SÉQUENCE 7 FONCTIONS LINÉAIRES ET AFFINES. f(0)= = = 4.

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1 196 Séquence 7 SÉQUENCE 7 FONCTIONS LINÉAIRES ET AFFINES Ce que tu devais faire Les commentaires du professeur Séance 1 JE RÉVISE LES ACQUIS DE LA 4 e L image de 0 par la fonction f est le nombre f(0). Pour calculer f(0), on remplace x par 0 dans l égalité : f(x) = 5x + 4. f(0)= = = 4. ) ,8 ) ) f(4) = = 4 f(5) = = 9 f(0) = = 4 f( 0,8) = 5 ( 0,8) + 4 = = 0. Parmi les quatre nombre proposés, seul 0,8 est un antécédent de 0 par f. On peut prouver que 0,8 est le seul antécédent de 0 par f en résolvant l équation : f(x) = 0 5x + 4 = 0 5x = 4 x = 4 5 = 0,8 ) ,5 7, On peut chercher s il existe un nombre a tel que : a = 4,5 5 a = 7,5 8 a = 1 10 a = 15 0 a = 0 On voit que a = 1,5 convient. On peut aussi comparer les quotients : 4, 5 7, = = = = = 1, On peut passer de chaque nombre de la ligne du dessus à celui juste en dessous en multipliant par 1,5. Le tableau est donc un tableau de proportionnalité Attention : on ne peut pas utiliser la méthode utilisant la comparaison des quotients 1,, car le premier quotient «1 divisé par 0» ne peut pas se calculer! Il n existe aucun nombre qui multiplié par 0 donne 1. Le tableau n est donc pas un tableau de proportionnalité. 196 Cned, Mathématiques e

2 197 Séquence 7 4) 1,19 g , 0,67 1 1, Attention : là aussi, on ne peut pas utiliser la méthode de comparaison des quotients 1 1,, car le premier quotient «0 divisé par 0» ne peut pas se calculer! Par contre, il existe un nombre a tel que : 0 a = 0 1 a = 1 a = a = 4 a = 4 Le nombre a est égal à 1. Le tableau est donc un tableau de proportionnalité. Attention : là aussi, on ne peut pas utiliser la méthode de comparaison des quotients 0, 0, 67,, car le premier 1 quotient «0 divisé par 0» ne peut pas se calculer! 1 0, = 0, Si ce tableau est un tableau de proportionnalité, son coefficient est égal à 0,. Or on a : 0, = 0,66. On ne trouve pas 0,67. Le tableau n est donc pas un tableau de proportionnalité. 4) 119 g environ 97 g 5 Calculer 5 % de 40, c est calculer : = 0, 5 40= % EXERCICE 1 Je regarde si les grandeurs masse et énergie semblent proportionnelles : = = = = L énergie cinétique de chacun des véhicules s obtient en multipliant la masse du véhicule par 00. Les grandeurs masse et énergie semblent proportionnelles. Les commentaires du professeur : On pouvait aussi rassembler ces données dans un tableau et regarder si ce tableau était un tableau de proportionnalité. Le tableau est un tableau de proportionnalité donc les grandeurs semblent proportionnelles. Pour être sûr que ces deux grandeurs sont proportionnelles, il faudrait tester non pas 4 valeurs de chacune des grandeurs, mais toutes les valeurs. On ne peut donc dire que : «ces deux grandeurs semblent proportionnelles». Cned, Mathématiques e 197

3 198 Séquence 7 ) Le produit de la masse du véhicule en kg par 00 est égal à son énergie cinétique en J, d où : f(x) = 00x. La fonction f est linéaire. Son coefficient est 00. c) Andry a raison : le tableau est bien un tableau de proportionnalité de coefficient 00. Le coefficient du tableau est égal au coefficient de la fonction linéaire et c est normal : dans les deux cas, c est le nombre qui multiplié par la masse d un véhicule en kg donne son énergie cinétique. d) Je sais que la représentation graphique d une fonction linéaire est une droite qui passe par l origine. La masse x en kg d un véhicule est positive ou nulle, donc la représentation graphique C f de la fonction f est une demi-droite d origine O, l origine du repère. Je déduis de l énoncé que le point A (par exemple) de coordonnées (50 ; ) est un point de cette demidroite. Je trace donc C f : c est la demi-droite [OA). Les commentaires du professeur : Si on place sur le graphique les points de coordonnées (75 ; ), (150 ; 0 000), (1 100 ; 0 000), on remarque que ces point semblent sur la demi-droite [OA). C était prévisible : la représentation graphique de la fonction linéaire f est l ensemble de tous les points de coordonnées (x ; f(x)) c est-à-dire (0 ; 00x) avec x 0. Ces points appartiennent donc à [OA). 198 Cned, Mathématiques e

4 199 Séquence 7 Si on utilise Geogebra, on tape : «f(x)=00x». La représentation graphique de la fonction (une droite qui passe par l origine) s affiche alors. On ne la voit cependant pas très bien car l échelle n est pas très adaptée. Regarde l animation sequence7exercice1corrige pour voir comment changer d échelle. ) D après le graphique de la page précédente, l énergie cinétique d un véhicule de 700 kg qui roule à la même vitesse que les véhicules d essais est joules. D après le graphique de la page précédente, un véhicule qui roule à la même vitesse que les véhicules précédents, et dont l énergie cinétique est joules a une masse de 500 kg. ) On cherche graphiquement l image par la fonction f de 700. On cherche graphiquement un antécédent par la fonction f de ) énergie cinétique d un véhicule de 700 kg : On cherche f(700). f(700) = = L énergie cinétique de ce véhicule est bien joules. masse d un véhicule d énergie cinétique joules : On cherche x tel que : f(x) = Autrement dit tel que : 00 x = D où : x = = La masse de ce véhicule est 500 kg. 4) On cherche à l aide d un calcul l image par la fonction f de 700. On cherche à l aide d un calcul un antécédent de par la fonction f. Cned, Mathématiques e 199

