fonction affine f 4 est définie par : f 4 (x) = 4. M Cned, Mathématiques e

28 Séquence 7 EXERCICE 6 Les commentaires du professeur : Représentation graphique de f : L ordonnée à l origine de la droite représentant graphiquement f est. Le coefficient directeur de la droite est. Cela peut se traduire de la façon suivante : «si on augmente de 1 l abscisse, on augmente de l ordonnée» Ainsi le quotient de la différence des ordonnées par celle des abscisses est de sur 1 soit. Représentation graphique de h : L ordonnée à l origine de h est 1. Le coefficient directeur de la droite représentant graphiquement h est 4. Cela peut se traduire de la façon suivante : «si on augmente de l abscisse, on augment de 4 l ordonnée» Ainsi le quotient de la différence des ordonnées par celle des abscisses est de 4 sur soit 4. Cned, Mathématiques e

29 4 Séquence 7 EXERCICE 7 Séance 8 Première partie Si la masse est 10 g, la longueur du ressort est 6 cm. Si la masse est 0 g (soit 10 g), la longueur du ressort n est pas 6 cm. La longueur L du ressort et la masse x de l objet suspendu ne sont pas proportionnelles. ) On pouvait choisir d autres nombres du tableau et raisonner ainsi : 9 40 n est pas égal à 6 10 car : 9 10 = = 40 Les produits en croix ne sont pas égaux. Les points du graphique semblent alignés. Le graphique semble être la représentation graphique d une fonction affine. ) D après une lecture graphique : ) l ordonnée à l origine de la droite représentant cette fonction est 5. Le coefficient directeur de cette droite est : 8 6 = = 0, La fonction f est telle que : f(x) = 0,1 x Cned, Mathématiques e

30 5 Séquence 7 f(500) = 0, = 55 La longueur du ressort sera de 55 cm. c) On cherche x tel que : f(x) = 17 D où : 0,1 x + 5 = 17 0,1 x = 1 soit : x = 10. On utilise l expression de f(x) déterminée dans la question précédente. c) On cherche en fait l antécédent de 17 par la fonction affine f. Une masse de 10 g donne au ressort une longueur de 17 cm. Deuxième partie La longueur initiale L i est la longueur du ressort pour une masse de 0 g soit 5 cm (c est f(0)). ) masse x (en g) allongement (en cm) ) Pour calculer l allongement, il suffit de retrancher 5 cm à la longueur du ressort pour chaque masse x suspendue. ) = = = = 0, ) Le tableau est un tableau de proportionnalité. Le coefficient de proportionnalité est 0,1. L allongement du ressort semble être proportionnel à la masse. 4) g( x) = f ( x) 5 = 0,1 x g(x) = 0,1x longueur du ressort longueurinitiale avec la masse du ressort 4) Cned, Mathématiques e 5

31 6 Séquence 7 L allongement du ressort et la masse suspendue sont deux grandeurs proportionnelles. c) g(x) est de la forme ax avec a = 0,1 donc g est une fonction linéaire. d) La représentation graphique d une fonction linéaire est une droite passant par l origine. x 0 donc la représentation graphique de g est une demi-droite d origine O. D après le tableau de la question, cette demi-droite passe par le point A(70 ; 7). C est donc la demi-droite [OA). 5) Les deux demi-droites tracées semblent parallèles. Les commentaires du professeur : g est la fonction linéaire associée à la fonction affine f (revois éventuellement le «Je retiens» qui suit l exercice 1. La droite représentant la fonction affine : x 0,1x + 5 et celle représentant la fonction linéaire : x 0,1x ont le même coefficient directeur : 0,1. EXERCICE 8 Deux droites qui ont le même coefficient directeur semblent parallèles. La représentation graphique d une fonction affine et celle de sa fonction linéaire associée sont-elles parallèles? Les deux droites ont le même coefficient directeur a. La droite verte a pour ordonnée à l origine b. La droite rouge a pour ordonnée à l origine c. 6 Cned, Mathématiques e

32 7 Séquence 7 EXERCICE 9 Séance 9 Si le prix d un article baisse de 0%, son nouveau prix est 100% 0% soit 70% de l ancien prix , 100 = Le nouveau prix de l article à 9 est 6,0. Si un article coûte 9 avant la baisse, son prix après la baisse 0 0 sera : 9 9= 1 9= 0,7 9= 6, ,1 100 = Le nouveau prix de l article à 1 est 9, ,4 10, = Le nouveau prix de l article à 15,4 est 10, ,5 17, = Le nouveau prix de l article à 4,5 est 17,15. ) Si x est le prix initial d un article, son prix réduit 70 f(x) est égal à : 100 x. D où : f(x) = 0,7x ) On a vu que pour obtenir le prix après la baisse, il suffit de multiplier par 0,7 le prix initial x. La fonction f est linéaire. Son coefficient est 0,7. ) Effectuer une réduction de 0 % sur un article qui coûte x revient à calculer l image de x par la fonction f définie par : f(x) = 0,7x. ) Cned, Mathématiques e 7

33 8 Séquence 7 4) Le prix soldé est 100 % 60 % soit 40 % de l ancien prix. Effectuer une réduction de 60 % sur un article qui coûte x revient à calculer l image de x par la fonction g définie par : g(x) = 0,4x. 4) On peut commencer par définir la fonction qui va nous permettre de calculer les prix soldés. g(6) = 5, Le prix soldé de l article à 6 est 5,0. g(7) = 8,8 Le prix soldé de l article à 7 est 8,80. g(15) = 50 Le prix soldé de l article à 15 est 50. g(5) = 14 Le prix soldé de l article à 5 est 14. 5) Effectuer une réduction de 75% sur un article qui coûte x revient à calculer l image de x par la fonction f définie par : f(x) = 0,5x. Je cherche x tel que : f(x) = 45 D où : 0,5x = c est-à-dire : x = 180 0,5 = Son prix avant la remise était 180. EXERCICE 0 5) On cherche l antécédent de 45 par la fonction linéaire f. La population a augmenté car si l on multiplie un nombre positif x par un nombre plus grand que 1, on obtient un nombre plus grand que x. Si la population est de x individus avant l augmentation, après, elle est de 1,x. Or : 1,x = x + 0,x = x x Pour obtenir la population après l augmentation, on ajoute à x les 0% de x. L augmentation est donc de 0%. ) Comme : 0,7 < 1 la population a diminué. 8 0,7= 1 0,8= La population a diminué de 8 %. EXERCICE 1 C est faux. Les ordonnées à l origine des représentations graphiques des deux fonctions f et g (respectivement 4 et ) sont différentes. 8 Cned, Mathématiques e

34 9 Séquence 7 JE M ÉVALUE 1 0,75 La fonction linéaire f est définie par : f(x) = x. Je cherche le nombre x tel que : f(x) = 4 c est-à-dire tel que : x = 4 4 D où : x=. 4 ) 5 1 1, ) La fonction f est définie par : f(x) = 4x 5 (elle est donc affine) f = 4 5 = = 7 ) , 4) f(x) = x + 4 f(x) = x + 10 f(x) = x On ne peut pas savoir. ) Soit f la fonction linéaire dont on cherche le coefficient a. f est définie par : f(x) = ax. f( 6) = 8 donc : 6a = 8 On a donc : 8 4 a= = 6 4) f est une fonction affine, donc telle que : f(x) = ax + b. On a : f() = 7 donc : a + b = 7 d où : b = 7 a. Il existe de nombreuses (en fait une infinité) de fonctions affines qui répondent au problème. On peut choisir par exemple : a = 1 alors : b = 7 1 = 4 La fonction affine f définie par : f(x) = x + 4 est telle que : f() = 7. On peut choisir par exemple : a = alors : b = 7 = 1. La fonction affine f définie par : f(x) = x + 1 est telle que : f() = 7. La fonction affine définie par : f(x) = x, ou encore la fonction affine définie par : f(x) = 4x 5, sont telles que f() = 7. Cned, Mathématiques e 9

35 0 Séquence 7 5) a = 5 et b = 5 a = 5 et b = 5 a = et b = 5 a = 0, et b = 4,6 6) une augmentation de 6 % une réduction de 6 % 5) On a : 1ère égalité : a + b = 5 ème égalité : 4a + b = 15 D où : a = 10 soit : a = 5. On en déduit : 10 + b = 5 soit : b = 5. 6) f(x) = 0,6x = x 0,4x = x 40 x 100 une réduction de 60 % une réduction de 40 % 7) d 1 et d d et d 4 d et d 4 d 1 et d 8) vrai faux On ne peut pas savoir 9) 1,5 P 1,05 P 0,05 P 0,95 P 10) ( 1 ; ) ( ; ( 5 ; 15) ( 5 ; 5) 7) La représentation graphique de la fonction f est la droite qui a pour coefficient directeur 1 et pour ordonnée à l origine : c est donc la droite d 4. La représentation graphique de la fonction g est la droite qui a pour coefficient directeur 0,5 et pour ordonnée à l origine 1 : c est donc la droite d. 8) L aire d un rectangle de largeur l et de longueur L est L l. On a : L = l D où : L l = l l = l La fonction qui à l associe l n est pas une fonction affine. 9) Le nouveau prix du litre d essence est : P + 5 P+ P = P +0,05P = (1+0,05)P = 1,05P ) On cherche x tel que : x = x 5 D où : 5x = 5 soit : x = 1. f( = ( =. 5 P 100 Les cordonnées du point d intersection des deux représentations graphiques sont ( 1 ; ).. 0 Cned, Mathématiques e

