TS Fonction exponentielle (2)

Transcription

1 TS Fonction ponntill () I. Limits d la fonction ponntill n + t n ) Comparaison d t On considèr la fonction f : défini sur. f st dérivabl sur comm différnc d fonctions dérivabls sur. f ' Sign d + Variation d f f '() + Conséqunc graphiqu : La courb rprésntativ d la fonction ponntill admt l a (O) pour asymptot horizontal n. C résultat prmt évidmmnt d donnr l allur corrct d la courb rprésntativ d la fonction ponntill lorsqu on la trac. 4 ) Tablau d variation complt d la fonction ponntill + On put notr qu, graphiqumnt, C p st toujours au-dssus d l a ds abscisss. Lorsqu, C s rapproch indéfinimnt d l a (O) (d après l sns d variation). p II. Limits d la fonction ponntill par croissanc comparé ) On rncontr un FI du typ. + Donc f admt un minimum d sur. Donc soit. ) Limit n + donc d après l tnsion du théorèm ds gndarms,. ) Limit n (it d un composé) Donc D où Par suit,. donc Donc.

2 Conséqunc graphiqu : La courb rprésntativ d la fonction ponntill admt un branch paraboliqu d dirction (Oy) n +. La notion d branch paraboliqu sra pu dévloppé ctt anné. On put simplmnt signalr un intrprétation tout simpl. En fft, soit M un point qulconqu d la courb d la fonction ponntill d absciss (fair un graphiqu). L cofficint dirctur d la droit (OM) st égal à. signifi qu l cofficint dirctur d la droit (OM) tnd vrs + lorsqu +. ) On rncontr un F.I. du typ. On procèd par changmnt d variabl. On pos ( ) ( + ) On ffctu un réécritur. III. Limit rlié au nombr dérivé d la fonction ponntill n ) Propriété ) Démonstration On rncontr un FI du typ. On ffctu un réécritur du quotint. C quotint st l tau d accroissmnt d la fonction ponntill ntr t. Or la fonction ponntill st dérivabl n. Donc la it n d c tau st l nombr dérivé d la fonction ponntill n. (it du ) D où. donc par quotint. Or p' p. Donc. IV. Dérivé d la composé d un fonction dérivabl suivi d la fonction ponntill ) Règl général u st un fonction défini t dérivabl sur un intrvall I. La fonction f : u st défini t dérivabl sur I t I u u On rtint : ' u '. ' ' u. f u On put notr f = p u. ) Démonstration La formul du ) st un application d dérivé d la composé d du fonctions. 4

3 ) Cas particulir u a b u ' a ab ' a ab Lorsqu b, on obtint la formul : a ' a a Avc la notation d Libniz ou notation différntill (utilisé n physiqu), ctt formul s écrit : d a d d at a a a at La variabl figur au «dénominatur» (ntr guillmts, car il n s agit pas vraimnt d un quotint). Empls : d t t t d t Sign d + ' Variation d f f + donc par it d un composé, on a f. On n déduit qu touts ls courbs C admttnt l a ds abscisss pour asymptot horizontal n +. donc par it d un composé, on a f Allur ds courbs f Donc touts ls courbs C passnt par l point A( ; ).. V. Fonctions associés à la fonction ponntill La modélisation d nombru problèms n probabilités, statistiqus ou n biologi amèn à l étud d fonctions particulièrs t (avc un constant réll strictmnt positiv). C C C y ) Fonctions f : ( > fié) On not C la courb rprésntativ d f dans l plan muni d un rpèr. Il s agit d l étud d un famill d fonctions dépndant d un paramètr. Étud f ' On obsrv ls résultats suivants qu l on put justifir par l calcul : - la position rlativ ds courbs ls uns par rapport au autrs ; - plus st grand, plus C «décroît» rapidmnt. j O i 5 6

4 Un mpl d utilisation d un tll fonction nous st fourni n radioactivité. t On démontr n fft qu l nombr d noyau radioactifs à un instant t obéit à la loi : N( t) N où désign la constant d radioactivité d la substanc considéré ( > ). On définit alors l tmps d dmi-vi d la substanc radioactiv comm l tmps au bout duqul il rst la moitié ds noyau radioactifs dans l échantillon. On démontr qu c tmps d dmi-vi st égal à ln. C C j C ) Fonctions f : ( > fié) f st défini sur. f f Donc f st pair. La courb C dans un rpèr orthogonal admt l a (Oy) pour a d symétri. Cs courbs s appllnt ds «courbs n cloch» (courbs d Gauss). O VI. Autrs its d la fonction ponntill par croissanc comparé (admiss sans démonstration) n désign un ntir naturl qulconqu. i f ' + ) n Sign d ' Variation d f f + donc par it d un composé, on a f. n. ) n n donc par it d un composé, on a f. On n déduit qu touts ls courbs C admttnt l a ds abscisss pour asymptot horizontal n + t n. 7 8

5 Appndic : Récapitulatif ds its d la fonction ponntill a a ( a ) 9