5 00 Séquence 7 EXERCICE f : x x f(7) = 7 = 1 c) x f(x) ) On obtient chaque nombre de la ème ligne en multipliant le nombre qui se trouve juste au-dessus de lui par. Ce tableau est donc un tableau de proportionnalité de coefficient. On peut également écrire : f est définie par : f(x) = x. Il suffit de remplacer x par 7 dans l égalité : f(x) = x. c) f( 5) = ( 5) = 15 f( ) = ( ) = 9 f(0) = 0 = 0 f( = 1 = f(4) = 4 = 1 f(7) = 1 ) Dans ce cours, on a appelé coefficient de proportionnalité d un tableau de proportionnalité le nombre qui, multiplié par chaque nombre de la ligne du dessus, permet d obtenir le nombre du tableau qui se trouve juste au dessous. Les deux coefficients sont égaux. ) Pour les valeurs positives de x, la fonction qui à x associe x est la fonction qui au côté x d un triangle équilatéral associe son périmètre. ) Le périmètre d un triangle équilatéral de côté x est x + x + x soit x. EXERCICE La fonction f est linéaire car elle est définie par la relation : f(x) = ax avec a = 7. Son coefficient est 7. La fonction g n est pas linéaire car x + ne peut pas s écrire sous la forme ax. c) La fonction h est linéaire car elle est définie par la relation : h(x) = ax avec a =. Son coefficient est. d) La fonction i n est pas linéaire car x ne peut pas s écrire sous la forme ax. e) La fonction j est linéaire car elle est définie par la relation : j(x) = ax avec a = 4. Attention! x + n est pas égal à 5x. x + ne peut pas s écrire sous la forme ax car par exemple : pour x = 0 x + = 0 + = ax = a 0 = 0 x + et ax ne sont pas égaux pour x = 0. c) d) Attention! On ne peut pas prendre la valeur x pour a. Le nombre a ne doit pas dépendre de x. e) Son coefficient est 4. f) k(x) = 5(x ) + 15 = 10x = 10x La fonction k est linéaire car elle est définie par la relation : k(x) = ax avec a = 10. f) On développe 5(x ) + 15 et on regarde si l on obtient un résultat de la forme ax. C est le cas, donc la fonction k est linéaire. 00 Cned, Mathématiques e

6 01 Séquence 7 EXERCICE 4 La fonction f est définie par : f(x) = 5 x. Séance On pouvait aussi écrire : f : x 5x ) f(,5) = 5 (,5) = 1, f = 5 = f(5) = 5 5 = 5 f( = 5 1 = 5 f(,6) = 5,6 = 18 EXERCICE 5 On ne peut pas en trouver : l image de 0 par une fonction linéaire est toujours 0. On peut définir une fonction linéaire f par l égalité : f(x) = ax où a est un nombre donné. On a donc : f(0) = a 0 = 0 On pouvait également raisonner à l aide de la représentation graphique d une fonction linéaire : c est une droite qui passe par l origine, donc l image de 0 est 0. On peut également penser à un tableau de proportionnalité qui comporte des valeurs de x sur une ligne (dont 0), et les valeurs de f(x) correspondantes sur la ligne du dessous. Comme ce tableau est un tableau de proportionnalité, le nombre qui se trouve au dessous de 0 est 0. EXERCICE 6 Les fonctions linéaires f et g sont telles que : f : x x g : x 4 x. Chercher les antécédents (s il en existe) de 6 par f, c est chercher les nombres x tels que : x= 6 6 x= x= est l unique antécédent de 6 par f. On peut encore dire : 6 admet un unique antécédent par f qui est. Cned, Mathématiques e 01

7 0 Séquence 7 Chercher les antécédents (s il en existe) de 9 par f, c est chercher les nombres x tels que : x= 9 9 x= x= est l unique antécédent de 9 par f. Chercher les antécédents (s il en existe) de 6 par g, c est chercher les nombres x tels que : 4 x= 6 x= x= = 9 4 est l unique antécédent de 6 par g. Chercher les antécédents (s il en existe) de 9 par g, c est chercher les nombres x tels que : 4 x= 9 x= ( 9) 4 7 x= 4 7 est l unique antécédent de 9 par g. 4 ) Dans les cas précédents, les nombres 6 et 9 ont un unique antécédent par chacune des fonctions linéaires. Autrement dit : 9 admet un unique antécédent par f qui est. Comme 9 = 4,5 on pouvait encore répondre : 6 admet un unique antécédent par g qui est 4,5. 7 Comme = 6,75 on pouvait également répondre : 4 9 admet un unique antécédent par g qui est 6,75. Voici ma conjecture : «Tout nombre a un antécédent et un seul par une fonction linéaire». Soit une fonction linéaire f. On a : f(x) = ax Je cherche les antécédents éventuels d un nombre t par la fonction f. Je cherche donc les nombres x tels que : a multiplié par x est égal à ce nombre t. Si a est différent de 0, le nombre t a un seul antécédent : x = t a Par une fonction linéaire f (sauf la fonction nulle), tout nombre a un unique antécédent. On ne peut diviser par a lorsque a est égal à 0. Si a est égal à 0, la fonction f est telle que pour tout x : f(x) = 0. f est appelée la «fonction nulle». Dans ce cas, tous les nombres ont pour image 0 par f. Ainsi, 0 a une infinité d antécédents. Par contre, un nombre non nul (comme 7, par exemple), n en a pas. 0 Cned, Mathématiques e

8 0 Séquence 7 EXERCICE 7 Une fonction linéaire f est définie par : f(x) = ax. On a : f(4) = 4 donc : a 4 = 4. D où : a = 6. Il existe une seule fonction linéaire pour laquelle l image de 4 est 4, c est la fonction définie par : f : x 6x. Une fonction linéaire g est définie par : g(x) = ax. On a : g(,5) = 0 donc : a (,5) = 0. D où : a = 0 = 8.,5 Il existe une et une seule fonction linéaire pour laquelle l image de,5 est 0, c est la fonction définie par : g : x 8x. c) Une fonction linéaire f est définie par : f(x) = ax. On a : f(c) = d donc : ac = d Comme c 0, on a : a = d c. Il existe une et une seule fonction linéaire pour laquelle l image de c est d, c est la fonction définie par : f : x d c x. On cherche à déterminer l expression d une fonction linéaire f telle que : f(4) = 4. On cherche à déterminer l expression d une fonction linéaire g telle que : g(,5) = 0. c) On cherche à déterminer l expression d une fonction linéaire f telle que : f(c) = d. Cned, Mathématiques e 0

9 04 Séquence 7 EXERCICE 8 La fonction q est définie par : q(x) = 5x. Comme q(x) est de la forme ax avec a = 5, q est une fonction linéaire. Sa représentation graphique est donc une droite qui passe par l origine. Le coefficient de la fonction linéaire q est 5. Pour tracer cette droite, il suffit donc de connaître les coordonnées d un autre point de la représentation graphique. Je calcule f(. f( = 5 1 = 5 Le point de coordonnées (1 ; 5) est donc un point de la représentation graphique de q. On peut choisir de calculer l image de n importe quel nombre non nul. Généralement, on choisit un nombre pour lequel les calculs sont simples, et qui permette de placer le point sur sa feuille. On aurait par exemple pu choisir de calculer f(4). f(4) = 5 4 = 0. Le point de coordonnées (4 ; 0) est un point de la représentation graphique. On pourrait le placer, mais il faudrait choisir une autre unité de longueur sur les axes. 5 Si un point de coordonnées (x ; y) se trouve sur la représentation graphique de q, alors on a : y = q(x) donc : y = 5x. ) Si un point de coordonnées (x ; y) se trouve sur la représentation graphique de f, alors on a : y = f(x) donc : y = 7x. Les points de la représentation graphique de la fonction q ont pour coordonnées x ; q ( x). y L ordonnée y de chacun de ces points est donc égale à q(x) soit 5x. ) De façon générale : si un point est sur la représentation graphique de la fonction linéaire définie par : f(x) = ax alors ses coordonnées (x ; y) sont telles que : y = ax. 04 Cned, Mathématiques e