36 1 Séquence 8 Ce que tu devais faire JE RÉVISE LES ACQUIS DE LA 4 e SÉQUENCE 8 TRIGONOMÉTRIE Séance 1 Les commentaires du professeur isocèle en A équilatéral rectangle en A rectangle en B Il faut de souvenir de la propriété ci-dessous vue en 4e : «Si un triangle est inscrit dans un cercle et si l un de ses côtés est un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle. L hypoténuse est ce diamètre.» Le triangle ABC est donc rectangle en A. ) ) EG EF FG EF EF EG EF FG Le cosinus d un angle aigu d un triangle rectangle est le quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l hypoténuse. Le côté adjacent à l angle E est [EG]. L hypoténuse est [EF]. ) 0, ,6 0,5 ) Le cosinus d un angle est compris entre 0 et 1. Pour obtenir l arrondi au dixième du cosinus d un angle, on utilise en général une calculatrice. La touche utilisée est cos. 4) ,1 4) Pour déterminer une valeur approchée d un angle dont on connaît le cosinus, on utilise une calculatrice. La touche utilisée est cos 1. ou Acos (cela dépend des calculatrices). Cned, Mathématiques e 1

37 Séquence 8 EXERCICE 1 Je n arrive pas à résoudre le problème car je ne sais pas si le triangle MNP est un triangle rectangle. ) Je n arrive toujours pas à construire ni une figure «classique», ni une figure dynamique. ) Le point M est sur le cercle de centre O de diamètre [PN]. Le triangle MNP est donc rectangle en M. On ne peut pas faire une figure à une autre échelle facilement. En effet, on ne sait pas où centrer les cercles de rayon cm et 4 cm ) Le problème est le même que précédemment : où centrer les cercles de rayon cm et 4 cm? ) Il fallait penser à cette propriété vue en 4e! Tu peux télécharger la figure «dynamique» (en l occurrence, celle-ci est fixe!), c est le fichier sequence8exercice1corrige. 4) Dans le triangle MPN rectangle en M, d après la propriété de Pythagore : PN = PM + MN. D où : PN = + 4 = = 5 D où : PN = 5 cm. 5) Dans le triangle MNP rectangle en M : ɵ PM cosp = = = 0,6 PN 5 D où : P 5,1 4) 5) 6) Je tape tan 1 (4/) à l aide de ma calculatrice. Il s affiche : Cette unique ligne de calcul donne directement le résultat. Je tape sin 1 (4/5) à l aide de ma calculatrice. Il s affiche à nouveau : Taper sin 1 4 donne directement le résultat cherché. 5 EXERCICE 6) Quelles sont donc ces fonctions de la calculatrice qui permettent d obtenir aussi rapidement le résultat? Cned, Mathématiques e

38 Séquence 8 Cned, Mathématiques e

39 4 Séquence 8 4 Cned, Mathématiques e

40 5 Séquence 8 EXERCICE Dans le triangle KLM rectangle en L, d après la propriété de Pythagore : KM = KL + LM KM = KM = KM = 100 KM = 10 Séance Pour calculer le sinus et le cosinus de M, il est nécessaire de connaître la longueur de l hypoténuse du triangle rectangle KLM. Pour déterminer cette longueur, on utilise la propriété de Pythagore, vue en 4 ème. sinm = KL = 8 = 0,8 KM 10 cosm = ML = 6 = 0,6 KM 10 Quand on calcule un sinus, un cosinus, ou une tangente, on commence dans un premier temps par donner les formules en utilisant les lettres de la figure. tanm = KL = 8 = 4 LM 6 sinr = ST = = 0,4 RT 5 Dans le triangle TSR rectangle en S, d après la propriété de Pythagore : Pour calculer le cosinus de R ou sa tangente, on commence par calculer SR. TR = TS + SR 5 = + SR 5 = 4 + SR = SR 1 SR = 1 RS 1 cos R = = cosr 0,9 RT 5 tan R = ST = tan R 0,44 RS 1 Cned, Mathématiques e 5

41 6 Séquence 8 EXERCICE 4 Clément a raison. Dans un triangle rectangle, le sinus d un angle aigu est égal au quotient : Dans un triangle rectangle, l hypoténuse est le plus long des trois côtés. longueur du côté opposé Le quotient : est donc plus petit que 1. longueur de l'hypoténuse longueur du côté opposé longueur de l'hypoténuse. EXERCICE 5 J ai commencé par faire une figure sur une feuille de papier. J ai eu du mal jusqu à ce que je pense à calculer l angle C. Le triangle ABC est rectangle donc C et A sont complémentaires. D où : C = = 50 Tu peux télécharger la figure «dynamique» (en l occurrence, celle-ci est fixe!) : c est le fichier sequence8exercice5corrige. Je mesure [AC], je trouve que AC est environ égal à 7,8 cm. ) Dans le triangle ABC rectangle en B : ) sin A = BC AC D où : 5 sin40 = donc : AC sin 40 = 5 AC d où : 5 AC = sin40. 6 Cned, Mathématiques e

42 7 Séquence 8 ) Dans le triangle LOK rectangle en K : ) = LK sinlok = OM OM 1 = OL Or : LOK = 40 D où : sin 40 = OM soit : OM = sin 40. Je mesure OM. Je trouve : OM 6,4 cm D où : OM 0,64 dm donc : sin 40 0,64. La longueur OM est égale à sin 40. Il suffit donc de la mesurer pour obtenir une valeur approchée de sin 40. On a : 5 AC = sin 40 donc : AC 7,8 cm Je trouve : AC 7,8 cm (arrondi au mm) Il est beaucoup plus aisé d utiliser la calculatrice! 4) BC 5 cosc = d où : cos50 = AC AC 5 AC cos 50 = 5 d où : AC = cos50 D où : AC 7,8 cm (arrondi au mm) 4) Il ne faut pas oublier que les deux angles aigus d un triangle rectangle sont complémentaires! Remarques : On a vu que pour KOL = 40 alors : OM = sin 40. On peut montrer que pour KOL = x (avec 0 < x < 90) on a encore : OM = sin x. EXERCICE 6 sin 8 0,469 sin 45 0,707 Quand x = 0, on a : OM = 0 Quand x = 90, on a : OM = 1 D où, par définition, on pose : sin 0 = 0 et sin 90 = 1. On fait attention à bien faire les arrondis sin 7 0,956 Cned, Mathématiques e 7

43 8 Séquence 8 EXERCICE 7 La distance cherchée est AB. Dans le triangle ABC rectangle en C : cosa = AC AB 84 D où : cos18 = AB On n oublie pas de rappeler la donnée permettant d utiliser la trigonométrie, à savoir que l on a un triangle rectangle! AB cos 18 = 84 AB = 84 cos 18 AB 980 m 8 Cned, Mathématiques e

44 9 Séquence 8 EXERCICE 8 Séance 1,5 m = 15 dm 1,8 m = 18 dm J ai construit une figure dynamique de la façon suivante : J ai placé le point B de coordonnées (0 ; 0). J ai placé le point C de coordonnées (0 ; 15). J ai tracé le cercle de centre C et de rayon 18 cm. J ai tracé la droite perpendiculaire à (BC) passant par B. Le point A est un des points d intersection de cette droite et du cercle. J ai mesuré l angle BAC. Il n est pas toujours facile de bien construire une figure à l aide d un outil de géométrie dynamique. Tu peux télécharger la figure «dynamique» (en l occurrence, celle-ci est fixe!) : c est le fichier sequence8exercice8corrige. L angle BAC mesure environ 56. L échelle va donc tomber. ) Dans le triangle ABC rectangle en B : sin BAC = BC AC ) sin BAC = 15 soit : sinbac 5 = 18 6 sinbac 0,8 (arrondi au centième) Cned, Mathématiques e 9

45 40 Séquence 8 ) IOL 56 IOL < 60 donc si quelqu un grimpe à l échelle, l échelle va tomber! 4) Je tape : sin 1 ( 5 6 ) La calculatrice affiche : ) D où : BAC 56,44 (arrondi au centième) Dans le triangle ABC rectangle en B : BC 1,5 cosc = = AC 1,8 D où : C,56 obtenu en utilisant la touche Acs ou cos 1 Or : A = 90 C D où : A 56,44 40 Cned, Mathématiques e

46 41 Séquence 8 EXERCICE 9 Répondre à la question posée revient à voir si on a : ABC = 180 Dans le triangle ABE rectangle en A, on a : sin ABE = AE soit : sin ABE EB = 5 c est-à-dire : sin ABE = 0,6 d où : ABE > 6 On est donc amené à déterminer les mesures en degrés de ABE et de DBC. On commence, par exemple, par déterminer la mesure en degrés de ABE. ABE 6,8 (troncature au dixième) Dans le triangle DBC rectangle en C, on a : cos DBC = BC BD soit : cos DBC = 4,1 d où : DBC > 4 On détermine ensuite la mesure en degrés de DBC. DBC 4,9 (troncature à l unité) Ainsi : ABE + EBD + DBC > On en déduit que A, B, C ne sont pas alignés. EXERCICE 10 J ai essayé de faire une figure dynamique. Si je ne me suis pas trompé(e), j ai trouvé : AB 997,17 m Séance 4 Tu peux ouvrir la figure dynamique : c est le fichier sequence8exercice10corrige. ) Dans le triangle ABC rectangle en B. tan BAC = BC d où : tan 18 = 4 AB AB On a : AB tan 18 = 4 4 d où : AB = tan 18 ) Cned, Mathématiques e 41

47 4 Séquence 8 ) Dans le triangle ABC rectangle en B, on a : BC sin A cos A = AC AB AC On peut multiplier les deux termes d un quotient par un même nombre non nul. Ainsi : BC sin A cos A = AC AC BC = = tan A AB AC AB AC D après la question : AB 997,17 m c) Dans le triangle OMI, on a : K (OM) L (OI) (KL) // (MI) car (KL) et (MI) sont perpendiculaires à (OI). ) BC Remarque : on pouvait également calculer AC ainsi : AB AC BC AC BC AC BC = = AB AC AB AB AC Lorsque je calcule à la calculatrice sin 18 cos 18, il s affiche Il s affiche le même résultat lorsque je calcule tan 18. D après la propriété de Thalès, on a : OK OL KL = = OM OI MI d où : KL = OL MI OI Or : KL = sin 18 ; OL = cos 18 ; OI = 1 dm On a donc : sin 18 cos 18 = MI 1 1 sin18 = MI cos18 sin18 = MI cos18 sin18 = MI cos18 MI = tan18 Sur ma figure : MI 0,5 cm 4 On déduit donc de : AB = que : tan 18 AB 996,9 m Remarque : On a vu que si : x = 18 alors MI = tan 18. Plus généralement, on montre que si IOM est aigu, alors : MI = tan x 4 Cned, Mathématiques e

48 4 Séquence 8 EXERCICE 11 Dans le triangle MNP rectangle en M, on a : tan P = MN MP On n oublie pas de préciser que l on se place dans un triangle rectangle! D où : tan P = 4 P 5,1 EXERCICE 1 Soit x la mesure en degrés de l angle de la route avec l horizontale. La route a une pente de 17 %, donc : tan x = soit : tan x = 0,17 d où : x 10 (arrondi à l unité) L arrondi à l unité de l angle en degrés que fait la route avec l horizontale est 10. Lorsque pour déterminer x on utilise la touche tan 1 ou Atn de la calculatrice, il s affiche Dans un souci de précision, si dans la suite, on doit calculer sin x ou cos x, on utilisera cet affichage. Soit h en m la différence d altitude cherchée. On cherche la longueur du côté opposé à C, on connaît la longueur de l hypoténuse du triangle rectangle. On pense donc à utiliser sin x. h sin x = 10 donc : h = 10 sin x h 5 m L arrondi à l unité de la différence d altitude en m entre le début et la fin de la route est 5 m. Cned, Mathématiques e 4

49 44 Séquence 8 EXERCICE 1 Pour voir si le triangle RST est isocèle en S, on est amené à voir si l on a : ST = SR. On calcule donc successivement ST et SR. SUVW est un rectangle donc les triangles RUS et TWS sont rectangles respectivement en U et W. Dans le triangle TWS rectangle en W, on a : sin TSW = TW TS soit : sin 44 = 4,4 TS d où : TS sin 44 = 4,4 4,4 donc : TS = sin 44 d où : TS 6, cm (troncature au centième) Dans le triangle RUS rectangle en U, on a : cos USR = US RS 6 soit : cos 19 = RS d où : RS cos 19 = 6 6 donc : RS = cos 19 d où : RS 6,4cm (troncature au centième) TS RS donc le triangle RST n est pas isocèle en S. 44 Cned, Mathématiques e

50 45 Séquence 8 EXERCICE 14 J ai utilisé ma calculatrice. Voici mes résultats. Séance 5 On fait attention à ne se pas se tromper dans les arrondis! ) Mes résultats sont bien en accord avec ceux trouvés à l aide de ma calculatrice. ) Là, encore, les résultats que je trouve sont en accord avec ceux trouvés dans les questions précédentes. Cned, Mathématiques e 45

51 46 Séquence 8 EXERCICE 15 Le triangle ABC est équilatéral donc : ABC = 60 Dans le triangle ABH rectangle en H, on a : cos ABC = BH = BH = BH AB 1 Tous les angles d un triangle équilatéral mesurent 60. Pour répondre à la question posée, il suffit donc de déterminer le cosinus de l un de ces angles (par exemple de ABC ). Le triangle ABC est équilatéral, donc la hauteur (AH) est la médiatrice de [BC] d où : BH = 1. On a donc : cos60 = 1 On a : BAC = 60. De plus, comme le triangle ABC est équilatéral, la hauteur (AH) est la bissectrice de l angle BAC. Pour répondre à la question posée, on est amené à chercher sur la figure un angle de 0. On démontre facilement que BAH ou HAC mesure 0. Il suffit ensuite de déterminer le sinus de l un de ces deux angles. D où : BAH = 0 Dans le triangle ABH rectangle en H : sin BAH = BH = BH (d après la question précédente) AB D où : sin 0 = 1 ) 46 Cned, Mathématiques e

52 47 Séquence 8 EXERCICE 16 Le triangle ABC est rectangle isocèle en B donc ses angles aigus BAC et BCA sont égaux et complémentaires. On peut déterminer BAC en utilisant la propriété : «La somme des mesures des angles d un triangle est égale à 180», mais il est plus rapide de procéder comme ci-contre. D où : BAC = 90 Donc : BAC = 45 Dans le triangle ABC rectangle en B, d après la propriété de Pythagore : AC = AB + BC D où : AC = = donc : AC =. c) cos 45 = cos BAC = AB = 1 AC sin 45 = sin BAC = BC = 1 AC c) BAC = 45 Pour répondre à la question, il suffit donc de déterminer cos BAC et sin BAC. D où : cos45 = 1 sin45 = 1 d) Dans le triangle ABC rectangle en B : tan 45 = tan BAC = BC = 1 = 1 AB 1 D où : tan45 = 1 d) On pouvait aussi déterminer tan 45 en utilisant l égalité : sin45 tan45 = cos 45 C est un peu plus compliqué. e) Cned, Mathématiques e 47

53 48 Séquence 8 EXERCICE 17 Séance 6 J ai fait des tests à l aide d une calculatrice : je trouve toujours 1! J ai alors utilisé un tableur : Le fichier tableur complété est téléchargeable. C est le fichier : sequence8exercice17corrige. J ai fait à nouveau de nombreux tests : je trouve toujours 1. Voici ma conjecture : pour toute mesure d angle comprise entre 0 et 90, on a : (sin x) + (cos x) = 1 Je n arrive pas à la démontrer! ) x (sin x) + (cos x) Voici ma conjecture : pour toute mesure d angle comprise entre 0 et 90, on a : (sin x) + (cos x) = 1 ) Il s affiche : La représentation graphique de la fonction qui à x associe le nombre (sin x) + (cos x) semble être une droite horizontale. Tous les points de cette droite semblent avoir la même ordonnée : 1. Il semble donc que pour toute mesure d angle comprise entre 0 et 90, on ait : (sin x) + (cos x) = 1 La représentation graphique de la fonction qui à x associe (sin x) + (cos x) est une droite parallèle à l axe des abscisses : cela veut dire que tout nombre a pour image le même nombre (qui est! 48 Cned, Mathématiques e

54 49 Séquence 8 4) sin x = BC AC donc : (sin x) = BC AC 4) cos x = AB AC donc : (cos x) = AB AC c) (sin x) + (cos x) = BC AB BC + + = AB AC AC AC D après la propriété de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en B, on a : BC + AB = AC. c) D où : (sin x) + (cos x) = EXERCICE 18 AC AC = 1 Remarques : (sin x)² peut s écrire sin² x, (cos x)² peut s écrire cos² x. L égalité : (sin x)² + (cos x)² = 1 peut donc s écrire : sin² x + cos² x = 1 Les écritures sin² x et cos² x sont souvent employées. On sait que : sin 0 = 1. On sait de plus que si x est la mesure d un angle aigu en degrés : sin x + cos x = 1 D où on a : sin 0 + cos 0 = = = cos 0 1 cos cos 0 = 1 4 cos 0 est un nombre positif donc : cos 0 = 4 cos0 = cos0 = cos0 = 1 sin 0 1 tan0 = = = cos0 Conclusion : tan 0 = On a vu dans la séance 4 que dans un triangle ABC rectangle en B, on a : tan sina A = cos A Cned, Mathématiques e 49

55 50 Séquence 8 On sait que : cos 60 = 1. On sait que si x est la mesure d un angle aigu en degrés : sin x + cos x = 1 D où, on a : sin² 60 + cos 60 = 1 1 sin 60 + = 1 sin 60 1 sin = 4 = 4 Les calculs sont analogues à ceux de cos 0, faits dans la précédente question. D où : sin60 = sin 60 tan 60 = = = cos Conclusion : tan60 = c) Il est utile de connaître le sinus, le cosinus et la tangente d un angle de 0, de 45 et de 60. d) sin 0 = cos 60 sin 60 = cos 0 Le sinus d un angle aigu semble être égal au cosinus du complémentaire de cet angle. Prouvons-le : Le triangle ci-contre est rectangle en B. Les angles A et C sont donc complémentaires. D où : sin A = BC cosc = BC AC AC sin A = cosc 50 Cned, Mathématiques e

56 51 Séquence 8 EXERCICE 19 Séance 7 J ai vu dans la séance précédente que : 1 sin 45 = cos 45 =. Il existe donc au moins une valeur pour laquelle le sinus d un angle est égal à son cosinus. ) J ai calculé sin x et cos x pour d autres valeurs de x et je n en ai pas trouvé pour lesquelles le sinus soit égal au cosinus. Je pense donc que 45 est la seule mesure d angle qui réponde à l énoncé mais je n arrive pas à le démontrer! ) Les valeurs ci-dessous sont arrondies au centième. angle sinus 0 0,17 0,4 0,50 0,64 0,71 0,77 0,87 0,94 0,98 1 cosinus 1 0,98 0,94 0,87 0,77 0,71 0,64 0,50 0,4 0,17 0 4) Il n y a qu une valeur du tableau pour laquelle le sinus est égal au cosinus. Ceci étant, nous ne testons dans ce tableau que quelques valeurs, nous ne pouvons donc pas être certains qu il n existe pas d autres valeurs pour lesquelles le sinus est égal au cosinus. Cned, Mathématiques e 51

57 5 Séquence 8 c) d) Les valeurs de x pour lesquelles on a : sin x = cos x sont les abscisses des points d intersection des deux courbes. Il n y a qu un seul point d intersection, c est donc que 45 est la seule valeur de x pour laquelle on a : sin x = cos x. e) Les courbes tracées par Geogebra sont représentées avec plus de précision que «les miennes». Ces deux courbes n ont, comme précédemment, qu un seul point d intersection ; je conclus donc, comme dans le d, que 45 est donc la seule valeur de x pour laquelle on a : sin x = cos x. f) Dans le triangle ABC rectangle en B : sin A = BC cosa = AB AC AC Si on a : sin A = cosa BC AB, alors on a : =. AC AC D où : BC = AB. Le triangle ABC est donc rectangle isocèle en B. D où : A = C = Cned, Mathématiques e