10 05 Séquence 7 EXERCICE 9 Pour avoir une idée de la réponse, j ai utilisé Geogebra. Il semble que l ordonnée du point B soit proportionnelle à son abscisse. Je n arrive pas à le démontrer. Séance L utilisation de Geogebra pour émettre une conjecture est détaillée dans la question. ) Lorsqu on déplace le point B sur d, le rapport change pas. y x B B ne ) Je déplace le point A, puis je déplace le point B sur la yb droite d, le rapport ne change pas. x B Il semble donc que l ordonnée du point B soit proportionnelle à son abscisse. ) La représentation graphique de la fonction linéaire x y C x est une droite qui passe par l origine du repère. Cette droite passe par les points de coordonnées (x ; y C x). ) La représentation graphique d une fonction est l ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)). Si je choisis pour x la valeur 1, je déduis que cette droite passe par le point de coordonnées (1 ; y C ), c est-à-dire le point C. Cette droite passe donc par l origine du repère et par C. C est donc la droite d. Le point B est sur la droite d, donc sur la représentation graphique de la fonction x y C x. D où : y B = y C x B L ordonnée du point B est donc proportionnelle à son abscisse. Cned, Mathématiques e 05

11 06 Séquence 7 EXERCICE 10 Le point de coordonnées ( ; est sur la droite d. On a donc : f () = 1. Soit a le coefficient de la fonction linéaire f. On a : f () = a donc : a = 1 1 D où : a =. La fonction linéaire f est donc définie par : f(x) = 1 x. D après la propriété précédente : «Toute droite passant par l origine d un repère et non parallèle à l axe des ordonnées, est la représentation graphique d une fonction linéaire». On déduit donc que les deux droites d et d sont bien des représentations graphiques de fonctions linéaires. On utilise ensuite la définition de la représentation graphique d une fonction ; selon cette définition, «si un point est sur la représentation graphique d une fonction f, alors ses coordonnées sont : (x ; f(x)). Le point de coordonnées ( ; ) est sur la droite d. On a donc : g( ) =. Soit a le coefficient de la fonction linéaire g. On a : g( ) = a ( ) donc a = D où a =. La fonction linéaire g est donc définie par : g(x) = x. 06 Cned, Mathématiques e

12 07 Séquence 7 EXERCICE 11 Je n ai pas réussi à construire la figure dynamique alors j ai fait des tests en construisant différentes figures. Il semble que les aires soient égales quand x est environ égal à 4,5 cm. Je n arrive pas à le prouver. Il faut impérativement laisser sur le cahier ou la copie les figures construites ainsi que les calculs faits (ici, pour calculer les aires des surfaces)! La conjecture semble être correcte ) Je déplace le point M sur le segment [BC]. Il semble qu il existe une valeur de BM pour laquelle les aires du triangle ABM et du rectangle MCDN sont égales : c est environ 4,66 cm. ) Le logiciel de géométrie dynamique permet d affiner un peu la précision de la conjecture ) Le triangle ABM est rectangle en B car ABCD est un rectangle. AB BM x A ABM = = = x A MCDN = MN MC = (7 x) = 1 x c) ) L aire d un triangle rectangle est le produit des longueurs des côtés adjacents à l angle droit divisé par. L aire d un rectangle est le produit de sa longueur par sa largeur. c) f est définie par : f(x) = x. g est définie par : g(x) = 1 x. d) J ai testé les valeurs 4,66 et 4,67. J ai ensuite testé les valeurs 4,666 et 4,667 car je me dis que le résultat est peut être du type : 4,666 Il semble effectivement que la solution de problème soit 4,666 cm. d) On programme la feuille de calcul de telle façon que pour une valeur de x inscrite dans une cellule, les deux aires s affichent. Ensuite, le jeu consiste à chercher une valeur de x pour laquelle les deux aires sont égales. On n y parvient pas, mais il semble que la valeur de x cherchée soit comprise entre 4,666 et 4,667. e) A l aide de Geogebra, j ai représenté graphiquement les deux fonctions. J ai créé le point d intersection des deux droites obtenues et j ai fait afficher ses coordonnées. L abscisse de ce point, c est-à-dire le nombre x tel que : f(x) = g(x) est environ égal à 4,666. e) Geogebra sait représenter n importe qu elle fonction! Cned, Mathématiques e 07

13 08 Séquence 7 f) On cherche x tel que : x = 1 x x+ x= 1 9 x= 1 x= 1 9 f) Pour résoudre l équation : f(x) = g(x), on remplace dans cette égalité f(x) par x et g(x) par 1 x. 7 x= 14 x= Il existe une seule valeur de BM pour laquelle les aires du triangle ABM et du rectangle MCDN sont 14 égales : cm soit environ 4,67 cm (arrondi au centième) 4) La troncature au millième de 14 est 4,666. Le calcul confirme les résultats obtenus précédemment. 4) La fonction f est linéaire car on peut écrire : f(x) = ax avec a = 1,5 La fonction g n est pas linéaire car : g(0) = 1 0 = 1 g(0) n est pas égal à 0. Seule Nadia a raison. On peut voir sur la figure dynamique que la représentation graphique de g est une droite qui ne passe pas par l origine, donc la fonction g n est pas une fonction linéaire. 08 Cned, Mathématiques e

14 09 Séquence 7 EXERCICE 1 Séance 4 L image d un nombre x par une fonction affine est égale à ax + b, où a et b sont deux nombres qui ne dépendent pas de x. La fonction f est définie par la relation : f(x) = ax + b avec a = 6 et b = 7. La fonction f est donc affine. 5x + ne peut pas s exprimer sous la forme ax + b. La fonction g n est donc pas affine. Si 5x + était égal à ax + b, alors la représentation graphique de g serait une droite (on a vu dans la séquence 6 que la représentation graphique d une fonction affine était une droite), or si on fait représenter la fonction g à l aide de Geogebra, on obtient la courbe ci-dessous. La fonction h est définie par la relation : h(x) = ax + b avec a = 4 et b =. La fonction h est donc affine. La fonction i est définie par la relation : i(x) = ax + b avec a = 0 et b = 5. La fonction i est donc affine. La fonction j est définie par la relation : j(x) = ax avec a = 5 La fonction j est linéaire, c est donc une fonction affine. x x k(x) = x 4 x x 1 x = x x = x x x x x 1 = + = x + 9 x k(x) = x x x + 9 x On a bien envie de dire que la fonction k n est pas affine, car l expression de k(x) contient des «x». Cependant, pour en être sûr, il faut développer et réduire l expression de k(x) afin de voir si les termes en x ne s annulent pas. On développe séparément les deux produits afin d avoir une meilleur lisibilité. On développe à l aide de l identité remarquable : (a = a ab + b On n oublie pas les parenthèses! k(x) = x 4 x x x 4 4 Les termes en x se s annulent. k(x) = x Cned, Mathématiques e 09