58 5 Séquence 8 EXERCICE 0 Je me souviens de ce problème Je n arrive pas à le résoudre. Je construis une figure en vraie grandeur afin de déterminer une valeur approchée de AH. Séance 8 BAC est droit, donc le point A appartient à un demi-cercle de diamètre [BC]. Comme : (AH) (BC), A est le point d intersection du demicercle de diamètre [BC] avec la perpendiculaire en H à (BC). AH est environ égale à, cm. ) J ai déjà construit la figure dans la question précédente. Je tape 5 à l aide d une calculatrice. Je trouve :,6 (troncature au millième) Je construis la figure dynamique. AH est environ égale à,6 cm. Je me demande si AH ne serait pas égale à 5 cm. ) Je note x la mesure en degrés de l angle BCA. Comme : H [BC], x est aussi la mesure en degré de HCA. Mets-le en évidence sur la figure ci-dessus. Dans le triangle ABC rectangle en A : BCA + ABC = 90 D où : ABC = 90 x Dans le triangle AHC rectangle en H : HCA + CAH = 90 D où : CAH = 90 x D où : ABC = CAH Comme : H [BC], on a : ABH = CAH Cned, Mathématiques e 5

59 54 Séquence 8 Dans le triangle ABH rectangle en H : Dans le triangle AHC rectangle en H : Comme : ABH = CAH, on a : tan ABH = AH BH tan CAH = HC AH AH D où : = BH tan ABH = tan CAH HC AH c) AH HC On a : = donc les produits en croix sont BH AH égaux : AH AH = BH HC c est-à-dire : AH = BH HC Comme AH est un nombre positif, on a : AH BH HC = D où, dans notre cas : AH = 5 1 = 5 Conclusion : AH = 5 cm 4) D après la question précédente, dans un triangle ABC rectangle en A, où H est le pied de la perpendiculaire abaissée de A sur (BC), on a : AH BH HC =. Il suffit donc que je construise la figure de l énoncé avec BH = 7 cm et HC = 1 cm pour répondre à la question posée. AH = 7 cm Les commentaires du professeur : on avait vu dans la séance 4 de la série 5 de ce cours une méthode permettant de tracer un segment de 5 cm, de 7 cm. On vient d en voir une nouvelle dans cette séance. 54 Cned, Mathématiques e

60 55 Séquence 8 EXERCICE 1 Séance 9 Dans le triangle ABH rectangle en H, on a : sin ABH = AH = 6 = AB 9 D où : ABH 41,8 ( arrondi au dixième) ) H [BC], donc : ABH = ABC d où : ABC 41,8 ( arrondi au dixième) Si le triangle ABC était rectangle, ses angles aigus seraient complémentaires. ACB + ABC 90 Le triangle ABC n est donc pas rectangle. ) Dans le triangle ACH rectangle en H, on a : tan ACH = AH HC soit tan 49 = 6 HC donc : HC tan 49 = 6 6 d où HC = tan 49 Ainsi : HC 5, cm (arrondi au dixième) Dans le triangle ABH rectangle en H, d après la propriété de Pythagore, on a : HB² + HA² = AB² HB² + 6² = 9² HB² + 6 = 81 HB² = 81 6 HB² = 45 D où : HB = 45 Ainsi : HB 6,7 cm (arrondi au dixième) 4) BC AH (CH + HB) AH A ABC = = (HC + HB) 6 A ABC = = (HC + HB) A ABC 5,8 cm² (arrondi au dixième) Lorsqu on calcule HC à l aide de la calculatrice, il s affiche Afin de calculer, aussi précisément que possible BC, dans la question 4), il serait bon de pouvoir réutiliser cette réponse. On la stocke donc dans une mémoire de la calculatrice, par exemple la mémoire A. Lorsqu on calcule HB à l aide de la calculatrice, il s affiche Pour la même raison que précédemment, on stocke cette nouvelle réponse dans une autre mémoire de la calculatrice, par exemple la mémoire B. 4) On obtient l arrondi au dixième de l aire en cm² du triangle ABC : en faisant afficher sur l écran le contenu total des mémoires A et B, et en multipliant par le résultat obtenu. Remarque : (5, + 6,7)= 11,9 = 5,7 Le calcul (5, + 6,7) ne permet pas d obtenir l arrondi cherché. Cned, Mathématiques e 55

61 56 Séquence 8 EXERCICE ) M appartient au cercle de diamètre [EF] donc EMF est droit. Le triangle EMF est donc rectangle en M. On déduit, d après la propriété de Pythagore, que l on a : EF² = EM² + MF² 8² = EM² + 5² 64 = EM² + 5 EM² = 64 5 EM² = 9 EM = 9 cm ) Avant d utiliser la propriété de Pythagore, il ne fallait pas oublier de prouver que le triangle EMF était rectangle en M. ) Dans le triangle MEF rectangle en M, on a : sin MEF = MF = 5 EF 8 donc MEF 8,7 ( arrondi au dixième) ) Lorsqu on calcule MEF à l aide de la calculatrice, il s affiche Cette valeur pouvant servir par la suite, on la stocke dans une mémoire de la calculatrice, par exemple dans la mémoire A. 4) 4) On peut procéder de deux façons. On peut, par exemple, remarquer que le triangle MOF est isocèle en O, essayer de déterminer la mesure en degrés de EFM, puis déterminer l arrondi au dixième de degré de MOF. Dans le triangle EMF rectangle en M, les angles aigus MEF et EFM sont complémentaires. On en déduit que : EFM = 90 MEF EFM 51, (arrondi au dixième) 56 Cned, Mathématiques e

62 57 Séquence 8 Pour trouver l arrondi au dixième de EFM, je calcule 90 moins le nombre stocké dans la mémoire A. Il s affiche : Ce résultat, comme nous allons le voir, va servir pour trouver l arrondi au dixième de MOF. On le stocke donc dans une mémoire de la calculatrice : la mémoire B, par exemple. M et F sont deux points du cercle de centre O de diamètre [EF]. On a donc : OM = OF. Le triangle MOF est donc isocèle en O. D où : OMF = OFM Dans le triangle MOF la somme des mesures des angles est égale à 180. On a donc : MOF + OFM = 180 soit MOF =180 OFM c est-à-dire MOF =180 EFM d où MOF 77,4 (arrondi au dixième) Pour trouver l arrondi au dixième de MOF, je calcule 180 moins deux fois le nombre stocké dans la mémoire B. Il s affiche : ,4 = 8,7 On est amené à se poser la question suivante : «A-t-on : MOF = MEF?» Attention! Ce n est pas parce que l arrondi au dixième d un nombre est le double de l arrondi au dixième d un autre, qu on peut conclure que le premier nombre est le double du second. Soient, par exemple : a = 77, 9 et b = 8,7 L arrondi au dixième de a est 77,4 ; celui de b est 8,7. On a : 77,4 = 8,7. Pourtant, a n est pas le double de b! On peut prouver que cette égalité est vraie. D après ce qui précède : EFM = 90 MEF MOF =180 EFM On a donc : MOF =180 (90 MEF ) soit MOF = MEF d où MOF = MEF Remarque : Pour déterminer MOF, on pouvait : commencer par prouver que EMO est isocèle en O, puis calculer successivement EOM et MOF. Cned, Mathématiques e 57

63 58 Séquence 8 JE M ÉVALUE MP MI MP PI PI MI PI MP Par définition, dans le triangle PIM rectangle en P: sin M = longueur du côté opposé à M longueur de l ' hypoténuse ) ) RF FV RV RF RV FV RF RV Par définition, dans le triangle RVF rectangle en F : ɵ longueur du côté opposé à V tan V = longueur du côté adjacent à V ) ) 0,01 0,65 40,54 49,46 On obtient le résultat en utilisant la touche Asn ou -1 sin. 4) 4) 0,5 87,8 0,5 87,8 La tangente d un angle n a pas d unité. 5) 5) 1,88 cm 7,5 cm,5 cm,1 cm Dans le triangle MNO rectangle en N, on a : tan M = ON soit tan 8 = ON MN 4 d où : ON = 4 tan 8 Lorsqu on tape 4 tan 8 sur la calculatrice, il s affiche : ) 5,51 cm,5 cm 1,6 cm,58 cm 6) Dans le triangle TUV rectangle en V, on a : ɵ UV sin T = TU soit : sin = d où : TU sin = TU donc : TU = sin Lorsqu on calcule sin à la machine, il s affiche Cned, Mathématiques e

64 59 Séquence 8 7) 7) 0, 59,7 54, 5,4 Dans le triangle CDE rectangle en D, on a : soit :,5 tan C = 6. ɵ DE tan C = CD On détermine C ɵ -1 en utilisant la touche Atn ou tan d une calculatrice. 8) 55,1 51,5 8,5 1,9 8) Dans le triangle OFR rectangle en F, on a : ɵ OF cos O = OR soit :,8 cos O = 4,5. On détermine O ɵ -1 en utilisant la touche Acs ou cos d une calculatrice. 9) 9) tan x cos x tan x cos x cos x tan x tan x Il suffisait de se souvenir de l égalité : répondre à la question. sin x tan x = pour cos x 10) 10) oui non On a vu que quel que soit l angle aigu ɵ A, on a : ɵ ɵ cos A + sin A = 1. Cned, Mathématiques e 59