15 10 Séquence 7 La fonction k est définie par la relation : k(x) = ax + b avec a = 9 4 et b = 9. La fonction k est donc affine. EXERCICE 1 f(0) = = f( 5) = 8 ( 5) + = 40 + = 7 f() = 8 + = 7 f 16 1 = 8 + = + = g(0) = = 5 g( 5) = ( 5) 5= 5= = 50 g() = = = g = = = = 7 7 On remplace dans l égalité : f(x) = 8x + le nombre x par 0 ; 5 ; On remplace dans l égalité : g(x) = 7 x 5 le nombre x par 0 ; 5 ; ) Je cherche x tel que : f(x) = 0 Je résous donc l équation : 8x+ = 0 8x= x= 8 est l unique antécédent de 0 par la fonction f. 8 Je cherche x tel que : f(x) = 6 Je résous donc l équation : 8x+ = 6 8x= x= 8 est l unique antécédent de 6 par la fonction f Cned, Mathématiques e

16 11 Séquence 7 Je cherche x tel que : g(x) = 0 Je résous donc l équation : 7 x 5= 0 7 x= 5 x= x= 15 7 est l unique antécédent de 0 par la fonction g. Je multiplie les deux membres de l équation par l inverse de 7 soit 7. Je cherche x tel que : g(x) = 6 Je résous donc l équation : 7 x 5= 6 7 x= 11 x= 11 7 x= 7 7 est l unique antécédent de 6 par la fonction g. EXERCICE 14 Soit f une fonction affine. On a : f(x) = ax + b. Je cherche à déterminer les antécédents éventuels d un nombre t par la fonction f. Je résous l équation : ax+ b= t ax= t b Si a est différent de 0 : t b x= a Si a est différent de 0 (c est-à-dire si la fonction affine n est pas constante), le nombre t admet un unique antécédent par f. Cned, Mathématiques e 11

17 1 Séquence 7 EXERCICE 15 Le bénéfice est ce qu Andry gagne, soit la somme rapportée par les CDs vendus moins le prix de l emplacement donc : f(x) = 4x 5. ) f(0) = = 80 5 = 45 f(5) = = = 105 f(45) = = = 145 ) Je cherche x tel que : f(x) = 0 Je résous l équation : 4x 5= 0 4x= 5 5 x= 4 x= 8,75 8,75 est l antécédent de 0 par f. C est seulement à partir du 9ème CD vendu que le bénéfice devient positif, c est-à-dire qu Andry gagne de l argent. 4) Je cherche x tel que : f(x) = 10 Je résous l équation : 4x 5= 10 4x= 155 x= x= ,75 On n oublie pas d enlever les 5 qu Andry paie pour l emplacement. ) f(0) correspond au bénéfice d Andry pour 0 CDs vendus, f(5) pour 5 CDs vendus et f(45) pour 45 CDs vendus. ) Pour compenser le prix de l emplacement, Andry doit vendre plus de 8 CDs. 4) L antécédent de 10 par f est 8,75. Pour qu Andry gagne 10 lors de cette foire à tout, il faudrait qu il vende plus de 8 CDs. Je cherche x tel que : f(x) = 155 Je résous l équation : 4x 5= 155 4x= 190 x= x= ,5 L antécédent de 155 par f est 47,5. Pour qu Andry gagne 155 lors de cette foire à tout, il faudrait qu il vende plus de 47 CDs. 1 Cned, Mathématiques e

18 1 Séquence 7 EXERCICE ,8 + = 9, 4 C est égal à 9, F. ) f(t) = t 1,8 + = 1,8t + ) La fonction f est affine car on peut écrire : f(t) = at + b avec a = 1,8 et b =. Séance 5 On applique le conseil de George : on multiplie 4 par 1,8 puis on ajoute. ) On fait comme dans la question précédente, mais cette fois avec un nombre t. ) 4) Je sais que la représentation graphique d une fonction affine est une droite. Pour tracer une droite dans un repère, il suffit de connaître les coordonnées de deux points. f(0) = 1,8 0 + = f(10) = 1, = 50 4) On peut choisir n importe quelle valeur pour t, mais le mieux est de choisir des valeurs de façon que les calculs soient simples. La représentation graphique de la fonction f est la droite qui passe par les points de coordonnées (0 ; ) et (10 ; 50). 5) La représentation graphique d une fonction affine est une droite qui peut ne pas passer par l origine du repère. 6) L ordonnée du point d intersection de la représentation graphique de f avec l axe des ordonnées est. 5) On a vu cette propriété dans la séquence 6 du cours de e. 6) Cette ordonnée est en fait f(0). Cned, Mathématiques e 1

19 14 Séquence 7 EXERCICE 17 Les parties en pointillé correspondent soit : à un nombre négatif de jours, ce qui n a pas de sens, à un nombre négatif de kg de farine en stock, ce qui n a pas de sens non plus! L ordonnée du point de la droite d abscisse 0 est 50 : le boulanger disposait au départ de 50 kg de farine. c) L ordonnée du point de la droite d abscisse 4 est 50 : le boulanger dispose au bout de 4 jours de 50 kg de farine. d) L abscisse du point de la droite d ordonnée 0 est 14 : Il ne reste plus de farine au boulanger au bout de 14 jours. ) nombre de jours écoulés masse de farine en stock (en kg) Ce tableau ne représente pas une situation de proportionnalité car pour 0 jour écoulé, la masse de farine n est pas de 0 kg. c) Si on calcule la différence entre la masse de farine en stock un jour et celle du lendemain, on trouve toujours 5 kg. Chaque jour, le boulanger utilise donc 5 kg de farine. d) m(x) = 50 5x = 5x + 50 e) La fonction m est définie par la relation : m(x) = ax + b avec a = 5 et b = 50. Cette fonction est donc affine. f) m(10) = = = 100 Au bout de 10 jours, il reste 100 kg de farine. m(1) = = = 50 Au bout de 1 jours, il reste 50 kg de farine. g) m(18) = = = 100 Le 18ème jour, le résultat obtenu est négatif. C est normal : le boulanger n avait déjà plus de farine le 14ème jour! Le résultat de Pauline met en évidence qu il manque 100 kg de farine. On peut le voir également sur le graphique : la droite ne passe pas par l origine du repère. c) d) Le boulanger disposait au départ de 50 kg de farine. e) f) On pouvait lire directement ce résultat dans notre tableau. On pouvait également lire directement ce résultat dans notre tableau. g) 14 Cned, Mathématiques e

20 15 Séquence 7 EXERCICE 18 La droite d 1 est la représentation graphique de la fonction affine : x 0,5x +. La droite d est la représentation graphique de la fonction affine : x 0,5x 1. La droite d est la représentation graphique de la fonction affine : x 4x. La droite d 4 est la représentation graphique de la fonction affine : x Il semble que toute droite non parallèle à l axe des ordonnées tracée dans un repère soit la représentation graphique d une fonction affine. Cned, Mathématiques e 15