65 60 Séquence 9 SÉQUENCE 9 CALCUL LITTÉRAL -SUITE- Ce que tu devais faire Les commentaires du professeur Séance 1 JE RÉVISE LES ACQUIS DE LA 4 e , x+ 5= 1 x= 7 7 x=, n est qu une valeur approchée de la solution. ) ) 0,80 0,70 0,60 0,50 4) ) On remplace x par sa valeur dans l expression A. A = ( ( ) )(5 ( ) + 4) (7 ( )) A = ( 6 )( ) (7 + 4) A = ( 8) ( 6) 11 A = A = 7 ) Soit x le prix d un avocat en. Le problème se traduit par l équation : 5x + 0,50 = 0 15,50 5x + 1,50 = 4,50 5x = 4,50 1,50 5x = x =0,60 Un avocat coûte 0,60. 4) 4x 4x 8x On ne peut pas le savoir BC AH L aire du triangle est : BC = 6 + donc : BC = 8 cm. AH = x cm 60 Cned, Mathématiques e

66 61 Séquence 9 EXERCICE 1 Je fais des tests avec des valeurs prises «au hasard» pour le prix d un cahier et d un stylo : Dans un 1 er temps, faire des tests est une bonne chose! Si un cahier coûte et un stylo 1 : Clément paie : + 1 soit 8 Clément ne paie pas 10,50 donc ce n est pas la peine de regarder si Nadia paie 14. Je cherche le prix d un cahier et le prix d un stylo tels qu à la fois Clément paie 10,50 et Nadia 14. J essaie d autres valeurs, mais je ne trouve pas! On pouvait réfléchir de la façon suivante : On essaie de trouver dans un 1 er temps le prix d un cahier et d un stylo de façon que Clément paie au total 10,50. Clément achète trois cahiers et deux stylos et paie 10,50. Si un cahier coûtait, cahiers coûteraient 6 et les stylos coûteraient 4,50 soit,5 le stylo. Cela ne va pas puisqu alors Nadia paierait : 5 +,5 soit 1,5. +,5 = 10,50 5 +,5 = 1,5 On ne trouverait pas assez (1,5 au lieu de 14) dans la deuxième égalité. Il faut donc revoir le prix d un cahier et d un stylo de façon que la 1 ère égalité soit encore vérifiée, et que la dépense de Nadia soit bien de 14. Comme le nombre vert est multiplié par 5 dans la deuxième, on va essayer de «l augmenter». Il va donc falloir «baisser»,5 pour que la 1 ère égalité «reste» une égalité. Si on passe de à : + 0,75 = 10,50 Dans la ème égalité on trouve : 5 + 0,75 = 15,75 «On a pris trop grand» Si on passe de à,5 :,5 + 1,5 = 10,50 Dans la ème égalité on trouve : 5,5 + 1,5 = 14 C est bon : on a trouvé une valeur du prix du cahier et du stylo qui conviennent. Question : y en a-t-il d autres? Cned, Mathématiques e 61

67 6 Séquence 9 ) Si un cahier coûte 1 et un stylo 0,50 Clément paie : 1 + 0,5 soit 4. Nadia paie : ,5 soit 5,5. ) Si un cahier coûte 1,5 et un stylo 1 Clément paie : 1,5 + 1 soit 6,5. Nadia paie : 5 1,5 + 1 soit 8,5. Si un cahier coûte et un stylo 1,50 Clément paie : + 1,5 soit 1. Nadia paie : 5 + 1,5 soit 16,5. Ces tests n ont pas permis de trouver le prix d un cahier et celui d un stylo. Si un cahier coûte et un stylo 1 Clément paie : + 1 soit 11. Nadia paie : soit 16. Sur ces exemples numériques, on voit bien que si x est le prix d un cahier et y celui d un stylo (tous les deux en ) : Clément paie : x + y. Nadia paie : 5 x + y. On se rend compte qu il n est pas si facile de trouver le résultat à l aide de tests car il y a de nombreuses possibilités. Si un cahier coûte et un stylo 0,75 Clément paie : + 0,75 soit 10,5. Nadia paie : 5 + 0,75 soit 15,75. c) J ai fait pas mal de tests, mais comme pour une valeur du prix du cahier, il faut tester plusieurs valeurs du prix du stylo (et cela pour beaucoup de valeurs du prix du cahier), il est difficile de résoudre le problème par tâtonnements. ) équation 1 : x + y = 10,5 équation : 5x + y = 14 équation : ( ) (5x + y) = ( ) 14 Soit : 10x y = 8 x + y = 10,5 10x y = 8 D où : x + y + ( 10x) y = 10,5 + ( 8) soit : x 10x = 17,5 7x = 17,5 17,5 x= soit : x =,5 7 c) C est pour cela que l on va chercher des méthodes pour résoudre de tels problèmes ) Si x est le prix d un cahier et y celui d un stylo (tous les deux en ) : Clément paie : x + y. Nadia paie : 5 x + y. On se souvient que l on ne change pas une égalité quand on multiplie par un même nombre non nul ses deux membres. On voit ici qu il ne peut y avoir qu un seul prix pour le cahier. Il ne peut coûter que,5. 6 Cned, Mathématiques e

68 6 Séquence 9 Je remplace x par,5 dans la 1 ère équation. On a :,5 + y = 10,5 D où : 7,5 + y = 10,5 soit : y = D où : y = 1,5 c),5 + 1,5 = 7,5 + = 10,5 5,5 + 1,5 = 1,5 + 1,5 = 14 Le prix d un cahier est,5 et celui d un stylo 1,5. EXERCICE Je résous: 4x y= 1 x+ y= 11 Je multiplie les membres de la 1 ère équation par : ( x y) 4 = 1 x+ y= 11 1 x y= x+ y= 11 J additionne membre à membre les deux égalités. J obtiens : 1x y+ x+ y= x= 14 x= 1 On voit ici qu il ne peut y avoir deux prix pour le stylo. Il ne peut coûter que 1,5. c) On vérifie que les réponses trouvées sont bien solutions du problème. On a mis en œuvre dans cet exercice une méthode qui a permis de déterminer qu il n y avait qu un prix de cahier et de stylo répondant au problème, elle a permis également de déterminer ces prix. Cette méthode est appelée «méthode par combinaison». On pouvait résoudre le système de bien d autres façons. On pouvait par exemple éliminer les termes en x d une des deux équations. Pour cela, on pouvait multiplier la ème équation par. On obtenait : 4x y= 1 ( x + y) = 11 4x y= 1 4x 6 y = En ajoutant membre à membre les deux égalités, on obtenait : 4x y 4x 6y = 1 + ( ) d où : y 6y = 1 soit : 7y = 1 d où : y =. On remplaçait alors y par dans l une des deux équations du système pour trouver x. Je remplace x par 1 dans la 1 ère équation : 4 1 y = 1 D où : 4 y= 1 y= 1 4 y= y= Cned, Mathématiques e 6

69 64 Séquence 9 Je vérifie : Si x = 1 et y = 4x y = 4 1 = 4 = 1 x + y = 1 + = + 9 = 11 On n oublie pas de vérifier! Je conclus : Le seul couple solution du système est (1 ; ). 4x y= 1 x+ y= 11 On n oublie pas d écrire la conclusion. Attention! Dans un couple l ordre des deux termes a de l importance. (1 ; ) ( ; Le couple ( ; n est pas solution du système. En effet, si : x = et y = 1 : 4x y = 4 1 donc 4x y 1 64 Cned, Mathématiques e

70 65 Séquence 9 EXERCICE Séance Soit x l âge de Pierre en années et y celui de Quentin. Pierre est le plus âgé et il a 5 ans d écart avec Quentin d où : x y = 5. La somme des âges de Pierre et de Quentin est égale à 49 d où : x + y = 49. Dans ce type de problème, on commence par choisir des inconnues. On pouvait ne choisir qu une inconnue, par exemple x l âge de Pierre, puis dire que l âge de Quentin est 49 x. Comme la différence (en années) : âge de Pierre moins âge de Quentin est égale à 5, on a : x (49 x) = 5 d où : x 49 + x = 5. D où : x = 74 puis x = 7. On en déduit ensuite y. On cherche des nombres x et y tels que les deux équations sont vérifiées en même temps, donc on x+ y= 49 résout le système :. x y = 5 On ajoute membre à membre les deux égalités. On a : x + y + x y = soit : x = 74 d où : x = 7. On n a pas besoin dans ce cas de multiplier les deux membres d une équation par un même nombre car on a y dans l équation «du dessus» et y dans celle «du dessous». Il suffit d ajouter membre à membre les deux égalités pour «éliminer» les termes en y. Je remplace x par 7 dans la 1 ère équation : 7 + y = 49 d où : y = 49 7 D où : y = 1. Je vérifie Si x = 7 et y = 1 x + y = = 49 x y = 7 1 = 5. Le couple solution est (7 ; 1). Je conclus Pierre a 7 ans et Quentin 1 ans. Cned, Mathématiques e 65

71 66 Séquence 9 EXERCICE 4 J essaie de choisir des inconnues, mais je n y arrive pas! ) Soit x le plus petit des deux nombres cherchés et y le plus grand. La somme des deux nombres est 84 donc : x + y = 84. Le plus grand est le triple du plus petit donc : y = x x+ y= 84 Je résous : y = x Je remplace y par x dans la 1ère équation. J obtiens : x + x = 84 D où : 4x = 84 donc : x = 84 soit : x = Je remplace x par 96 dans la ème équation. J obtiens : y = 96 soit y = 88. Dans ce cas, il faut essayer de faire des tests avec différentes valeurs. Par exemple, on essaie 1, comme plus petit des deux nombres. Le plus grand serait le triple de 1 soit. La somme de 1 et de n est pas égale à et ne répondent donc pas au problème. Cette recherche peut t aider à voir quelle inconnue on pourrait choisir. On peut, par exemple, nommer x le plus petit des deux nombres. Le plus grand est alors x. On cherche x tel que : x + x = 84 D où : 4x = 84 x = 84 soit x = 96 4 Le plus petit des deux nombres est donc 96. On en déduit alors le plus grand. ) Au lieu de dire : «Je remplace», on dit parfois «Je substitue». La méthode de résolution utilisée ci-contre est ainsi appelée «méthode par substitution». Je vérifie : Si : x = 96 et y = 88 x + y = = 84 x = 96 = 88 = y Le seul couple-solution est (96 ; 88) Je conclus : Les deux nombres cherchés sont 96 et Cned, Mathématiques e