21 16 Séquence 7 EXERCICE 19 Séance 6 Je sais que par deux points distincts il passe une unique droite, et que toute droite non parallèle à l axe des ordonnées est la représentation graphique d une fonction affine. (AB) n est pas parallèle à l axe des ordonnées. Il existe donc une fonction affine dont la représentation graphique passe par A et B. Le problème pose en fait deux questions. La 1 ère est : «est-ce qu il existe une fonction affine dont la représentation graphique passe par A(0 ; 5) et B( ;?» Cette question n est pas difficile. La ème question : «déterminer cette (ou ces) fonction(s) f» est plus complexe J ai utilisé Geogebra pour avoir une idée de l expression de cette fonction. J ai placé les points A et B, et j ai construit la droite passant par ces deux points. Geogebra indique dans le volet algèbre (à gauche) que les coordonnées (x ; y) des points de cette droite vérifient : x + y = 5 D où : y = 5 + x soit y = x + 5. La fonction f semble être définie par : f(x) = x + 5. J ai essayé de le démontrer à l aide d un calcul, mais je n y parviens pas! ) f est une fonction affine telle que : f(x) = ax + b A(0 ; 5) est un point de la représentation graphique de f donc : f(0) = 5 c est-à-dire : a 0 + b = 5 D où : b = 5. En effet, la représentation graphique de f est l ensemble de points de coordonnées (x ; f(x)). ) On traduit le fait que le point de coordonnées (0 ; 5) appartient à la représentation graphique de la fonction. Cela veut dire que 5 est l image de 0 par cette fonction. B( ; est un point de la représentation graphique de f donc : f( ) = 1 c est-à-dire : a ( ) + b = 1 D où : a + b = Cned, Mathématiques e

22 17 Séquence 7 Comme : b = 5 on a : a + 5 = 1 D où : a = 4 soit : a =. Il existe une et une seule fonction affine dont la représentation graphique passe par les points A et B. Cette fonction affine est telle que : f(x) = x + 5. EXERCICE 0 Soit f la fonction qui à x le nombre de films que Nadia est allée voir associe le prix payé par Nadia, prix incluant celui de la carte. Ce prix est le produit du prix payé au demi-tarif par x (le nombre de films que Nadia est allée voir) plus le prix de la carte. On a : f(x) = ax + b, où b est le prix de la carte et a le prix à demi-tarif d une séance. La fonction f est donc affine. Je traduis les données de l énoncé : «Si Nadia n était allée voir aucun film, elle aurait dépensé seulement 1» revient à dire que : f(0) = 1 On a trouvé une seule valeur de a et une seule valeur de b. Cela veut dire qu il existe une seule fonction affine dont la représentation graphique passe par les deux points A et B. Ce type d exercice peut très bien être résolu sans utiliser une fonction! En effet, si Nadia ne va pas voir de film, elle paie 1. Cela veut dire que la carte coûte 1. Si Nadia va voir 7 films, elle paie 40. Nadia paie donc à chaque séance 40 1 le tout divisé par 7 soit 8 : 7 donc 4. Le prix à plein tarif est le double, soit 8. Pour connaître le nombre de séances à partir duquel il est plus avantageux d acheter une carte de cinéma, on peut commencer par le prix à payer avec chacun des deux tarifs pour différents nombres de séances. Cependant, la conclusion doit être justifiée par un raisonnement mathématique pour être reconnue. Il est important de comprendre que derrière cette situation «se cache» une fonction affine. «Nadia est allée 7 fois au cinéma et elle a dépensé 40» revient à dire que : f(7) = 40 On a donc : a 0 + b = 1 soit b = 1 a 7 + b = 40 d où : 7a + b = 40 Comme b = 1, on a : 7a + 1 = 40 D où : 7a = 8 soit : a = 4. La fonction f est donc définie par : f(x) = 4x + 1 ) La carte coûtait 1 et le prix d une entrée à demitarif est 4. ) Une place de cinéma à demi-tarif coûte 4 donc Clément, qui n a pas acheté la carte, va payer le double soit 8. 4) Pour x séances à plein tarif, le prix payé en est 8x. On cherche x tel que : 4x+ 1< 8x 1< 4x x> Il est plus avantageux d avoir une carte si l on veut aller voir plus de trois films. < x donc : x > Cned, Mathématiques e 17

23 18 Séquence 7 EXERCICE 1 Je place les points A( ; et B(1 ; 5) à l aide de Geogebra, puis je trace la droite passant par ces deux points. La méthode utilisée ci-contre n est pas mauvaise. On va voir par la suite que le résultat trouvé est juste. Seulement, pourquoi ce résultat est-il juste? D autre part, il faut être capable de résoudre ce type de question sans avoir à utiliser un ordinateur, c est pourquoi nous allons utiliser une autre méthode dans la question. Selon la partie de gauche de la fenêtre Geogebra, (AB) est l ensemble des points dont les coordonnées (x ; y) vérifient : x + y = 7 On a : x + y = 7 D où : y = x + 7. Je pense que f est telle que : f(x) = x + 7. On a : f() = + 7 = = 1. et : f( = = + 7 = 5. f est bien la fonction cherchée. ) L image de par f est 1 donc : f() = 1 D où : a + b = 1 ) On utilise la méthode employée dans l exercice précédent. L antécédent de 5 par f est 1 donc : f( = 5 D où : a 1 + b = 5 1 ère égalité : a + b = 1 ème égalité : a + b = 5 Je retranche membre à membre les deux égalités : a+ b ( a+ = 1 5 a+ b a b = 1 5 D où : a = 4 soit : a =. c) Je remplace a par par exemple dans la ème égalité. J obtiens : + b = 5 D où : b = 5 + soit : b = 7. d) La fonction affine f recherchée est la fonction f telle que : f(x) = x + 7. Vérification : f() = + 7 = = 1 f( = = + 7 = 5 18 Cned, Mathématiques e

24 19 Séquence 7 EXERCICE f est une fonction affine, elle est donc définie par : f(x) = ax + b On a : f() = 1 donc : a + b = 1. On a : f( ) = 1 donc : a ( ) + b = 1. D où les deux égalités : 1ère égalité : a + b = 1 ème égalité : a + b = 1 Je retranche membre à membre la ème égalité de la 1ère : a+ b ( b = 1 ( 1) D où : 5a = 5 soit : a = 5. Je remplace a par 5 dans la 1ère égalité. J obtiens : 5 + b = 1 d où : 15 + b = 1 soit : b =. La fonction f cherchée est telle que : f(x) = 5x. Vérification : f() = 5 = 15 = 1 f( ) = 5 ( ) = 10 = 1 EXERCICE Dans cet exercice, l unité de masse est la tonne. La masse totale du camion f(x) est égale au produit de la masse d un ballot (qui est fixe) par le nombre x de ballots plus la masse du camion vide. Ainsi, f(x) = ax + b où : a est la masse d un ballot x est le nombre de ballots b est la masse du camion vide La fonction f est donc une fonction affine. ) On a : f(5) = 11,5 donc : a 5 + b = 11,5 On a : f(1) = 17,1 donc : a 1 + b = 17,1 D où les deux égalités : 1 ère égalité : 5a + b = 11,5 ème égalité : 1a + b = 17,1 Je retranche membre à membre la ème égalité de la 1ère : 5a+ b 1a b = 11,5 17,1 D où : 7a = 5,6 soit : a = 0,8. Je remplace a par 0,8 dans la 1ère égalité. J obtiens : 5 0,8 + b = 11,5 soit 4 + b = 11,5 D où : b = 7,5. La fonction f est telle que : f(x) = 0,8x + 7,5 Vérification : f(5) = 0, ,5 = 4 + 7,5 = 11,5 f(1) = 0, ,5 = 9,6 + 7,5 = 17,1 ) La masse du camion à vide est b soit 7,5 tonnes. 4) La masse d un ballot est a soit 0,8 tonne. Cned, Mathématiques e 19