72 67 Séquence 9 Voici la résolution du problème par la méthode par substitution. Soit x le plus petit des nombres cherchés et y le plus grand. La somme des deux nombres est 84 donc : x + y = 84. Le plus grand est le triple du plus petit donc : y = x d où : x + y = 0 x+ y= 84 Je résous : x + y = 0. Je soustrais membre à membre la ème égalité de la 1 ère. J obtiens : x + y ( x + y) = 84 0 D où : x + y + x y = 84 D où : 4x = 84 D où : x = 84 4 soit : x = 96 Je remplace x par 96 dans la 1 ère équation : 96 + y = 84 d où : y = y = 88 Je vérifie Si : x = 96 et y = 88 x + y = = 84 x + y = = 0 Le seul couple solution est (96 ; 88). Je conclus Les deux nombres cherchés sont 96 et 88. Conclusion : On remarque que dans le cas de notre problème, il est plus rapide d utiliser la méthode par substitution. La méthode par substitution est facile à utiliser lorsque dans l une des équations du système, le coefficient de x ou de y est 1 ou 1. Dans les autres cas, elle conduit à des calculs avec des fractions. Cned, Mathématiques e 67

73 68 Séquence 9 ) Pauline a raison. Je lis les coordonnées du point d intersection des deux droites ; je trouve (96 ; 88) ) Il semble que les coordonnées du point d intersection des deux droites soient les solutions du système y = 84 x c) f(x) est de la forme : f(x) = ax + b. avec a = 1 et b = 84 f est donc une fonction affine. g(x) est de la forme g(x) = cx avec c =. g est donc une fonction linéaire (donc une fonction affine). Les points de coordonnées (x ; y) tels que : y = 84 x sont les points de coordonnées (x ; 84 x). Ces points constituent la représentation graphique de la fonction qui à x associe 84 x. c) y= 84 x Résoudre le système, c est déterminer les y = x coordonnées des points d intersection des deux droites représentations graphiques des fonctions : x 84 x et x x. EXERCICE 5 Soient x le nombre de poules et y le nombre de lapins. Il y a au total 9 têtes, donc : x + y = 9 Les poules ont deux pattes. Les lapins ont 4 pattes. Comme il y a au total 1 pattes : x + 4y = 1 Les poules ont deux pattes. Les x poules ont donc au total x pattes. Les lapins ont quatre pattes. Les y lapins ont donc au total 4y pattes. 68 Cned, Mathématiques e

74 69 Séquence 9 Pour déterminer x et y, on est amené à résoudre le système : x+ y = 9 x+ 4y = 1 Résolvons-le par la méthode par combinaison. On multiplie les deux membres de la première égalité par. (x+ y)= 9 x+ 4y = 1 Ainsi, le coefficient de x dans la première équation sera. Lorsqu on ajoutera membre à membre les deux équations, on obtiendra une équation sans x. x y = 78 x+ 4y = 1 J additionne membre à membre les deux égalités. J obtiens : x y + x+ 4y = y = 44 y = Je remplace y par dans la première égalité. J obtiens : x + = 9 D où : x = 17 Je vérifie : Si x = 17 et y = x + y = 17 + = 9 x + 4y = = = 1 Je conclus : Dans la ferme du père de Quentin, il y a : 17 poules et lapins On aurait pu résoudre le système par substitution, en procédant ainsi, par exemple : x + y = 9 x + 4y = 1 x = 9 y (9 y)+ 4y = 1 78 y + 4y = y = 1 y = 1 78 y = 44 y = En remplaçant y par dans la première équation, on obtient : x + = 9 x = 17 On vérifie alors, comme avec la première méthode de résolution. Cned, Mathématiques e 69

75 70 Séquence 9 x+ y= 9 x+ 4y= 1 y= x+ 9 4y= 1 x y= x+ 9 1 y= x 4 4 y= x+ 9 x 61 y= + Représentons graphiquement, avec Geogebra, les fonctions affines f et g définies par : f(x) = x + 9 et g(x) = x + 61 Pour résoudre graphiquement le système ci-contre, on applique la propriété vue précédemment : il suffit de représenter graphiquement deux fonctions affines et de déterminer les coordonnées du point d intersection de leurs représentations graphiques. Les coordonnées (17 ; ) du point d intersection des deux droites sont le couple solution du système d équations. 70 Cned, Mathématiques e

76 71 Séquence 9 EXERCICE 6 Dans les triangles OMN et ORP : M (OR) N (OP) (MN) // (RP) Séance On pense à appliquer la propriété de Thalès. D après la propriété de Thalès, on a : OM ON MN = = OR OP RP D où : OM = MN soit : OR RP x 4 = x On a donc l égalité des produits en croix : 11 x = 4 (x + 5) D où : 11x = 4x + 0 soit : 7x = 0 x = 0 7 y = x + 5 = = + = On calcule ensuite y en utilisant la relation : y = x + 5. Conclusion : x = 0 7 et : y = ) y = x + 5 Dans les triangles OMN et ORP : M (OR) N (OP) (MN) // (RP) ) On applique la propriété de Thalès. D après la propriété de Thalès, on a : OM ON MN = = OR OP RP D où : OM = MN soit : OR RP x 4 y = 11 On a donc l égalité des produits en croix : 11x = 4 y D où : 11x 4y = 0 c) Cned, Mathématiques e 71

77 7 Séquence 9 c) y= x+ 5 Je résous le système : 11x 4y= 0 x+ y= 5 ( c est-à-dire : 11x 4y= 0 () Je multiplie les deux membres de l équation ( par 11 : 11 ( x+ y) = x 4y= 0 D où : 11x+ 11y= 55 11x 4y= 0 J additionne membre à membre les deux équations. 11x + 11y + 11x 4y = D où : 7y = 55 donc : y = Je remplace y par 55 dans l équation (. J obtiens : x+ = 5 d où : x= soit : x= = D où : x= 7 Je vérifie 0 Si x= et y = x + 5 = + 5= + = = y x 4y = 11 4 = = Je conclus 0 55 ; est le couple solution du système : 7 7 y= x+ 5 11x 4y= 0 D où : x = 0 et : y = Cned, Mathématiques e

78 7 Séquence 9 EXERCICE 7 Deux droites peuvent : n avoir aucun point d intersection (lorsqu elles sont parallèles), avoir un seul point d intersection (lorsqu elles sont sécantes), avoir une infinité de points d intersection (lorsqu elles sont confondues).... x+... y=... Un système du type peut donc :... x+... y=... n avoir aucune solution, avoir un seul couple solution, tous les couples comme couples solutions. x+ y= 0 Exemple de système n ayant aucune solution : x+ y= 1 Exemple de système ayant tous les couples comme couples x+ y= 0 solutions : x+ y= 0 EXERCICE 8 Je nomme a le coefficient de y cherché. Pour résoudre cet exercice, il suffisait de penser à remplacer x par et y par 1 pour déterminer les nombres manquants! On a : x + a y = 10 Comme ( ; est le couple solution du système, alors on a : + a ( = 10 D où : a = 10 D où : a = 10 Donc : a = 7. Je nomme b le coefficient de x cherché. On a donc : b x y = 9 Comme ( ; est le couple solution du système, alors on a : b ( = 9 D où : b + = 9 D où : b = 6 Donc : b = Le système est donc x y = 10 x 7 y = 9. Cned, Mathématiques e 7

79 74 Séquence 9 EXERCICE 9 Soit x le prix en de l entrée pour un enfant et y le prix en de l entrée pour un adulte. Un premier groupe de 5 enfants et de adultes paie en tout 114 donc : 5x + y = 114 Un deuxième groupe de 7 enfants et de adultes paie en tout 10 donc : 7x + y = 10 5x+ y= 114 Je résous donc le système :. 7x+ y= 10 Je multiplie les deux membres de la 1 ère équation par et les deux membres de la ème par. J obtiens : (5x+ y) = 114 (7x + y) = 10 D où : 10 x+ 6y= 8 1x+ 6y= 60 Je soustrais membre à membre la ème équation de la 1 ère. J obtiens : 10x + 6y (1x + 6y) = x + 6y 1x 6y = 1 11x = 1 1 x= 11 x = 1 Je remplace x par 1 dans la 1 ère équation : y = y = 114 y = y= y = 18 Je vérifie Si x = 1 et y = 18 5x + y = = = 114 7x + y = = = 10 Je conclus Le prix pour un enfant est 1, et pour un adulte Cned, Mathématiques e

80 75 Séquence 9 EXERCICE 10 Séance 4 J ai demandé à l ordinateur de calculer systématiquement pour chaque entier de 1 à 50, son double plus 7, puis son triple moins 6. Je remarque alors que le double de 1 plus 7 est égal au triple de 1 moins 6. 1 est peut-être le nombre auquel Aurélie a pensé (je dis : «peut-être», car il y a peut-être plusieurs nombres dont la somme du double et de 7 est égale à la différence du triple et de 6). ) x est le nombre à deviner. La somme de son double et de 7 est x + 7. La différence de son triple et de 6 est x 6. Je cherche un nombre x tel que : x+ 7= x 6 x x= 6 7 x= 1 x= 1 ) La plus grosse difficulté, dans ce type de problème, c est traduire l énoncé à l aide de l inconnue. Ensuite, il ne reste «plus qu à» résoudre une équation! Il existe un seul nombre dont la somme du double et de sept est égale à la différence de son triple et de 6. Ce nombre est 1. Le nombre auquel Aurélie a pensé est donc 1. Cned, Mathématiques e 75

81 76 Séquence 9 EXERCICE 11 Soit x le nombre de poules à acheter (c est aussi le nombre de canards à acheter). Si on achète x poules et x canards, le nombre total de poules est : 0 + x le nombre total de canards est : 8 + x. On cherche x tel que le nombre total de poules soit fois le nombre total de canards, c est-à-dire tel que : 0+ x= (8 + x) 0+ x= 4+ x x x= 4 0 x= 6 6 x= x= Pierre doit répondre à son père qu il doit acheter poules et canards. Pense à vérifier ta réponse au brouillon. Cela peut t éviter des erreurs. Si le père de Pierre achète poules et canards, il possédera alors 0 + (soit ) poules et 8 + (soit 1 canards. Comme : = 11, il possédera bien alors, trois fois plus de poules que de canards. EXERCICE 1 La somme des coefficients est : soit 16. Je nomme x la note de SVT d Andry. On se souvient que pour calculer une moyenne pondérée, on calcule la somme de chaque valeur multipliée par son effectif (ici, l effectif est le coefficient), puis on divise le tout par l effectif total (ici, la somme des coefficients). La moyenne d Andry est égale à 1,75, d où : x = 1, x = 1, x = 1, x= 1, x= x= 6 x= Cned, Mathématiques e

82 77 Séquence 9 Andry a obtenu 18 sur 0 en SVT. Cned, Mathématiques e 77

83 78 Séquence 9 EXERCICE 1 Soit x le nombre total de livres de Quentin. Le tiers des livres (soit x ) sont des romans. Séance 5 On cherche à exprimer le nombre de livres de chaque sorte en fonction de x. Les deux septièmes des livres (soit x ) sont des BD. 7 Le quart des livres (soit 4 x ) sont des polars. On a : x x + x+ + = x 7 4 x x + x+ x= x = x + + = x = x= 11 x= 168 On résout ensuite une équation. Quentin possède 168 livres. EXERCICE 14 Je n arrive pas à faire la figure dynamique. D intuition, je dirais que la somme des aires A et A est égale à la moitié de l aire A 1 quand le point M est le milieu du segment [AC]. ) On va voir par la suite que cette intuition est la bonne! ) Si tu n arrives pas à comprendre comment construire cette figure dynamique, ouvre le fichier sequence9exercice14 à l aide de Geogebra, va dans le menu «Affichage» puis sélectionne «navigation dans les étapes de construction». 78 Cned, Mathématiques e

84 79 Séquence 9 Il semble que la somme des aires A et A est égale à la moitié de l aire A 1 quand le point M est le milieu du segment [AC]. ) L aire du disque de diamètre [AM] est : π x. MC = 10 x L aire du disque de diamètre [MC] est : 10 x π. La moitié de l aire du disque de diamètre [AC] est π 5 soit 5π. Le problème peut se traduire à l aide de l équation : ) Le disque de diamètre [AM] a pour rayon x. aire d un disque de rayon R : π R² M [AC] donc MC = AC AM = 10 x 10 x Le disque de diamètre [MC] a pour rayon. c) x 10 x 5 π π +π = x 10 x 5π π +π = x (10 x) 5π π + π = 4 4 x (10 x) 5 + = 4 4 x (10 x) = x + (10 x) = 50 x x+ x = 50 x x+ x = 50 x x 0x+ 50= 0 x 0x = x 10x+ 5= 0 x 5+ 5 = 0 ( x ) 5 = 0 On peut se ramener à une équation sans lettre π en utilisant la propriété : «On ne change pas l ensemble des solutions d une équation en divisant ses deux membres par un même nombre non nul». Afin de se ramener à une équation qui ne comporte pas de dénominateur, on utilise la propriété : «On ne change pas l ensemble des solutions d une équation en multipliant ses deux membres par un même nombre non nul». Résoudre l équation produit : ( x 5) = 0 revient à résoudre : x 5 = 0 d où : x = 5 Cned, Mathématiques e 79

85 80 Séquence 9 La somme des aires A et A est égale à la moitié de l aire A 1 uniquement quand le point M est le milieu du segment [AC]. EXERCICE 15 c) 4x (x 5) = x+ (4 x) 4x 6x+ 10= x+ 1 6x 4x 6x+ 6x x= 1 10 x x= x = x 4 4= + x 5 x 4 x= x= x= 5 4 x= 5 48 x= 5 x x + 6x= 9 + 6x+ 9= 0 + x + = 0 ( x+ ) = 0 x+ = 0 x = On ne voit rien d autre à faire, pour commencer, que de développer les deux membres. obtenu en multipliant les deux membres de la précédente 1 équation par l inverse de soit c est-à-dire. 1 c) Un carré est un produit, donc l équation ci-contre est une équation produit. 80 Cned, Mathématiques e

86 81 Séquence 9 EXERCICE 16 Séance 6 J ai calculé le périmètre du triangle ADE et du rectangle ABCD pour différentes valeurs de x : ; 7 ; 11 ; 0. Pour x égal à et 7, j ai remarqué que le périmètre du triangle était plus petit que celui du rectangle. Pour x égal à 11 et 0, j ai remarqué que le périmètre du triangle était plus grand que celui du rectangle. Il semblait se passer quelque chose entre 7 et 11. ) Je suis amené à faire la conjecture suivante : «Le périmètre du triangle équilatéral est inférieur à celui du rectangle lorsque x est inférieur à 8». ) Le périmètre du rectangle ABCD est : (x + 4) Le périmètre du triangle ADE est : x Tu aurais pu essayer de calculer le périmètre du triangle et du rectangle pour x égal à 8 ; 9 ;10, puis faire une conjecture. ) ) La question posée se traduit par l équation : x = ( x +4) x = x +8 x x = 8 x = 8 Ainsi, c est seulement lorsque : x = 8 cm, que le périmètre du triangle équilatéral ADE est égal à celui du rectangle ABCD. 4) x < x + 8 donc x x < x + 8 x soit x < 8 On vient donc de prouver que c est seulement lorsque x vérifie : x < 8 que le périmètre du triangle équilatéral ADE est plus petit que celui du rectangle ABCD. 4) On a retranché x aux deux membres de l inégalité. 5) f(x) = ax avec a = donc f est une fonction linéaire. Sa représentation graphique est une droite C f passant par l origine du repère. f(4) = 4 donc f(4) = 1 Ainsi : K(4 ; 1) C f C f est la droite (OK). Cned, Mathématiques e 81

87 8 Séquence 9 g(x) = cx + d avec c = et d = 8 g est donc une fonction affine. Sa représentation graphique est une droite C g L ordonnée à l origine de C g est 8. D où : L(0 ; 8) C g g() = + 8 donc g() = 14 Ainsi : P( ; 14) C g. C g est la droite (LP). Pour x > 0, f(x) représente le périmètre du triangle ADE, g(x) représente celui du rectangle ABCD. Résoudre graphiquement le problème posé revient donc à chercher pour quelles valeurs de x strictement positives on a : f(x) < g(x) c est-à-dire lorsque C f se trouve «sous» C g. On constate que c est le cas lorsque : 0 < x < 8. 8 Cned, Mathématiques e

88 8 Séquence 9 EXERCICE 17 Séance 7 C est vrai. 5 0 = est supérieur ou égal à 4. est une solution de l inéquation : 5x 4. C est faux = 5 On a bien : est donc une solution de l inéquation : 4x Attention! Pour répondre à la question posée, il n y a qu une seule méthode : calculer 5x pour x = 0 et comparer le résultat obtenu à 4. En revanche, il existe d autres solutions, par exemple 0. En effet, on a : = 1 et 1 5. c) C est faux. 0 est une solution entière de l inéquation. 7 0 En effet : = 0 = et < 5. EXERCICE 18 c) c) x< 5 x 5 < 5 x< 4x> 4x > x> x< 7 x 7 > 7 x> On peut diviser par un même nombre positif non nul les deux membres d une inégalité, sans changer le sens de l inégalité. c) Attention! On peut diviser par un même nombre négatif non nul les deux membres d une inégalité, à condition de changer le sens de l inégalité Cned, Mathématiques e 8

89 84 Séquence 9 EXERCICE 19 Je calcule le volume V 1 du premier solide Pavé droit «du dessous» : 5 5 soit 450 cm. Pavé droit «du dessus» : h soit 5 h cm. volume d un pavé droit = longueur largeur hauteur V 1 = h Je calcule le volume V du deuxième solide Cylindre «du dessous» : 17,5 π cm soit 61,5π cm. Cylindre «du dessus» : 10 π h cm soit 100 hπ cm. volume d un cylindre = aire de base hauteur aire d un disque de rayon R : πr² V = 61,5π hπ On cherche h tel que : V 1 < V h < 61,5π hπ ,5π < h (100 π 5) Comme 100π 5 > ,5π h> 100π 5 Andry doit choisir une hauteur en cm supérieure à ,5π. 100π 5 EXERCICE 0 Soit x le nombre cherché. Le triple de la somme du double de x et de 5 est : (x + 5) ,5π La troncature au millième de est 5,897 donc si 100π 5 Andry choisit h supérieure à 5,9 cm, il obtiendra un solide dont le volume sera inférieur à celui du second. La différence entre le double de x et est : x. Le nombre x cherché est tel que : (x+ 5) x 6x+ 15 x 6x x 15 4x 18 4x x 4,5 Pour mettre en évidence sur la représentation graphique que 4,5 appartient à l ensemble des solutions, on utilise un crochet : On le tourne vers les solutions pour exprimer que 4,5 est une solution de l équation. 84 Cned, Mathématiques e