25 0 Séquence 7 EXERCICE 4 Séance 7 Je ne comprends pas bien la question. Que veut dire le quotient de la différence de leurs ordonnées par la différence de leurs abscisses? Dans ce cas, il faut essayer de traduire le problème : si les deux points sont M et N : les ordonnées de ces points sont respectivement y M et y N. les abscisses de ces points sont respectivement x M et x N. La différence des ordonnées est : y M y N. La différence des abscisses est : x M x N. Le quotient de la 1ère différence par la ème est : ym yn. x x M La question est donc : si l on choisit deux points M et N au ym yn hasard sur la droite d, le rapport est-il toujours le x x même? N M N ) ym yn 5 On a : x M = 1 x N = y M = y N = 5 = = = 1 x x 1 ym' yn' 1 1 On a : x M = 1 x N = 0 y M = 1 y N = = = = 1 x x Les deux rapports sont égaux. M M' N N' 0 Cned, Mathématiques e

26 1 Séquence 7 ym yn Je place d autres points M et N et M et N sur la droite d. Je calcule les rapports x x ym yn ym' yn' On a : = x x x x M N M' N' M N y x et M' N' M' y x N'. Conclusion : il semble que si deux points sont sur une même droite, le quotient de la différence de leurs ordonnées par la différence de leurs abscisses est toujours le même. Pour n importe quelles valeurs de x 1 et x, le y y1 quotient est le même. x x 1 c) Le quotient est toujours égal à. ) J utilise la méthode de Pauline. Je choisis deux points distincts donc x 1 et x sont différents. y y1 ax + b ( ax1 + ax ax1 a( x x1 ) = = = x x x x x x x x a( x x1 ) x x 1 est différent de 0. Je peux simplifier par x x 1. = a x x 1 D où : y x y x 1 1 = a Les commentaires du professeur : Si on avait utilisé la méthode d Andry, on aurait écrit : Le point de coordonnées (x 1 ; y 1 ) se trouve sur la représentation graphique de f donc : y 1 = f(x 1 ) soit y 1 = ax 1 + b ( En raisonnant de même, pour le point de coordonnées (x ; y ) on prouve que : y = ax + b () On déduit des égalités ( et () que : y y 1 = (ax + (ax 1 + y y 1 = ax + b ax 1 b y y 1 = a(x x 1 ) y 1 x x 1 0 donc on a : y = a x x 1 Cned, Mathématiques e 1

27 Séquence 7 EXERCICE 5 droite d 1 L ordonnée à l origine est. Le coefficient directeur de la droite est : yn ym = = x x 1 N M La fonction affine f 1 est définie par : f 1 (x) = x. On a choisi des points M et N dont les coordonnées sont entières (car dans cet exemple, c est possible!). Il y avait bien d autres possibilités comme par exemple celle ci-contre. yn ym 6 = = x x N M droite d L ordonnée à l origine est 0. Le coefficient directeur de la droite est : ym yo 5 = = 5 x x 1 M La fonction affine f est définie par : f (x) = 5x. O droite d L ordonnée à l origine est. Le coefficient directeur de la droite est : yn ym 1 1 = = x x La fonction affine f est définie par : 1 f (x) = x +. N M droite d 4 L ordonnée à l origine est 4. Le coefficient directeur de la droite est : yn ym 0 = = 0 x x N La fonction affine f 4 est définie par : f 4 (x) = 4. M Cned, Mathématiques e

28 Séquence 7 EXERCICE 6 Les commentaires du professeur : Représentation graphique de f : L ordonnée à l origine de la droite représentant graphiquement f est. Le coefficient directeur de la droite est. Cela peut se traduire de la façon suivante : «si on augmente de 1 l abscisse, on augmente de l ordonnée» Ainsi le quotient de la différence des ordonnées par celle des abscisses est de sur 1 soit. Représentation graphique de h : L ordonnée à l origine de h est 1. Le coefficient directeur de la droite représentant graphiquement h est 4. Cela peut se traduire de la façon suivante : «si on augmente de l abscisse, on augment de 4 l ordonnée» Ainsi le quotient de la différence des ordonnées par celle des abscisses est de 4 sur soit 4. Cned, Mathématiques e

29 4 Séquence 7 EXERCICE 7 Séance 8 Première partie Si la masse est 10 g, la longueur du ressort est 6 cm. Si la masse est 0 g (soit 10 g), la longueur du ressort n est pas 6 cm. La longueur L du ressort et la masse x de l objet suspendu ne sont pas proportionnelles. ) On pouvait choisir d autres nombres du tableau et raisonner ainsi : 9 40 n est pas égal à 6 10 car : 9 10 = = 40 Les produits en croix ne sont pas égaux. Les points du graphique semblent alignés. Le graphique semble être la représentation graphique d une fonction affine. ) D après une lecture graphique : ) l ordonnée à l origine de la droite représentant cette fonction est 5. Le coefficient directeur de cette droite est : 8 6 = = 0, La fonction f est telle que : f(x) = 0,1 x Cned, Mathématiques e

30 5 Séquence 7 f(500) = 0, = 55 La longueur du ressort sera de 55 cm. c) On cherche x tel que : f(x) = 17 D où : 0,1 x + 5 = 17 0,1 x = 1 soit : x = 10. On utilise l expression de f(x) déterminée dans la question précédente. c) On cherche en fait l antécédent de 17 par la fonction affine f. Une masse de 10 g donne au ressort une longueur de 17 cm. Deuxième partie La longueur initiale L i est la longueur du ressort pour une masse de 0 g soit 5 cm (c est f(0)). ) masse x (en g) allongement (en cm) ) Pour calculer l allongement, il suffit de retrancher 5 cm à la longueur du ressort pour chaque masse x suspendue. ) = = = = 0, ) Le tableau est un tableau de proportionnalité. Le coefficient de proportionnalité est 0,1. L allongement du ressort semble être proportionnel à la masse. 4) g( x) = f ( x) 5 = 0,1 x g(x) = 0,1x longueur du ressort longueurinitiale avec la masse du ressort 4) Cned, Mathématiques e 5