90 85 Séquence 9 EXERCICE 1 Soit x le nombre de calendriers vendus. Le prix d impression de ces calendriers est : ,5x Le bénéfice en de la mère de Pauline est : 4x (50 + 1,5x) c est-à-dire : 4x 50 1,5x soit :,5x 50 On cherche le nombre de calendriers vendus pour que le bénéfice soit au moins de 50. On cherche donc à résoudre l inéquation :,5x 50 50,5x ,5x 00,5,5 x 10 Au moins 50, cela veut dire 50 ou plus. C est pour cela que l on utilise une inégalité au sens large (supérieur ou égal à). La mère de Pauline doit vendre au moins 10 calendriers pour faire un bénéfice minimum de 50. Représentation graphique des solutions de l inéquation (en orange) : Quand on représente graphiquement les solutions, on n est pas obligé de représenter les hachures : il faut surtout préciser quel est l ensemble des solutions (ici, écrire que les solutions sont représentées en orange) et placer correctement le crochet. EXERCICE Soit x un nombre. Le différence de et de ce nombre est : x On commence par déterminer par le calcul les solutions du problème. Le double de la différence de 9 et de ce nombre est : (9 x) On cherche x tel que : x (9 x) x 18 x x+ x 18 x 15 Représentation graphique des solutions de l inéquation (en orange) : On n a pas besoin de représenter des hachures : il faut surtout écrire quel est l ensemble des solutions (ici, écrire que les solutions sont représentées en orange) et placer correctement le crochet. Cned, Mathématiques e 85

91 86 Séquence 9 EXERCICE Soit x le nombre choisi au départ. Soit f(x) le nombre obtenu en appliquant à x le programme de calcul 1 : f(x) = 4x + 6. Soit g(x) le nombre obtenu en appliquant à x le programme de calcul : g(x) = 6x 5. f(x) = ax + b avec a = 4 et b = 6 g(x) = cx + d avec c = 6 et d = 5 Séance 8 Programme de calcul 1 à partir d un nombre x. Je choisis un nombre x. Je le multiplie par 4. J obtiens 4x. J ajoute 6 au résultat. J obtiens 4x + 6. Programme de calcul à partir d un nombre x. Je choisis un nombre x. Je le multiplie par 6. J obtiens 6x. Je retranche 5 au résultat. J obtiens 6x 5. f et g sont donc des fonctions affines. Chacune a donc une droite pour représentation graphique. Soit C f la droite représentative de f et C g celle de g. L ordonnée à l origine de C f est 6 donc C f passe par le point A(0 ; 6). f() = soit f() = 18 donc B( ; 18) C f g( = soit g( = 1 donc E(1 ; C g g(5) = soit g(5) = 5 donc F(5 ; 5) C g C f et C g se coupent en P. Graphiquement, je trouve que l abscisse de P est 5,5. Répondre à la question posée, c est résoudre graphiquement : f(x) < g(x). La courbe C f est seulement «en dessous» de la courbe C g pour x > 5,5. Graphiquement, le résultat du programme de calcul 1 est donc inférieur au résultat du programme de calcul pour x > 5,5. 86 Cned, Mathématiques e

92 87 Séquence 9 ) Résoudre le problème, c est résoudre l inéquation : 4x+ 6< 6x 5 4x 6x< 5 6 x< 11 x 11 > x> 5,5 ) Attention! On change le sens de l inéquation vu qu on divise les deux membres par un nombre négatif. Le résultat du programme de calcul 1 est seulement inférieur au résultat du programme de calcul pour x > 5,5. Représentation graphique des solutions (en orange) : EXERCICE 4 x+ 1 7 x 8 x 4 7x < x 5 7x x< 5+ 5x< x< 5 x< 0,6 x x x> 1 x> x> 1,5 Cned, Mathématiques e 87

93 88 Séquence 9 EXERCICE 5 y+ 7 6 y+ 7 6 y+ 7 1 y 1 7 y 5 5 y Afin de se ramener à une inéquation qui ne comporte pas de dénominateur, on multiplie les deux membres de l inéquation par. EXERCICE 6 Non, une inéquation n a pas toujours au moins une solution. L inéquation : x < 0 par exemple n admet aucune solution car le carré d un nombre est toujours positif ou nul. On peut trouver une multitude d exemples d inéquations qui n ont pas de solution. L inéquation : 0 x > 7 par exemple, n a pas de solution. En effet, quel que soit x on a : 0 x = 0 On ne peut donc pas trouver de nombre x tel que : 0 x > 7 EXERCICE 7 J ai fait quelques tests. Pour x = on a : (x + ) = ( + ) = 0 = 0 x = ( ) = 9 Le nombre (x + ) peut donc être inférieur à x. ) J ai représenté les deux fonctions. 88 Cned, Mathématiques e

94 89 Séquence 9 Je déplace le point rouge. Je remarque que pour une même abscisse x, le point de la courbe verte a son ordonnée plus petite que celui de la courbe bleue, quand x est inférieur à 1,5 environ. Ainsi, graphiquement, il semble que le nombre (x + ) soit inférieur à x uniquement quand x est inférieur à environ 1,5. «environ 1,5» car les valeurs qui s affichent sur l écran comme abscisses du point rouge sont des valeurs approchées ) ( ) x+ < x x + x + < x x + 6x+ 9 x < 0 6 x + 9 < 0 6 x + 9 < 0 6x< 9 9 x< 6 x < 1,5 Le nombre (x + ) est inférieur à x uniquement quand x est inférieur à 1,5. On retrouve par le calcul ce que l on avait observé graphiquement. Cned, Mathématiques e 89

95 90 Séquence 9 EXERCICE 8 Soit x le nombre de timbres de Clément. Le nombre de timbres de Nadia est x + 9. Le nombre de timbres de Thomas est x 5. A eux trois, Clément, Nadia et Thomas ont 40 timbres, donc : x + ( x + 9) + ( x 5) = 40 x+ 4 = 40 x = 6 x = 1 Clément a donc 1 timbres. Nadia en a soit 1. Thomas en possède 1 5 soit 7. Vérification : Le nombre total de timbres des trois enfants est : = 40 Séance 9 On pouvait aussi appeler x le nombre de timbres de Thomas, ou le nombre de timbres de Nadia. Selon le choix de x qu on fait, on est amené à résoudre des équations différentes. Si l on choisit d appeler x le nombre de timbres de Thomas, alors Clément en possède : x + 5, Nadia en a : x (soit x + 14). Comme il y a 40 timbres au total, x vérifie alors : x + (x + 5) + (x + 14) = 40 soit x + 19 = 40 Si l on choisit d appeler x le nombre de timbres de Nadia, alors Clément en possède : x 9 Thomas en a : x 9 5 = x 14. Comme il y a 40 timbres au total, x vérifie alors : x + (x 9) + (x 14) = 40 soit x = 40 EXERCICE 9 1 x+ 7< x x x< x< x< x< x< ( x< 5 On multiplie les deux membres par l inverse de soit par Représentation graphique des solutions (en orange) : 90 Cned, Mathématiques e

96 91 Séquence 9 JE M ÉVALUE a pour couple solution (5 ; 4) a pour couple solution ( 5 ; 4) a pour couple solution (4 ; 5) n a aucun couple solution 4( x+ y ) = 4 ( 4x+ y ) = 1 1x 8 y= 8 1x+ 9 y= Ajoutons membre à membre les deux dernières équations. On obtient : 1x 8 y+ 1x + 9 y= 8+ y = 5 On remplace y par 5 dans l une des deux équations, par exemple la 1 ère. On obtient : x + ( 5) = soit x 10 = c est-à-dire : x = 4. ) 7 fois 1 fois 11 fois On ne peut pas le savoir On peut résoudre l exercice en résolvant un système. Cependant, comme il est indiqué ci-dessous, on peut se ramener à la résolution d une équation à une seule inconnue. Soit n le nombre de fois où la pièce est tombée sur face. Comme Pierre a lancé 0 fois la pièce, elle est tombée 0 n fois sur pile. Le nombre de points gagnés quand la pièce est tombée sur pile est (0 n). Le nombre de points perdus quand la pièce est tombée sur face est 4 n. ) 4),5,5 4,5 4, , Le nombre de points gagnés étant égal à 11, on a : (0 n) 4 n = n 4 n = 11 ; 7 n = ; 7 n = 49 ; n = 7 4x (x + )= 5x +7 4x x = 5x +7 4x x 5x = 7 + x = 9 9 x = x = 4, x+ = x x+ = x x x= x= x= x= 8 x= 8 7 Cned, Mathématiques e 91

97 9 Séquence 9 5) 6) 0 x 1 x 1 x 1,8 x 0, Soit x le nombre auquel a pensé Noémie. La moitié de sa somme et de 1 est égale au triple de la différence de ce nombre avec 17. On a donc : x +1 = (x 17) x +1 = (x 17) x +1 = 6(x 17) x +1 = 6x 10 x 6x = x = x = 5 x = 7x 4 5 x 7x + x x 9 x 1 7) 8) x = 4 cm x = cm x = cm x = 1 cm Les quadrilatères ADEF et FGCB ont la même aire. Résoudre le problème revient donc à chercher pour quelles valeurs de x l aire du rectangle ABCD est égale à trois fois celle du triangle EFG. L aire en cm² du rectangle ABCD est : 6 = 18 L aire en cm² du triangle EFG est : coté hauteur relative EG BC ( 6 x ) ( x ) = = = = ( x) soit 9 x Résoudre le problème c est donc chercher x qui vérifie : 18 = (9 x) 18 7 = 9x ; 9 = 9x ; x = 1 x> 1 7x x +7x> 1 10x> 1 x> 1, 9) vrai faux On ne peut pas savoir 10) vrai faux On ne peut pas savoir Pour prouver que c est faux, il suffit de donner un exemple de nombre plus petit que dont l inverse n est pas inférieur à 1 (on appelle cela : «un contre-exemple») On a : < L inverse de est 1 ; celui de est 1. On a : 1 > 1. On a : < L opposé de est. On a : > n est donc pas inférieur à. 9 Cned, Mathématiques e