31 6 Séquence 7 L allongement du ressort et la masse suspendue sont deux grandeurs proportionnelles. c) g(x) est de la forme ax avec a = 0,1 donc g est une fonction linéaire. d) La représentation graphique d une fonction linéaire est une droite passant par l origine. x 0 donc la représentation graphique de g est une demi-droite d origine O. D après le tableau de la question, cette demi-droite passe par le point A(70 ; 7). C est donc la demi-droite [OA). 5) Les deux demi-droites tracées semblent parallèles. Les commentaires du professeur : g est la fonction linéaire associée à la fonction affine f (revois éventuellement le «Je retiens» qui suit l exercice 1. La droite représentant la fonction affine : x 0,1x + 5 et celle représentant la fonction linéaire : x 0,1x ont le même coefficient directeur : 0,1. EXERCICE 8 Deux droites qui ont le même coefficient directeur semblent parallèles. La représentation graphique d une fonction affine et celle de sa fonction linéaire associée sont-elles parallèles? Les deux droites ont le même coefficient directeur a. La droite verte a pour ordonnée à l origine b. La droite rouge a pour ordonnée à l origine c. 6 Cned, Mathématiques e

32 7 Séquence 7 EXERCICE 9 Séance 9 Si le prix d un article baisse de 0%, son nouveau prix est 100% 0% soit 70% de l ancien prix , 100 = Le nouveau prix de l article à 9 est 6,0. Si un article coûte 9 avant la baisse, son prix après la baisse 0 0 sera : 9 9= 1 9= 0,7 9= 6, ,1 100 = Le nouveau prix de l article à 1 est 9, ,4 10, = Le nouveau prix de l article à 15,4 est 10, ,5 17, = Le nouveau prix de l article à 4,5 est 17,15. ) Si x est le prix initial d un article, son prix réduit 70 f(x) est égal à : 100 x. D où : f(x) = 0,7x ) On a vu que pour obtenir le prix après la baisse, il suffit de multiplier par 0,7 le prix initial x. La fonction f est linéaire. Son coefficient est 0,7. ) Effectuer une réduction de 0 % sur un article qui coûte x revient à calculer l image de x par la fonction f définie par : f(x) = 0,7x. ) Cned, Mathématiques e 7

33 8 Séquence 7 4) Le prix soldé est 100 % 60 % soit 40 % de l ancien prix. Effectuer une réduction de 60 % sur un article qui coûte x revient à calculer l image de x par la fonction g définie par : g(x) = 0,4x. 4) On peut commencer par définir la fonction qui va nous permettre de calculer les prix soldés. g(6) = 5, Le prix soldé de l article à 6 est 5,0. g(7) = 8,8 Le prix soldé de l article à 7 est 8,80. g(15) = 50 Le prix soldé de l article à 15 est 50. g(5) = 14 Le prix soldé de l article à 5 est 14. 5) Effectuer une réduction de 75% sur un article qui coûte x revient à calculer l image de x par la fonction f définie par : f(x) = 0,5x. Je cherche x tel que : f(x) = 45 D où : 0,5x = c est-à-dire : x = 180 0,5 = Son prix avant la remise était 180. EXERCICE 0 5) On cherche l antécédent de 45 par la fonction linéaire f. La population a augmenté car si l on multiplie un nombre positif x par un nombre plus grand que 1, on obtient un nombre plus grand que x. Si la population est de x individus avant l augmentation, après, elle est de 1,x. Or : 1,x = x + 0,x = x x Pour obtenir la population après l augmentation, on ajoute à x les 0% de x. L augmentation est donc de 0%. ) Comme : 0,7 < 1 la population a diminué. 8 0,7= 1 0,8= La population a diminué de 8 %. EXERCICE 1 C est faux. Les ordonnées à l origine des représentations graphiques des deux fonctions f et g (respectivement 4 et ) sont différentes. 8 Cned, Mathématiques e

34 9 Séquence 7 JE M ÉVALUE 1 0,75 La fonction linéaire f est définie par : f(x) = x. Je cherche le nombre x tel que : f(x) = 4 c est-à-dire tel que : x = 4 4 D où : x=. 4 ) 5 1 1, ) La fonction f est définie par : f(x) = 4x 5 (elle est donc affine) f = 4 5 = = 7 ) , 4) f(x) = x + 4 f(x) = x + 10 f(x) = x On ne peut pas savoir. ) Soit f la fonction linéaire dont on cherche le coefficient a. f est définie par : f(x) = ax. f( 6) = 8 donc : 6a = 8 On a donc : 8 4 a= = 6 4) f est une fonction affine, donc telle que : f(x) = ax + b. On a : f() = 7 donc : a + b = 7 d où : b = 7 a. Il existe de nombreuses (en fait une infinité) de fonctions affines qui répondent au problème. On peut choisir par exemple : a = 1 alors : b = 7 1 = 4 La fonction affine f définie par : f(x) = x + 4 est telle que : f() = 7. On peut choisir par exemple : a = alors : b = 7 = 1. La fonction affine f définie par : f(x) = x + 1 est telle que : f() = 7. La fonction affine définie par : f(x) = x, ou encore la fonction affine définie par : f(x) = 4x 5, sont telles que f() = 7. Cned, Mathématiques e 9

35 0 Séquence 7 5) a = 5 et b = 5 a = 5 et b = 5 a = et b = 5 a = 0, et b = 4,6 6) une augmentation de 6 % une réduction de 6 % 5) On a : 1ère égalité : a + b = 5 ème égalité : 4a + b = 15 D où : a = 10 soit : a = 5. On en déduit : 10 + b = 5 soit : b = 5. 6) f(x) = 0,6x = x 0,4x = x 40 x 100 une réduction de 60 % une réduction de 40 % 7) d 1 et d d et d 4 d et d 4 d 1 et d 8) vrai faux On ne peut pas savoir 9) 1,5 P 1,05 P 0,05 P 0,95 P 10) ( 1 ; ) ( ; ( 5 ; 15) ( 5 ; 5) 7) La représentation graphique de la fonction f est la droite qui a pour coefficient directeur 1 et pour ordonnée à l origine : c est donc la droite d 4. La représentation graphique de la fonction g est la droite qui a pour coefficient directeur 0,5 et pour ordonnée à l origine 1 : c est donc la droite d. 8) L aire d un rectangle de largeur l et de longueur L est L l. On a : L = l D où : L l = l l = l La fonction qui à l associe l n est pas une fonction affine. 9) Le nouveau prix du litre d essence est : P + 5 P+ P = P +0,05P = (1+0,05)P = 1,05P ) On cherche x tel que : x = x 5 D où : 5x = 5 soit : x = 1. f( = ( =. 5 P 100 Les cordonnées du point d intersection des deux représentations graphiques sont ( 1 ; ).. 0 Cned, Mathématiques e

36 1 Séquence 8 Ce que tu devais faire JE RÉVISE LES ACQUIS DE LA 4 e SÉQUENCE 8 TRIGONOMÉTRIE Séance 1 Les commentaires du professeur isocèle en A équilatéral rectangle en A rectangle en B Il faut de souvenir de la propriété ci-dessous vue en 4e : «Si un triangle est inscrit dans un cercle et si l un de ses côtés est un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle. L hypoténuse est ce diamètre.» Le triangle ABC est donc rectangle en A. ) ) EG EF FG EF EF EG EF FG Le cosinus d un angle aigu d un triangle rectangle est le quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l hypoténuse. Le côté adjacent à l angle E est [EG]. L hypoténuse est [EF]. ) 0, ,6 0,5 ) Le cosinus d un angle est compris entre 0 et 1. Pour obtenir l arrondi au dixième du cosinus d un angle, on utilise en général une calculatrice. La touche utilisée est cos. 4) ,1 4) Pour déterminer une valeur approchée d un angle dont on connaît le cosinus, on utilise une calculatrice. La touche utilisée est cos 1. ou Acos (cela dépend des calculatrices). Cned, Mathématiques e 1

37 Séquence 8 EXERCICE 1 Je n arrive pas à résoudre le problème car je ne sais pas si le triangle MNP est un triangle rectangle. ) Je n arrive toujours pas à construire ni une figure «classique», ni une figure dynamique. ) Le point M est sur le cercle de centre O de diamètre [PN]. Le triangle MNP est donc rectangle en M. On ne peut pas faire une figure à une autre échelle facilement. En effet, on ne sait pas où centrer les cercles de rayon cm et 4 cm ) Le problème est le même que précédemment : où centrer les cercles de rayon cm et 4 cm? ) Il fallait penser à cette propriété vue en 4e! Tu peux télécharger la figure «dynamique» (en l occurrence, celle-ci est fixe!), c est le fichier sequence8exercice1corrige. 4) Dans le triangle MPN rectangle en M, d après la propriété de Pythagore : PN = PM + MN. D où : PN = + 4 = = 5 D où : PN = 5 cm. 5) Dans le triangle MNP rectangle en M : ɵ PM cosp = = = 0,6 PN 5 D où : P 5,1 4) 5) 6) Je tape tan 1 (4/) à l aide de ma calculatrice. Il s affiche : Cette unique ligne de calcul donne directement le résultat. Je tape sin 1 (4/5) à l aide de ma calculatrice. Il s affiche à nouveau : Taper sin 1 4 donne directement le résultat cherché. 5 EXERCICE 6) Quelles sont donc ces fonctions de la calculatrice qui permettent d obtenir aussi rapidement le résultat? Cned, Mathématiques e

38 Séquence 8 Cned, Mathématiques e

39 4 Séquence 8 4 Cned, Mathématiques e

40 5 Séquence 8 EXERCICE Dans le triangle KLM rectangle en L, d après la propriété de Pythagore : KM = KL + LM KM = KM = KM = 100 KM = 10 Séance Pour calculer le sinus et le cosinus de M, il est nécessaire de connaître la longueur de l hypoténuse du triangle rectangle KLM. Pour déterminer cette longueur, on utilise la propriété de Pythagore, vue en 4 ème. sinm = KL = 8 = 0,8 KM 10 cosm = ML = 6 = 0,6 KM 10 Quand on calcule un sinus, un cosinus, ou une tangente, on commence dans un premier temps par donner les formules en utilisant les lettres de la figure. tanm = KL = 8 = 4 LM 6 sinr = ST = = 0,4 RT 5 Dans le triangle TSR rectangle en S, d après la propriété de Pythagore : Pour calculer le cosinus de R ou sa tangente, on commence par calculer SR. TR = TS + SR 5 = + SR 5 = 4 + SR = SR 1 SR = 1 RS 1 cos R = = cosr 0,9 RT 5 tan R = ST = tan R 0,44 RS 1 Cned, Mathématiques e 5

41 6 Séquence 8 EXERCICE 4 Clément a raison. Dans un triangle rectangle, le sinus d un angle aigu est égal au quotient : Dans un triangle rectangle, l hypoténuse est le plus long des trois côtés. longueur du côté opposé Le quotient : est donc plus petit que 1. longueur de l'hypoténuse longueur du côté opposé longueur de l'hypoténuse. EXERCICE 5 J ai commencé par faire une figure sur une feuille de papier. J ai eu du mal jusqu à ce que je pense à calculer l angle C. Le triangle ABC est rectangle donc C et A sont complémentaires. D où : C = = 50 Tu peux télécharger la figure «dynamique» (en l occurrence, celle-ci est fixe!) : c est le fichier sequence8exercice5corrige. Je mesure [AC], je trouve que AC est environ égal à 7,8 cm. ) Dans le triangle ABC rectangle en B : ) sin A = BC AC D où : 5 sin40 = donc : AC sin 40 = 5 AC d où : 5 AC = sin40. 6 Cned, Mathématiques e

42 7 Séquence 8 ) Dans le triangle LOK rectangle en K : ) = LK sinlok = OM OM 1 = OL Or : LOK = 40 D où : sin 40 = OM soit : OM = sin 40. Je mesure OM. Je trouve : OM 6,4 cm D où : OM 0,64 dm donc : sin 40 0,64. La longueur OM est égale à sin 40. Il suffit donc de la mesurer pour obtenir une valeur approchée de sin 40. On a : 5 AC = sin 40 donc : AC 7,8 cm Je trouve : AC 7,8 cm (arrondi au mm) Il est beaucoup plus aisé d utiliser la calculatrice! 4) BC 5 cosc = d où : cos50 = AC AC 5 AC cos 50 = 5 d où : AC = cos50 D où : AC 7,8 cm (arrondi au mm) 4) Il ne faut pas oublier que les deux angles aigus d un triangle rectangle sont complémentaires! Remarques : On a vu que pour KOL = 40 alors : OM = sin 40. On peut montrer que pour KOL = x (avec 0 < x < 90) on a encore : OM = sin x. EXERCICE 6 sin 8 0,469 sin 45 0,707 Quand x = 0, on a : OM = 0 Quand x = 90, on a : OM = 1 D où, par définition, on pose : sin 0 = 0 et sin 90 = 1. On fait attention à bien faire les arrondis sin 7 0,956 Cned, Mathématiques e 7

43 8 Séquence 8 EXERCICE 7 La distance cherchée est AB. Dans le triangle ABC rectangle en C : cosa = AC AB 84 D où : cos18 = AB On n oublie pas de rappeler la donnée permettant d utiliser la trigonométrie, à savoir que l on a un triangle rectangle! AB cos 18 = 84 AB = 84 cos 18 AB 980 m 8 Cned, Mathématiques e

44 9 Séquence 8 EXERCICE 8 Séance 1,5 m = 15 dm 1,8 m = 18 dm J ai construit une figure dynamique de la façon suivante : J ai placé le point B de coordonnées (0 ; 0). J ai placé le point C de coordonnées (0 ; 15). J ai tracé le cercle de centre C et de rayon 18 cm. J ai tracé la droite perpendiculaire à (BC) passant par B. Le point A est un des points d intersection de cette droite et du cercle. J ai mesuré l angle BAC. Il n est pas toujours facile de bien construire une figure à l aide d un outil de géométrie dynamique. Tu peux télécharger la figure «dynamique» (en l occurrence, celle-ci est fixe!) : c est le fichier sequence8exercice8corrige. L angle BAC mesure environ 56. L échelle va donc tomber. ) Dans le triangle ABC rectangle en B : sin BAC = BC AC ) sin BAC = 15 soit : sinbac 5 = 18 6 sinbac 0,8 (arrondi au centième) Cned, Mathématiques e 9